Barisan Dan Deret Geometri.docx

Barisan dan Deret Geometri Terlebih dahulu kita akan memahami konsep awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi :  

Apa itu barisan geometri ? Apa itu deret geometri ?

Apa itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku berikutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r). Misalkan diketahui barisan seperti dibawah ini :

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri. Contoh lain dari Barisan Geometri: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2) Setiap suku(kecuali suku pertama) merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2. Secara umum kita dapat menulis Barisan (Urutan) Geometrik seperti berikut :

{a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7...} dimana:

 

a adalah suku pertama r adalah rasio

Rumus-Rumus Barisan Geometri

1. Untuk mencari Suku ke-n : Un = ar(n-1) dimana :    

Un adalah suku ke-n a menyatakan suku pertama r menyatakan rasio n menyatakan banyaknya suku

2. Untuk mencari nilai rasio(r) : r = UnU(n-1) dimana :   

r adalah rasio Un adalah suku ke-n U(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya

3. Mencari Suku Tengah Kita dapat mencari suku tengah untuk sebuah barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku harus ganjil) dimana diketahui suku pertama dan rasio, maka digunakan rumus:

Ut = √ a . rn dimana:    

Ut adalah suku tengah a adalah suku pertama n menyatakan banyaknya suku r adalah rasio

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:

Ut = √ a . Un dimana :   

Ut adalah suku tengah a adalah suku pertama Un adalah suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)

Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya seperti deret aritmatika yang merupakan jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari nilai suku suku sebuah barisan geometri. Deret geometri dikenal juga dengan sebutan deret ukur. Contoh:  

1 + 2 + 4 + 8 +16+32 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Untuk menghitung deret geometri terdapat dua rumus, yaitu : 

Rumus Deret Geometri Turun Rumus deret geometri turun hanya bisa digunakan jika 0 < r < 1 Sn = a(1 - rn)1 - r dimana : o o o o



Sn adalah jumlah deret suku ke-n a adalah suku pertama r adalah rasio n adalah banyaknya suku

Rumus Deret Geometri Naik Rumus deret geometri naik hanya bisa digunakan jika r > 1.

Sn = a(rn-1)r - 1 dimana : o o o o

Sn adalah jumlah deret suku ke-n a adalah suku pertama r adalah rasio n adalah banyaknya suku

Latihan Soal Soal No.1 Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut : a. 128 b. 192 c. 64 d. 190 Pembahasan a=3 r=2 Un = ar(n-1) ⇒ 3.2(7-1) ⇒ 3.2(7-1) ⇒ 192 Jawab : b

Soal No.2 Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut : a. 4 b. 3 c. 2 d. 9 Pembahasan

Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka: Un = 243 U(n-1) = 81 Sehingga nilai rasio (r) : r = UnU(n-1) = 24381 = 3 Jawab :b

Soal No.3 Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah : a. 160 b. 320 c. 510 d. 640 Pembahasan a=5 Un = 5120

Ut = √ a . Un U t = √ 5 . 5120 = √ 25600 = 160 Jawab :a

Soal No.4 Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ? a. 27 b. 81 c. 243 d. 9 Pembahasan a=3 r=3 n=5

U t = √ a . r n = √ 3 . 3 5 =729 = 27 Jawab : a

BARISAN DAN DERET GEOMETRI TAK HINGGA Barisan geometri tak hingga adalah suatu barisan geometri yang mempunyai tak hingga banyaknya suku-suku. Barisan geometri tak hingga dikatakan konvergen jika suku ke tak hingga dari barisan itu menuju ke suatu nilai tertentu. Syaratnya jika nilai rasio terletak antara -1 dan 1. Deret geometri tak hingga yang konvergen ini dapat ditentukan jumlahnya, dengan aturan sebagai berikut : Jika -1< r < 1 maka jumlah sampai takhingga suku-sukunya (n = ∞) diperoleh:

Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Suatu deret geometri diketahui suku pertamanya 4. Jika jumlah tak hingga suku-suku deret geometri itu adalah 12, tentukanlah rasionya ! Jawab a=4 S∞ = 12

02. Suatu deret geometri tak hingga diketahui suku pertamanya 24 dan rasionya 1/3. Tentukanlah jumlah sukusuku genapnya ! Jawab

03. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 12 m. Jika setiap kali jatuh, bola memantul kembali ke atas dengan ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya, maka hitunglah panjang lintasan bola dari mulai dijatuhkan hingga berhenti ! Jawab

Barisan Dan Deret Tak Hingga (Rumus Dan Contoh Soal Beserta Jawaban) By Ase Satria — Matematika

