C. Parabol I. ®Þnh nghÜa vµ ph−¬ng tr×nh 1. §Þnh nghÜa: trong mÆt ph¼ng, cho ®−êng th¼ng ∆ vµ mét ®iÓm F kh«ng thuéc ∆. TËp c¸c ®iÓm M trong mÆt ph¼ng sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn F b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ∆ lµ mét Parabol nhËn F lµm tiªu ®iÓm vµ ∆ lµm ®−êng chuÈn. Sè p b»ng kho¶ng c¸ch tõ F ®Õn ∆ ®−îc gäi lµ tham sè tiªu. 2. Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c
p NÕu ta chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho ®iÓm F , 0 vµ ®−êng 2 p th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh: x = − , th× trong hÖ trôc ®ã, Parabol cã 2 ph−¬ng tr×nh d¹ng: 2
y = 2px
3. Mét sè tÝnh chÊt 2
a) Parbol y = 2px lµ h×nh kh«ng bÞ chÆn, cã 1 trôc ®èi xøng Ox, ®ã lµ ®−êng th¼ng qua tiªu ®iÓm vµ vu«ng gãc víi ®−êng chuÈn. Parabol kh«ng cã t©m ®èi xøng. b) NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) thuéc Parabol, th× MoF lµ b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm MoF = xo +
p . 2
c) T©m sai cña Parbol e = 1 II. TiÕp tuyÕn 2
Cho Parbol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = 2px (p > 0).
1. NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) ∈ (P) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm Mo cña (P) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: yoy = p(x + xo). 2. §−êng th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh Ax + By + C = 0 tiÕp xóc víi 2
(P): y = 2px khi vµ chØ khi ta cã 2
B p = 2AC
1
3. NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) kh«ng thuéc Parbol, th× ®Ó cã tiÕp tuyÕn qua ®iÓm Mo, cÇn vµ ®ñ lµ y2o > 2pxo. Khi ®ã cã hai tiÕp tuyÕn qua ®iÓm Mo. C¸ch viÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn nh− sau: C¸ch 1. Gi¶ sö T (x1, y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng:
y1y = p(x + x1) Ta t×m (x1, y1) bëi hÖ: y12 = 2px1 v× T(x1, y1 ) ∈ (P) y1y o = p(xo + x1 ) v× tiÕp tuyÕn qua M o (x o , yo ) C¸ch 2. XÐt ®−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm Mo(xo, yo). Ph−¬ng tr×nh
(∆) cã d¹ng: A (x − xo) + B(y − yo) = 0 hay Ax + By − (Axo + Byo) = 0, (∆). 2
2
§−êng th¼ng (∆) tiÕp xóc víi (P): y = 2px khi vµ chØ khi: B p = 2
2
−2A (Axo + Byo) hay B p + 2AByo + 2xoA = 0.
Tõ ®©y, ta t×m ®−îc A, B sai kh¸c mét h»ng sè tû lÖ. III. LuyÖn tËp 2
1. Cho Parabol y = 2px, Mo(xo, yo) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng sao cho y2o > 2px o . Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn ®Õn Parabol, t¹i c¸c tiÕp ®iÓm T1 vµ T2. H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng T1T2. Lêi gi¶i: Gi¶ sö T1 (x1, y1), T2 (x2, y2). Khi ®ã tiÕp tuyÕn t¹i T1 cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y1y = p (x + x1). Theo gi¶ thiÕt tiÕp tuyÕn ®o qua Mo(xo, yo), nªn ta cã: yoy1 = p (xo + x1)
(1)
T−¬ng tù, tiÕp tuyÕn t¹i T2 (x2, y2) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y2y = p (x + x1); Do tiÕp tuyÕn nµy qua Mo (xo, yo) nªn ta cã: yoy2 = p (xo + x2)
2
(2)
XÐt ®−êng th¼ng ∆ : yoy = p (x + x0). Do c¸c hÖ thøc (1) vµ (2). Ta cã T1 (x1, y1), T2 (x2, y2) ∈ ∆. Do ®ã ph−¬ng tr×nh T1T2 lµ: yoy = p (x + xo). 2
2. Cho Parabol y = 2px, t×m tËp hîp c¸c ®iÓm M, tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn tíi Parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc. Lêi gi¶i: Gi¶ sö M (X, Y) vµ ∆ lµ ®−êng th¼ng qua M vµ cã hÖ sè gãc k. Ph−¬ng tr×nh cña ∆ cã d¹ng: y − Y = k(x − X) hay kx − y + (Y − kX) = 0. §−êng th¼ng ∆ tiÕp xóc víi Parabol khi vµ chØ khi:
p = 2k (Y − kX) hay 2
2X.k − 2Yk + p = 0
(1)
Theo gi¶ thiÕt, qua M(X, Y) cã hai tiÕp tuyÕn víi Parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc, nªn ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm k1, k2 mµ k1. k2 = − 1 hay
p p = −1 ⇔ X = − ⇔ M (X, Y) thuéc ®−êng 2X 2
chuÈn cña Parabol. 5 2 3. Cho Parabol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = 10x vµ ®iÓm I , 5 2 n»m trÒn (P). Mét gãc vu«ng thay ®æi quanh I vµ hai c¹nh cña gãc vu«ng ®ã c¾t (P) t¹i M, N kh¸c I. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MN lu«n qua ®iÓm cè ®Þnh. 2
2
Lêi gi¶i. Gi¶ sö M (10 m , 10m), N(10n , 10n).
