Môn Toán
www.truongthi.com.vn
TÌM HÌNH CHIẾU SONG SONG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Tìm hình chiếu song song của đường thẳng ∆ :
x −1 y − 2 3 − 5 = = lên 2 4 1
mặtphẳng (P): 2x + y + z - 4 = 0 theo phương của đường thẳng (d):
x +3 y +1 z −2 = = 4 1 3 Lời giải: Xét mặt phẳng (Q) chứa ∆ và có u (4, 1, 3) là một véctơ chỉ phương của (Q). Khi đó hình chiếu song song cần tìm là giao của (P) và (Q). Mặt phẳng (Q) qua A(1, 2, 5) ∈ ∆ và có cặp véctơ chỉ phương là u (4, 1, 3), v (2, 4, 1). Khi đó n = [ u, v ] ⊥ (Q).
G 1 n 4
3 3 , 1 1
4 2
,
4 2
1 =( -11, 2, 14). 4
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng -11x + 2y + 14 z - 63 = 0 Do đó, hình chiếu song song cần tìm có phương trình tổng quát dạng:
−11x + 2y + 14z − 63 = 0 2 + y + z − 4 = 0 III. Bài tập tự giải. 1. Đại học Thủy Lợi năm 2001 1) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua M (0, 0, 1), N(3, 0, 0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc ϕ =
π . 3
2) Cho ba điểm A(a, 0,0), B(0, b, 0), C(0,0, c) với a, b, c > 0 sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O(0, 0, 0) đến mặt phẳng (A, B, C) đạt giá trị lớn nhất. Đáp số: 1) x ±
26 y + 3z - 3 = 0
2) dmax =
3 , a = b = các = 1. 3
2. Đại học hàng hải năm 2000 Cho mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng
x = 1 z = −1
(d1):
2
1
Môn Toán
www.truongthi.com.vn
a) Tính sai số góc tạo bởi (d1) và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm A của (d1) với P. b) Viết phương trình tham số của (d2) qua A biết rằng (d2) nằm trong mặt phẳng (P) và (d2) vuông góc với (d). Đáp số:
a) sin ϕ =
3 , A(1, 1, -1) 3
x = 1 + t b) y = 1 t∈R z = −1 − t 3. Đại học xây dựng (1999). Cho điểm O (0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, 1, 0), O’ (0, 0, a) là bốn đỉnh của hình hộp chữ nhật OBCDO’B’C’D’. 1) Tìm a để BD và O’C vuông góc 2) Cho a = 2, viết phương trình đường vuông góc chung của BD và CD’. 3) Cho a = 2. Tìm tọa độ đỉnh M, N của tam giác EMN, biết E (1, 0, 1) và hai đường cao của tam giác đó nằm trên BD và DO’. Đáp số:
1) a = ± 1
1 x = 2 − 2 t 2) y = t t z = 2 3) M (6, -2, 0), N(0, -2, 6) 4. Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh - 2000 Trong không gian cho đường thẳng (d) có phương trình:
x +1 y +3 z + 2 = = và A(3, 2, 0) 1 2 2 Xác định tọa độ điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng (d). Đáp số: A’ (-1, 0, 4). 5. Cho đường thẳng (d):
x −1 y − 2 z −1 = = . Và hai điểm A(2, -2, 1), −1 2 1
B(0, 2, -3). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB min. Gợi ý: Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống (d). Đặt k= −
AA1 . Khi đó điểm M cần tìm, chia đoạn A1B1 theo tỷ số k; nghĩa là BB1
:
MA1 = kMB1 Đáp số: M(1, 2, 1).
4
2
Môn Toán
www.truongthi.com.vn
6. Cho mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A(-1, 3, -2) và B(-9, 4, 9). Tìm điểm K trên mặt phẳng (P) sao cho KA + KB min. Đáp số: K (-1, 2, 3). 7. Các đề 78, 83, 13, 102, 148 Bộ đề thi đại học - NXB Giáo dục - 1996.
6
3