Bayes Loi

Một số sự phân bố liên tục

219

hội tụ bởi α > 0, β > 0 và được gọi là một hàm bêta. Cho α ≤ 0 hay β ≤ 0 tích phân (37) đi rẽ ra. Dễ dàng nhìn thấy điều đó, cho α > 0, β > 0 , (38) Β( α , β ) = Β( β , α ) , (39) và

∞

Β( α , β ) = ∫ xα −1 (1 + x ) 0+

−α − β

dx,

Γ( α ) Γ( β ) Γ( α + β ) Nó đi theo sau Điều đó.  xα −1 (1 − x ) β −1  , 0 < x <1 f ( x ) =  Β( α , β ) 0, Truong hop khac. là định nghĩa một PDF. Định nghĩa 4. Một RV X Với PDF đã cho Bởi (41) được nói để có một phân bố bêta với những tham số α và β , α > 0, β > 0 . Chúng tôi sẽ viết Χ ~ Β( α , β ) cho một biến bêta với mật độ (41). Hình 3 đưa cho những đồ thị (của) bêta nào đó PDFs. (40)

Β( α , β ) =

220

Một số phân phối Đặc biệt

Mức tự do của một RV Β( α , β ) do x ≤ 0, 0,  −1 x β − 1 F ( x ) = [ Β( α , β ) ] ∫ y α −1 (1 − y ) dy , 0 < x < 1, (42) 0+ 1, x ≥ 0. 

đưa ra.

Nếu n là một số dương, rồi 1 1 β −1 ΕΧ n = x n +α −1 (1 − x ) dx ∫ 0 Β( α , β ) (43) , Β( n + α , β ) Γ( n + α ) Γ( α + β ) = = Β( α , β ) Γ ( α ) Γ( n + α + β ) sử dụng (40). Nói riêng, α (44) ΕΧ = α +β và αβ (45) var( Χ ) = 2 (α + β ) (α + β + 1) . Cho MGF của Χ ~ Β( α , β ) , chúng tôi có 1 1 β −1 e tx xα −1 (1 − x ) dx . (46) Μ ( t ) = ∫ 0 Β( α , β ) j

Từ những khoảnh khắc của mọi mệnh đề tồn tại, và Ε Χ < 1 cho tất cả j. Có ∞

tj ΕΧ j j = 0 j!

Μ( t ) = ∑ (47)

tj Γ ( α + j ) Γ( α + β ) =∑ j = 0 Γ ( j + 1) Γ ( α + β + j ) Γ ( α ) ∞

.

Nhận xét 1. Ghi nhớ điều đó trong trường hợp đặc biệt ở đây α = β = 1 . Chúng tôi có phân phối đều trên (0, 1). Nhận xét 2. Nếu X là một bêta RV với những tham số α và β , rồi 1- X là một biến ngẫu nhiên bêta với những tham số β và α . Trong những tham số β và α . X là Β( α , α ) . Nếu và chỉ khi 1 - X là Β( α , α ) . Một trường hợp đặc biệt là phân phối đều trên (0, 1). Nếu X Và 1 - X có cùng phân phối, nó không đi theo sau điều đó X Phải là Β( α , α ) . Mọi thế tập này là điều đó PDE thỏa mãn f ( x ) = f (1 − x ) , 0 < x < 1 .

Một số sự phân bố liên tục

221

Mặt khác

[

]

1 β −1 α −1 xα −1 (1 − x ) + (1 − x ) x β −1 , 0 < x < 1 . Β( α , β ) + Β( β , α ) Ví dụ 3. Giả sử X phân tán với PDF  1 2 x (1 − x ) , 0 < x < 1, f ( x ) =  12 0, Truong hop khac. Khi Χ ~ Β( 3,2 ) và Γ( n + 3) Γ( 5) 4! ( n + 2)! 12 ΕΧ n = = . = , Γ( 3) Γ( n + 5) 2! ( n + 4)! ( n + 4 )( n + 3) 12 6 1 ΕΧ = , var( Χ ) = 2 = , 20 5 .6 25 ∞ t j ( j + 2 )! 4! Μ( t ) = ∑ j = 0 j! ( j + 4 )! 2! f ( x) =

∞

=∑ j =0

(

12 tj j + 4 )( j + 3) j!

và

(

)

1 0.5 2 x − x 3 dx = 0.023 . 12 ∫0.2 Định lý 14. Hãy để X và Y độc lập G ( α1 , β ) và G ( α 2 , β ) , Tương ứng, RVs. Rồi X / ( X + Y) Là một Β( α1 , α 2 ) RV. Cho phép Χ1 , Χ 2 ,  , Χ n xây dựng bởi RVs, Với phân phối đều trên [0, 1]. Giả sử Χ ( k ) k mệnh đề thống kê. Định lý 15. RV Χ ( k ) có một phân bố bêta với những tham số α = k và β = n − k + 1 . Chứng minh. Giả sử X là số lượng Χ i là lời nói dối đó [0, t]. Rồi X là b(n, T). Ta có Ρ{ 0.2 < Χ < 0.5} =

Ρ{ Χ ( k ) ≤ t } = Ρ{ Χ ≥ k } = ∑ t j (1 − t ) n

j =k

n− j

222 Khi,

Một số phân phối Đặc biệt

[

n n d n− j n − j −1 Ρ{ Χ ≥ k } = ∑   jt j −1 (1 − t ) − ( n − j ) t j (1 − t ) j dt j =k  

]

n    n − 1 j −1  n − 1 j t (1 − t ) n − j − n t (1 − t ) n − j − 1 = ∑ n j = k   j − 1  j    n − 1 k −1 t (1 − t ) n −k . = n  k − 1 Trên sự hợp nhất, chúng tôi có  n − 1 t k −1  ∫ x (1 − x ) n − k dx Ρ{ Χ ( k ) ≤ t } = n  k − 1 0 như được khẳng định. Nhận xét 3. Chú ý rằng chúng tôi đã cho thấy điều đó, Nếu X là B (n, P) thì  n − 1 p k −1  ∫ x (1 − x ) n −k dx, (48) 1 − Ρ{ Χ < k } = n  k − 1 0 Mà biểu thị mức tự do của X Những thuật ngữ của mức tự do của một RV Β( k , n − k + 1) . Định lý 16. Cho phép Χ1 , Χ 2 ,  , Χ n xây dựng độc lập RVs,. Thì Χ1 , Χ 2 ,  , Χ n là Β( α ,1) RVs nếu và chỉ khi Χ n ~ Β( αn,1) . 5.3.4 Phân phối Cauchy. Định Nghĩa 5. Một RV X Được nói để có Một phân phối Cauchy với những tham số µ và θ nếu PDF của nó được cho bởi. µ 1 f ( x) = , − ∞ < x < ∞, µ > 0. (49) 2 π µ + ( x −θ ) 2 Chúng tôi sẽ viết Χ ~ C ( µ , θ ) bởi một Cauchy RV với mật độ (49). Hình 4 đưa cho đồ thị của Cauchy PDF. Chúng tôi đầu tiên kiểm tra điều đó (49) thật ra định nghĩa một PDF. Thế y = ( x − θ ) µ , Chúng tôi có ∞ ∞ 1 ∞ dy 2 −1 ∫−∞ f ( x ) dx = π ∫−∞ 1 + y 2 = π tan y 0 = 1

(

)