Bahan Kuliah Struktur Data

STRUKTUR DATA Pengajar Jaidan Jauhari, MT Alamat Email [email protected] [email protected]

Disarikan Dari Berbagai Sumber, Terutama Dari Diktat Struktur Data Informatika ITB Karangan Dr. Inggriani Liem Halaman

1

SILABUS MATERI KULIAH z z z z z z z z

Pengantar Struktur Data Review Record dan Array Stack (Tumpukan) Queue (Antrian) Linked List dan Variasi List MultiList Pohon Biner Graph

Halaman

2

BUKU SUMBER 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Inggriani Liem. 1997. Diktat Kuliah Algoritma dan Pemrograman Prosedural. Bandung : ITB Inggriani Liem. 2003. Diktat Kuliah Struktur Data. Bandung : ITB Rinaldi Munir. 2003. Algoritma dan Pemrograman II. Bandung : Penerbit Informatika Bambang Wahyudi. 2004. Struktur Data dan Algoritma. Yogyakarta : Andi Offset Dwi Sanjaya. 2001. Bertualang dengan Struktur Data di Planet Pascal. Yogyakarta : JJ Learning P. Insap Santoso.1997. Struktur Data dengan Turbo Pascal. Yogyakarta : Andi Offset

Halaman

3

Komponen Penilaian z z z z z

Tugas 20% Ujian 1 20 % (Pertemuan ke-4) Ujian 2 20% (Pertemuan ke-8) Ujian 3 20% (Pertemuan ke-12) Ujian Akhir Semester 20%

Halaman

4

Aturan dan Sanksi-sanksi z z z z z

z

Kehadiran minimal 80%, kurang dari 80% tidak lulus (mendapat nilai E) Keterlambatan maksimal 10 menit (Lebih dari 10 menit tidak diijinkan memasuki ruangan) Pengumpulan Tugas yang melebihi waktu yang telah ditentukan akan diberikan nilai nol Kecurangan dalam bentuk apapun akan mendapatkan nilai E Mahasiswa berpakaian rapi dan sopan, yang ditunjukkan antara lain 1. Memakai sepatu tertutup 2. Memakai baju berkerah 3. Tidak memakai aksesoris yang tidak diijinkan 4. Tidak memakai pakaian yang kurang dasar atau lebih dasar 5. dan lain-lain Selama perkuliahan berlangsung mahasiswa tidak diijinkan meninggalkan ruang kuliah kecuali sangat terpaksa dan itupun harus membuat surat ijin dan hanya boleh satu kali Halaman

5

PENGERTIAN STRUKTUR DATA Struktur data adalah cara menyimpan atau merepresentasikan data di dalam komputer agar bisa dipakai secara efisien Sedangkan data adalah representasi dari nyata.

fakta dunia

Fakta atau keterangan tentang kenyataan yang disimpan, direkam atau direpresentasikan dalam bentuk tulisan, suara, gambar, sinyal atau simbol Halaman

6

Secara garis besar type data dapat dikategorikan menjadi : 1. Type data sederhana a. Type data sederhana tunggal, misalnya Integer, real, boolean dan karakter b. Type data sederhana majemuk, misalnya String 2. Struktur Data, meliputi a. Struktur data sederhana, misalnya array dan record

Halaman

7

b. Struktur data majemuk, yang terdiri dari Linier : Stack, Queue, serta List dan Multilist Non Linier : Pohon Biner dan Graph Pemakaian struktur data yang tepat di dalam proses pemrograman akan menghasilkan algoritma yang lebih jelas dan tepat, sehingga menjadikan program secara keseluruhan lebih efisien dan sederhana. Halaman

8

Struktur data yang ″standar″ yang biasanya digunakan dibidang informatika adalah : z List linier (Linked List) dan variasinya z Multilist z Stack (Tumpukan) z Queue (Antrian) z Tree ( Pohon ) z Graph ( Graf )

Halaman

9

REVIEW RECORD (REKAMAN) Disusun oleh satu atau lebih field. Tiap field menyimpan data dari tipe dasar tertentu atau dari tipe bentukan lain yang sudah didefinisikan sebelumnya. Nama rekaman ditentukan oleh pemrogram. Rekaman disebut juga tipe terstruktur. Contoh : 1. type Titik : record <x : real, y : real> jika P dideklarasikan sebagai Titik maka mengacu field pada P adalah P.x dan P.y. Halaman

10

2. Didefinisikan tipe terstruktur yang mewakili Jam yang dinyatakan sebagai jam (hh), menit (mm) dan detik (ss), maka cara menulis type Jam adalah : type JAM : record Jika J adalah peubah (variabel) bertipe Jam maka cara mengacu tiap field adalah J.hh, J.mm dan J.ss Halaman

11

Terjemahan dalam bahasa C : 1. type Titik : record <x : real, y : real> diterjemahkan menjadi : typedef struct { float x; float y; } Titik; 2. type JAM : record Diterjemahkan menjadi : typedef struct { int hh; /*0…23*/ int mm; /*0…59*/ int ss; /*0…59*/ } Jam; Halaman

12

REVIEW ARRAY (LARIK) 1. Pendahuluan z Larik adalah struktur data statik yang menyimpan sekumpulan elemen yang bertipe sama. z Setiap elemen diakses langsung melalui indeksnya. z Indeks larik harus tipe data yang menyatakan keterurutan misalnya integer atau karakter. Halaman

13

z z z

Banyaknya elemen larik harus sudah diketahui sebelum program dieksekusi. Tipe elemen larik dapat berupa tipe sederhana, tipe terstruktur atau tipe larik lain. Nama lain array adalah Larik, tabel atau vektor

Halaman

14

Cara Pendefinisian Array 1. Sebagai Peubah Contoh : L : array[1..50] of integer NamaMhs : array[‘a’..’j’] of string

2. Sebagai tipe baru Contoh : type LarikInt : array[1..100] of integer P : LarikInt Halaman

15

3. Mendefinisikan ukuran maksimum elemen larik sebagai konstanta Contoh : Const Nmaks = 100 type Larikint : array[1..Nmaks] of integer P : LarikInt Cara menterjemahkan ke bahasa C : #define Nmaks 100 typedef int Larikint[Nmaks+1]; Larikint P; Halaman

16

Cara Mengacu Elemen Larik z

Elemen larik diacu melalui indeksnya. Nilai indek harus terdefinisi.

z

Contoh cara mengacu elemen larik adalah : L[4] {mengacu elemen keempat dari larik L } NamaMhs[‘b’] {mengacu elemen kedua dari larik NamaMhs}

