Beamer_dea Amel

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Faculté des Mathématiques Département de Recherche Opérationnelle

Soutenance de mémoire pour obtenir le grade de Magister en Mathématiques Spécialité : Recherche Opérationnelle

S UR LES MÉTHODES D ’ APPROCHE PAR DEA (D ATA E NVELOPMENT A NALYSIS ) Présenté par B ELLAHCENE A MAL

Encadré par M OULAÏ M USTAPHA

 Novembre 

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978. DEA sert à analyser et évaluer l’efficience relative en particulier des organisations constituées de multiples unités comparables.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978. DEA sert à analyser et évaluer l’efficience relative en particulier des organisations constituées de multiples unités comparables. En DEA, l’organisation sous étude est appelée « Unité de Prise de Décision » ou « Decision Making Unit (DMU) ».

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978. DEA sert à analyser et évaluer l’efficience relative en particulier des organisations constituées de multiples unités comparables. En DEA, l’organisation sous étude est appelée « Unité de Prise de Décision » ou « Decision Making Unit (DMU) ». Un DMU est considéré comme l’entité responsable de la conversion des entrées en sorties et dont les performances sont à évaluer.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978. DEA sert à analyser et évaluer l’efficience relative en particulier des organisations constituées de multiples unités comparables. En DEA, l’organisation sous étude est appelée « Unité de Prise de Décision » ou « Decision Making Unit (DMU) ». Un DMU est considéré comme l’entité responsable de la conversion des entrées en sorties et dont les performances sont à évaluer. DEA est un outil trés puissant lorsqu’il y a multiple entrées et multiple sorties et qui sont incommensurables.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978. DEA sert à analyser et évaluer l’efficience relative en particulier des organisations constituées de multiples unités comparables. En DEA, l’organisation sous étude est appelée « Unité de Prise de Décision » ou « Decision Making Unit (DMU) ». Un DMU est considéré comme l’entité responsable de la conversion des entrées en sorties et dont les performances sont à évaluer. DEA est un outil trés puissant lorsqu’il y a multiple entrées et multiple sorties et qui sont incommensurables. DEA est capable d’identifier les unités de même efficience relative et les unités qui sont inefficientes par rapport à un groupe de référence.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Introduction DEA a été développée par Charnes, Cooper et Rhodes en 1978. DEA sert à analyser et évaluer l’efficience relative en particulier des organisations constituées de multiples unités comparables. En DEA, l’organisation sous étude est appelée « Unité de Prise de Décision » ou « Decision Making Unit (DMU) ». Un DMU est considéré comme l’entité responsable de la conversion des entrées en sorties et dont les performances sont à évaluer. DEA est un outil trés puissant lorsqu’il y a multiple entrées et multiple sorties et qui sont incommensurables. DEA est capable d’identifier les unités de même efficience relative et les unités qui sont inefficientes par rapport à un groupe de référence. DEA est aussi applicable à des organisations sans but lucrative.

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Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

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Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

Data Envelopment Analysis (DEA) ou L’analyse de l’enveloppement des données est la méthode d’optimisation de la programmation linéaire ou fractionnaire qui mesure l’efficience d’une entité au cas de multiples entrées-sorties.

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Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

Data Envelopment Analysis (DEA) ou L’analyse de l’enveloppement des données est la méthode d’optimisation de la programmation linéaire ou fractionnaire qui mesure l’efficience d’une entité au cas de multiples entrées-sorties. Jusqu’à présent DEA a été utilisée pour évaluer et comparer entre les services d’enseignement (écoles, collèges et universités), les soins de santé (hôpitaux, cliniques), la production agricole, les banques, les forces armées, le transport (entretien des routes), etc.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

Supposons qu’il y a 8 magasins que nous étiquetons de A à H présentés dans le tableau suivant : Magasin Employé Vente Vente/Employé

A 2 1 0.50

B 3 3 1

C 3 2 0.67

D 4 3 0.75

E 5 4 0.80

F 5 2 0.40

G 6 3 0.50

H 8 5 0.62

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Principes de base

Ventes

Cas d’une entrée unique et sortie unique

F IG .: Comparaison entre les magasins 6 b H 5 b E 4 b B b bD G 3 b b F C 2 b 1 A 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Employé

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

La ligne passant par l’origine et le point B représente la frontière d’efficience.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

La ligne passant par l’origine et le point B représente la frontière d’efficience. Tous les points (rapport sortie/entrée des magasins) sont en dessous ou sur cette ligne.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

La ligne passant par l’origine et le point B représente la frontière d’efficience. Tous les points (rapport sortie/entrée des magasins) sont en dessous ou sur cette ligne. On dit que la frontière d’efficience enveloppe tous les points représentant l’efficience des magasins.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

La ligne passant par l’origine et le point B représente la frontière d’efficience. Tous les points (rapport sortie/entrée des magasins) sont en dessous ou sur cette ligne. On dit que la frontière d’efficience enveloppe tous les points représentant l’efficience des magasins. On peut alors mesurer l’efficience des autres magasins j ∈ {A, C, D, E, F, G, H} par rapport à B selon : Les ventes par employé de j ≤1 0≤ Les ventes par employé de B

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

La ligne passant par l’origine et le point B représente la frontière d’efficience. Tous les points (rapport sortie/entrée des magasins) sont en dessous ou sur cette ligne. On dit que la frontière d’efficience enveloppe tous les points représentant l’efficience des magasins. On peut alors mesurer l’efficience des autres magasins j ∈ {A, C, D, E, F, G, H} par rapport à B selon : Les ventes par employé de j ≤1 0≤ Les ventes par employé de B On constate alors, 1 = B > E > D > C > H > A = G > F = 0.4

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

Magasin Efficience

A 0.50

B 1

C 0.67

D 0.75

E 0.80

F 0.40

G 0.50

H 0.62

TAB .: Efficience

L’avantage de calculer le rapport des rapports est que le résultat n’est plus dépendant des unités utilisées dans les entrées et les sorties.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

Magasin Efficience

A 0.50

B 1

C 0.67

D 0.75

E 0.80

F 0.40

G 0.50

H 0.62

TAB .: Efficience

L’avantage de calculer le rapport des rapports est que le résultat n’est plus dépendant des unités utilisées dans les entrées et les sorties. Changeons l’unité de ventes de 100$ à 1000$,

