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Espacios normados, espacios m´etricos y espacios eucl´ıdeos ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

¿Y c´omo comenzar el curso? f : R2 7→ R,

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z = f (x, y ).

Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

¿Y c´omo comenzar el curso? f : R2 7→ R, lim

z = f (x, y ). f (x, y ) =?

(x,y )→(0,0)

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Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

¿Y c´omo comenzar el curso? f : R2 7→ R, lim

z = f (x, y ). f (x, y ) =?

(x,y )→(0,0)

Ejemplo 1. Sea  2  x − y2 , si (x, y ) 6= (0, 0), f (x, y ) = x2 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0).

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Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

¿Y c´omo comenzar el curso? f : R2 7→ R, lim

z = f (x, y ). f (x, y ) =?

(x,y )→(0,0)

Ejemplo 1. Sea  2  x − y2 , si (x, y ) 6= (0, 0), f (x, y ) = x2 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0). Si elegimos y = αx, α 6= 0, con x → 0, est´a claro que f (x, αx) = (1 − α2 )/(1 + α2 ) que depende de la direcci´on que tomemos, luego no existe el l´ımite de f (x, y ) cuando (x, y ) → (0, 0). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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¿Y c´omo comenzar el curso?

lim

f (x, y ) =?

(x,y )→(0,0)

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¿Y c´omo comenzar el curso?

lim

f (x, y ) =?

(x,y )→(0,0)

Ejemplo 2. Sea la funci´ on   x 2y , si (x, y ) 6= (0, 0), f (x, y ) = x4 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0), y calculemos limx→0 f (x, αx) = 0 para todo α, α 6= 0, . . .

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¿Y c´omo comenzar el curso?

lim

f (x, y ) =?

(x,y )→(0,0)

Ejemplo 2. Sea la funci´ on   x 2y , si (x, y ) 6= (0, 0), f (x, y ) = x4 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0), y calculemos limx→0 f (x, αx) = 0 para todo α, α 6= 0, . . . ¿Qu´e ocurre si elegimos y = x 2 ? f (x, x 2 ) = 1/2 6= 0, luego no existe el l´ımite de f (x, y ) cuando (x, y ) → (0, 0). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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¿Y c´omo comenzar el curso? ¿Y ahora qu´e?

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¿Y c´omo comenzar el curso? ¿Y ahora qu´e? Ejemplo 3.   |x|3/2 y , si (x, y ) 6= (0, 0), 2 + y2 f (x, y ) = x  0, si (x, y ) = (0, 0). Teniendo en cuenta que 2|xy | ≤ x 2 + y 2 cualesquiera sean x, y ∈ R, tenemos x 3/2 y 1 1/2 1/2 |xy | ≤ |x| → 0 0≤ 2 = |x| 2 2 2 x + y x +y 2 cuando (x, y ) → (0, 0).

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¿Y c´omo comenzar el curso? ¿Y ahora qu´e? Ejemplo 3.   |x|3/2 y , si (x, y ) 6= (0, 0), 2 + y2 f (x, y ) = x  0, si (x, y ) = (0, 0). Teniendo en cuenta que 2|xy | ≤ x 2 + y 2 cualesquiera sean x, y ∈ R, tenemos x 3/2 y 1 1/2 1/2 |xy | ≤ |x| → 0 0≤ 2 = |x| 2 2 2 x + y x +y 2 cuando (x, y ) → (0, 0). Luego deber´ıamos tener

lim

f (x, y ) = 0.

(x,y )→(0,0) ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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¿Y c´omo comenzar el curso? ¿Y ahora qu´e? Ejemplo 3.   |x|3/2 y , si (x, y ) 6= (0, 0), 2 + y2 f (x, y ) = x  0, si (x, y ) = (0, 0). Teniendo en cuenta que 2|xy | ≤ x 2 + y 2 cualesquiera sean x, y ∈ R, tenemos x 3/2 y 1 1/2 1/2 |xy | ≤ |x| → 0 0≤ 2 = |x| 2 2 2 x + y x +y 2 cuando (x, y ) → (0, 0). Luego deber´ıamos tener

lim (x,y )→(0,0)

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f (x, y ) = 0. ????? Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

¡Necesitamos formalizar estos l´ımites! ⇓ Espacios m´ etricos, normados y eucl´ıdeos

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Espacios vectoriales Definici´on Sea V un conjunto de elementos sobre el cual est´an definidas las operaciones suma “+” de dos elementos x, y de V y multiplicaci´on “·” de un escalar (n´ umero real) α por un elemento de V . V es un espacio vectorial si 1 ∀x, y ∈ V , el vector suma, w = x + y ∈ V y se cumple que: 1 2 3 4

2

x +y =y +x (x + y ) + z = x + (y + z) Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x Cualquiera sea el vector x de V , existe el elemento (−x) “opuesto” a x, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.