P[k] {mengacu elemen ke-k dari larik P, asalkan nilai k sudah terdefinisi } Halaman

17

Menginisialisasi Larik z

menginisialisasi elemen larik adalah memberikan harga awal untuk seluruh elemen larik, misalnya menginisialisasi dengan nilai 0 seperti di bawah ini : Procedure InisDgn0(output A:larik, input N:integer) {menginisialisasi setiap elemen larik A[1..N] dengan nol} {K. Awal : N adalah banyak elemen efektif larik, nilainya terdefinisi} {K. Akhir : seluruh elemen larik A bernilai nol} Deklarasi : K : integer Deskripsi : for k Å 1 to N do A[k] Å 0 endfor

Halaman

18

Mengisi elemen larik dari piranti masukan z

Elemen larik dapat diisi dengan nilai yang dibaca dari piranti masukan seperti contoh di bawah ini : Procedure BacaLarik(output A:larik, input N:integer) {mengisi elemen larik A[1..N] dengan nilai yang dibaca dari piranti masukan} {K. Awal : N adalah jumlah elemen efektif larik, nilainya terdefinisi} {K. Akhir : seluruh elemen larik A berisi nilai-nilai yang dibaca dari piranti masukan}

Deklarasi : K : integer Deskripsi : for k Å 1 to N do read (A[k]) endfor

Halaman

19

Larik Bertype Terstruktur Larik tidak hanya dapat berisi data bertype tunggal, tapi dapat juga berisi data yang bertipe terstruktur Contoh : const Nmaks = 100 type Mahasiswa : record TabMhs : array[1..Nmaks] of Mahasiswa Halaman

20

Contoh Cara mengacu elemen TabMhs : 1. TabMhs[2].Nim mengacu field Nim dari elemen kedua larik 2. Write(TabMhs[k].KodeMK) menuliskan field KodeMK dari elemen ke k dari larik

Halaman

21

Tugas 1 Buatlah dalam notasi algoritma atau bahasa C : 1.Definisikan sebuah type terstruktur untuk menyatakan data nasabah disebuah bank. Data nasabah terdiri atas field Nomor Account, Nama Nasabah, Alamat Nasabah, Kota Nasabah, dan Nomor Telpon Nasabah. Untuk setiap field definisikan type data yang cocok

Halaman

22

2.Dari soal nomor 1 buatlah program dalam bahasa pemrograman berbasis bahasa C, untuk memasukkan data nasabah sebanyak N, dengan N diinputkan dari papan ketik, kemudian menuliskan kembali semua data nasabah dalam bentuk matrik. Petunjuk : Gunakan notasi pengulangan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut Tugas dikumpulkan pada pertemuan berikutnya disertai listing program dan contoh keluarannya Halaman

23

ADT (Abstract Data Type) z ADT

adalah definisi type dan sekumpulan primitif (operasi dasar) terhadap type tersebut. z Type diterjemahkan menjadi type terdefinisi dalam bahasa pemrograman yang bersangkutan, misalnya menjadi record dalam Pascal/Ada dan Struct dalam bahasa C

Halaman

24

Primitif dalam konteks pemrograman prosedural, diterjemahkan menjadi fungsi dan prosedur. Primitif dikelompokkan menjadi : 1. Konstruktor/Kreator, pembentuk nilai type. Biasanya namanya diawali dengan Make. 2. Selektor, untuk mengakses komponen type. Biasanya namanya diawali dengan Get. Halaman

25

3. Prosedur Pengubah nilai komponen 4. Validator komponen type, yang dipakai untuk mengetes apakah dapat membentuk type sesuai batasan. 5. Destruktor/Dealokator, yaitu untuk menghancurkan nilai objek, sekaligus memori penyimpannya 6. Baca/tulis, untuk interface dengan input/output device Halaman

26

7. Operator Relasional terhadap type tersebut untuk mendefinisikan lebih besar, lebih kecil, sama dengan dan sebagainya. 8. Aritmatika terhadap type tersebut, dalam pemrograman biasanya hanya terdefinisi untuk bilangan numerik. 9. Konversi dari type tersebut ke type dasar dan sebaliknya Halaman

27

ADT biasanya diimplementasi menjadi dua buah modul, yaitu : 1. Definisi/spesifikasi type dan primitif - Spesifikasi type sesuai dengan bahasa yang dipakai - Spesifikasi dari primitif sesuai dengan kaidah dalam konteks prosedural, yaitu : a. Fungsi : nama, domain, range, dan pre kondisi jika ada b. Prosedur : Keadaan Awal, Keadaan Akhir dan proses yang dilakukan 2. Body/realisasi dari primitif, berupa kode program dalam bahasa yang bersangkutan. Realisasi fungsi dan prosedur harus sedapat mungkin memanfaatkan Selektor dan Konstruktor

Halaman

28

Halaman

29

4. Linked List (List Linier) 4.1. Definisi List linier adalah sekumpulan elemen bertype sama, yang mempunyai keterurutan tertentu, yang setiap elemennya terdiri dari 2 bagian : Type Elmtlist = record < Info : InfoType, Next : address > Halaman

30

Dengan Info Type adalah sebuah type terdefenisi yang menyimpan informasi sebuah elemen list ; Next adalah address dari elemen berikutnya ( suksesor ). Dengan demikian, jika didefinisikan First adalah alamt elemen pertama list, maka elemen berikutnya dapat diakses secara suksesif dari elemen pertama tersebut Halaman

31

Jadi, sebuah list linier dikenali : z elemen pertamanya, biasanya melalui alamat elemen pertama yang disebut : First z alamat elemen berikutnya ( suksesor ), jika kita mengetahui alamat sebuah elemen , yang dapat diakses melalui field NEXT z setiap elemen mempunyai alamat, yaitu tempat elemen disimpan dapat diacu.Untuk mengacu sebuah elemen , alamat harus terdefenisi . Dengan alamat tersebut Informasi yang tersimpan pada elemen list dapat diakses . z elemen terakhirnya. Ada berbagai cara untuk mengenali elemen akhir Halaman

32

Jika L adalah list , dan P adalah address : Alamat elemen pertama list L dapat diacu dengan notasi : First (L) Elemen yang diacu oleh P dapat dikonsultasi informasinya dengan notasi : Info(P) Next(P) Halaman

33

Beberapa defenisi : 1. List L adalah List kosong , jika First (L) = Nil 2. Elemen terakhir dikenali, dengan salah satu cara adalah karena Next(Last) =Nil

Halaman

34

II. Skema traversal untuk list linier List terdiri dari sekumpulan elemen. Seringkali diperlukan untuk memproses setiap elemen list dengan cara yang sama. Karena itu salah primitif operasi konsultasi dasar pada struktur list adalah traversal, yaitu “mengunjungi” setiap elemen list untuk diproses. Halaman

35

Karena Urutan akses adalah dari elemen pertama sampai dengan elemen terakhir, maka traversal list secara natural dilakukan dari elemen pertama, suksesornya, dan seterusnya sampai dengan elemen terakhir.