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

Magasin Efficience

A 0.50

B 1

C 0.67

D 0.75

E 0.80

F 0.40

G 0.50

H 0.62

TAB .: Efficience

L’avantage de calculer le rapport des rapports est que le résultat n’est plus dépendant des unités utilisées dans les entrées et les sorties. Changeons l’unité de ventes de 100$ à 1000$, ☞ Les rapports de Vente/Employé ne seront plus les mêmes,

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

Magasin Efficience

A 0.50

B 1

C 0.67

D 0.75

E 0.80

F 0.40

G 0.50

H 0.62

TAB .: Efficience

L’avantage de calculer le rapport des rapports est que le résultat n’est plus dépendant des unités utilisées dans les entrées et les sorties. Changeons l’unité de ventes de 100$ à 1000$, ☞ Les rapports de Vente/Employé ne seront plus les mêmes, ☞ Par contre, le rapport des rapports reste invariant.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins. ☞ Comment ces magasins peuvent-ils atteindre l’efficience de B ?

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins. ☞ Comment ces magasins peuvent-ils atteindre l’efficience de B ? On dit que le magasin B est notre point de référence (Benchmark) ;

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins. ☞ Comment ces magasins peuvent-ils atteindre l’efficience de B ? On dit que le magasin B est notre point de référence (Benchmark) ; Il peut y avoir plus d’un magasin efficient, on parle alors de l’ensemble de référence ;

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins. ☞ Comment ces magasins peuvent-ils atteindre l’efficience de B ? On dit que le magasin B est notre point de référence (Benchmark) ; Il peut y avoir plus d’un magasin efficient, on parle alors de l’ensemble de référence ; Il y a plusieurs façons de conduire les magasins vers l’efficience.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins. ☞ Comment ces magasins peuvent-ils atteindre l’efficience de B ? On dit que le magasin B est notre point de référence (Benchmark) ; Il peut y avoir plus d’un magasin efficient, on parle alors de l’ensemble de référence ; Il y a plusieurs façons de conduire les magasins vers l’efficience. Réduire le nombre d’employés ;

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

☞ On constate l’inefficience de certains magasins. ☞ Comment ces magasins peuvent-ils atteindre l’efficience de B ? On dit que le magasin B est notre point de référence (Benchmark) ; Il peut y avoir plus d’un magasin efficient, on parle alors de l’ensemble de référence ; Il y a plusieurs façons de conduire les magasins vers l’efficience. Réduire le nombre d’employés ; Augmenter la vente.

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Principes de base Cas d’une entrée unique et sortie unique

4

Le segment A1 A2 représente l’amélioration possible du magasin A.

3

Cette amélioration n’implique pas l’augmentation du personnel ou la diminution des ventes.

Ventes

Prenons le cas du magasin A :

Magasin A bB

A2

2 1

b A1

bA

1

2 3 Employé

0 0

Pour A : diminuer le personnel à 1 ou augmenter la vente à 2.

b

4

F IG .: Amélioration du magasin A.

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Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

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Efficience

L’efficience =

Somme pondérée des sorties ≤1 Somme pondérée des entrées

L’efficience de l’unité j =

u1 y1j +u2 y2j +···+us ysj v1 x1j +v2 x2j +···+vm xmj ,

où

ur est la pondération donnée à la sortie r, r = 1, . . . , s. yrj est la valeur de la sortie r de l’unité j, r = 1, . . . , s, j = 1, . . . , n. vi est la pondération donnée à l’entrée i, i = 1, . . . , m. xij est la valeur de l’entrée i de l’unité j, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ?

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement Subjectivement

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement Subjectivement Objectivement

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement Subjectivement Objectivement

Il faut que le choix soit satisfaisant dans le cas général et non pas pour des cas particuliers.

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement Subjectivement Objectivement

Il faut que le choix soit satisfaisant dans le cas général et non pas pour des cas particuliers. La contribution de Charnes, Cooper et de Rhodes est :

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement Subjectivement Objectivement

Il faut que le choix soit satisfaisant dans le cas général et non pas pour des cas particuliers. La contribution de Charnes, Cooper et de Rhodes est : Reconnaître que chaque unité et chaque entrée-sortie peuvent avoir des pondérations différentes ;

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Obtention des pondérations Comment déterminer la valeur de ur et vi ? Arbitrairement Subjectivement Objectivement

Il faut que le choix soit satisfaisant dans le cas général et non pas pour des cas particuliers. La contribution de Charnes, Cooper et de Rhodes est : Reconnaître que chaque unité et chaque entrée-sortie peuvent avoir des pondérations différentes ; Que chaque unité adopte des pondérations qui la rend la plus favorable que possible vis-à-vis des autres unités.

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Obtention des pondérations

Selon CCR (Charnes, Cooper et Rhodes), l’efficience de l’unité j est la solution du problème suivant :  Maximiser l’efficience de l’unité j    Sujet à la contrainte que    toutes les autres unités possèdent une efficience ≤ 1

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Obtention des pondérations Les données numériques pour chaque entrée et sortie sont supposées positives pour tous les DMUs.

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Obtention des pondérations Les données numériques pour chaque entrée et sortie sont supposées positives pour tous les DMUs. Les variables du modèle CCR sont les pondérations et la solution donne les pondérations les plus favorables.

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Obtention des pondérations Les données numériques pour chaque entrée et sortie sont supposées positives pour tous les DMUs. Les variables du modèle CCR sont les pondérations et la solution donne les pondérations les plus favorables. Le choix des pondérations est objectif.

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Obtention des pondérations Les données numériques pour chaque entrée et sortie sont supposées positives pour tous les DMUs. Les variables du modèle CCR sont les pondérations et la solution donne les pondérations les plus favorables. Le choix des pondérations est objectif. C’est parfois les pondérations qui rendent une unité en apparence efficiente et qui n’est pas reliée aux valeurs des entrées et des sorties.