∀x ∈ V , el vector w = α · x ∈ V y se cumple que: 1 2 3 4

α · (x + y ) = α · x + α · y (α + β) · x = α · x + β · x α · (β · x) = (αβ) · x 1·x =x

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Ejemplos de espacios vectoriales

1

2

El conjunto de los vectores de Rn cuando la suma de dos vectores y la multiplicaci´ on por un escalar es la est´andard.

El conjunto Rm×n de las matrices m × n cuando la suma de dos matrices y la multiplicaci´ on por un escalar es la est´andard.

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Subespacios vectoriales Definici´on Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´on “·” que V .

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Subespacios vectoriales Definici´on Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´on “·” que V . Ejemplos. 1

Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como u ´nico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial).

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Subespacios vectoriales Definici´on Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´on “·” que V . Ejemplos. 1

2

Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como u ´nico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial). Sea k ≤ n. En conjunto V = {(x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ∈ Rn es un subespacio vectorial de Rn .

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Subespacios vectoriales Definici´on Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´on “·” que V . Ejemplos. 1

2

3

Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como u ´nico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial). Sea k ≤ n. En conjunto V = {(x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ∈ Rn es un subespacio vectorial de Rn . El conjunto de vectores de Rn tales que α1 x1 + · · · + αn xn = 0, α1 , . . . , αn ∈ R. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H.

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Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H. Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R, se le denomina combinaci´ on lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp . Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V

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Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H. Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R, se le denomina combinaci´ on lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp . Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V Teorema span (v1 , v2 , ..., vp ) es un subespacio vectorial de V . Dicho subespacio vectorial com´ unmente se denomina subespacio generado por los vectores v1 , v2 , ..., vp . ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Conjuntos linealmente independientes Definici´on Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´on vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0,

x1 , x2 , · · · , xp ∈ R

tiene como u ´nica soluci´ on la trivial x1 = · · · = xp = 0.

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Conjuntos linealmente independientes Definici´on Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´on vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0,

x1 , x2 , · · · , xp ∈ R

tiene como u ´nica soluci´ on la trivial x1 = · · · = xp = 0. Definici´on Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp se denomina linealmente dependiente si existen x1 , x2 , · · · , xp ∈ R no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaci´ on vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Importancias de los vectores li: Bases Definici´on Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V .

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Importancias de los vectores li: Bases Definici´on Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible n × n, son li y adem´as Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto B = a1 , ..., an es una base de Rn .

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Importancias de los vectores li: Bases Definici´on Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible n × n, son li y adem´as Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base can´ onica de Rn . ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V .

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial.

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´ on 0.

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´ on 0. ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensi´on infinita: dim V = ∞. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´ on 0. ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensi´on infinita: dim V = ∞. Ejemplos: dim Rn = n,

dim C[a,b] = ∞.

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Espacios normados y espacios m´etricos Definici´on Un espacio m´etrico es un par (X, ρ) donde X es un conjunto y ρ := ρ(x, y ) es una funci´ on real (univaluada) no negativa definida para todos x, y , z ∈ X tal que 1

ρ(x, y ) = 0 ⇐⇒ x = y ,

2

ρ(x, y ) = ρ(y , x),

3

ρ(x, z) ≤ ρ(x, y ) + ρ(y , z).

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Espacios normados y espacios m´etricos Definici´on Un espacio m´etrico es un par (X, ρ) donde X es un conjunto y ρ := ρ(x, y ) es una funci´ on real (univaluada) no negativa definida para todos x, y , z ∈ X tal que 1

ρ(x, y ) = 0 ⇐⇒ x = y ,

2

ρ(x, y ) = ρ(y , x),

3

ρ(x, z) ≤ ρ(x, y ) + ρ(y , z).