Halaman

36

Skema traversal yang dipakai adalah Sbb : Procedure SKEMAListTransversal1( Input L : List ) {K. Awal : List L terdefinisi , mungkin kosong } {K. Akhir : semua elemen list L dikunjungi dan telah diproses } {Proses : Traversal sebuah list linier. Dengan MARK, tanpa pemrosesan khusus pada list kosong} Deklarasi

Halaman

37

Deklarasi : P : address { address untuk traversal , type terdefenisi }

Deskripsi : Inisialisasi P ← First ( L ) While ( P ≠Nil ) do Proses ( P ) P ← Next ( P ) endwhile Terminasi

{ First Element }

{ Next element }

Halaman

38

Procedure SKEMAListTransversal 2( Input L : List ) { K. Awal : List L terdefenisi , mungkin kosong } { K. Akhir : semua elemen list L “dikunjungan “ dan telah diproses } { Proses : Transversal sebuah list linier yang diidentifikasi oleh elemen pertama L , Dengan MARK dan pemrosesan khusus pada list kosong } Deklarasi : Halaman

39

Deklarasi P : address { address untuk traversal , type terdefenisi }

Deskripsi If (First ( L ) = Nil) then Write ( ‘List kosong ‘ ) else Halaman

40

Insialisasi P ← First ( L ) Repeat Proses ( P ) P ← Next ( P ) until P=Nil Terminasi

Halaman

{ First Element }

{ Next element }

41

III. Skema Sequential Search untuk list linier Selain traversal, proses pencarian suatu elemen list adalah primitif yang sering kali didefinisikan pada struktur list. Pencarian dapat berdasarkan nilai, atau berdasarkan alamat. III.1. Search suatu Nilai, output adalah address Search ini sering dipakai untuk mengenali suatu elemen list berdasarkan nilai informasi yang disimpan pada elemen yang dicari. Biasanya dengan alamat yang ditemukan, akan dilakukan suatu proses terhadap elemen Halaman 42 list tersebut.

Procedure SKEMAListSearch1 ( Input L : List, X : InfoType, Output P : address, Found: Boolean ) { K. Awal : List linier L sudah terdefinisi dan siap dikonsultasi, X terdefenisi } { K.Akhir : P : address pada pencarian beurutan, dimana X diketemukan, P = Nil jika tidak ketemu, Found berharga true jika harga X yang dicari ketemu, false jika tidak } Halaman

43

{Proses : Sequential Search harga X pada sebuah list linier L, Semua elemen diperiksa dengan intruksi yang sama, versi dengan Boolean} Deklarasi Deskripsi

Halaman

44

P ← First ( L ) Found ← false While ( P ≠ Nil ) and ( not found ) do if X = Info (P) then Found ←True else P ← Next (P) endif endwhile { P = Nil or Found} {Jika Found maka P adalah address dimana harga yang dicari diketemukan} Halaman

45

III. 2. Search suatu Elemen yang beralamat tertentu Procedure SKEMAList Search@( Input L : List, P : address, Found: Boolean ) {K. Awal : List linier L sudah terdefinisi dan siap dikonsultasi, X terdefenisi } {K.Akhir : Jika ada elemen list beralamat P, Found berharga true, Jika tidak ada elemen list beralamat P, Found berharga false } {Proses : Sequential Search @ P pada sebuah list linier L, Semua elemen diperiksa dengan intruksi yang sama } Halaman

46

Deklarasi Pt : address Deskripsi Pt ← First ( L ) Found ← false While ( Pt ≠ Nil ) and ( not found ) do if Pt = P then Found ← true else Pt ← Next (Pt) endif endwhile { Pt = Nil or Found} { Jika Found maka P adalah elemen list} Halaman

47

IV. Definisi fungsional list linier dan algoritmanya Secara fungsional, pada sebuah list linier biasanya dilakukan pembuatan, penambahan atau penghapusan elemen yang dapat ditulis sebagai berkut : Jika diberikan L, L1 dan L2 adalah list linier dengan elemen ElmtList, maka operasi yang dapat dilakukan : ListEmpty, CreateList, Insert, Delete, Concat dan UpdateList Halaman

48

IV. 1. Pengetesan List Kosong Pemeriksaan apakah sebuah list kosong sangat penting, karena Keadaan Awal dan Keadaan Akhir beberapa prosedur harus didefinisikan berdasarkan keadaan list. Operasi pada list kosong sering kali membutuhkan penanganan khusus Realisasi algoritmik dari definisi fungsional ini adalah sebuah fungsi sebagai berikut. Halaman

49

Function IsEmptyList (L : List ) → boolean { Test apakah sebuah list L kosong, Mengirimkan true jika list kosong, false jika tidak kosong} Deklarasi Deskripsi return(First (L) = Nil)

Halaman

50

IV.2 Pembuatan sebuah elemen pada list linier Pembuatan sebuah list berarti membuat sebuat list KOSONG, yang selanjutnya siap diproses (ditambah elemennya, dsb). Realisasi algoritmik dari defenisi funfsional ini adalah sebuah prosedur sebagai berikut.

Halaman

51

Procedure CreateList( Output L : List ) {K. Awal : Sembarang } K. Akhir : terbentuk list L yang kosong : First (L) diinisialisasi dengan NIL )

Proses : Membuat list kosong} Deklarasi Deskripsi First (L) ← Nil

Halaman

52

IV. 3 Penyisipan sebuah elemen pada list linier Fungsi insert (penyisipan) harus dijabarkan lebih rinci, karena dapat menjadi penyisipan sebagai elemen pertama, setelah sebuah address P atau penyisipan menjadi elemen terakhir atau bahkan menjadi elemen ditengah Penyisipan sebuah elemen dapat dilakukan terhadap sebuah elemen yang sudah dialokasi (diketahui address-nya ), atau sebuah elemen yang hanya diketahui nilai Info-nya (berarti belum dialokasi). Halaman

53

IV. 2.1. INSERT-First (Address) Menambahkan sebuah elemen yang diketahui alamatnya sebagai elemen pertama list. Procedure InsertFirst (Input/Output L:List, Input P: address) {K. Awal : List L mungkin kosong {K. Akhir : P adalah elemen pertama list L} {Proses : Insert sebuah elemen beralamat P sebagai elemen pertama list linier L yang mungkin kosong}

Deklarasi Deskripsi Next (P) ← First (L) First (L) ← P Halaman

54

IV.2.2 INSERT-First (Nilai) Menambahkan sebuah elemen yang diketahui nilainya sebagai elemen pertama list.