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Obtention des pondérations Les données numériques pour chaque entrée et sortie sont supposées positives pour tous les DMUs. Les variables du modèle CCR sont les pondérations et la solution donne les pondérations les plus favorables. Le choix des pondérations est objectif. C’est parfois les pondérations qui rendent une unité en apparence efficiente et qui n’est pas reliée aux valeurs des entrées et des sorties. Par contre, lorsque la solution montre une unité inefficiente, cette unité est objectivement inefficiente et ce n’est pas le choix des pondérations qui la rend inefficiente.

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Le modèle CCR Le programme fractionnaire du modèle CCR

Le programme fractionnaire CCR (PFo ) est formulé comme suit :  s X   ur yro     r=1   max θ = θ∗ = m   X   v,u  vi xio     i=1   X s (PFo ) ur yrj    r=1   ≤ 1 (j = 1, . . . , n) m  X     vi xij     i=1    v , v , . . . , vm ≥ 0   1 2 u1 , u2 , . . . , ur ≥ 0

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Le modèle CCR Du programme fractionnaire au programme linéaire

Le modèle CCR Primale s’ecrit comme suit :  s X   ∗  ur yro max θ = θ =   v,u   r=1   m  X    vi xio = 1  i=1 (PLo ) s m  X X    ur yrj ≤ vi xij (j = 1, . . . , n)     r=1 i=1    v1 , v2 , . . . , vm ≥ 0    u1 , u2 , . . . , ur ≥ 0

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Le modèle CCR Du programme fractionnaire au programme linéaire

Le programme (PLo ) s’ecrit sous la forme matricielle comme suit :  max uyo     u,v vxo = 1 (PLo )  −vX + uY ≤ 0    v ≥ 0, u ≥ 0

Où X est une matrice (m × n) et Y est une matrice (s × n). Ce modèle est appelé modèle des multiplicateurs.

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Le modèle CCR Le modèle CCR Entrée Orientation

(DPLo )

o θ λj xij yrj

 min θ   θ,λ   n  X     λj xij ≤ θxio ,           

j=1 n X

λj yrj ≥ θyro ,

i = 1...m r = 1...s

j=1

λj ≥ 0,

l’unité sous étude. objectif de la forme dual. pondérations des unités . l’entrée i de l’unité j. la sortie r de l’unité j.

j = 1...n m le nombre d’entrées. s le nombre de sorties. n le nombre d’unités.

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Le modèle CCR Le modèle CCR Entrée Orientation

La forme matricielle du modèle précédent est la suivante :  min θ     θ,λ θxo − Xλ ≥ 0 (DPLo )  Yλ ≥ yo    λ≥0

Ce modèle est appelé modèle d’enveloppement ou modèle CCR entrée-orientation.

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Le modèle CCR Les écarts du modèle CCR Entrée Orientation

Variables qui mesurent la quantité de ressources en excès et le déficit de production et qui ne contribuent pas à l’efficience de l’unité sous étude ;

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Le modèle CCR Les écarts du modèle CCR Entrée Orientation

Variables qui mesurent la quantité de ressources en excès et le déficit de production et qui ne contribuent pas à l’efficience de l’unité sous étude ; Donnent les moyens d’action pour rendre une unité efficiente (par rapport à leur groupe de référence) ;

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Le modèle CCR Les écarts du modèle CCR Entrée Orientation

Variables qui mesurent la quantité de ressources en excès et le déficit de production et qui ne contribuent pas à l’efficience de l’unité sous étude ; Donnent les moyens d’action pour rendre une unité efficiente (par rapport à leur groupe de référence) ; Montrent d’une façon objective les améliorations à apporter aux unités sous étude ;

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Les écarts du modèle CCR Entrée Orientation

Variables qui mesurent la quantité de ressources en excès et le déficit de production et qui ne contribuent pas à l’efficience de l’unité sous étude ; Donnent les moyens d’action pour rendre une unité efficiente (par rapport à leur groupe de référence) ; Montrent d’une façon objective les améliorations à apporter aux unités sous étude ; s− = θxo − Xλ ≥ 0, s+ = Yλ − yo ≥ 0, représentent les variables d’écarts des entrées et sorties respectivement.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR La méthode des deux phases

A la phase I, on résout (DPLo ), soit θ∗ sa solution optimale. La valeur de θ∗ est introduite dans la phase II suivante :  max w = es− + es+    λ,  ∗s− , s+ θ xo = Xλ + s−   yo = Yλ − s+   λ ≥ 0, s− ≥ 0, s+ ≥ 0

où e est le vecteur ligne unité tel que : m s X X + = es− = s− et es s+ r . i i=1

r=1

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR La méthode des deux phases

A la phase I, on résout (DPLo ), soit θ∗ sa solution optimale. La valeur de θ∗ est introduite dans la phase II suivante :  max w = es− + es+    λ,  ∗s− , s+ θ xo = Xλ + s−   yo = Yλ − s+   λ ≥ 0, s− ≥ 0, s+ ≥ 0

où e est le vecteur ligne unité tel que : m s X X + = es− = s− et es s+ r . i i=1

r=1

L’objectif de la phase II est de trouver une solution qui maximise la somme des excès des entrées et les déficits des sorties en posant θ = θ∗ .

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR La méthode des deux phases

Solution écart-max Une solution optimale (λ∗ , s−∗ , s+∗ ) de la phase II est appelée la solution écart-max.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR La méthode des deux phases

Solution écart-max Une solution optimale (λ∗ , s−∗ , s+∗ ) de la phase II est appelée la solution écart-max. Activité écart-nul Si la solution écart-max satisfait s−∗ = 0 et s+∗ = 0 alors elle est appelée écat-nul.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Efficience CCR

Efficience-CCR, Efficience-radiale, Efficience-technique Si une solution optimale (θ∗ , λ∗ , s−∗ , s+∗ ) des deux PLs précédents satisfait les deux conditions suivantes : (i) θ∗ = 1 et (ii) s−∗ = 0, s+∗ = 0 alors DMUo est appelé CCR efficient autrement il est appelé CCR inefficient.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Efficience CCR

Efficience-CCR, Efficience-radiale, Efficience-technique Si une solution optimale (θ∗ , λ∗ , s−∗ , s+∗ ) des deux PLs précédents satisfait les deux conditions suivantes : (i) θ∗ = 1 et (ii) s−∗ = 0, s+∗ = 0 alors DMUo est appelé CCR efficient autrement il est appelé CCR inefficient. Remarque Les conditions (i) et (ii) prises ensemble décrivent ce qui est aussi appelé Pareto Koopmans ou Forte efficience.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Concept d’efficience

Deux types possibles

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Concept d’efficience

Deux types possibles

Efficience DEA pleine Une unité est qualifiée d’efficience pleine si elle possède θ∗ = 1 et toutes les variables d’écarts s = 0.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Concept d’efficience

Deux types possibles

Efficience DEA pleine Une unité est qualifiée d’efficience pleine si elle possède θ∗ = 1 et toutes les variables d’écarts s = 0.