Si escogemos X = Rn , es decir el espacio de las n-tuplas x = (x1 , x2 , . . . , xn ) con la m´etrica v u n uX ρ(x, y ) = t |xk − yk |2 , k=1

obtenemos un espacio m´etrico. Esta m´etrica se suele denominar m´etrica eucl´ıdea. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios m´etricos

Ejercicio: Probar que Rn con la p-m´etrica ρ(x, y ) =

n X

!1/p p

|xk − yk |

,

p ≥ 1,

k=1

es un espacio m´etrico.

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Espacios m´etricos

Ejercicio: Probar que Rn con la p-m´etrica ρ(x, y ) =

n X

!1/p p

|xk − yk |

,

p ≥ 1,

k=1

es un espacio m´etrico. Idea: 1. Probar que para todos u, v ≥ 0 y 1 ≤ p < +∞ se tiene  (u + v )p = inf t 1−p u p + (1 − t)1−p v p ; u, v ≥ 0, 0 < t < 1 . t∈(0,1)

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Espacios m´etricos

Ejercicio: Probar que Rn con la p-m´etrica ρ(x, y ) =

n X

!1/p p

|xk − yk |

,

p ≥ 1,

k=1

es un espacio m´etrico. Idea: 1. Probar que para todos u, v ≥ 0 y 1 ≤ p < +∞ se tiene  (u + v )p = inf t 1−p u p + (1 − t)1−p v p ; u, v ≥ 0, 0 < t < 1 . t∈(0,1)

2. |xi + yi |p ≤ (|xi | + |yi |)p = · · ·

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Espacios normados Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

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Espacios normados Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

Si en un espacio normado X definimos ρ(x, y ) = kx − y k, esta define a X como espacio m´etrico, i.e., todo espacio normado es un espacio m´etrico. A ρ se denomina m´etrica inducida por la norma.

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Espacios normados Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

Si en un espacio normado X definimos ρ(x, y ) = kx − y k, esta define a X como espacio m´etrico, i.e., todo espacio normado es un espacio m´etrico. A ρ se denomina m´etrica inducida por la norma. Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = espacio normado. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

p Pn p

p k=1 |xk | ,

p = 2 es un

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Espacios normados Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

Si en un espacio normado X definimos ρ(x, y ) = kx − y k, esta define a X como espacio m´etrico, i.e., todo espacio normado es un espacio m´etrico. A ρ se denomina m´etrica inducida por la norma. Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = espacio normado. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

p Pn p

p k=1 |xk | ,

p = 2 es un ¿y si p ≥ 1?

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¿Todo espacio m´etrico es normado?

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¿Todo espacio m´etrico es normado?

NO

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¿Todo espacio m´etrico es normado?

NO Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ),

2

ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ).

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¿Todo espacio m´etrico es normado?

NO Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ),

2

ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ).

Dado que estamos interesados en Rn que es un espacio normado y y adem´as m´etrico con la m´etrica ρ inducida por la norma ρ(x, y ) = kx − y k en adelante vamos a asumir que X es un espacio m´etrico cuya m´etrica viene inducida por la correspondientes norma.

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¿Todo espacio m´etrico es normado?

NO Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ),

2

ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ).

Dado que estamos interesados en Rn que es un espacio normado y y adem´as m´etrico con la m´etrica ρ inducida por la norma ρ(x, y ) = kx − y k en adelante vamos a asumir que X es un espacio m´etrico cuya m´etrica viene inducida por la correspondientes norma. As´ı, en los espacios normados, como en los m´etricos, podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc.

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¿Todo espacio m´etrico es normado?

NO Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ),

2

ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ).

Dado que estamos interesados en Rn que es un espacio normado y y adem´as m´etrico con la m´etrica ρ inducida por la norma ρ(x, y ) = kx − y k en adelante vamos a asumir que X es un espacio m´etrico cuya m´etrica viene inducida por la correspondientes norma. As´ı, en los espacios normados, como en los m´etricos, podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Ejercicio: Tanto la norma como la m´etrica son aplicaciones continuas: Si xn → x entonces kxn k → kxk. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

Espacios m´etricos ¿Para qu´e sirve la m´etrica? Definici´on Una sucesi´on (xn )n de elementos de X es convergente, y lo denotaremos por lim xn = x, si existe un x ∈ X tal que para n→∞

todo  > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N, ρ(x, xn ) < . En caso contrario diremos que (xn )n es divergente.