Procedure InsFirst (Input/output L :List, Input E : infotype ) { K. Awal : List L mungkin kosong } { K. Akhir : Sebuah elemen dialokasikan dan menjadi elemen pertama list L, jika alokasi berhasil. Jika alokasi gagal list tetap seperti semula } { Proses : Insert sebuah elemen sebagai elemen pertama list} Deklarasi P : address Deskripsi Alokasi (P) If P ≠ Nil then Info (P) ← E Next (P) ← First (L) First (L) ← P Halaman

55

IV.2.2. INSERT-AFTER Menyisipkan sebuah elemen beralamat P sebagai suksesor dari sebuah elemen list linier yang beralamat Prec Procedure InsertAfter ( Input P, Prec: address ) {K. Awal : Prec adalah elemen list, prec ≠ Nil, P sudah dialokasikan, P ≠ Nil, Next (P) = Nil K. Akhir : P menjadi suksesor Prec Proses : Insert sebuah elemen beralamat P pada List linier L}

Deklarasi Deskripsi Next (P) ← Next (Prec) Next (Prec) ← P

Halaman

56

IV. 2.3. INSERT – Last Menyisipkan sebuah elemen beralamat P sebagai elemen terakhir sebuah list linier. Ada dua kemungkinan list kosong atau tidak kosong Procedur InsertLast@(Input/Output L: List, Input P : address) {K. Awal : List L mungkin kosong, P sudah dialokasi, P ≠ Nil, Next (P) = Nil K. Akhir : P adalah elemen terakhir list L Proses : Insert sebuah elemen beralamat P sbg elemen terakhir dari list linier L yg mungkin kosong } Halaman

57

Deklarasi Last : address

{ address untuk traversal}

Deskripsi If

Fisrt (L) = Nil then InsertFirst(L, P)

{ insert sebagai elemen pertama}

Else { Traversal list sampai address terakhir} Last ← First (L) While (Next (Last ) ≠ Nil ) do Last ← Next (Last ) endwhile {Next ( Last) = Nil, Last adalah elemen terakhir; insert P after last } InsertAfter (P, Last) endif Halaman

58

Procedure InsertLast(Input/output L :List, Input E : Infotype) { K. Awal : List L mungkin kosong, P sudah dialokasi, P ≠ Nil, Next(P)=Nil K. Akhir : P adalah elemen terakhir list L Proses : Insert sebuah elemen beralamat P sebagai elemen terakhir dari list linier L yang mungkin kosong }

Deklarasi Last : address

{ address untuk traversal }

Deskripsi Alokasi (P) If (P ≠ Nil) then Info(P) ←E InsertLast@(L,P) Halaman

59

IV.3. Penghapusan sebuah elemen pada list linier Penghapusan harus dijabarkan lebih rinci, Karena penghapusan elemen dapat merupakan pertama, setelah sebuah address P atau penghapusan elemen terakhir. Perbedaan ini melehirkan 3 operasi dasar penghapusan elemen list yang diturunkan dari definisi fungsional inimenjadi realisasi algoritma. Operasi penghapusan dapat mengakibatkan list kosong, jika list semula hanya terdiri dari satu elemen. Halaman

60

IV.3.1. DELETFirst : menghapus elemen pertama list linier a. Elemen yang dihapus dicatat alamatnya Procedure DeleteFirst@ (Input/Output L : List, Output P : address) {K. Awal : List L tidak kosong, minimal 1 elemen pertama pasti ada } {K. Akhir : menghapus elemen pertama L P adalah @ elemen pertama L sebelum penghapusan, L yang baru adalah Next (L) Deklarasi Deskripsi P ← First (L) First (L) ← Next ( First (L) ) Halaman

61

Procedure DeleteFirst (Input/Output L : List, Output E : InfoType) {K. Awal : List L tidak kosong, minimal 1 elemen pertama pasti ada } {K. Akhir : menghapus elemen pertama L E adalah Nilai elemen pertama L sebelum penghapusan, L yang baru adalah Next (L)

Deklarasi Deskripsi P ← First (L) E ← Info (P) First (L) ← Next ( First (L) ) Dealokasi (P) Halaman

62

IV. 3.2. Delete After : Penghapusan suksesor sebuah elemen : Procedure DeleteAfter ( Input Prec : adrress, Output P : address ) { K. Awal : List tidak kosong, Prec adalah elemen list , Next (Prec) ≠ Nil } Prec ≠elemen terakhir K. Akhir : Menghapus suksesor Prec, P adalah @ suksesor Prec sebelum penghapusan, Next (Prec) yang baru adalah suksesor dari suksesor Prec sebelum penghapusan }

Deklarasi Deskripsi P ← Next (Prec) Next (Prec) ← Next (Next (Prec)) Halaman

63

Dengan primitip ini, maka penghapusan sebuah beralamat P dapat dilakukan dengan : mencari predesesor dari P, yaitu alamat Prec memakai DeleteAfter (Prec) Procedure DeleteP ( Input/Output L ; List, Output P : address ) { K. Awal : List L tidak kosong , P adalah elemen list L K. Akhir : Menghapus P dari list, P mungkin elemen pertama, “tengah” atau terakhir }

Deklarasi Prec : address

{ alamat predesesor }

Deskripsi Halaman

64

{ Cari predesesor P } if (P = First (L) then {Delete list dengan satu elemen } DeleteFirst (L,P) else Prec ← First (L) While (Next(Prec) ≠ P ) do Prec ← Next (Prec) endwhile { Next (Prec) = P , hapus P } DeleteAfter (Prec , P) endif Halaman

65

IV. 3.3. DELETELast : Menghapus elemen terakhir list dapat dilakukan jika alamat dari elemen sebelum elemen terakhir diketahui. Persoalan selanjutnya menjadi persoalan DeleteAfter, kalau last bukan satu- satunya elemen list linier. Ada dua kasus, yaitu list menjadi kosong atau tidak. Procedure DeleteLast (Input L : List, Output P : address) {K. Awal : List L tidak kosong, minimal mengandung 1 elemen K. Akhir : menghapus elemen terakhir dari list, list mungkin menjadi kosong Proses : P adalah alamat elemen terakhir list sebelum penghapusan } Halaman