Efficience DEA faible Une unité est qualifiée d’efficience faible si elle possède θ∗ = 1 et un sous-ensemble de variables d’écarts s 6= 0.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR L’ensemble de référence et l’amélioration de l’efficience CCR

L’ensemble de référence Pour un DMUo inefficient, on définit son ensemble de référence Eo basé sur la solution écart-max obtenue dans les phases une et deux par : Eo = {j ∈ {1, . . . , n} / λ∗j > 0}

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

La frontière d’efficience présenté précédemment est de type rendement d’échelle constant CRS (Constant Returns to Scale).

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

La frontière d’efficience présenté précédemment est de type rendement d’échelle constant CRS (Constant Returns to Scale). Le rendement d’échelle constant signifie que les sorties s’accroient proportionnellement à l’accroissement des entrées.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle CCR Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

La frontière d’efficience présenté précédemment est de type rendement d’échelle constant CRS (Constant Returns to Scale). Le rendement d’échelle constant signifie que les sorties s’accroient proportionnellement à l’accroissement des entrées. Le modèle CCR est basé sur la propriété de « l’hypothèse du rendement d’échelle constant ».

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Le modèle BCC Entrée Orientation

Le modèle BCC introduit par Banquer, Charnes et Cooper en 1984 est une extension du modèle CCR  min θB   θB ,λ     θB xo − Xλ ≥ 0 (BCCo ) Yλ ≥ yo    eλ =1    λ≥0

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

Une unité fonctionne aux rendement d’échelles décroissants, Decrising Returns to Scale (DRS), si une augmentation proportionnelle en toutes ses entrées a comme conséquence une augmentation moins proportionnelle de ses sorties.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

Une unité fonctionne aux rendement d’échelles décroissants, Decrising Returns to Scale (DRS), si une augmentation proportionnelle en toutes ses entrées a comme conséquence une augmentation moins proportionnelle de ses sorties. Une unité fonctionne aux rendement d’échelles croissants, Incrising Returns to Scale (IRS), si une augmentation proportionnelle en toutes ses entrées a comme conséquence une augmentation plus proportionnelle de ses sorties.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

Le modèle BCC est basé sur la propriété de l’hypothèse du rendement variable à l’échelle. Frontières de production

b b

Sortie

b

b b

Ensemble des possibilités de production

b

Entrée

F IG .: Frontières de production du modèle BCC.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

Le rendement croissant à l’échelle se produit dans le premier segment.

Frontières de production

b b

Sortie

b

b b

Ensemble des possibilités de production

b

Entrée

F IG .: Frontières de production du modèle BCC.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

Le rendement décroissant à l’échelle se produit dans le deuxième segment. Frontières de production

b b

Sortie

b

b b

Ensemble des possibilités de production

b

Entrée

F IG .: Frontières de production du modèle BCC.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Rendement d’échelle (RTS-Returns to Scale)

Le rendement à l’échelle constant se produit dans le deuxième segment au point de la transition du premier segment vers le deuxieme segment. Frontières de production

b b

Sortie

b

b b

Ensemble des possibilités de production

b

Entrée

F IG .: Frontières de production du modèle BCC.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC Efficience BCC

Efficience BCC Soit une solution optimale (θB∗ , λ∗ , s−∗ , s+∗ ) où s−∗ et s+∗ sont les variables obtenues dans la procédure des deux phases pour (BCCo ). Si (BCCo ) satisfait θB∗ = 1 et n’a pas d’écart (s−∗ = 0, s+∗ = 0) alors DMUo est appelé (BCC0 ) efficient, sinon il est (BCC0 ) inefficient.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle BCC L’ensemble de référence et l’amélioration de l’efficience BCC

L’ensemble de référence Pour un DMUo , BCCo inefficient, on définie son ensemble de référence Eo basé sur la solution optimale λ∗ par : Eo = {j/λ∗j > 0}, j ∈ {1, . . . , n}

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle additif Le modèle additif de base

Le modèle additif est formulé comme suit :  max Z = es− + es+   − ,s+ λ,s     Xλ + s− = xo (ADDo ) Yλ − s+ = yo    eλ = 1    λ ≥ 0, s− ≥ 0, s+ ≥ 0

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle additif Le modèle additif de base

Sortie

La figure suivante montre comment le DMUD pourrait être évalué. 7 6 5 4 3 2 1 0

Cb Bb s+ b

b

A

s− D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Entrée F IG .: Le modèle additif

On représente les écarts s− et s+ du DMUD par des flèches et la valeur maximale de la somme s− + s+ est atteinte en B. Ce modèle prend en considération les excès d’entrées et les insuffisances des sorties simultanément.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle additif Efficience ADD

DMU ADD Efficient DMUo est ADD efficient si et seulement si : s−∗ = 0 et s+∗ = 0.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle SBM

(SBMo )

           

m X 1− s− i /xio 1 m

min

λ, s− , s+

ρ=

i=1

1+

1 s

s X

 r=1     xo = Xλ + s−     y = Yλ − s+   o λ ≥ 0, s− ≥ 0, s+ ≥ 0

s+ r /yro

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle SBM Efficience SBM

Efficience SBM Un DMU au point (xo , yo ) est SBM efficient si et seulement si ρ∗ = 1. Cette condition est équivalente à s−∗ = 0 et s+∗ = 0. C’est-à-dire que dans la solution optimale il n’y a pas d’excès dans les entrées et des déficits dans les sorties.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

En DEA, il ya deux types d’approches ou mesures : radiale et non radiale.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

En DEA, il ya deux types d’approches ou mesures : radiale et non radiale. Soient quatre entrées x1 , x2 , x3 et x4 , où x1 et x2 sont radiaux, et x3 et x4 sont non radiaux .