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Espacios m´etricos ¿Para qu´e sirve la m´etrica? Definici´on Una sucesi´on (xn )n de elementos de X es convergente, y lo denotaremos por lim xn = x, si existe un x ∈ X tal que para n→∞

todo  > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N, ρ(x, xn ) < . En caso contrario diremos que (xn )n es divergente. De ello se sigue que una sucesi´ on (xn )n de elementos de Rn es n convergente a x ∈ R si para todo  > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N, kx − xn k < . Adem´as se tiene que una sucesi´ on (xn )n en Rn converge a x ∈ Rn si y s´olo si convergen sus componentes a las componentes del l´ımite. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios m´etricos: entornos o “bolas” Definici´on Sea X un espacio m´etrico, x0 ∈ X y r > 0. B(x0 , r ) es una “bola” si B(x0 , r ) = {x ∈ X; ρ(x0 , x) < r } ⇔ {x ∈ X; kx0 − xk < r }. y

0

kxk =

p

y

x

x2 + y2

kxk =

√ p

x

kxk = |x| + |y | y

y

0

0

x

xp + y p, p > 2

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0

x

kxk = max(|x|, |y |) Espacios normados, espacios m´ etricos y espacios eucl´ıdeos

Espacios m´etricos: Topolog´ıa Definici´on Diremos que x es un punto de acumulaci´ on (o punto l´ımite) de M si ∀B(x, ),  > 0 hay al menos un elemento de M distinto de x, o equiv., en cada bola B(x, ), ∀ > 0 hay infinitos elementos de M.

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Espacios m´etricos: Topolog´ıa Definici´on Diremos que x es un punto de acumulaci´ on (o punto l´ımite) de M si ∀B(x, ),  > 0 hay al menos un elemento de M distinto de x, o equiv., en cada bola B(x, ), ∀ > 0 hay infinitos elementos de M. Theorem (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito y acotado de Rn tiene al menos un punto de acumulaci´on.

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Espacios m´etricos: Topolog´ıa Definici´on Diremos que x es un punto de acumulaci´ on (o punto l´ımite) de M si ∀B(x, ),  > 0 hay al menos un elemento de M distinto de x, o equiv., en cada bola B(x, ), ∀ > 0 hay infinitos elementos de M. Theorem (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito y acotado de Rn tiene al menos un punto de acumulaci´on. Definici´on Dada una sucesi´on (xn )n de elementos de X, diremos que (xn )n es acotada si existe un x ∈ X y un n´ umero K > 0 tal que ρ(x, xn ) < K para todo n ∈ N.

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Espacios m´etricos: Topolog´ıa Definici´on Diremos que x es un punto de acumulaci´ on (o punto l´ımite) de M si ∀B(x, ),  > 0 hay al menos un elemento de M distinto de x, o equiv., en cada bola B(x, ), ∀ > 0 hay infinitos elementos de M. Theorem (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito y acotado de Rn tiene al menos un punto de acumulaci´on. Definici´on Dada una sucesi´on (xn )n de elementos de X, diremos que (xn )n es acotada si existe un x ∈ X y un n´ umero K > 0 tal que ρ(x, xn ) < K para todo n ∈ N. Ejemplos en R2 . Un c´ırculo, elipse, ... ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios m´etricos Definici´on Una sucesi´on (xn )n de elementos de X se denomina de Cauchy o fundamental si para todo  > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N y todo p ∈ N, ρ(xn , xn+p ) < . Una sucesi´on en Rn es de Cauchy ⇔ lo son sus componentes, i.e., en Rn toda sucesi´on es convergente ⇔ es de Cauchy. Esta propiedad de Rn no es cierta para cualquier espacio m´etrico X.