66

Deklarasi Last , preclast :address

{ address untuk traversal }

Deskripsi { Find last dan address sebelum last } Last ← First (L) Preclast ← Nil { predesesor dari L tak terdefenisi } While ( Next ( Last ) ≠ Nil do { Traversal list sampai @ terakhir } Preclast ← Last ; Last ← Next ( last ) endwhile { Next ( Last ) = Nil, Last adalah elemen terakhir; preclast = sebelum last } P ← Last If Preclast = Nil then { list dg 1 elemen, jadi kosong } First(L) ← Nil Else Next ( preclast )← Nil endif Halaman

67

IV. 5. Konkatenasi dua buah list linier Concat adalah menggabungkan dua list. Dalam contoh berikut list kedua disambungkan ke list pertama. Jadi Last (L1) menjadi predesesor First (L2). Realisasi algoritma adalah sebuah prosedur sebagai berikut : Procedure CONCAT (Input L1, L2 : List, Output : L3 : List ) {K. awal : L1 ≠ L2, L1 ≠ L3,dan L3 ≠ L2; L1, L2 mungkin kosong K. Akhir : L3 adalah hasil konkatenasi (menyambung) dua buah list linier, L2 ditaruh dibelakang L1 } Halaman

68

Deklarasi Last1 : address { alamat elemen terakhir list pertama }

Deskripsi Cratelist (L3) {inisialisasi list hasil } If Fist (L1) = Nil then First (L3) ← First (L2) Else { Traversal list 1 sampai address terakhir, Hubungkan last dengan Fisrt 2} First (L3) ← First (L1) Last1 ← First (L1) While ( Next (Last 1 ) ≠ Nil ) do Last1 ← Next (Last 1) endwhile {Next ( Last 1) ← First (L2)} Next(Last1) ← First (L2)} endif Halaman

69

Bagian Deklarasi dari algoritma pada List Linier : Deklarasi type InfoType = … {Sebuah type terdefinisi} type Address pointer to ElmtL type ElmtL = record type List = record {Deklarasi Nama Peubah} L : List P : Address Halaman

70

Soal-Soal Latihan I.

Apakah perbedaan struktur data list linier ditinjau dari sudut pandang operasinya, jika dibandingkan dengan struktur data stack dan queue? II. Untuk data yang bagaimanakah yang dapat direpresentasikan dengan menggunakan struktur data list linier? III. Diketahui sebuah list linier dengan elemen bertipe integer, buatlah : 1. Sebuah prosedur untuk menghitung jumlah elemen list yang genap 2. Prosedur untuk menghitung rata-rata elemen list yang ganjil Halaman

71

3. Prosedur untuk menghitung banyaknya elemen list yang positif (lebih besar dari nol) 4. Prosedur untuk mencetak elemen list yang genap IV. Diketahui sebuah list dengan elemen bertype integer terurut membesar, buatlah : 1. Fungsi untuk mengirimkan elemen pertama list 2. Fungsi untuk mencari elemen list yang minimum 3. Fungsi untuk menghitung banyaknya elemen yang lebih besar dari 100 Halaman

72

Halaman

73

5. Stack (Tumpukan) 5.1. Definisi STACK (Tumpukan) adalah list linier yang : 1. Dikenali elemen puncaknya (TOP) 2. Aturan penyisipan dan penghapusan elemennya tertentu : -Penyisipan selalu dilakukan “di atas “ TOP -Penghapusan selalu dilakukan pada TOP Halaman

74

Karena aturan penyisipan dan penghapusan semacam itu, TOP adalah satu-satunya alamat tempat terjadi operasi. Elemen yang ditambahkan paling akhir akan menjadi elemen yang akan dihapus.Dikatakan bahwa elemen Stack akan tersusun secara LIFO (Last In First Out). Maka secara lojik, sebuah STACK dapat digambarkan sebagai list linier yang setiap elemennya adalah Type ElmtS = record Halaman

75

dengan InfoType terdefinisi yang menentukan informasi yang disimpan pada setiap elemen stack, dan address adalah “alamat” dari elemen Selain itu alamat elemen terbaru (TOP) dicatat, sedangkan alamat elemen yang paling “bawah”, yaitu yang paling lama biasanya diebut BOTTOM. TOP adalah elemen pertama list, supaya penambahan dan penghapusan dengan mudah dan efisien dapat dilakukan. Halaman

76

Sehingga jika S adalah sebuah Stack, dan P adalah address maka ¾ Top (S) adalah alamat elemen TOP, dimana operasi penyisipan/penghapusan dilakukan. ¾ Info (P) adalah informasi yang disimpan pada alamat P ¾ Next (P) adalah alamat suksesor P ¾ ElmtS (P) adalah sebuah elemen stack yang beralamat P ¾ Stack kosong adalah Stack dengan Top (S) = Nil ( tidak terdefinisi ) Halaman

77

Bagian Deklarasi dari algoritma pada Stack : Deklarasi type InfoType = … {Sebuah type terdefinisi} type Address pointer to ElmtS type ElmtS = record type Stack = record {Deklarasi Nama Peubah} S : Stack P : Address Halaman

78

5.2. Traversal pada Stack Pada stack, jarang sekali dilakukan traversal, karena keunikan Stack justru pada operasi yang hanya menyangkut elemen TOP. Namun dibutuhkan traversal misalnya untuk mencetak isi Stack.

5.3. Search pada Stack Pada stack, elemen yang diproses hanyalah elemen pada TOP. Maka hampir tidak pernah dilakukan search. Halaman

79

5.4. Operasi dan fungsi dasar pada STACK. a. Test STACK kosong Mengetahui bahwa stack kosong atau tidak sangat penting, sebab semua operasi akan dilakukan berdasarkan kosong atau tidaknya suatu Stack. Realisasi algoritma dari definisi fungsional ini adalah sebuah fungsi yang melakukan test terhadap Stack sebagai berikut : Halaman

80

function StackEmpty (S : STACK) → Boolean { TEST stack kosong : Mengirim true, jika tumpukan kosong, false jika tumpukan tidak kosong} Deklarasi Deskripsi return (Top (S) = Nil) Halaman

81

b. Pembuatan STACK kosong Membuat Stack kosong diperlukan untuk memulai memakai stack. Realisasi algoritma dari definisi fungsional ini adalah sebuah prosedur yang melakukan inisialisasi stack sebagai berikut Procedure CreateEmptyS (Output S : STACK) {K. Awal : sembarang, K. Akhir : sebuah stack S yang kosong siap dipakai terdefinisi Proses : Membuat stack kosong } Deklarasi Deskripsi Top (S) ← Nil Halaman