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

En DEA, il ya deux types d’approches ou mesures : radiale et non radiale. Soient quatre entrées x1 , x2 , x3 et x4 , où x1 et x2 sont radiaux, et x3 et x4 sont non radiaux . (x1 , x2 ) sont sujets au changement proportionnellement comme (αx1 , αx2 ) (α > 0).

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

En DEA, il ya deux types d’approches ou mesures : radiale et non radiale. Soient quatre entrées x1 , x2 , x3 et x4 , où x1 et x2 sont radiaux, et x3 et x4 sont non radiaux . (x1 , x2 ) sont sujets au changement proportionnellement comme (αx1 , αx2 ) (α > 0). x3 et x4 sont sujets au changement non radialement.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

En DEA, il ya deux types d’approches ou mesures : radiale et non radiale. Soient quatre entrées x1 , x2 , x3 et x4 , où x1 et x2 sont radiaux, et x3 et x4 sont non radiaux . (x1 , x2 ) sont sujets au changement proportionnellement comme (αx1 , αx2 ) (α > 0). x3 et x4 sont sujets au changement non radialement.

De façon analogue, les sorties peuvent être divisée en sorties radiales et non radiales.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

Remarque L’approche ou la mesure radiale est représentée par les modèles CCR et BCC.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

Remarque L’approche ou la mesure radiale est représentée par les modèles CCR et BCC. L’approche non radiale SBM traite les écarts directement.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

Remarque L’approche ou la mesure radiale est représentée par les modèles CCR et BCC. L’approche non radiale SBM traite les écarts directement. L’approche Hybride intègre l’approche radiale et non radiale simultanément.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride m×n Soit X ∈ R+ et Y ∈ Rs×n + les matrices des données des entrées et sorties respectivement.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride m×n Soit X ∈ R+ et Y ∈ Rs×n + les matrices des données des entrées et sorties respectivement.

On décompose la matrice X en deux parties : m1 ×n m2 ×n la partie radiale X R ∈ R+ et la partie non radiale X NR ∈ R+ avec m = m1 + m2 comme suit :  R  X X= X NR

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride m×n Soit X ∈ R+ et Y ∈ Rs×n + les matrices des données des entrées et sorties respectivement.

On décompose la matrice X en deux parties : m1 ×n m2 ×n la partie radiale X R ∈ R+ et la partie non radiale X NR ∈ R+ avec m = m1 + m2 comme suit :  R  X X= X NR On décompose également la matrice Y en deux parties : s1 ×n s2 ×n La partie radiale Y R ∈ R+ et la partie non radiale Y NR ∈ R+ avec s = s1 + s2 comme suit :  R  Y Y= Y NR

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride

Pour un DMU(xo , yo ) = (xoR , xoNR , yRo , yNR o ), on a :  R θxo = X R λ + sR−       xoNR = X NR λ + sNR−  φyRo = Y R λ − sR+      NR yo = Y NR λ − sNR+

Avec θ ≤ 1, φ ≥ 1, sR− ≥ 0, sNR− ≥ 0, sR+ ≥ 0, sNR+ ≥ 0.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride Le modèle Hybride est le suivant :  m2 X  m1 NR  1  siNR− /xio 1− m (1−θ)− m     i=1  ρ=  s2  X   s1 1  (φ−1)+ sNR+ /yNR 1+  r ro s s  r=1 (Hybride) θxoR ≥ X R λ     xoNR = X NR λ + sNR−      φyRo ≤ Y R λ     yNR = Y NR λ − sNR+   o θ ≤ 1, φ ≥ 1, λ ≥ 0, sNR− ≥ 0, sNR+ ≥ 0

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le modèle Hybride Efficience Hybride

Soit (θ∗ , φ∗ , λ∗ , sNR−∗ , sNR+∗ ) une solution optimale pour le programme (Hybride), alors on a le théorème suivant : Théorème Le DMU(xo , yo ) est Hybride-efficient ssi ρ∗ = 1, c’est-à-dire θ∗ = 1, φ∗ = 1, sNR∗− = 0, sNR∗+ = 0.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD L’exemple suivant nous expose 8 DMUs chacun avec une entrée et une sortie. DMU A B C D E F G H

Entrée x 2 3 2 4 6 5 6 8

Sortie y 1 3 2 3 5 2 3 5

BCC θ∗ 1 1 1 0.75 1 0.40 0.50 0.75

Modèle Additif s−∗ s+∗ Réf 0 1 C 0 0 B 0 0 C 1 0 B 0 0 E 3 0 C 3 0 B 2 0 E

TAB .: La comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD Etude critique

Les DMUs B, C et E sont pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD Etude critique

Les DMUs B, C et E sont pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD. La variable d’écart (s+∗ = 1) pour A montre qu’il n’est pas pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD, donc A est faiblement efficient avec θ∗ = 1.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD Etude critique

Les DMUs B, C et E sont pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD. La variable d’écart (s+∗ = 1) pour A montre qu’il n’est pas pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD, donc A est faiblement efficient avec θ∗ = 1. A est dans une partie de la frontière d’efficience qui n’est pas efficiente.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD Etude critique

Les DMUs B, C et E sont pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD. La variable d’écart (s+∗ = 1) pour A montre qu’il n’est pas pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD, donc A est faiblement efficient avec θ∗ = 1. A est dans une partie de la frontière d’efficience qui n’est pas efficiente.

Tous les DMUs avec (θ∗ < 1) montrent que ces derniers n’atteignent pas la frontière d’efficience et l’on remarque que tous les écarts (s+∗ ) sont nuls.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD Etude critique

Les DMUs B, C et E sont pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD. La variable d’écart (s+∗ = 1) pour A montre qu’il n’est pas pleinement efficient pour les deux modèles BCC et ADD, donc A est faiblement efficient avec θ∗ = 1. A est dans une partie de la frontière d’efficience qui n’est pas efficiente.

Tous les DMUs avec (θ∗ < 1) montrent que ces derniers n’atteignent pas la frontière d’efficience et l’on remarque que tous les écarts (s+∗ ) sont nuls. ☞ ADD est plus explicite que BCC.