JJJG 5 Khi ®ã IM 10m 2 − ,10m − 5 2 JJG 5 IN 10n 2 − ,10n − 5 2 JJJG JJG JJJG JJG Ta cã IM ⊥ IN ⇔ IM.IN = 0
5 5 ⇔ 10m 2 − 10n 2 − + ( 10m − 5 ) ( 10n − 5 ) = 0 2 2 ⇔
(
)(
)
25 4m 2 − 1 4n 2 − 1 + 25 ( 2m − 1 ) ( 2n − 1 ) = 0 4
⇔ (2m − 1) (2n − 1) [(2m + 1)(2n + 1) + 4] = 0
3
V× M,N kh¸c I, nªn m ≠
1 1 , n ≠ , nªn 2 2
JJJG JJG IM ⊥ IN ⇔ (2m + 1)(2n + 1) + 4 = 0 ⇔ 4 mn + 2(m + n) + 5 = 0
(1)
§−êng th¼ng MN cã ph−¬ng tr×nh: x − 10m 2 2
10n − 10m
2
=
y − 10m 10n − 10m
⇔ x − (m + n)y + 10mn = 0
(2)
Thay 2(m + n) = − 5 − 4mn tõ (1) vµo (2), ta cã: ph−¬ng tr×nh MN: 2x + (5 + 4mn)y + 20 mn = 0 hay 4mn. (y + 5) + (2x + 5y) = 0 25 DÔ thÊy ®−êng th¼ng MN lu«n qua ®iÓm A , −5 2 III. Bµi tËp tù gi¶i 1. §Ò thi §¹i häc Má ®Þa chÊt (1998) 2
Cho Parabol y = 64x (P) vµ ®−êng th¼ng ∆: 4x + 3y + 46 = 0. X¸c ®Þnh ®iÓm M trªn Parabol sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ∆ lµ nhá nhÊt. §¸p sè: M (+9, − 24). 2. §Ò thi §¹i häc Kinh tÕ quèc d©n 1996. Cho Parabol y = ax
2
(a > 0) (P)
a) §−êng th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh y = ax + 2a c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi Parabol vµ ®−êng th¼ng ∆. 3
b) Cho ®iÓm A(a, a , ®−êng th¼ng (d) song song víi tiÕp tuyÕn t¹i A cña Parabol, c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm MN. TÝnh tû sè diÖn tÝch cña tam gi¸c AMN vµ diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng ch¾n bëi (d) vµ Parabol. §¸p sè:
4
a) diÖn tÝch b»ng
9 a (®vdt) 2
b)
3 4 2
3. Cho Parabol (P) y = 4x. Mét ®−êng th¼ng bÊt kú qua tiªu ®iÓm cña Parabol vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B. Chøng minh r»ng tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ A, B ®Õn trôc cña Parabol lµ mét ®¹i l−îng kh«ng ®æi. 2
4. Cho (P): y = 2px, tiªu ®iÓm F. ∆ lµ tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i tiÕp ®iÓm M (xo, yo). a) Chøng minh r»ng ch©n ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ F tíi ∆ n»m trªn tiÕp tuyÕn t¹i ®Ønh O cña Parabol. b) Chøng minh r»ng ®iÓm k’ ®èi xøng víi ®iÓm F qua ∆ n»m trªn ®−êng chuÈn cña (P). Chøng tá r»ng k’ lµ h×nh chiÕu cña M (xo, yo) lªn ®−êng chuÈn (D). c) §−êng th¼ng ∆ c¾t trôc Ox t¹i L. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña NL, ë ®ã N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn trôc Ox. d) Ph¸p tuyÕn t¹i M cña Parabol c¾t Ox t¹i Q. Chøng minh r»ng ®o¹n NQ kh«ng ®æi, khi M thay ®æi trªn (P). 5. C¸c ®Ò 2, 8, 12, 23, 30, 36, 146, 150 trong bé ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc.