82

c.Penambahan sebuah elemen pada STACK (Push) Penambahan selalu dilakukan pada TOP, dan karena alamat TOP diketahui maka prosesnya sederhana. Berikut ini akan diberikan skema prosedur penyisipan tersebut. Realisasi algoritma dari definisi fungsional ini adalah salah satu dari dua buah prosedur yang melakukan penambahan elemen stack sebagai berikut. Prosedur pertama menambahkan suatu ElmtS yang diketahui alamatnya dan yang kedua menambahkan suatu nilai ElmtS yang diberikan. Halaman

83

procedure Push@ (Input/Output S : STACK Input P : address) {Menambahkan sebuah elemen baru pada TOP sebuah stack, dengan elemen yang diketahui alamatnya} {K.Awal : Stack mungkin kosong, P terdefinisi (berarti terdefinisi informasinya, Next (P) = Nil} {K.Akhir : Top (S) adalah P} Deklarasi Deskripsi { insert sebagai elemen pertama } Next (P) ← TOP (S) TOP (S) ← P Halaman

84

procedure Push( Input / Output S:STACK Input E: InfoType ) { Menambahkan sebuah elemen baru pada TOP sebuah stack, dengan elemen yang diketahui informasinya } { K. Awal : Stack mungkin kosong , E terdefenisi , alokasi alamat selalu berhasil } { K. Akhir : TOP (S) berisi E ) Deklarasi P : address Deskripsi Alokasi ( P ) { alokasi selau berhasil } Info(P) ← E { insert sebagai elemen pertama } Next(P) ← TOP(S) TOP(S) ← P Halaman

85

d. Penghapusan sebuah elemen pada STACK (Pop) Penghapusan elemen Stack selalu dilakukan pada TOP , hanya saja harus diperhitungkan bahwa mugkin Stack akan menjadi kosong akibat terjadinya penghapusan. Jika Stack menjadi kosong , maka harga TOP harus diganti . Realisasi algoritma dari definisi funsional ini adalah salah satu dari dua buah prosedur yang melakukan pengambilan elemen stack sebagai berikut . Prosedur pertama mengambil suatu Elmts dengan menyimpan alamatnya dan yang kedua mengambil nilai , dan membebaskan alamat ( dealokasi ) yang tadinya dipakai Halaman

86

procedure PopStack@(Input/Output S : STACK Output P : address) {K.Awal : Stack tidak kosong K.Akhir : Alamat elemen Top (S) disimpan pada P, sehingga informasinya dapat diakses melalui P Proses : Menghapus elemen stack, stack tidak boleh kosong dan mungkin menjadi kosong } Deklarasi Deskripsi P ← TOP (S) TOP (S) ← Next(TOP(S)) Halaman

87

procedure PopStack(Input/Output S : STACK Output E : InfoType) {K.Awal : Stack tidak kosong K.Akhir : Alamat elemen Top (S) disimpan pada E, alamat TOP yang lama didealokasi Proses : Menghapus elemen stack, stack tidak boleh kosong dan mungkin menjadi kosong } Deklarasi P : address Deskripsi P ← TOP (S) E ← Info(P) TOP (S) ← Next(TOP(S)) Dealokasi (P) Halaman

88

Soal-Soal Latihan 1. Mengapa cara penyusunan elemen pada Stack sering disebut tersusun secara LIFO? 2. Mengapa pada Stack Traversal dan Search jarang dilakukan? 3. Penghapusan elemen pada Stack selalu dilakukan pada elemen yang paling atas, bagaimana jika terpaksa harus menghapus elemen yang paling bawah? Halaman

89

4. Buatlah sebuah fungsi untuk menghitung jumlah elemen stack yang genap, jika diketahui sebuah stack dengan elemen bertype integer. 5. Buatlah fungsi/prosedur untuk mencetak elemen stack yang ganjil 6. Buatlah juga fungsi untuk menghitung rata-rata elemen Stack yang genap 7. Buatlah sebuah fungsi untuk mengirimkan elemen pertama Stack 8. Buatlah sebuah fungsi untuk mengirimkan elemen Stack yang maksimum jika diketahui elemen Stack terurut mengecil bertype integer Halaman

90

Halaman

91

6. Queue (Antrian) 6.1. Definisi Queue (Antrian) adalah list linier yang : 1. Dikenali elemen pertama (Head) dan elemen terakhirnya (Tail) 2. Aturan penyisipan dan penghapusan elemennya disefinisikan sebagai berikut : - Penyisipan selalu dilakukan setelah elemen terakhir - Penghapusan selalu dilakukan pada elemen pertama 3. Satu elemen dengan elemen lain dapat diakses melalui informasi Next Halaman

92

Struktur data ini banyak dipakai dalam informatika misalnya untuk merepresentasi : 1. Antrian job dalam sistem operasi 2. Antrian dalam dunia nyata Maka secara lojik, sebuah Queue dapat digambarkan sebagai list linier yang setiap elemennya adalah : Type ElmtQ = record Halaman

93

dengan InfoType terdefinisi yang menentukan informasi yang disimpan pada setiap elemen queue, dan address adalah “alamat” dari elemen Selain itu alamat elemen Pertama (Head) dan elemen terakhir (Tail) dicatat. Maka jika Q adalah Queue dan P adalah Address, penulisan untuk Queue adalah : Head(Q) Tail(Q) Next(P) Info(P) Halaman

94

Bagian Deklarasi dari algoritma pada Queue : Deklarasi type InfoType = … {Sebuah type terdefinisi} type Address pointer to ElmtQ type ElmtQ = record type Queue = record {Deklarasi Nama Peubah} Q : Queue P : Address Halaman

95

6.2. Traversal pada Queue Pada queue, jarang sekali dilakukan traversal, karena keunikan Queue justru pada operasi yang hanya menyangkut elemen pertama dan terakhir. Namun dibutuhkan traversal misalnya untuk mencetak isi Antrian.

