Bai 6 He Thanh Phang

HỆ THANH PHẲNG

1

XÉT THANH TRONG HỆ TOÀN CỤC 

Với bài toán này ta giải quyết bằng cách nào?  PC

C

α = 450

A

B

α

 PB

2

Hệ tọa độ toàn cục và cục bộ y

y

xˆ

xˆ

yˆ

yˆ

uˆ1 v1

θ

x

θ

x

u1

u1 cos θ + v1 sin θ = uˆ1 u 2 cos θ + v2 sin θ = uˆ2

uˆ1  cos θ ⇒ = uˆ 2   0

sin θ

0

0

cos θ

u1  0   v1    sin θ  u2  v2  3

Tìm ma trận độ cứng  fˆ1  cos θ ˆ =  f 2   0 

Viết gọn lại:

sin θ

0

0

cos θ

 fˆ   T   f 

 f1x    0   f1 y     sin θ   f 2 x   f 2 y 

 Uˆ    T   U   f    K   U  T

1

 T

T 4

Ma trận độ cứng

 cos 2 θ  sin θ cos θ  [ K ] = ke  − cos 2 θ  − sin θ cos θ

sin θ cos θ sin 2 θ

− cos 2 θ − sin θ cos θ

− sin θ cos θ − sin 2 θ

cos 2 θ sin θ cos θ

− sin θ cos θ   − sin 2 θ  sin θ cos θ   2 sin θ 

5

Hệ tọa độ toàn cục và cục bộ y

y

xˆ

xˆ

yˆ

yˆ

uˆ1 v1

θ

x

θ

x

u1

u1 cos   v1 sin   uˆ1 u2 cos   v2 sin   uˆ2

 u1     uˆ1   c s 0 0   v1         0 0 c s   u2   uˆ2   v2 

6

Tính ứng suất trong hệ tọa độ toàn cục 

Trong hệ tọa độ cục bộ:



 1

 1

dN1  1 dN 2  1 uˆ2  uˆ1 duˆ   uˆ1  uˆ2  dx dx dx L

 u1   v  ˆ u c s 0 0     E E  1 1    E   1 1     1 1     L L  0 0 c s   u2   uˆ2   v2  7

Ví dụ 1 

Cho cơ cấu như hình vẽ: 300N L1 = 500mm

1

2

L2 = 500 2mm

3 8

Ví dụ 1 

Lập bảng phần tử 300N L1 = 500mm

1

2

Phần tử (1) (2)

Nút Nút i j 1 2

θ

2

00

3

225 0

L2 = 500 2mm

3

 1 0 −1  AE  0 0 AE0  [ K1 ] = [ K 2 ] = . L1 − 1 0 L21   0 0 0

0  1 1 − 1 − 1 2  02   1 1 − 1 − 1  20  − 1 − 1 1 1     0 − 1 − 1 1 91 

Ví dụ 1 

Ma trận cứng phần tử 1  AE  0 [ K1 ] = L1 − 1  0

AE  [ K 2 ] = . L2 

0 −1 0 0 0 1 0 0

0 0 0  0

 1 1 − 1 − 1 2  2   1 1 − 1 − 1  2  − 1 − 1 1 1    − 1 − 1 1 1  

0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0

1 0  AE − 1 [ K1 ] =  L 0 0   0

0 0  AE 0 [ K2 ] =  2 2 L 0 0  0

(

)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0  1 1 − 1 − 1  1 1 − 1 − 1 −1 −1 1 1   10 − 1 − 1 1 1  0

0

0

Ví dụ 1 

Ma trận cứng kết cấu

(

)

 2 2   0 AE − 2 2 [K] =  2 2 L 0  0   0

(

)

(

0

)

(

− 2 2

)

0 0 0 1+ 2 2 0 1 0 −1 0 −1

(

0  0 0 0 1 − 1 − 1  1 − 1 − 1 −1 1 1   − 1 1 1  0

)

0

11

Ví dụ 1 

Giải hệ phương trình {F}=[K]{U} với các điều kiện biên:

(

)

 2 2  f1x   f   0  1y   f 2 x  AE − 2 2   =  f2 y  2 2 L  0  0  f3x      f 3 y   0

(

)

(

0

)

u1 = v1 = u3 = v3 = 0

?

(

− 2 2

f 2 x = 0; f 2 y = −300

)

0 0 0 1+ 2 2 0 1

(

0 0

−1 −1

0  u1x    0 0 0   v1  1 − 1 − 1  u 2    1 − 1 − 1  v2  − 1 1 1   u3    − 1 1 1   v3  0

)

0

12

Ví dụ 1 

Kết quả chuyển vị và ứng suất

13

Bài tập Cho hệ thanh như hình vẽ: 3

= 0,3

σ = 75.10 3 N

500mm

4

(3)

E = 200.10 3 N

mm 2

A = 300mm 2 (r ≈ 10mm)

m 7m 70

mm 2

500mm

ν

300N

(1)

500mm (6)

5

(4)

(2)

1

300N

(5)

2

14

Bài toán SKEW/INCLINE  PC

l AB = l BC = L

C

E AB = E BC = E = const

α = 450

AAB = ABC = A = const →

→

PB = PC = P

A

B

α

 PB

15

Bài toán SYMMETRY C

300

AE L A

B

AE L AE L P

D

16

THREE – NODE TRUSS ELEMENT 

Mô hình phần tử 1

2

3

ξ 0

x1

x2

x3

-1

0

+1

L

L

2 17

THREE – NODE TRUSS ELEMENT 

Hàm dạng trong không gian thực:

( x − x2 )( x − x3 ) ( x − x2 )( x − x3 ) N1 = = ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) L2 2

( x − x3 )( x − x1 ) ( x − x3 )( x − x1 ) N2 = = ( x2 − x3 )( x2 − x1 ) − L2

1

2

3

x1

x2

x3

0

4

N3 

 x  x1   x  x2    x  x1   x  x2  L2  x3  x1   x2  x2  2

L

L

2 18

THREE – NODE TRUSS ELEMENT 

Hàm dạng trong không gian tham chiếu: 1 N 1 = − ξ (1 − ξ ) 2

(

N2 = 1− ξ 2

)

1 N 3 = ξ (1 + ξ ) 2

ξ -1

0

+1

19

THREE – NODE TRUSS ELEMENT 

Ma trận cứng phần tử:

 7 −8 1  AE   ˆ ⇒K= − 8 16 − 8  3L   1 − 8 7  20

THREE – NODE TRUSS ELEMENT 

Ví dụ L2

A

B

P

E 2 , A2 , L2

E1 , A1 , L1

2

1 1

4

3

4

2 21

THREE – NODE TRUSS ELEMENT 

Kết quả:



So sánh với phần tử 2 nút:

22

Xin cảm ơn sự chú ý theo dõi của các bạn

23