Bai 5 Bai Giang Thanh

PHẦN TỬ THANH y 1

N1

0 z

2

N2

L

x 1

Định nghĩa • Kích thước theo một chiều khá lớn so với hai chiều còn lại • Chỉ chịu kéo hoặc nén • Chỉ có một thành phần nội lực duy nhất là lực dọc trục N • Số bậc tự do của mỗi nút

2

ứng suất và biến dạng trong phần tử thanh • Thanh chỉ có một thành phần ứng suất kéo nén

Thanh chỉ có một thành phần biến dạng tuân theo định luật Hooke

{σ } = E { ε }

3

Xét tiết diện của thanh • Thanh có tiết diện không đổi

• Thanh có tiết diện thay đổi 4

Trường chuyển vị của phần tử thanh • Là trường tuyến tính có dạng:

u ( x ) = ax + b

Với hai nghiệm là hai chuyển vị nút:

u ( 0 ) = u1

u ( L ) = u2

5

Hàm dạng của phần tử thanh 2 nút

y 1

N1

0 z

2

L

N2

x 6

Hàm dạng của phần tử thanh 2 nút • Dựa vào trường chuyển vị ta tính được:

x N1 ( x ) = 1 − L x N2 ( x) = L 7

Các ma trận cơ bản • Ma trận độ cứng vật liệu [D] = E • Ma trận quan hệ chuyển vị và biến dạng:

 u1  u 2 − u1 ε= ⇔ {ε } = [ B ]   L u 2  1 ⇒ [ B] = − 1,1 L 8

Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần • Tổng thế năng toàn phần

πP =U − A U: thế năng biến dạng A: công của ngoại lực (mất đi khi thực hiện công)

9

U: thế năng biến dạng

πP =U − A y

z

f x = σ x .∆y.∆z

∆y

x

∆x

∆z

u x = ∆x.dε x

10

U: thế năng biến dạng

πP =U − A y

z

f x = σ x .∆y.∆z

∆y

x

∆x

∆z

dU = σ x .∆y.∆z.∆x.dε x

11

U: thế năng biến dạng

πP =U − A y

z

f x = σ x .∆y.∆z

∆y

x

∆x

∆z

dU = σ x .dε x .dV

12

U: thế năng biến dạng

dU = σ x .dε x .dV U=

ε x

    σ x .dε x .dV  o 

∫∫∫ ∫ V

13

U: thế năng biến dạng

U=

ε x

∫∫∫ ∫ V

U=

    σ x .dε x .dV  o 

ε x

    E.ε x .dε x .dV  o 

∫∫∫ ∫ V

14

U: thế năng biến dạng

U=

ε x

    E.ε x .dε x .dV  o 

∫∫∫ ∫ V

1 U= 2

∫∫∫

σ x .ε x .dV

V

15

Công ngoại lực

A=

∫∫∫ V

pv .uV .dV +

∫∫

n

p S .u s .dS +

S

⇒πP

∑f 1

ix .u ix

{ε x } = [ B]{u} {σ x } = [ D]{ε x }

1 [ B] = − 1,1 L

[ D] = E

{σ x } = [ D][ B]{u x }

Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần

∂π P = 0

T

T

{ f } = { P} + ∫∫ [ N s ] { ps } dS + ∫∫∫[ N ] { pV } dV S

V

AL T T T {u} [ B] [ D] [ B]{u} − { f }{u} πP = 2

Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần

∂π P = 0 ∂π P T T = 0 = AL[ B ] [ D ] [ B ]{u} − { f } ∂u

{ f } = [ K ]{u}

Ma trận độ cứng phần tử • Sau khi có [D] và [B], ta tính được [K]:

EA  1 − 1 ⇒ [ Ke ] = − 1 1  L  

Tính chuyển vị từ hệ phương trình cân bằng: [K].{u}={f} 21

Thanh có nhiều phần tử thanh • Số phần tử trong thanh phụ thuộc: – Dạng bài toán – Tiết diện của thanh A

C

D

B

22

Ví dụ Cho phần tử thanh như hình vẽ: E = 210 GPa 1

A = 4.10 m −4

2

2 1m

3

5kN

1m

Tìm chuyển vị và phản lực tại các nút. 23

Bảng phần tử Phần tử Nút i

Nút j

1

1

2

2

2

3

• Ma trận độ cứng phần tử:

EA  1 − 1 ⇒ [ Ke ] =   L − 1 1 

24

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

u3

• Ma trận độ cứng kết cấu:

 1 −1 0  EA   ⇒ [ Ke ] = −1 2 −1  L   0 − 1 1 

25

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

1

-1

-1

1

u3

• Ma trận độ cứng kết cấu:

 1 −1 0  EA   ⇒ [ Ke ] = −1 2 −1  L   0 − 1 1 

26

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

u3

1

-1

0

-1

1

0

0

0

0

• Ma trận độ cứng kết cấu:

 1 −1 0  EA   ⇒ [ Ke ] = −1 2 −1  L   0 − 1 1 

27

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

u3

1

-1

0

-1

1+1

0 + (-1)

0

0 + (-1)

0+1

• Ma trận độ cứng kết cấu:

 1 −1 0  EA   ⇒ [ Ke ] = −1 2 −1  L   0 − 1 1 

28

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

u3

1+ 0

-1+ 0

0+0

-1+ 0

1+1

0 + (-1)

0+0

0 + (-1)

0+1

• Ma trận độ cứng kết cấu:

 1 −1 0  EA   ⇒ [ Ke ] = −1 2 −1  L   0 − 1 1 

29

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

u3

1

-1

0

-1

2

(-1)

0

(-1)

1

• Ma trận độ cứng kết cấu:

 1 −1 0  EA   ⇒ [ Ke ] = −1 2 −1  L   0 − 1 1 

30

 1 − 1 0   u1   F1  EA       − 1 2 − 1 u = F    2 2   L  0 − 1 1  u3   F3 

Tính chuyển vị • Đặt điều kiện biên: u1 = 0, F2 = 0 vào hệ phương trình: [K].{u}={F}

?

Đơn giản ta được:

 1 − 1 0   u1   F1  − 1u2   0      AE  2 EA = − 1 2 − 1 u = F        2 2     L − 1 L1  u3  − 5000    0 − 1 1  u3   F3  −5 −4 ⇒ u2 = −5,95.10 m, u3 = −1,19.10 m 32

Tính phản lực tại các nút • Tính phản lực tại nút 1:

 1 − 1 0   u1   F1  EA       − 1 2 − 1 u = F    2 2   L  0 − 1 1  u3   F3  33

 1 − 1 0   u1   F1  EA       − 1 2 − 1 u = F    2 2   L  0 − 1 1  u3   F3  34

Các dạng khác • Tìm chuyển vị tại A, B và ứng suất trên thanh A

Al

B

F Fe

a 2

a L

L

L/4

35

Ma trận độ cứng của kết cấu

u1 u2 u3

u1

u2

u3

k1+ 0

-k1+ 0

0+0

-k1+ 0

k1 + k2

0 + (-k2)

0+0

0 + (-k2) 0 + k2

• Ma trận độ cứng kết cấu:

36

 k1 − k  1  0

− k1 k1 + k 2 − k2

0   0   F1       − k 2  u 2  =  F  k 2   0   F3 

37

Cách tính Chuyển vị tại điểm không phải là nút:

⇒ u B = N1.u2 + N 2 .u3 Ứng suất trên từng đoạn thanh:

ε

( 1)

( 1)

du dN1 ( 1) dN 2 ( 1) u2 − u1 = = u1 + u2 = dx dx dx L

⇒ σ = Eε

38

Chú ý

1 1

2 2

3

39

Tìm chuyển vị và phản lực tại các nút 2

1

900kN 1

∆t1

2 3

A

∆t1

4

∆t2 2A

δ 40

A-A

∆t1 = 20 C > 0 0

∆t 2 = 400 C A1 = 250mm 2 A2 = 500mm 2 L1 = 400mm 1 L1 = L23 = L34 = 200mm 2 E1 = E2 = 200GPa

α1 = α 2 = 18,9.10 1 C δ = 2mm −6

0

41

Lực do nhiệt

ε t = α∆t

{ F } = ∫ [ B] [ D]{ε } dV T

t

e

0

Ve

− 1 ⇒ Ft = A.E.α∆t   1 42

Tìm hiểu thêm • Phần tử thanh trong hệ tọa độ toàn cục – Cách tính ma trận độ cứng – Cách tính ứng suất – Cách tính chuyển vị tại điểm không phải là nút

• Phần tử thanh 3 nút – Ma trận độ cứng

43

Xin chân thành cảm ơn

44