6.3. Search pada Queue Pada Queue, elemen yang diproses hanyalah elemen pada pertama dan terakhir. Maka hampir tidak pernah dilakukan search. Halaman

96

6.4. Operasi dan fungsi dasar pada Queue. a. Test Queue kosong Mengetahui bahwa Queue kosong atau tidak sangat penting, sebab semua operasi akan dilakukan berdasarkan kosong atau tidaknya suatu Queue. Realisasi algoritma dari definisi fungsional ini adalah sebuah fungsi yang melakukan test terhadap Queue sebagai berikut : Halaman

97

function IsQEmpty (Q : Queue) → Boolean { TEST Queue kosong : Mengirim true, jika antrian kosong, false jika antrian tidak kosong} Deklarasi Deskripsi return ((Head(Q) = Nil) and (Tail(Q) = Nil))

Halaman

98

b. Pembuatan Queue kosong Membuat Queue kosong diperlukan untuk memulai memakai Queue. Realisasi algoritma dari definisi fungsional ini adalah sebuah prosedur yang melakukan inisialisasi Queue sebagai berikut : Procedure CreateEmptyQ (Output Q : Queue) {K. Awal : sembarang, K. Akhir : sebuah queue Q yang kosong terbentuk Proses : Membuat queue kosong } Deklarasi Deskripsi Head(Q) ← Nil Tail(Q) ← Nil Halaman

99

c.Penambahan sebuah elemen pada Queue Penambahan selalu dilakukan pada ekor, dan karena alamat ekor diketahui maka prosesnya sederhana, yaitu hanya InsertLast. Berikut ini akan diberikan skema prosedur penyisipan tersebut.

Halaman

100

Realisasi algoritma dari definisi fungsional ini adalah salah satu dari dua buah prosedur yang melakukan penambahan elemen Queue sebagai berikut : Prosedur pertama menambahkan suatu Elemen Queue yang diketahui alamatnya dan yang kedua menambahkan suatu nilai Elemen queue yang diberikan. Halaman

101

procedure InsertQ@ (Input/Output Q : Queue Input P : address) {K.Awal : Queue mungkin kosong, P terdefinisi (berarti terdefinisi informasinya, Next (P) = Nil K.Akhir : P menjadi elemen Tail dari Q dan Tail yang baru adalah P Proses : Insert sebuah elemen beralamat P pada Tail dari antrian Q } Deklarasi Halaman

102

Deskripsi If IsQEmpty(Q) then Head(Q) ← P Tail(Q) ← P else Next(Tail(Q)) ← P Tail(Q) ← P endif Halaman

103

procedure InsertQ(Input/Output Q : Queue Input E : InfoType) {K.Awal : Queue mungkin kosong, E terdefinisi K.Akhir : Elemen Tail dari Q yang baru bernilai E Proses : Insert sebuah elemen nilai pada Tail dari antrian Q } Deklarasi Halaman

104

Deskripsi Alokasi (P) Info (P) ← E If IsQEmpty(Q) then Head(Q) ← P Tail(Q) ← P else Next(Tail(Q)) ← P Tail(Q) ← P endif Halaman

105

d. Penghapusan Elemen Pada QueuE Penghapusan elemen pada queue selalu dilakukan pada elemen pertama, hanya saja perlu diperhitungkan bahwa mungkin queue menjadi kosong akibat terjadinya penghapusan. Jika queue menjadi kosong, maka harga Tail harus diganti. Jika akibat penghapusan queue tidak kosong, maka elemen terakhir tidak berubah.

Halaman

106

Berikut adalah skema penghapusan tersebut. Prosedur pertama melakukan penghapusan ElmtQ yang berada di Head danyang dicatat adalah alamatnya, yaitu P. Prosedur yang kedua menghapus elemen Head dari queue dan menyimpannya pada suatu elmtQ serta membebaskan alamat yang tadinya dipakai oleh elemen Head tersebut.

Halaman

107

procedure DeleteQ@(Input/Output Q : Queue Output P : address) {K.Awal : Queue tidak kosong K.Akhir : P bukan lagi elemen dari Q, P ≠ Nil, Next(P) = Nil Proses : Menghapus elemen Head dari antrian, antrian tidak boleh kosong dan mungkin menjadi kosong } Deklarasi Deskripsi Halaman

108

P ← Head(Q) Head(Q) ← Next(Head(Q)) if (Head(Q) = Nil) then Tail(Q) ← Nil endif Next(P) ← Nil

Halaman

109

procedure DeleteQ(Input/Output Q : Queue Output E : InfoType) {K.Awal : Queue tidak kosong K.Akhir : Jika P adalah Head(Q). P bukan lagi elemen dari Q, P ≠ Nil, Next(P) = Nil Proses : Menghapus elemen Head dari antrian, antrian tidak boleh kosong dan mungkin menjadi kosong } Deklarasi Deskripsi Halaman

110

P ← Head(Q) E ← Info(Head(Q)) Head(Q) ← Next(Head(Q)) if (Head(Q) = Nil) then Tail(Q) ← Nil endif Next(P) ← Nil Dealokasi(P) Halaman

111

Soal-Soal 1. Mengapa cara penyusunan elemen pada Queue Sering disebut tersusun secara FIFO? 2. Mengapa pada Queue Traversal dan Search jarang dilakukan? 3. Penghapusan elemen pada Queue selalu dilakukan pada elemen yang paling depan, bagaimana jika terpaksa harus menghapus elemen yang paling belakang? Halaman

112

4. Buatlah sebuah fungsi untuk menghitung jumlah elemen queue yang ganjil, jika diketahui sebuah queue dengan elemen bertype integer. 5. Buatlah fungsi/prosedur untuk mencetak elemen queue yang genep 6. Buatlah juga fungsi untuk menghitung rata-rata elemen queue yang ganjil 7. Buatlah sebuah fungsi untuk mengirimkan elemen pertama queue 8. Buatlah sebuah fungsi untuk mengirimkan elemen queue yang maksimum jika diketahui elemen queue terurut membesar dan bertype integer Halaman

113

Halaman

114

7. Pohon (Tree) 7.1. Definisi Rekurens Dari Pohon Sebuah pohon adalah himpunan terbatas tidak kosong, dengan elemen yang dibedakan sebagai berikut : 1. Sebuah elemen yang dibedakan dari yang lain yang disebut sebagai AKAR (root) dari pohon 2. Elemen yang lain (jika masih ada) dibagibagi menjadi beberapa sub himpunan yang disjoint dan masing-masing sub himpunan tersebut adalah pohon yang disebut sebagai sub pohon dari pohon tersebut. Halaman

115

Beberapa Istilah 1. Hutan Hutan adalah sequence (list) dari pohon 2. Simpul (Node) Simpul adalah elemen dari pohon yang memungkinkan akses pada sub pohon dimana simpul tersebut berfungsi sebagai Akar 3. Cabang Cabang adalah hubungan antara Akar dengan sub pohon

Halaman

116

4. Ayah Akar dari sebuah pohon adalah Ayah dari sub pohon 5. Anak Anak dari sebuah pohon adalah Sub pohon 6. Saudara Saudara adalah simpul-simpul yang mempunyai Ayah yang sama 7. Daun Daun adalah simpul terminal dari pohon. Semua simpul selain Daun adalah simpul bukan terminal Halaman

