Balotario De Examen Final.docx

BALOTARIO DE PREGUNTAS EXAMEN FINAL 1. Encuentre los puntos sobre la gráfica de la ecuación:

x 2  6xy = 2y2  44 Donde la recta tangente es horizontal. 2. Derive:

y  2x arccos(3x)  3 1  9x 2 3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: 𝑥𝑦 3 + tan(𝑥 + 𝑦) = 1 en el valor de: y = 0. 4. Halle dy/dx, mediante la diferenciación implícita

xseny  cos y   cos 2y 5. Encuentre una ecuación de la recta tangente y recta normal a la gráfica de la función dada en el punto (1,1)

𝑥 3 + 𝑦 3 = 8𝑥𝑦 6. Calcular la derivada, simplificar y halle la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1):

𝑥 2 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑒 𝑦−1 = ln(𝑥 + 1) 7. Determine la derivada de la curva definida por la ecuación

𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 𝑦) + cos(𝑥𝑦 2 ) = 𝑡𝑔 (𝑥 2 − 𝑦 2 ) 8. Derive la función y luego simplifique:

f (x) = x  arccot (2x) + ln 4 1+ 4x 2 9. Derive:  x2  arc tan   ln x 2  y 2  y   





10. Derivar y simplificar la siguiente función:

2 𝑥 2𝑥 ) 𝑓(𝑥) = arctan ( ) + arctan ( ) + arctan ( 𝑥 2 1 − 𝑥2

11.

Hallar dy/dx si:

y 12.

1 1 x 1 ln( )  arctanx 4 1 x 2

Calcule dy/dx, dar como respuesta la forma reducida:

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 13.

𝑥𝑠𝑒𝑛𝑎 1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑎

Calcular la derivada en su forma simplificada:

𝑓(𝑥) = arctan (

𝑥+5 𝑥+7 ) + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 ( ) 𝑥+7 𝑥+5

14.

Derivar la siguiente función

15.

Un granjero planea cercar un pastizal rectangular adyacente a un río. El pastizal debe contener 245000 m2 para proporcionar suficiente pastura para el rebaño. ¿Qué dimensiones requeriría la cantidad mínima de cercado si no es necesario vallar a lo largo del río?

16. Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano hasta tanques de almacenamiento. Vea la figura. El costo de construcción es $500 por metro sobre el pantano y $250 por metro sobre tierra. ¿Cuánto es el costo mínimo de producción?

17. Tres fábricas están situadas en los vértices de un triángulo isósceles. Las fábricas B y C, que distan entre si 16 millas, están situadas en la base; la fábrica A, en el tercer vértice y a una distancia de 10 millas de la base ¿A qué distancia de A, a lo largo de la altura,

se debe colocar una instalación de bombeo de agua de manera que se emplee la menor longitud de cañerías para abastecer a las tres fábricas? 18. Un terreno rectangular ha de cercarse en tres porciones iguales al dividir cercas paralelas a dos lados si el área encerrada es de 4000 metros cuadrados, encuentre las dimensiones del terreno que requiere la cantidad mínima de cerca. 19. Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un río recto que mide 3 Km. de ancho. El punto C está en la misma ribera que B, pero a 6 Km. río abajo de B. Se desea tender un cable de A a C. Si el costo por Km. de cable es el 25% más caro bajo el agua que en tierra, ¿Qué línea de cable sería menos costosa?

20. Se produce un canalón cuya sección transversal es un trapezoide isósceles con dimensiones indicadas en la figura. Determine el valor de θ tal que maximice su área.

21. Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre sí. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible? 22. Encuentre el límite siguiente aplicando la Regla de L’hospital.

Lím x 0

x  sen x x  tg x

23. Halle

 5 lim  1   x   x

6x

24. Indique el límite dado como una de las formas indeterminadas estudiadas en clase. Use la regla de L’Hopital donde sea idóneo para encontrar e límite dado

3 2𝑥 lim (1 − ) 𝑥→∞ 𝑥

25. Hallar el límite aplicando la regla L’ hospital

sen2x  2sen2x  2senx x 0 cos x  cos2 x

lim 26. Halle el limite:

3 ( ) lim 𝑥 4+ln 𝑥 𝑥→0 27. Halle el límite de la siguiente función: 1

lim(2𝑥 + 1)𝑥

𝑥→0

28. Use la regla de L’Hospital para encontrar el límite dado, o concluya que no existe:

29. Determine la derivada parcial de primer orden de la siguiente función:

f (x;y;z) =5x 6  sen (3y4 z 2 ) 2 2 2 2 x 30. Si f(x, y,z)  ln(x  y  z )  6cos(xy )  2

2

Halle

f f f ; ; x y z

31. Encuentre las primeras derivadas parciales de la función dada

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 −2 𝑦 + 𝑦 −3 𝑧 2 − 𝑧 −4 𝑥 3 32. Calcule la derivada parcial de primer orden

f(x, y, z) 

x 1  2x2z 2 xy

33. Encuentre las derivadas parciales fx(1,2)y fy(1,2):

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥+𝑦 𝑥𝑦

34. Determine sus derivadas parciales de primer orden de la siguiente función y evalué las derivadas indicada en el punto dado. 𝑓(1; 1 ; −1)

35. Evaluar la derivada parcial indicada en la siguiente función: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) a. 𝑓𝑥 {

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,0)

b. 𝑓𝑦 {

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,1,3)

=

𝑒 𝑥+𝑦 +𝑧 𝑧+𝑥