Bahan Ajar Transformasi Mat Waj Kelas Xi.docx

SMA NEGERI 18 GARUT

MATEMATIKA WAJIB KELAS XI

Jalan Perum Abdi Negara 1 Tlp. (0262)44185 Karangpawitan Garut

Materi Pokok : Transformasi Geometri

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT

DINAS PENDIDIKAN

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang ‘memetakan’ tiap titik P pada bidang menjadi P’ pada bidang itu pula. Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P. Jenis-jenis Transformasi a. Tranlasi (Pergeseran) b. Refleksi (Pencerminan) c. Rotasi (Perputaran) d. Dilatasi (Perkalian) a. Translasi (Pergeseran) Konsep Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(a,b) menghasilkan bayangan A’(x’,y’)

b. Refleksi (Pencerminan) No

Refleksi

Bayangan (x,y)

1

Terhadap sumbu X

(x, -y)

2

Terhadap sumbu Y

(-x, y)

3

Terhadapt garis y = x

(y, x)

4

Terhadap garis y = -x

(-y, -x)

5

Terhadapat titik asal O(0, 0)

(-x, -y)

6

Terhadap garis x = h

(2h – x, y)

7

Terhadap garis y = k

(x, 2k – y)

8

Terhadap titik (a, b)

(2a – x, 2b – y)

Pencerminan Terhadap Titik O(0,0)

a  

A(x,y) T  b  A’(x’,y’) Ditulis dalam bentuk matriks

 x'   x   a           y'   y   b  Contoh 1 Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5).Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi 1 oleh T =   3

Bahasan , O (0,0)

1

T  3 

(0 + 1, 0 + 3) = 0’(1,3)

A (3,0)

T

(3 + 1, 0 + 3) = A’(4,3)

B (3,5)

T

1    3 1    3

(3 + 1, 5 + 3) = B’(4,8)

Contoh 2 Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25   1

oleh translasi T =   adalah…. 3 Bahasan,   1 Karena translasi T =  3  maka   x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1) y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2) (1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25 diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25; Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25

Contoh Titik A(1, 4) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0), tentukan bayangan A! Alternatif Penyelesaian: A (1, 4) CO(0,0) A’(x’,y’)  x'    1 0        y '   0  1

1   1       4   4

Bayangan A adalah A'(–1, –4) c. Rotasi (Perputaran) ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar Rotasi

Bayangan (x, y)

R(O, 90)

(-y, x)

R(O,-90)

(y, -x)

R(O, 180)

(-x,-y)

1

Contoh Jika titik A(–2, 3) dirotasi dengan pusat O(0, 0) dan sudut 900 berlawanan arah jarum jam maka tentukanlah bayangan titik tersebut! Bahasan

Jadi, bayangan titik A adalah A'(–3,–2)

d. Dilatasi (Perkalian) Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

Contoh, Jika titik A(–2, 3) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala 3 maka tentukanlah bayangan titik tersebut! Bahasan, A(–2, 3) D[O(0,0),3] A'(x', y')

 x'   - 2  - 6    3       y'  3 9 Jadi, bayangan titik A adalah A'(–6, 9) Latihan Soal. 1. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8). Bayangan kurva y = x2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah…. Bahasan a   Misalkan translasi tersebut T = b Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8) 1+ a = 7 → a = 6 -5+ b = -8 → b = -3 a = 6 dan b = -3 sehingga  6  translasi tersebut adalah T =   3    Karena T = Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6 y’ = y – 3 → y = y’ + 6 x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x2 + 4x – 12 y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12 y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12 y’ = (x’)2 – 8x’ – 3 Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

2.

Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +90o, adalah…. Bahasan R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’ disubstitusi ke: x + y = 6 y’ + (-x’) = 6 y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6 Jadi bayangannya: x – y = -6 3. Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -90o , adalah…. Bahasan R-90o berarti: x’ = xcos(-90) – ysin(-90) y’ = xsin(-90) + ycos(-90) x’ = 0 – y(-1) = y y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau dengan matriks: x'    0 1  x          y'    1 0   y  R-90o berarti: x’ = y → y = x’ y’ = -x → x = -y’ disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0 -2y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2y’ – 6 = 0 Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0 4.

Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’ Bahasan garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4) Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar: Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’ =½x6x4 = 12

2