117

8. Jalan (Path) Jalan adalah suatu urutan tertentu dari Cabang 9. Derajat Derajat sebuah pohon adalah banyaknya anak dari dari pohon tersebut. Jika sebuah simpul berderajat N disebut pohon N-aire 1 disebut pohon 1-aire/uner 2 disebut pohon 2-aire/biner Halaman

118

10. Tingkat (Level) Level pohon adalah panjangnya jalan dari Akar sampai dengan simpul yang bersangkutan. Panjang dari jalan adalah banyaknya simpul yang dikandung pada jalan tersebut. Akar mempunyai tingkat sama dengan 1. Dua buah simpul disebut sebagai Sepupu jika mempunyai tingkat yang sama dalam sebuah pohon. Halaman

119

11. Kedalaman (Tinggi) Kedalaman (Tinggi) dari pohon adalah nilai maksimum dari tingkat simpul yang ada pada pohon tersebut. Kedalaman adalah panjang maksimum jalan dari Akar menuju ke sebuah daun 12. Lebar Lebar sebuah Pohon adalah maksimum banyaknya simpul yang ada pada suatu Tingkat (Level) Halaman

120

7.2. Struktur Pohon Biner Definisi Sebuah pohon biner (Binary Tree) adalah himpunan terbatas yang : ¾ Mungkin kosong atau ¾ Terdiri dari sebuah simpul yang disebut sebagai Akar dan dua buah himpunan lain yang disjoint yang merupakan pohon biner yang disebut sebagai Sub Pohon Kiri (Left) dan Sub Pohon Kanan (Right) dari pohon biner tersebut. Halaman

121

Pohon biner merupakan tipe yang sangat penting dari struktur data dan banyak dijumpai dalam berbagai terapan. Karakteristik yang dimiliki oleh pohon biner adalah bahwa setiap simpul paling banyak hanya memiliki dua buah anak, dan mungkin tidak punya anak. Istilah-istilah yang digunakan sama dengan istilah pada pohon secara umum.

Halaman

122

Notasi Prefiks, Infiks dan Postfiks 1. Notasi Prefiks Notasi Prefiks ditulis dengan cara mengikuti alur sebagai berikut :

Halaman

123

2. Notasi Infiks Notasi ini ditulis dengan cara mengikuti alur sebagai berikut :

Halaman

124

3. Notasi Posfiks Notasi ini ditulis dengan cara mengikuti alur sebagai berikut :

Halaman

125

Rekonstruksi Algoritma {Deklarasi Type} Type Infotype = … {terdefinisi} Type node = record Type BinTree : address {Primitif} Halaman

126

function Akar (P : BinTree)→ infotype {Mengirimkan nilai Akar pohon biner P} function Left (P : BinTree)→ infotype {Mengirimkan anak kiri pohon biner P} function Right (P : BinTree)→ infotype {Mengirimkan anak kanan pohon biner P}

Halaman

127

function IsEmpty(P : BinTree)→boolean { Test apakah sebuah pohon kosong, mengirimkan True jika kosong dan False jika tidak} procedure MakeTree(input Akar : infotype, L : BinTree, R : BinTree, output P : BinTree) { K. Awal : sembarang K. Akhir : Terbentuk sebuah pohon biner Proses : Menghasilkan sebuah pohon biner dari Akar, L dan R} Halaman

128

{Traversal} Procedur PreOrder(input P : BinTree) {K. AWAL : P terdefinisi K. AKHIR : Semua simpul P sudah diproses secara preorder} Procedure InOrder(input P : BinTree) {K. AWAL : P terdefinisi K. AKHIR : Semua simpul P sudah diproses secara inorder} Halaman

129

Procedure PostOrder(input P : BinTree) {K. AWAL : P terdefinisi K. AKHIR : Semua simpul P sudah diproses secara postorder} Procedure PrintTree(input P : BinTree, h : integer) {K. AWAL : P terdefinisi, h adalah jarak indentasi K. AKHIR : Semua simpul P sudah ditulis dengan indentasi}

Halaman

130

{Search} function Search(P : BinTree, X : infotype)→boolean {Mengirimkan True jika ada node P bernilai X, false jika tidak} {fungsi lain} function NbElmt(P : BinTree)→integer {Mengirimkan banyaknya elemen (node) pohon biner P} Halaman

131

function NbDaun(P : BinTree) →integer { Mengirimkan banyaknya daun pohon biner P} function IsUnerLeft(P : BinTree) →boolean { Mengirimkan True jika pohon biner tidak kosong P adalah pohon unerleft yaitu hanya mempunyai sub pohon kiri} function IsUnerRight(P : BinTree) →boolean { Mengirimkan True jika pohon biner tidak kosong P adalah pohon unerright yaitu hanya mempunyai sub pohon kanan} Halaman

132

function IsBin(P : BinTree)→boolean { Mengirimkan True jika pohon biner tidak kosong P adalah pohon biner yaitu mempunyai sub pohon kanan dan sub pohon kiri} function IsSkewLeft(P : BinTree)→boolean { Mengirimkan True jika pohon biner P adalah pohon condong kiri} function IsSkewRight(P : BinTree)→boolean { Mengirimkan True jika pohon biner P adalah pohon condong kanan} Halaman

133

function Tinggi(P : BinTree)→integer { Mengirimkan tinggi dari pohon biner P} function Level(P : BinTree, X : infotype)→integer { Mengirimkan level dari node X yang merupakan salah satu simpul dari pohon biner P} {Operasi Lain}

Halaman

134

Procedure AddDaunTerkiri(input/output P:BinTree, input X: infotype) {K. AWAL : P boleh kosong K. AKHIR : P bertambah simpulnya, dengan X adalah simpul daun terkiri} Procedure AddDaun(input/output P:BinTree, input X, Y : infotype, input Kiri : boolean) {K. AWAL : P tidak boleh kosong, X adalah salah satu daun pohon Biner P K. AKHIR : P bertambah simpulnya, dengan Y adalah anak kiri X (jika kiri) atau sebagai anak kanan X (jika not kiri)} Halaman

135

Procedure DelDaunTerkiri(input/output P:BinTree, output X: infotype) {K. AWAL : P tidak kosong K. AKHIR: P dihapus daun terkirinya dan didealokasi, dengan X adalah info yang semula disimpan pada daun terkiri yang dihapus} Procedure DelDaun(input/output P:BinTree, output X: infotype) {K. AWAL : P tidak kosong, X adalah salah satu daun K. AKHIR : X dihapus dari P} Halaman

136