Barisan Dan Deret Tak Hingga adalah pembahasan yang akan dijelaskan serta diuraikan dengan detail dibawah ini. Materi ini masuk kedalam materi pelajaran Matematika Kelas XI SMA. Adapun yang akan di jelaskan yakni rumus-rumus dan contoh soal lengkap beserta jawabannya dalam barisan dan deret tak hingga . Semoga pembahasan artikel berikut ini dapat memecahkan permasalahan anda didalam mengerjakan tugas sekolah yang berhubungan dengan materi ini. Dan berikut ini adalah penjelasannya, simak baik-baik dan perhatikan dengan

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika memiliki beda posisi yang sama, yakni sebagai berikut

Rumus : Un = a + (n - 1)b

Sn = ½ n (2a + (n - 1)b) atau Sn = ½ (a + Un)

Keterangan: Un = suku ke n a = suku pertama n = suku yang ditanyakan b = beda atau selisih Sn = jumlah sampai suku ke n

Contoh: Diketahui barisan yaitu 2, 4, 6, 8, 10 ….

teliti.

a. Tentukan suku ke 25 b. Tentukan jumlah sampai 25 ? Jawab : a. Suku ke 25 U25 = a + (n - 1) b = 2 + (25 - 1)2 = 2 + 24 x 2 = 2 x 48 = 50

b. Jumlah sampai suku ke 25 S25 = ½ x 25 (2.2 + (25 – 1)2) = 25 (4 + 24 x 2) 2 = 25 (4 + 48) 2 = 25 (52) 2 = (25) (26) = 650

S25 = ½ 25 (2 + 50 = 25 (52) 2

= (25) (26) = 650

Barisan dan Deret Geometri Rumus : Un = ar n-1 Sn = a (1 – r n) dengan r < 0 atau Sn = a (r n – 1) dengan r > 0 1-r

r-1

r = U2, U3, U4, U5 U1 U2 U3 U4 Keterangan : Un = suku ke n a = suku pertama r = rasio atau pembanding

Contoh : tentukan suku ke 6 dan tentukan pula jumlah sampai suku ke 7 ? Jawab : 3, 6, 12, 24, 48, 96…. => U6 = ar n-1 = 3 (2 6-1) = 3 (2 5)

= 3 (32) = 96

=> S7 = a (r n - 1) = 3 (2^7 - 1)

2-1

= 3 (127)

= 381

Pembahasan soal beserta jawaban tentang barisan deret aritmatika dan geometri 1. Diketahui suku ke 2 dan suku ke 9 suatu barisan aritmatika adalah 5 dan 19 tentukan suku ke 7 dan jumlah sampai suku ke 20 ? Jawab : Suku ke 7 : U7 = a + (n - 1)b =3+6x2 = 3 + 12 = 15

Jumlah sampai suku ke 20 : S20 = ½ n (2a + (n - 1)b) = ½ 20 (2.3 + 19.2) = 10 (6 + 38)

= 10 x 44 = 440 2. Diketahui suku ke 3 dan suku ke 5 suatu barisan geometri adalah 16 dan 64. Tentukan rasio dan jumlah sampai suku ke 6 ? Jawab :

Un = ar n-1

U3 = 16

ar^2= 16

a = 16 / r^2

a = 16 / 4

a=4

ar^4 = 64 16 x r^4 = 64 r^2 16r^2 = 64 r^2 = 4 r=2

3. Diketahui suku ke 3 dan suku ke 8 suatu barisan aritmatika bertueut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ?

Jawab : 8, 5, 2, -1, -4, -7, -10, -13.... U20 = a + - 1)b = 8 + (20 - 1)-3 = 8 + 19 x -3 = 8 + (-57) = - 49

4. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan tali tersebut membentuk barisan geometri, jika panjang tali terpendek 6 cm dan potongan tali terpenjang 96 cm, maka panjang tali semula adalah ? Jawab :

6, 12, 24, 48, 96....

5. Seorang anak menabung di rumah setiap bulan. pada bulan pertama ia menabung Rp. 20.000, pada bulan ke2 Rp. 22.000, pada bulan ke3 Rp. 24.000 demikian seterusnya pada bulan berikutnya selalu bertambah tetap. Jumlah uang yang ditabung anak tersebut selama 12 bulan pertama adalah ?

Jawab : U12 = 20.000 + (12 - 1)2000 = 20.000 + 11 x 2000 = 20.000 + 22.000 = 42.000

Barisan Dan Deret Geometri Tak Hingga 1. Jumlah tak hingga dari deret geometri 4+2+1+1/2+.... adalah... Jawab :

2. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke 6 adalah 96 maka 3072 merupakan suku ke ? Jawab : Un = 3072

ar n-1 = 3072 3.2 n-1 = 3072 2 n-1 = 1024

2 n-1 = 210 n - 1 = 10 n = 10

a =3 U6 = 96

ar 5 = 96 3r 5 = 96 r 5 = 32 r=2