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Espacios m´etricos Definici´on Una sucesi´on (xn )n de elementos de X se denomina de Cauchy o fundamental si para todo  > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N y todo p ∈ N, ρ(xn , xn+p ) < . Una sucesi´on en Rn es de Cauchy ⇔ lo son sus componentes, i.e., en Rn toda sucesi´on es convergente ⇔ es de Cauchy. Esta propiedad de Rn no es cierta para cualquier espacio m´etrico X. Definici´on Un espacio m´etrico X se denomina completo si y s´olo si toda sucesi´on de Cauchy de elementos de X converge. Definici´on Un espacio normado completo (en la m´etrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios m´etricos Definici´on Una sucesi´on (xn )n de elementos de X se denomina de Cauchy o fundamental si para todo  > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N y todo p ∈ N, ρ(xn , xn+p ) < . Una sucesi´on en Rn es de Cauchy ⇔ lo son sus componentes, i.e., en Rn toda sucesi´on es convergente ⇔ es de Cauchy. Esta propiedad de Rn no es cierta para cualquier espacio m´etrico X. Definici´on Un espacio m´etrico X se denomina completo si y s´olo si toda sucesi´on de Cauchy de elementos de X converge. Definici´on Un espacio normado completo (en la m´etrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach. Rn es un espacio m´ etrico completo y adem´ as de Banach. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios normados de dimensi´on finita Lema (Lema t´ecnico) Sean n vectores cualesquiera x1 , . . . , xn linealmente independientes de un espacio normado X. Entonces, existe un n´ umero real c > 0 tal que cuales quiera sean los escalares α1 , . . . , αn , kα1 x1 + · · · + αn xn k ≥ c(|α1 | + · · · + |αn |). Demostraci´ on: Sea s = |α1 | + · · · + |αn |. Si s = 0 el lema es trivial as´ı que asumiremos s > 0. Dividiendo por s 2 se sigue que 2 es equivalente a probar que si x1 , . . . , xn son linealmente independientes, entonces existe un n´ umero real c > P 0 tal que cuales quiera sean los los escalares β1 , . . . , βn , con nk=1 |βk | = 1 kβ1 x1 + · · · + βn xn k ≥ c. La prueba ser´a por reducci´ on al absurdo. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Prueba del Lema t´ecnico Entonces ha de existir (¿por qu´e?) una sucesi´ on (ym )m ⊂ X tal que (m)

(m)

ym = β1 x1 + · · · + βn xn ,

n X

(m)

m→∞

|βk | = 1, y kym k −→ 0.

k=1

P (m) De la condici´on nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones (m) num´ericas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas.

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Prueba del Lema t´ecnico Entonces ha de existir (¿por qu´e?) una sucesi´ on (ym )m ⊂ X tal que (m)

(m)

ym = β1 x1 + · · · + βn xn ,

n X

m→∞

(m)

|βk | = 1, y kym k −→ 0.

k=1

P (m) De la condici´on nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones (m) num´ericas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas. (m)

Sea la sucesi´on (β1 )m acotada, entonces por el T de B-W de ella (mj ) j→∞

se puede extraer una subsucesi´ on convergente β1

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−→ β1 .

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Prueba del Lema t´ecnico Entonces ha de existir (¿por qu´e?) una sucesi´ on (ym )m ⊂ X tal que (m)

(m)

ym = β1 x1 + · · · + βn xn ,

n X

m→∞

(m)

|βk | = 1, y kym k −→ 0.

k=1

P (m) De la condici´on nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones (m) num´ericas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas. (m)

Sea la sucesi´on (β1 )m acotada, entonces por el T de B-W de ella (mj ) j→∞

se puede extraer una subsucesi´ on convergente β1

−→ β1 . (m)

Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (βk )m , k = 2, . . . , n, las subsucesiones definidas por los ´ındices mj .

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Prueba del Lema t´ecnico Entonces ha de existir (¿por qu´e?) una sucesi´ on (ym )m ⊂ X tal que (m)

(m)

ym = β1 x1 + · · · + βn xn ,

n X

m→∞

(m)

|βk | = 1, y kym k −→ 0.

k=1

P (m) De la condici´on nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones (m) num´ericas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas. (m)

Sea la sucesi´on (β1 )m acotada, entonces por el T de B-W de ella (mj ) j→∞

se puede extraer una subsucesi´ on convergente β1

−→ β1 . (m)

Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (βk )m , k = 2, . . . , n, las subsucesiones definidas por los ´ındices mj . (mj )

Entonces (β2

)j es acotada y por B-W y podemos extraer una (j ) l→∞

subsucesi´on convergente β2 l −→ β2 . Adem´as, si escogemos los (j )

l→∞

´ındices jl definidos, la subsucesi´ on (β1 l )j −→ β1 (¿por qu´e?). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Prueba del Lema t´ecnico Continuando este proceso n veces V ∃ una subsucesi´on de ´ındices (l ) i→∞ li t.q. βk i −→ βk , ∀k = 1, 2, . . . , n. Adem´as, dicha sucesi´on de ´ındices define una subsucesi´ on (yli )i de (ym )m t.q. yli =

n X

(l )

