Basis Dan Dimensi Kelompok 1.pptx

Aljabar Linier Elementer “Basis dan Dimensi ”

LISA LAILA RAFIDA (17205019) NANDA PRAYETNO (182050) NOVA YULIASARI (18205026)

Dosen pembimbing: Drs. HENDRA SYARIFUDDIN, M. Si, Ph. D

Definisi 1.4.1 kumpulan vektor {v1, v2, ... , vn} di dalam ruang vektor V membentuk basis untuk V, jika: • v1, v2, ... , vn adalah bebas linier •Merentang {v1, v2, ... , vn} = V

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa basis = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Fn. merupakan basis dari Fn . {e1, e2, ..., en } merupakan basis standar untuk F n.

Lemma 1.4.2 misalkan {v1, v2, ... , vn} dan {w1, w2, ..., wn} kedua-duanya basis dari ruang vektor V. maka n = m; yaitu, dua basis (terhingga) dari ruang vektor yang memiliki jumlah sama dari elemen.

Bukti: karena {v1, v2, ... , vn} merentang V, masing masing dari {w1, w2, ..., wn} adalah kombinasi linier dari v1, v2, ... , vn. Karena w1, w2, ..., wn adalah bebas linier, sesuai teorema 1.3.9 diperoleh m ≤ n. Berdasarkan sifat simetri diperoleh n ≤ m. sehingga n = m dan lemma terbukti.

Definisi 1.4.3 misalnya V adalah ruang vektor dan memiliki basis dengan anggota n untuk beberapa bilangan asli n. Kemudian kita mengatakan bahwa V adalah dimensi n. Jika ruang vektor adalah dimensi n untuk beberapa n, dapat dikatakan V adalah dimensi hingga. Jika V memiliki dimensi tak hingga maka disebut dimensi tak hingga.

Teorema 1.4.5 memisalkan V adalah dimensi n ruang vektor i. v1, v2, ... , vn adalah bebas linier di V, maka membentuk basis untuk V. ii. Jika v1, v2, ... , vn merentang V, maka membentuk basis V.

Bukti: i) Kita harus memperlihatkan v1, v2, ... , vn merentang V. Memisalkan w ∈ V, jika w tidak kombinasi linear dari v1, v2, ... , vn, kemudian dari lemma 1.3.6 v1, v2, ... , vn, w adalah bebas linier. Karena V adalah dimensi n, memisalkan u1, u2, ..., un adalah basis dari V. Kemudian setiap dari v1, v2, ... , vn adalah kombinasi linier dari u1, u2, ..., un karena v1, v2, ... , vn adalah bebas linier, teorema 1.3.9 diperlihatkan n+1 ≤ n. ini tidak dipercaya. Ini terbukti (i).

ii) Kita harus memperlihatkan v1, v2, ... , vn adalah bebas linier. Jika tidak, dari lemma 1.3.8 disana ada beberapa j dengan 1≤ j ≤ n dimana vj adalah kombinasi linier dari v1, v2, ... , vj-1. Menurut dari lemma 1.1.6 (i) bahwa v1, v2, ... , vn mempunyai rentang yang sama seperti asli v1, v2, ... , vn coba lagi misalkan u1, u2, ..., un basis untuk dimensi n ruang vektor V. Kemudian setiap dari u1, u2, ..., un adalah kombinasi linier dari v1, v2, ..., vj-1, vj+1, ..., vn dan u1, u2, ..., un adalah bebas linier. Teorema 1.3.9 memperlihatkan bahwa n ≤ n-1 ini kontadiksi teorema terbukti.