PhÇn II. Ph−¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian. Bµi 1. VÐc t¬ vµ täa ®é trong kh«ng gian.
I. Nh¾c l¹i lý thuyÕt 1. HÖ trôc täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian: HÖ thèng ba trôc täa ®é chung gèc O, ®«i mét vu«ng gãc víi nhau ®−îc gäi lµ hÖ trôc täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. KÝ hiÖu Oxyz hay JJG JJG JJG JJG JJG JJG O, e1, e2 , e3 , ë ®ã e1, e2 , e3 lµ c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ ®Þnh h−íng trôc.
{
}
Trôc Ox gäi lµ trôc hoµnh Trôc Oy gäi lµ trôc tung Trôc Oz gäi lµ trôc cao
2. Täa ®é cña ®iÓm vµ cña vÐc t¬
5
Cho hÖ trôc täa ®é Oxyz. M lµ ®iÓm trong kh«ng gian H¹ MM’ JJJJG JJJJJG JJJJJJG vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng xoy. Ta cã vÐc t¬ OM = OM ' + M ' M JJJJJG JJJJJG JJJJJG = OM1 + OM 2 + OM3 JJG JJG JG J = xe1 + ye2 + ze3
VËy ®iÓm M t−¬ng øng víi cÆp ba sè s¾p thø tù (x, y, z), ®−îc gäi lµ c¸c täa ®é cña M, kÝ hiÖu M(x, y, z). G Cho vÐc t¬ a trong kh«ng gian, khi ®ã cã duy nhÊt ®iÓm N sao G JJJG G JJJG JJG JJG JJG cho a = ON , t−¬ng tù ta cã a = ON = a1 e1 + a 2 e2 + a3 e3 . G Nh− vËy, mçi vÐct¬ a , cã duy nhÊt cÆp ba sè (a1, a2, a3) ®Ó G JJG JJG JJG a = a1 e1 + a 2 e2 + a 3 e3 . CÆp (a1, a2, a3) s¾p thø tù ®ã ®−îc gäi lµ c¸c G G G täa ®é cña vÐct¬ a , kÝ hiÖu a = {a1, a 2 , a 3 } hay a ( a1 , a 2 , a 3 ) . 3. BiÓu thøc täa ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn vÐct¬. a) Gi¶ sö M(x1, y1, z1), N(x2, y2, z2). Khi ®ã täa ®é cña vÐct¬ JJJJG MN = { x2 − x1, y2 − y1, z 2 − z1 } G G b) Cho a = {a1, a 2 , a 3 } ; b = { b1, b2 , b3 } ; k ∈ R. Khi ®ã: G G a + b = {a1 + b1; a 2 + b2 ; a3 + b3 } G G a − b = {a1 − b1; a 2 − b2 ; a3 − b3 } G k a = { ka1, ka 2 , ka 3 } . G G c) TÝch v« h−íng cña hai vÐct¬ a, b kÝ hiÖu: GG G G GmG a.b = a . b . cos(a, b) = a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 .