βk i xk ,

(l ) i→∞

βk i −→ βk

V lim yli =

k=1

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i→∞

n X k=1

βk xk := y ,

n X

|βk | = 1.

k=1

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Prueba del Lema t´ecnico Continuando este proceso n veces V ∃ una subsucesi´on de ´ındices (l ) i→∞ li t.q. βk i −→ βk , ∀k = 1, 2, . . . , n. Adem´as, dicha sucesi´on de ´ındices define una subsucesi´ on (yli )i de (ym )m t.q. yli =

n X

(l )

βk i xk ,

(l ) i→∞

βk i −→ βk

V lim yli = i→∞

k=1

n X

βk xk := y ,

k=1

n X

|βk | = 1.

k=1

De lo anterior se sigue que no todos los βk = 0 al mismo tiempo. Como los vectores x1 , . . . , xn son li Vy 6= 0 (¿por qu´e?). La norma es una aplicaci´on continua V lim yli = y

i→∞

V

lim kyli k = ky k,

i→∞

m→∞

pero como kym k −→ 0, entonces limi→∞ kyli k = 0, luego ky k = 0 de donde se sigue que y = 0 lo cual es una contradicci´on. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios normados de dimensi´on finita Como corolario tenemos el siguiente teorema de completitud: Teorema Todo subespacio M de dimensi´ on finita de un espacio normado es completo. En particular, todo espacio normado de dimensi´on finita es completo.

Definici´on Una norma k · k en un espacio vectorial X es equivalente a otra norma k · k0 si existen dos n´ umeros reales a, b positivos (a > 0, b > 0) tales que para todo x ∈ X akxk0 ≤ kxk ≤ bkxk0 .

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Espacios normados de dimensi´on finita Si dos normas son equivalentes entonces toda sucesi´on de Cauchy en (X, k · k) tambi´en lo es en (X, k · k0 ), y viceversa. Usando el lema t´ecnico se puede probar el siguiente teorema: Teorema Sea X un espacio vectorial de dimensi´ on finita. Entonces cualquier norma k · k en X es equivalente a cualquier otra norma en X.

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Espacios normados de dimensi´on finita Si dos normas son equivalentes entonces toda sucesi´on de Cauchy en (X, k · k) tambi´en lo es en (X, k · k0 ), y viceversa. Usando el lema t´ecnico se puede probar el siguiente teorema: Teorema Sea X un espacio vectorial de dimensi´ on finita. Entonces cualquier norma k · k en X es equivalente a cualquier otra norma en X. De lo anterior se sigue que en Rn todas las normas son equivalentes. En general vamos a usar siempre la norma k · k2 conocida como norma 2 o norma eucl´ıdea: v u n uX kx − y k = t |xk − yk |2 , k=1

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Espacios normados de dimensi´on finita Definici´on Un espacio m´etrico X se denomina compacto si cualquier sucesi´on (xn )n de elementos de X tiene una subsucesi´ on convergente. Entenderemos que M ⊂ X es compacto si M es compacto como subconjunto de X, i.e., cualquier (xn )n de elementos de M tiene una subsucesi´on convergente en M. Lema Si M ⊂ X es compacto, entonces M es cerrado y acotado.

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Espacios normados de dimensi´on finita Definici´on Un espacio m´etrico X se denomina compacto si cualquier sucesi´on (xn )n de elementos de X tiene una subsucesi´ on convergente. Entenderemos que M ⊂ X es compacto si M es compacto como subconjunto de X, i.e., cualquier (xn )n de elementos de M tiene una subsucesi´on convergente en M. Lema Si M ⊂ X es compacto, entonces M es cerrado y acotado. El rec´ıproco, en general, es falso. No obstante, en el caso de dimensi´on finita se tiene el siguiente teorema: Teorema En un espacio normado X de dimensi´ on finita (y por tanto en Rn ), todo subconjunto es compacto si y s´ olo si es cerrado y acotado. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios eucl´ıdeos Para terminar esta introducci´ on recordemos la definici´on de espacios eucl´ıdeos. Definici´on Se dice que un espacio vectorial E es un espacio eucl´ıdeo si dados dos elementos cualesquiera x, y ∈ E existe un n´ umero denominado producto escalar, que denotaremos por hx, y i, tal quea 1

Para todo x, y ∈ E, hx, y i = hy , xi.