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Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM DMU A B C D E F G H

x1 4 7 8 4 2 10 12 10

données x2 3 3 1 2 4 1 1 1.5

DMU A B C D E F G H

y 1 1 1 1 1 1 1 1

CCR θ∗ 0.8571 0.6316 1 1 1 1 1 0.75

ρ∗ = ρ∗ I 0.833 0.619 1 1 1 0.9 0.833 0.733

BCC θB∗ 0.8571 0.6316 1 1 1 1 1 0.9091

Réf D D C D E C C C

SBM s−∗ 1 0 3 0 0 0 2 4 2

s−∗ 1 0.0760 3.0909 0 0 0 2 4 4

s−∗ 2 1 1 0 0 0 0 0 0.5

ADD s−∗ 2 0.9240 0.9091 0 0 0 0 0 0

s+∗ 0 0 0 0 0 0 0 0

s+∗ 0 0 0 0 0 0 0 0

TAB .: Les données et résultats de CCR, BCC, ADD et SBM

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Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD

Etude critique Les DMUs C, D et E sont pleinement efficients pour les deux −∗ +∗ modèles BCC et ADD car (θ∗ = 1) et les écarts s−∗ 1 , s2 , s sont nuls pour les trois DMUs.

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Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD

Etude critique Les DMUs C, D et E sont pleinement efficients pour les deux −∗ +∗ modèles BCC et ADD car (θ∗ = 1) et les écarts s−∗ 1 , s2 , s sont nuls pour les trois DMUs. Les DMUs A, B et H, avec (θ∗ < 1) sont inefficients à cause des −∗ −∗ écarts s−∗ 1 = 0.0760, s2 = 0.9240 pour A, s1 = 3.0909, −∗ s−∗ 2 = 0.9091 pour B et s1 = 4 pour H.

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Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD

Etude critique Les DMUs C, D et E sont pleinement efficients pour les deux −∗ +∗ modèles BCC et ADD car (θ∗ = 1) et les écarts s−∗ 1 , s2 , s sont nuls pour les trois DMUs. Les DMUs A, B et H, avec (θ∗ < 1) sont inefficients à cause des −∗ −∗ écarts s−∗ 1 = 0.0760, s2 = 0.9240 pour A, s1 = 3.0909, −∗ s−∗ 2 = 0.9091 pour B et s1 = 4 pour H. ∗ Les DMUs F, G avec (θ = 1) montrent qu’ils ne sont pas pleinement efficients pour les deux modèles BCC et ADD à −∗ cause de l’écart s−∗ 1 = 2 pour F et s1 = 4 pour G donc F et G sont faiblement efficients.

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Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM Comparaison entre le modèle BCC et le modèle ADD

Etude critique Les DMUs C, D et E sont pleinement efficients pour les deux −∗ +∗ modèles BCC et ADD car (θ∗ = 1) et les écarts s−∗ 1 , s2 , s sont nuls pour les trois DMUs. Les DMUs A, B et H, avec (θ∗ < 1) sont inefficients à cause des −∗ −∗ écarts s−∗ 1 = 0.0760, s2 = 0.9240 pour A, s1 = 3.0909, −∗ s−∗ 2 = 0.9091 pour B et s1 = 4 pour H. ∗ Les DMUs F, G avec (θ = 1) montrent qu’ils ne sont pas pleinement efficients pour les deux modèles BCC et ADD à −∗ cause de l’écart s−∗ 1 = 2 pour F et s1 = 4 pour G donc F et G sont faiblement efficients. Ces deux DMUs sont dans une partie de la frontière d’efficience qui n’est pas efficiente.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM Comparaison entre le modèle BCC et le modèle CCR

Etude critique Ces deux modèles possèdent les mêmes variables mais le modèle BCC possède une contrainte de plus qui est eλ = 1.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre les modèle CCR, BCC, ADD et SBM Comparaison entre le modèle BCC et le modèle CCR

Etude critique Ces deux modèles possèdent les mêmes variables mais le modèle BCC possède une contrainte de plus qui est eλ = 1. D’après le tableau précédent, tous les DMUs excepté H atteignent le même score d’efficience pour les deux modèles, on remarque une augmentation de la mesure BCC pour H (θB∗ = 0.9091), cela est due à la contrainte de convexité eλ = 1.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

La comparaison entre les modèles Hybride, CCR et SBM

DMU A B C D E F

Radiale x1 x2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2

Entrée Non-radiale x3 1 1 2 1 1 2

Sortie Radiale Non-radiale y1 y2 y3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0.50 0.50 0.50 1

Score de l’efficacité Hybride CCR SBM 1 1 1 1 1 0.83 0.83 1 0.62 0.75 1 0.60 0.5 1 0.43 0.15 0.25 0.15

