Barisan Bilangan Real
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Barisan Bilangan Real as PDF for free.
More details
- Words: 1,309
- Pages: 4
Dinandar (107017000858) Dewi Andriani (107017001190) Devi Susilawati (107017000766) Pendidikan Matematika VA Teorema 3.3.4 Jika barisan { X n } n =1 konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari { X n } n =1 juga ∞
∞
konvergen ke L. Ilustrasi : ∞
∞
1.
1 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 n + 5 n =1 n n =1
2.
1 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 n n =1 n + 29 n =1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 n n =1 n + 7 n =1
3.
1
1 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 8n −3 n =1 n n =1
4.
∞
∞ 2 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 5 n n =1 n n =1
5.
Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real { X n } n =1 konvergen, maka { X n } n =1 terbatas. ∞
∞
Ilustrasi : ∞
7 7n 7 14 7 ≤ Xn <7 , ,..... terbatas di = , 10 9 + n n =1 10 11 4
1.
Terbatas di −1 ≤ X n < 7 ∞
2.
n 2 1 2 = , , ,..... 1 7 2 3 n +3 2 n =1
terbatas di
2 ≤ Xn < 2 7
Terbatas di −1 ≤ X n < 2 ∞
3.
2n 4 3 = 1, , ,..... terbatas di 1 ≤ X n < 2 n +1 n =1 3 2
4.
n 2 + 6n + 45 − 52 1 − 52 61 72 ≤ Xn < , , ,..... terbatas di = 2 6 4 4n −10 n =1 6 10 26
∞
Terbatas di
− 52 1 ≤ Xn < 6 4
∞
4 4n 4 8 12 ≤ Xn < 2 ,..... terbatas di = , , 5 2n + 3 n =1 5 7 9
5.
Terbatas di −1 ≤ X n < 2 Teorema 3.4.7 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak turun dan ∞ terbatas di atas, maka { Xn } n =1 konvergen.
Ilustrasi : ∞
1.
2n 4 6 = 1, , ,... n + 1 n =1 3 4 Lim 2n =2 n → ∞ n +1 ∞
3n 3 9 = ,1, ,... 2n + 2 n =1 4 8
2.
Lim 3n 3 = n → ∞ 2n + 2 2 ∞
3.
2n 2 2 18 2 = ,1, ,... n + 4 n =1 5 13
2n 2 =2 n →∞ n 2 + 4 Lim
∞
4.
2n 2 + 3n 5 14 27 ,... 2 = , , n + 2n n =1 3 8 15 Lim 2n 2 + 3n =2 n → ∞ n 2 + 2n ∞
5.
5n 10 15 , ,... = 1, 2 n + 3 7 9 n =1 Lim 5n 5 = n → ∞ 2n + 3 2
Teorema 3.4.8 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak turun dan ∞ tak terbatas di atas, maka { Xn } n =1 divergen ke ∞ .
Ilustrasi : 1.
{ n + 2} ∞n =1 = {3,4,5,...}
3.
{n +1} = {2,5,10 ,... } {3n + 2n} = {5,1,33,...}
4.
{4n + 3} ∞n =1
5.
{3n
2.
∞
2
n =1
2
2
= {7,11,15 ,... }
+ 4n}n =1 = {7,32 ,93 ,... } ∞
Teorema 3.4.9 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak naik dan ∞ terbatas di bawah, maka { Xn } n =1 konvergen.
Ilustrasi : ∞
1 1 1 1 = , , ,... n + 2 n =1 3 4 5
1.
Lim 1 =0 n →∞ n + 2 ∞
2 1 2 = 2, , ,... 2 n n =1 2 9
2.
Lim 2 =0 n →∞ n 2 ∞
3.
2n 2 4 6 ,... 2 = , , 3 12 27 3n n =1 Lim 2n =0 n → ∞ 3n 2 ∞
n + 1 3 4 = 1, , ,... 3 2n n =1 16 54
4.
Lim n +1 =0 n → ∞ 2n 3 ∞
5.