2

Para todo x, y , z ∈ E, hx + y , zi = hx, zi + hy , zi.

3

Para todo x, y ∈ E y λ ∈ C, hλx, y i = λhx, y i

4

Para todo x ∈ E, x 6= 0, hx, xi > 0 y si hx, xi = 0, entonces x = 0.

a

Si E es complejo denotaremos por z al complejo conjugado de z.

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Espacios eucl´ıdeos

El ejemplo m´as sencillo de espacio eucl´ıdeo es el espacio Rn con el producto escalar est´andar: dados x = (x1 , . . . , xn ), e y = (y1 , . . . , yn ) n X hx, y i = xk yk . k=1

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea E un espacio eucl´ıdeo. Entonces para todos f , g ∈ E, |hf , g i|2 ≤ hf , f ihg , g i.

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Espacios eucl´ıdeos Teorema Todo espacio eucl´ıdeo E es p normado si en ´el definimos la norma mediante la f´ormula kf k = hf , f i. Adem´as, |hf , g i| ≤ kf k · kg k.

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Espacios eucl´ıdeos Teorema Todo espacio eucl´ıdeo E es p normado si en ´el definimos la norma mediante la f´ormula kf k = hf , f i. Adem´as, |hf , g i| ≤ kf k · kg k. Luego, todo espacio eucl´ıdeo E es un espacio m´etrico con la m´etrica inducida por el producto escalar mediante la f´ormula p ρ(x, y ) = kx − y k = hx − y , x − y i. As´ı, en Rn el producto escalar escalar induce la norma v u n uX kxk2 = t |xk |2 , k=1

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Espacios eucl´ıdeos Teorema Todo espacio eucl´ıdeo E es p normado si en ´el definimos la norma mediante la f´ormula kf k = hf , f i. Adem´as, |hf , g i| ≤ kf k · kg k. Luego, todo espacio eucl´ıdeo E es un espacio m´etrico con la m´etrica inducida por el producto escalar mediante la f´ormula p ρ(x, y ) = kx − y k = hx − y , x − y i. As´ı, en Rn el producto escalar escalar induce la norma v u n uX kxk2 = t |xk |2 , k=1

Un espacio eucl´ıdeo E completo se denomina espacio de Hilbert. Rn es un espacio de Hilbert. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables

Una funci´on vectorial de n-variables es una la aplicaci´on f : A ⊂ Rn 7→ Rm . Est´a claro que como f (x1 , · · · , xn ) = (f1 (x1 , · · · , xn ), f2 (x1 , · · · , xn ), . . . , fm (x1 , · · · , xn )) para estudiar las propiedades de f podemos restringirnos al estudio de cada una de las componentes de f . Es decir, basta con estudiar las funciones f : A ⊂ Rn 7→ R. En adelante asumiremos que A ∈ Rn es un abierto.

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables Definici´on Diremos que f : A ⊂ Rn 7→ Rm tiene l´ımite l, lim f (x) cuando x x→a tiende a a, punto l´ımite de A si ∀ > 0

∃δ > 0;

kx − ak < δ

V

kf (x) − lk < .

Si adem´as l = f (a) diremos que f es continua en a.

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables Definici´on Diremos que f : A ⊂ Rn 7→ Rm tiene l´ımite l, lim f (x) cuando x x→a tiende a a, punto l´ımite de A si ∀ > 0

∃δ > 0;

kx − ak < δ

V

kf (x) − lk < .

Si adem´as l = f (a) diremos que f es continua en a. Est´a claro que 1

2

3

Una funci´on f : A ⊂ Rn → Rm tiene l´ımite si y s´olo si tienen l´ımite cada una de sus componentes. Una funci´on f : A ⊂ Rn → Rm es continua si y s´olo si son continuas sus componentes. Si f : A ⊂ Rn → Rm tiene l´ımite (y en particular si es continua) en x = a entonces existe un entorno B(a, δ) de a donde f es acotada. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables

Es conveniente hacer notar que si f : A ⊂ Rn → R es continua en x = a y f (a) 6= 0, entonces existe todo un entorno de a donde f mantiene su signo. La prueba es similar al caso de una sola variable y la omitiremos.