TAB .: La comparaison entre les modèles Hybride, CCR et SBM

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le DMUA est la seule superstar dans le sens que les autres DMUs ont des excès d’entrées ou des déficits de sorties par rapport à A.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le DMUA est la seule superstar dans le sens que les autres DMUs ont des excès d’entrées ou des déficits de sorties par rapport à A. La mesure non radiale SBM capture ces inconvénients de façon efficace et donne le score unité pour une pleine efficience seulement pour le DMUA tandis que les autres DMUs sont jugés inefficients.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le DMUA est la seule superstar dans le sens que les autres DMUs ont des excès d’entrées ou des déficits de sorties par rapport à A. La mesure non radiale SBM capture ces inconvénients de façon efficace et donne le score unité pour une pleine efficience seulement pour le DMUA tandis que les autres DMUs sont jugés inefficients. Le modèle radiale CCR néglige ces écarts et attribue le score unité de la pleine efficience pour tous les DMUs sauf F.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le DMUA est la seule superstar dans le sens que les autres DMUs ont des excès d’entrées ou des déficits de sorties par rapport à A. La mesure non radiale SBM capture ces inconvénients de façon efficace et donne le score unité pour une pleine efficience seulement pour le DMUA tandis que les autres DMUs sont jugés inefficients. Le modèle radiale CCR néglige ces écarts et attribue le score unité de la pleine efficience pour tous les DMUs sauf F. Par exemple le DMUB a 1 unité en excès en (x2 ) par rapport à A, toutefois B a x1 = x3 = 1 et y1 = y2 = y3 = 2 qui sont les même que la superstar A, par conséquent cet excès est négligé et B a le statut d’un DMU CCR efficient.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le DMUA est la seule superstar dans le sens que les autres DMUs ont des excès d’entrées ou des déficits de sorties par rapport à A. La mesure non radiale SBM capture ces inconvénients de façon efficace et donne le score unité pour une pleine efficience seulement pour le DMUA tandis que les autres DMUs sont jugés inefficients. Le modèle radiale CCR néglige ces écarts et attribue le score unité de la pleine efficience pour tous les DMUs sauf F. Par exemple le DMUB a 1 unité en excès en (x2 ) par rapport à A, toutefois B a x1 = x3 = 1 et y1 = y2 = y3 = 2 qui sont les même que la superstar A, par conséquent cet excès est négligé et B a le statut d’un DMU CCR efficient. Les DMUs C, D et E sont CCR efficients par le même raisonnement, c’est une des caractéristiques remarquables des modèles radiaux.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le DMUA est la seule superstar dans le sens que les autres DMUs ont des excès d’entrées ou des déficits de sorties par rapport à A. La mesure non radiale SBM capture ces inconvénients de façon efficace et donne le score unité pour une pleine efficience seulement pour le DMUA tandis que les autres DMUs sont jugés inefficients. Le modèle radiale CCR néglige ces écarts et attribue le score unité de la pleine efficience pour tous les DMUs sauf F. Par exemple le DMUB a 1 unité en excès en (x2 ) par rapport à A, toutefois B a x1 = x3 = 1 et y1 = y2 = y3 = 2 qui sont les même que la superstar A, par conséquent cet excès est négligé et B a le statut d’un DMU CCR efficient. Les DMUs C, D et E sont CCR efficients par le même raisonnement, c’est une des caractéristiques remarquables des modèles radiaux.

Le modèle Hybride donne un score entre CCR et SBM, il relève les excès et insuffisances non radiales.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Considérant le programme linéaire multi-objectif en nombres entiers (MOILP) suivant :  Q X     max crq wq , r = 1, . . . , s     q=1 Q (MOILP) X   aiq wq ≤ bi , i = 1, . . . , m     q=1   wq ∈ N, q = 1, . . . , Q

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Considérant le programme linéaire multi-objectif en nombres entiers (MOILP) suivant :  Q X     max crq wq , r = 1, . . . , s     q=1 Q (MOILP) X   aiq wq ≤ bi , i = 1, . . . , m     q=1   wq ∈ N, q = 1, . . . , Q On suppose que (MOILP) possède un nombre finie n de solutions réalisables désignées par : Wj = (wqj )q=1,...,Q , (j = 1, . . . , n).

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Chaque DMU est désigné par Wj , j ∈ {1, . . . , n}.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Chaque DMU est désigné par Wj , j ∈ {1, . . . , n}. Wj est caractérisé par :

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Chaque DMU est désigné par Wj , j ∈ {1, . . . , n}. Wj est caractérisé par : xij =

Q X

aiq wq , (i = 1, . . . , m) qui est le vecteur d’entrées

q=1

variables de dimension m.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Chaque DMU est désigné par Wj , j ∈ {1, . . . , n}. Wj est caractérisé par : xij =

Q X

aiq wq , (i = 1, . . . , m) qui est le vecteur d’entrées

q=1

variables de dimension m. Q X crq wq , (r = 1, . . . , s) qui est le vecteur des sorties yij = q=1

variables de dimension s.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Le problème multi-objectif Chaque DMU est désigné par Wj , j ∈ {1, . . . , n}. Wj est caractérisé par : xij =

Q X

aiq wq , (i = 1, . . . , m) qui est le vecteur d’entrées

q=1

variables de dimension m. Q X crq wq , (r = 1, . . . , s) qui est le vecteur des sorties yij = q=1

variables de dimension s.

On présente par Wo , o ∈ {1, . . . , n}, le DMU sous évaluation par le modèle BCC.

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Le modèle BCC Entrée Orientation (EO)  m s X X ′ (o)  (o)   min h = w − ǫ( s + s r ) o o  i    i=1 r=1   n  X  (o) (o)   λj xij − si = 0, i = 1, . . . , m wo xio −     j=1  n X (o) ′ (o) (EO) λj yrj − sr = yro , r = 1, . . . , s     j=1    n  X  (o)   λj = 1     j=1    (o) ′ (o) (o) si , sr , λj ≥ 0, ∀i, r, j.

Avec ǫ un petit nombre positive arbitraire et wo est une variable libre.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Les solutions optimales du problème MOILP Définition Wo (o = 1, . . . , n) est une solution Pareto optimale de (MOILP), s’il n’existe aucune autre solution réalisable Wj tels que : yj ≥ yo et yj 6= yo ...(i)

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Les solutions optimales du problème MOILP Définition Wo (o = 1, . . . , n) est une solution Pareto optimale de (MOILP), s’il n’existe aucune autre solution réalisable Wj tels que : yj ≥ yo et yj 6= yo ...(i) Définition Une solution Wo est une solution Pareto optimale supportée de (MOILP) s’il n’existe aucun  n   X λj = 1 t.q. : λ ∈ Λ = λ ∈ Rn /λj ≥ 0, ∀j,   j=1

n n X X λj yj ≥ yo et λj yj 6= yo ...(ii) j=1

j=1

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Les solutions optimales du problème MOILP Définition Une solution Wo est une solution Pareto optimale supportée extrême n X de (MOILP) s’il n’existe aucun λ ∈ Λ\Λ t.q. : λj yj ≥ yo , j=1

où Λ est défini par : Λ =

  

λ/λ ∈ {0, 1}n ,

n X j=1

  λj = 1 . 

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Les solutions optimales du problème MOILP Définition Une solution Wo est une solution Pareto optimale supportée extrême n X de (MOILP) s’il n’existe aucun λ ∈ Λ\Λ t.q. : λj yj ≥ yo , j=1

où Λ est défini par : Λ =

  

λ/λ ∈ {0, 1}n ,

n X j=1

  λj = 1 . 

Définition Les solutions Pareto optimales non-supportées sont celles qui ne sont pas supportées c’est-à-dire la condition (i) est satisfaite mais pas (ii).