2n 2 8 8 , ,... 3 = 1, 3n n =1 24 81
2n 2 n → ∞ 3n 3 Lim
Teorema 3.4.10
∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak naik dan tak ∞ terbatas di bawah. Maka { Xn } n =1 divergen ke
−∞.
Ilustrasi : 1.
2.
{− n }
3 ∞ n =1
− n = −∞ sehingga {− n 3 }∞ = {−1,−8,−27 ,...... } karena lim n =1 n →∞ 3
divergen ke
−∞.
{1 − 2n} ∞n =1
1 − 2n = −∞ sehingga {1 − 2n} ∞ = {−1,−3,−5,...... } karena lim n =1 n →∞
divergen ke
−∞.
∞
− 5n −15 −5n −5 = −∞ sehingga ,−5, ,...... karena lim = n →∞ 2 2 2 n =1 2
3.
∞
−5n divergen ke 2 n =1
4.
{10 − 4n} ∞n =1
−∞.
10 − 4n = −∞ sehingga = {6,2,−2,...... } karena lim n →∞
{10 − 4n} ∞n=1 divergen ke − ∞ . ∞
− 3n − 3n − 3 − 3 − 9 = −∞ sehingga , , ,...... karena lim = n →∞ 40 40 n =1 40 20 40
5.
∞
−3n divergen ke 40 n =1
−∞.
Teorema 3.4.11 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Maka { Xn } n =1 mempunyai barisan
bilangan yang monoton. Ilustrasi : ∞
−2 − 2 − 2 − 2 , , ,...... merupakan monoton naik. = 8 9 n + 6 n =1 7
1.
∞
−1 −1 −1 −1 = , , ,...... merupakan monoton naik. 4 6 2n n =1 2
2.
∞
1 1 1 = 1, , ,...... merupakan monoton turun. 8 n n =1 256 6561
3.
∞
4 4 4 4 = , , ,...... merupakan monoton turun. 5n n =1 5 10 15
4. 5.
{10 .010 } ∞n =1
= {10 .010 ,10 .010 ,10 .010 ,......
} merupakan sangat monoton.
∞
konvergen ke L. Ilustrasi : ∞
∞
1.
1 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 n + 5 n =1 n n =1
2.
1 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 n n =1 n + 29 n =1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 n n =1 n + 7 n =1
3.
1
1 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 8n −3 n =1 n n =1
4.
∞
∞ 2 1 merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0 5 n n =1 n n =1
5.
Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real { X n } n =1 konvergen, maka { X n } n =1 terbatas. ∞
∞
Ilustrasi : ∞
7 7n 7 14 7 ≤ Xn <7 , ,..... terbatas di = , 10 9 + n n =1 10 11 4
1.
Terbatas di −1 ≤ X n < 7 ∞
2.
n 2 1 2 = , , ,..... 1 7 2 3 n +3 2 n =1
terbatas di
2 ≤ Xn < 2 7
Terbatas di −1 ≤ X n < 2 ∞
3.
2n 4 3 = 1, , ,..... terbatas di 1 ≤ X n < 2 n +1 n =1 3 2
4.
n 2 + 6n + 45 − 52 1 − 52 61 72 ≤ Xn < , , ,..... terbatas di = 2 6 4 4n −10 n =1 6 10 26
∞
Terbatas di
− 52 1 ≤ Xn < 6 4
∞
4 4n 4 8 12 ≤ Xn < 2 ,..... terbatas di = , , 5 2n + 3 n =1 5 7 9
5.
Terbatas di −1 ≤ X n < 2 Teorema 3.4.7 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak turun dan ∞ terbatas di atas, maka { Xn } n =1 konvergen.
Ilustrasi : ∞
1.
2n 4 6 = 1, , ,... n + 1 n =1 3 4 Lim 2n =2 n → ∞ n +1 ∞
3n 3 9 = ,1, ,... 2n + 2 n =1 4 8
2.
Lim 3n 3 = n → ∞ 2n + 2 2 ∞
3.
2n 2 2 18 2 = ,1, ,... n + 4 n =1 5 13
2n 2 =2 n →∞ n 2 + 4 Lim
∞
4.