G G G2 G G G 2 a = b , ta cã: a = a.a = a = a12 + a 22 + a 32 . Nh− vËy G G a = a12 + a 22 + a32 ; b = b12 + b22 + b32 vµ Khi
GG G G a.b = cos a, b = G G a.b G G G G a ≠ 0, b ≠ 0 G G GG Chó ý: a ⊥ b ⇔ a.b = 0
( )
6
a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 a12 + a 22 + a32 . b12 + b22 + b32
víi
4. TÝch cã h−íng cña hai vÐc t¬ G G a) Cho hai vect¬ a = ( a1, a 2 , a 3 ) , b = ( b1, b2 , b3 ) . Ta gäi tÝch cã G G G G h−íng cña hai vÐc t¬ a, b theo thø tù ®ã lµ mét vÐct¬, kÝ hiÖu a, b G G a a a a a a cã c¸c täa ®é lµ: a, b = 2 3 , 3 1 , 1 2 , b2 b3 b3 b1 b1 b2 b) TÝnh chÊt cña tÝch cã h−íng: G G G G G G a, b ⊥ b 1. a, b ⊥ a, G G G G G 2. a, b = 0 khi vµ chØ khi a, b cïng ph−¬ng G G G G G Gn 3. a, b = a . b . sin a, b vµ nh− vËy ®é lín cña vÐc t¬ G G cã sè ®o b»ng diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh t¹o bëi hai vÐc t¬ a, b . G G G G 4. a, b = − b, a
G G a, b
5. TÝnh hçn t¹p cña ba vÐct¬. G G G G G G a) Cho ba vÐc t¬ a, b, c . Ta gäi tÝch hçn t¹p cña ba vÐc t¬ a, b, c G G G G G G theo thø tù ®ã lµ con sè D a, b, c = a, b .c
(
)
b) TÝnh chÊt cña tÝch hçn t¹p: G G G G G G 1. D a, b, c = 0 khi vµ chØ khi ba vÐct¬ a, b, c ®ång ph¼ng.
(
)
G G G G G G 2. NÕu D a, b, c ≠ 0 , th× D( a, b, c ) cã sè ®o b»ng thÓ tÝch cña G G G h×nh hép dùng trªn ba vÐc t¬ a, b, c .
(
)
6. Chia ®o¹n th¼ng theo tû sè cho tr−íc. Cho hai ®iÓm A(x1, y1, z1); B(x2, y2, z2) vµ mét sè k ≠ 1. §iÓm M JJJJG JJJG ®−îc gäi lµ chia ®o¹n AB theo tû sè k nÕu MA = kMB . NÕu M (x, y, x − kx 2 y − ky2 z − kz 2 z) th×: x = 1 , z= 1 . , y= 1 1− k 1− k 1− k II. LuyÖn tËp. Bµi 1. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D trong kh«ng gian; Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, J lµ trung ®iÓm cña CD, G lµ trung ®iÓm cña IJ. JJJG JJJG JJJG JJJG JG a) Chøng minh r»ng GA + GB + GC + GD = O 7
b) Víi mäi M trong kh«ng gian, ta cã: JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG MA + MB + MC + MD = 4MG 2
2
2
c) T×m ®iÓm M trong kh«ng gian ®Ó MA + MB + MC + MD nhá nhÊt. Lêi gi¶i:
2
C©u a) vµ b) dÔ dµng chøng minh. c)
Ta JJJJ G JJJJ G JJJG JJJJG JJJG 2 2 MA 2 = MA = MG + GA = MG 2 + GA 2 + 2MG.GA
(
cã:
)
T−¬ng JJJG 2 JJJJG JJJG 2 JJJJG JJJG MB 2 = MB = MG + GB = MG 2 + GB 2 + 2MG.GB
(
tù
)
JJJJG JJJG MG 2 + GC 2 + 2MG.GC JJJJG JJJG MG 2 + GD 2 + 2MG.GD
2
MC = 2
MD = Tõ ®ã: 2
2
2
2
2
2
2
2
MA + MB + MC + MD = 4MG + GA + GB + GC + GD
2
+ JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 2MG. GA + GB + GC + GD +
(
)
JJJG JJJG JJJG JJJG JG Do GA + GB + GC + GD = O nªn 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
MA + MB + MC + MD = 4MG + (GA + GB + GC + 2
GD ) . 2
2
2
2
Tõ ®ã Do GA + GB + GC + GD lµ h»ng nªn MA + MB + 2
2
MC + MD min ⇔ M ≡ G. Bµi 2. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi M lµ 1 ®iÓm chia ®o¹n AD’ theo tû sè k = − , N lµ ®iÓm chia ®o¹n BD 2 theo tØ sè k = − 2. Chøng tá r»ng MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña BD vµ AD’. Gi¶i C¸ch 1:
8
