Bahan Ajar Konsep Limit Fungsi.docx

I.

KONSEP LIMIT FUNGSI

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Ronaldo hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.

Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipun kalkulus sendiri telah diperkenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Leibniz pada pertengahan abad ke-17, sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan oleh Agustian Louis Cauchy pada abad ke-18.

Konsep limit fungsi di suatu titik adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi disekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri.

Pemahaman secara intuisi = Pandanglah sebuah funsi sebagai berikut : f(x) =

𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2

0

Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x=2 karena titik ini f(x) berbentuk 0 , yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati2. Secara lebih teapat, apakah f(x) menedekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 2? Untuk menjawab pertanyaan ini kita dapat menggunakan sebuah tabel seperti dibawah ini. x 1,75 1,85 1,95 1,97 1,99 1,999 … 2 … 2,001 f(x) 4,75 4,85 4,95 4,97 4,99 4,999 … 0 … 5,001 0

2,01 2,1 2,2 2,9 3,1 5,01 5,1 5,2 5,9 6,1

Dari tabel diatas sepertinyakita bias mengambil suatu kesimpulan yang sama, bahwa f(x) mendekati 5 bilamana x mendekati 2. Dalam lambang matematis, kita bisa tuliskan : lim

𝑥→2

𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2

=5

Ini dibaca “limit dari

𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2

untuk x mendekati 2 adalah 5”

Kita dapat menguraikan fungsi di atas, menjadi lim

𝑥→2

𝑥 2 +𝑥−6

=

𝑥−2

(𝑥+3)(𝑥−2) (𝑥−2)

= (x+3) = (2+3) = 5 Perhatikan bahwa

(𝑥−2) (𝑥−2)

=1 , selama x≠2

Dari semua uraian di atas kita dapat memberikan definisi tentang limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal) Definisi: Misalkan f sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real (f : R→R) dan misalkan L dan a bilangan real. Kita katakan bahwa: lim 𝑓(𝑥)= L

𝑥→𝑎

jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk semua x mendekati a. Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut. lim 𝑓(𝑥)= L dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L 𝑥→𝑎

II.

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI ALJABAR

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut : 1. 𝐥𝐢𝐦 𝒄 = c 𝒙→𝒂

2. 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒏 = an 𝒙→𝒂

3. 𝐥𝐢𝐦 𝒄 𝒇(𝒙) = c 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

4. 𝐥𝐢𝐦(𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

5. 𝐥𝐢𝐦(𝒇(𝒙) 𝒙 𝒈(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) x 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒙→𝒂

6. 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) / 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

7. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)𝒏 = (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙))n 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒏

n

8. 𝐥𝐢𝐦 √𝒇(𝒙) = √ lim 𝑓(𝑥) 𝒙→𝒂 𝑥→𝑎 III.

MENENTUKAN NILAI LIMIT FUNGSI

1. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦 𝒄 = c 𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 7 ! Jawab : Dik :

a=2 c=7 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c = c, maka : lim x →2 7 = 7 Jadi nilai dari lim x →2 7 adalah 7 2. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒏 = an 𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 x3 ! Jawab : Dik : a=2 n=3 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a xn = an , maka : lim x →2 x3 = 23 lim x →2 x3 = 8 Jadi nilai dari lim x →2 x3 adalah 8 3. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦 𝒄 𝒇(𝒙) = c 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 4( x + 2 ) ! Jawab : Dik : a=2 c=4 f(x) = ( x + 2 ) Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x), maka : lim x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim x →2 ( 2 + 2 )) lim x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim x →2 4) lim x →2 4( x + 2 ) = 16 Jadi nilai lim x →2 4( x + 2 ) adalah 16 4. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦(𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 ( x3 + x4) ! Jawab : dik : a=2 f(x) = x3 g(x) = x4

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x), maka : lim x →2 ( x3 + x4) = lim x →2 x3 + lim x →a x4 lim x →2 ( x3 + x4) = 23 + 24 lim x →2 ( x3 + x4) = 8 + 16 lim x →2 ( x3 + x4) = 24 Jadi nilai lim x →2 ( x3 + x4) adalah 24 5. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦(𝒇(𝒙) 𝒙 𝒈(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) x 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 ( x3 . x4) ! Jawab : dik : a=2 f(x) = x3 g(x) = x4 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x), maka : lim x →2 ( x3 . x4) = lim x →2 x3 . lim x →2 x4 lim x →2 ( x3 . x4) = 23 . 24 lim x →2 ( x3 . x4) = 8 . 16 lim x →2 ( x3 . x4) = 128 Jadi nilai dari lim x →2 ( x3 . x4) adalah 128 6. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝒙)

𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)

= 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) / 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 ( x4 / x3) ! Jawab : dik : a=2 f(x) = x4 g(x) = x3 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus limx →a ( f(x)/g(x)) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x)), maka : lim x →2 ( x4/x3) = (lim x →2 x4)/(lim x →2 x3) lim x →2 ( x4/x3) = 24/23 lim x →2 ( x4/x3) = 16/8 lim x →2 ( x4/x3) = 2 Jadi nilai dari lim x →2 ( x4/x3) adalah 2 7. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)𝒏 = (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙))n 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Tentukan nilai lim x →2 ( x4 + 1)2 ! Jawab : Dik : a=2 f(x) = x4 + 1 n=2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n, Maka : lim x →2 ( x4 + 1)2 = (lim x →2 x4 + 1)2 lim x →2 ( x4 + 1)2 = (24 + 1)2 lim x →2 ( x4 + 1)2 = (16 + 1)2 lim x →2 ( x4 + 1)2 = 172 lim x →2 ( x4 + 1)2 = 289 Jadi nilai dari lim x →2 ( x4 + 1)2 adalah 289 8. Contoh sifat 𝐥𝐢𝐦 𝒏√𝒇(𝒙) = n√ lim 𝑓(𝑥) 𝒙→𝒂

𝑥→𝑎

Tentukan nilai lim x →2 √x ! Jawab : Dik : a=2 f(x) = x4 n=2 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x), maka : lim x →22√x4 = 2√lim x →2 x4 lim x →22√x4 = 2√24 lim x →22√x4 = 2√16 lim x →22√x4 = 4 2

4

DAFTAR PUSTAKA https://archive.org/stream/bahan-ajar-limit-fungsi/bahan-ajar-limit-fungsi_djvu.txt

https://www.academia.edu/31929740/Konsep_Limit_Fungsi https://www.matematikakubisa.biz.id/2017/02/definisi-limit-fungsi-secara-intuisi.html