Teorema (de Weierstrass para funciones continuas) Sea f : A ⊂ Rn → R funci´ on continua en un compacto A ⊂ Rn . Entonces f es acotada y alcanza los extremos absolutos en A.

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables Antes de pasar a estudiar la derivaci´ on de funciones de varias variables debemos recalcar que el problema de calcular l´ımites en Rn es mucho m´as complicado que el caso de R. La raz´on principal es que el R cuando x → a s´ olo hay dos formas de aproximarse a a: por la izquierda o por la derecha, mientras que en Rn existen una infinidad de maneras (trajectorias) de hacerlo.

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables Antes de pasar a estudiar la derivaci´ on de funciones de varias variables debemos recalcar que el problema de calcular l´ımites en Rn es mucho m´as complicado que el caso de R. La raz´on principal es que el R cuando x → a s´ olo hay dos formas de aproximarse a a: por la izquierda o por la derecha, mientras que en Rn existen una infinidad de maneras (trajectorias) de hacerlo. Lo que est´a claro es que si limx→a f (x) = l, entonces, independientemente de la forma que nos acerquemos a a, f (x) tiene que acercarse a l. Si resulta que dada una funci´on f : A ⊂ Rn → R, cuando nos acercamos a a siguiendo distintas trayectorias obtenemos resultados distintos, entonces f no tiene l´ımite en a.

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables Antes de pasar a estudiar la derivaci´ on de funciones de varias variables debemos recalcar que el problema de calcular l´ımites en Rn es mucho m´as complicado que el caso de R. La raz´on principal es que el R cuando x → a s´ olo hay dos formas de aproximarse a a: por la izquierda o por la derecha, mientras que en Rn existen una infinidad de maneras (trajectorias) de hacerlo. Lo que est´a claro es que si limx→a f (x) = l, entonces, independientemente de la forma que nos acerquemos a a, f (x) tiene que acercarse a l. Si resulta que dada una funci´on f : A ⊂ Rn → R, cuando nos acercamos a a siguiendo distintas trayectorias obtenemos resultados distintos, entonces f no tiene l´ımite en a. Los l´ımites reiterados: lim lim f (x, y ) y lim lim f (x, y ). x→x0 y →y0

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y →y0 x→x0

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables Antes de pasar a estudiar la derivaci´ on de funciones de varias variables debemos recalcar que el problema de calcular l´ımites en Rn es mucho m´as complicado que el caso de R. La raz´on principal es que el R cuando x → a s´ olo hay dos formas de aproximarse a a: por la izquierda o por la derecha, mientras que en Rn existen una infinidad de maneras (trajectorias) de hacerlo. Lo que est´a claro es que si limx→a f (x) = l, entonces, independientemente de la forma que nos acerquemos a a, f (x) tiene que acercarse a l. Si resulta que dada una funci´on f : A ⊂ Rn → R, cuando nos acercamos a a siguiendo distintas trayectorias obtenemos resultados distintos, entonces f no tiene l´ımite en a. Los l´ımites reiterados: lim lim f (x, y ) y lim lim f (x, y ). x→x0 y →y0

y →y0 x→x0

Veamos algunos ejemplos. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables x 2y , si (x, y ) 6= (0, 0), 1. f (x, y ) = x4 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0).  

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables x 2y , si (x, y ) 6= (0, 0), 1. f (x, y ) = x4 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0).  

 2  x − y2 , si (x, y ) 6= (0, 0), 2. f (x, y ) = x2 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0).

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables x 2y , si (x, y ) 6= (0, 0), 1. f (x, y ) = x4 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0).  

 2  x − y2 , si (x, y ) 6= (0, 0), 2. f (x, y ) = x2 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0). ( 3. f (x, y ) =

xy , si (x, y ) 6= (0, 0), x2 + y2 0, si (x, y ) = (0, 0).

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L´ımite y continuidad de funciones de varias variables x 2y , si (x, y ) 6= (0, 0), 1. f (x, y ) = x4 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0).  

 2  x − y2 , si (x, y ) 6= (0, 0), 2. f (x, y ) = x2 + y2  0, si (x, y ) = (0, 0). (

xy , si (x, y ) 6= (0, 0), x2 + y2 0, si (x, y ) = (0, 0).



x + y sin 0,

3. f (x, y ) =

4. f (x, y ) =

1 x




, si (x, y ) 6= (0, 0), si (x, y ) = (0, 0).

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