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Les solutions optimales du problème MOILP Définition Wo est un DMU BCC efficient (Entrée orientation) si la solution optimale du problème (EO) est telle que : ∗(o) h∗o = 1(= w∗o ) et si = 0 ′ ∗ (o) = 0, ∀r. ∀i, sr

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Les solutions optimales du problème MOILP Définition Wo est un DMU BCC efficient (Entrée orientation) si la solution optimale du problème (EO) est telle que : ∗(o) h∗o = 1(= w∗o ) et si = 0 ′ ∗ (o) = 0, ∀r. ∀i, sr

Définition Wo est un DMU BCC faiblement efficient, s’il n’existe aucun λ ∈ Λ tel que : n X λj (yj , −xj )T > (yo , −xo )T et j=1

n X j=1

λj (yj , −xj )T 6= (yo , −xo )T .

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Les solutions optimales du problème MOILP Définition Wo est un DMU BCC efficient (Entrée orientation) si la solution optimale du problème (EO) est telle que : ∗(o) h∗o = 1(= w∗o ) et si = 0 ′ ∗ (o) = 0, ∀r. ∀i, sr

Définition Wo est un DMU BCC faiblement efficient, s’il n’existe aucun λ ∈ Λ tel que : n X λj (yj , −xj )T > (yo , −xo )T et j=1

n X

λj (yj , −xj )T 6= (yo , −xo )T .

j=1

Théorème Wo est un DMU BCC efficient, s’il n’existe aucun λ ∈ Λ tel que : n n X X λj (yj , −xj )T 6= (yo , −xo )T . λj (yj , −xj )T ≥ (yo , −xo )T et j=1

j=1

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Les solutions optimales du problème MOILP Exemple

Considérant le problème MOILP suivant :  max 3w1 + 9w2      max 4w1 + 2w2 2w1 + 3w2 ≤ 6   w − 2w2 ≥ −2    1 w1 , w2 ∈ N

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Les solutions optimales du problème MOILP Exemple

Considérant le problème MOILP suivant :  max 3w1 + 9w2      max 4w1 + 2w2 2w1 + 3w2 ≤ 6   w − 2w2 ≥ −2    1 w1 , w2 ∈ N

Ce problème possède six solutions réalisables : W1 = (0, 0), W2 = (0, 1), W3 = (1, 0), W4 = (2, 0), W5 = (3, 0) et W6 = (1, 1).

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Les solutions optimales du problème MOILP Exemple

Considérant le problème MOILP suivant :  max 3w1 + 9w2      max 4w1 + 2w2 2w1 + 3w2 ≤ 6   w − 2w2 ≥ −2    1 w1 , w2 ∈ N

Ce problème possède six solutions réalisables : W1 = (0, 0), W2 = (0, 1), W3 = (1, 0), W4 = (2, 0), W5 = (3, 0) et W6 = (1, 1). Elles sont représentées dans l’espace des objectifs par les points : y1 = (0, 0), y2 = (9, 2), y3 = (3, 4), y4 = (6, 8), y5 = (9, 12) et y6 = (12, 6).

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Les solutions optimales du problème MOILP Exemple

Considérant le problème MOILP suivant :  max 3w1 + 9w2      max 4w1 + 2w2 2w1 + 3w2 ≤ 6   w − 2w2 ≥ −2    1 w1 , w2 ∈ N

Ce problème possède six solutions réalisables : W1 = (0, 0), W2 = (0, 1), W3 = (1, 0), W4 = (2, 0), W5 = (3, 0) et W6 = (1, 1). Elles sont représentées dans l’espace des objectifs par les points : y1 = (0, 0), y2 = (9, 2), y3 = (3, 4), y4 = (6, 8), y5 = (9, 12) et y6 = (12, 6).

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre l’efficience BCC et l’optimalité Pareto de MOILP Théorème Si Wo est une solution Pareto optimale extrême supportée de (MOILP) et s’il n’existe pas d’autres solutions Wj t.q. : yj = yo et −xj ≥ −xo , alors (xo , yo )T est un DMU BCC efficient.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Comparaison entre l’efficience BCC et l’optimalité Pareto de MOILP Théorème Si Wo est une solution Pareto optimale extrême supportée de (MOILP) et s’il n’existe pas d’autres solutions Wj t.q. : yj = yo et −xj ≥ −xo , alors (xo , yo )T est un DMU BCC efficient. Théorème Si Wo est une solution Pareto optimale supportée de (MOILP) et s’il n’existe pas d’autres solutions Wj t.q. : yj = yo et −xj ≥ −xo , alors (xo , yo )T est un DMU BCC faiblement efficient.

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Plan 1

Introduction

2

Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ?

3

Les modèles d’évaluation de la performance

4

Etude comparative entre les méthodes de DEA

5

La relation entre DEA et le multi-objectif

6

Conclusion et perspectives

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Conclusion

Une étude de quelques méthodes d’approche de DEA a été réalisée ;

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Conclusion

Une étude de quelques méthodes d’approche de DEA a été réalisée ; L’étude comparative entre les méthodes de DEA nous a montré les points forts et faibles de chaque méthode ;

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Conclusion

Une étude de quelques méthodes d’approche de DEA a été réalisée ; L’étude comparative entre les méthodes de DEA nous a montré les points forts et faibles de chaque méthode ; Nous avons présenté la relation entre l’optimalité Pareto en MOILP et l’efficience en DEA.

Introduction Qu’est ce que Data Envelopment Analysis (DEA) ? Les modèles d’évaluation de la performance Etude comparative entre les méthodes de DEA La relation entre DEA et le multi-objectif Conclusion et perspectives

Perspectives

Ce travail, ouvre des perspectives de recherches intéressantes parmi lesquelles : Une étude comparative des méthodes existantes dans la littérature de DEA serait faite ;

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Perspectives

Ce travail, ouvre des perspectives de recherches intéressantes parmi lesquelles : Une étude comparative des méthodes existantes dans la littérature de DEA serait faite ; La relation entre l’optimalité Pareto en MOILP et DEA, peut être utilisée dans le futur comme pour désigner un algorithme qui génère les solutions Pareto optimales de MOILP.

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