2n 2 + 3n 5 14 27 ,... 2 = , , n + 2n n =1 3 8 15 Lim 2n 2 + 3n =2 n → ∞ n 2 + 2n ∞
5.
5n 10 15 , ,... = 1, 2 n + 3 7 9 n =1 Lim 5n 5 = n → ∞ 2n + 3 2
Teorema 3.4.8 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak turun dan ∞ tak terbatas di atas, maka { Xn } n =1 divergen ke ∞ .
Ilustrasi : 1.
{ n + 2} ∞n =1 = {3,4,5,...}
3.
{n +1} = {2,5,10 ,... } {3n + 2n} = {5,1,33,...}
4.
{4n + 3} ∞n =1
5.
{3n
2.
∞
2
n =1
2
2
= {7,11,15 ,... }
+ 4n}n =1 = {7,32 ,93 ,... } ∞
Teorema 3.4.9 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak naik dan ∞ terbatas di bawah, maka { Xn } n =1 konvergen.
Ilustrasi : ∞
1 1 1 1 = , , ,... n + 2 n =1 3 4 5
1.
Lim 1 =0 n →∞ n + 2 ∞
2 1 2 = 2, , ,... 2 n n =1 2 9
2.
Lim 2 =0 n →∞ n 2 ∞
3.
2n 2 4 6 ,... 2 = , , 3 12 27 3n n =1 Lim 2n =0 n → ∞ 3n 2 ∞
n + 1 3 4 = 1, , ,... 3 2n n =1 16 54
4.
Lim n +1 =0 n → ∞ 2n 3 ∞
5.
2n 2 8 8 , ,... 3 = 1, 3n n =1 24 81
2n 2 n → ∞ 3n 3 Lim
Teorema 3.4.10
∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { Xn } n =1 barisan tak naik dan tak ∞ terbatas di bawah. Maka { Xn } n =1 divergen ke
−∞.
Ilustrasi : 1.
2.
{− n }
3 ∞ n =1
− n = −∞ sehingga {− n 3 }∞ = {−1,−8,−27 ,...... } karena lim n =1 n →∞ 3
divergen ke
−∞.
{1 − 2n} ∞n =1
1 − 2n = −∞ sehingga {1 − 2n} ∞ = {−1,−3,−5,...... } karena lim n =1 n →∞
divergen ke
−∞.
∞
− 5n −15 −5n −5 = −∞ sehingga ,−5, ,...... karena lim = n →∞ 2 2 2 n =1 2
3.
∞
−5n divergen ke 2 n =1
4.
{10 − 4n} ∞n =1
−∞.
10 − 4n = −∞ sehingga = {6,2,−2,...... } karena lim n →∞
{10 − 4n} ∞n=1 divergen ke − ∞ . ∞
− 3n − 3n − 3 − 3 − 9 = −∞ sehingga , , ,...... karena lim = n →∞ 40 40 n =1 40 20 40
5.
∞
−3n divergen ke 40 n =1
−∞.
Teorema 3.4.11 ∞ ∞ Misalkan { Xn } n =1 adalah barisan bilangan real. Maka { Xn } n =1 mempunyai barisan
bilangan yang monoton. Ilustrasi : ∞
−2 − 2 − 2 − 2 , , ,...... merupakan monoton naik. = 8 9 n + 6 n =1 7
1.
∞
−1 −1 −1 −1 = , , ,...... merupakan monoton naik. 4 6 2n n =1 2
2.
∞
1 1 1 = 1, , ,...... merupakan monoton turun. 8 n n =1 256 6561
3.
∞
4 4 4 4 = , , ,...... merupakan monoton turun. 5n n =1 5 10 15
4. 5.
{10 .010 } ∞n =1
= {10 .010 ,10 .010 ,10 .010 ,......
} merupakan sangat monoton.
Related Documents
Barisan Bilangan Real
July 2020 5
Bilangan Real
May 2020 22
Sistem Bilangan Real
July 2020 16
Sistem Bilangan Real
July 2020 12
Barisan Fasiliti
May 2020 21