JJJG G JJJG G JJJJG G G G G G G G §Æt AB = a, AD = b, AA ' = c. Ta cã a = b = c = a vµ a, b, c vu«ng gãc víi nhau ®«i mét. Theo gi¶ thiÕt, ta cã:
JJJJG 1 JJJJG AM = AD ' 3 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG NB = −2ND ⇒ AB − AN = −2 AD − AN
(
)
JJJG 1 JJJG 2 JJJG VËy AN = AB + AD 3 3 JJJJG JJJG JJJJG 1 G 2 G 1 G G Do ®ã MN = AN − AM = a + b − b + c 3 3 3
(
)
JJJJG 1 G 1 G 1 G MN = a + b − c 3 3 3 JJJJG G G JJJG G G Ta cã: AD ' = b + c, BD = b − c JJJJG JJJJG 1 G G G G G DÔ thÊy MN.AD ' = a + b − c (b + c) = 0 3
(
JJJJG JJJG 1 G G G MN.BD = a+b−c 3
(
)(
)
G G b−a =0
)
VËy MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AD’ vµ BD. C¸ch 2: Cã thÓ chøng minh dùa vµo kiÕn thøc h×nh häc kh«ng gian líp 11. Bµi 3. Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng JJJG JJJG 2 2 2 2 a) AB ⊥ CD ⇔ AC + BD = AD + BC JJJG JJJG JJJG JJJG AB ⊥ CD b) NÕu JJJG JJJG th× AC ⊥ BD AD ⊥ BC Lêi gi¶i
JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 2 2 2 2 a) AC + BD = AD + BC ⇔ AC − AD = BC − BD JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ AC − AD AC + AD = BC − BD BC + BD
(
)(
) (
)(
)
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ DC. AC + AD − BC − BD = O
(
)
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ DC. AC − BC + AD − BD = O
(
) (
)
9
JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ 2DC.AB = 0 ⇔ AB ⊥ CD . JJJG JJJG b) Theo c©u a) do AB ⊥ CD nªn ta cã: 2
2
2
2
2
2
2
2
AC + BD = AD + BC JJJG JJJG Do AD ⊥ BC nªn ta cã: AB + DC = AC + BD
(1)
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2
2
2
2
(3) AD + BC = AB + DC JJJG JJJG Tõ ®ã AC ⊥ BD do kÕt qu¶ trong a). III. Bµi tËp tù gi¶i. 1) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi P, Q lµ c¸c ®iÓm x¸c ®Þnh bëi JJJG JJJJG JJJJJG JJJJJG AP = − AD ', C ' Q = −C ' D 1. Chøng minh r»ng PQ qua trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng BB’. 2. TÝnh ®é dµi PQ. §¸p sè: PQ = 17.a 2) §Ò thi §¹i häc x©y dùng (1998) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD. A1B1C1D1. H vµ K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ C1 xuèng mÆt ph¼ng (B1CD1). Chøng minh JJJG JJJJG r»ng AH = 2KC1 . 3) Cho tam gi¸c ABC trong kh«ng gian. 1. T×m c¸c ®iÓm M trong kh«ng gian sao cho JJJJG JJJG JJJG JJJJG AM.CB = AB.CM 2. Gäi AD lµ ®−êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A cña tam gi¸c ABC, D ∈ (BC). JJJG JJJG JJJG H·y biÓu diÔn vÐct¬ AD theo c¸c vÐct¬ AB vµ AC . 4) §Ò thi §¹i häc Giao th«ng vËn t¶i (2000). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD A’B’C’D’, c¸c c¹nh cña nã cã ®é dµi b»ng 1. Trªn c¸c c¹ch BB’, CD, A’D’ lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: 10
B’M = CN = D’P = a
(0 < a < 1).
Chøng minh r»ng JJJJG JJJG JJJG JJJJG a) MN = −α AB + AD + (α − 1)AA ' JJJJG b) AC ' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (MNP) 5. C¸c ®Ò 88, 92, 111, 115, 120, 123 bé ®Ò thi §¹i häc − NXBGD − 1996. Bµi 2 Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng vµ ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng.
I. Nh¾c l¹i lý thuyÕt
11
12