Bahan Ajar Deret Aritmatika.docx

BAHAN AJAR

Mata Pelajaran

:

Matematika

Kelas / Semester

:

XI / I

Kompetensi Dasar

:

3.6 Menggeneralisasi Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmatika dan Geometri 4.6 Menggunakan Pola Barisan Aritmatika atau Geometri

untuk

Menyelesaikan

Menyajikan

Masalah

dan

Kontekstual

(

Termasuk pertumbuhan, Peluruhan, Bunga Majemuk, dan Anuitas. Waktu

:

2 x 45 Menit ( 1 Pertemuan )

KOMPETENSI DASAR 3.6 Menggeneralisasi Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmatika dan Geometri 3.7 Menggunakan Pola Barisan Aritmatika atau Geometri untuk Menyajikan dan Menyelesaikan Masalah Kontekstual ( Termasuk pertumbuhan, Peluruhan, Bunga Majemuk, dan Anuitas.

INDIKATOR 3.6.3 Menjelaskan Konsep Derer Aritmatika. 4.6.3 Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Deret Aritmatika.

TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Siswa mampu menjelaskan Konsep Deret Aritmatika. 2. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Deret Aritmatika.

WAKTU 2 x 40 menit (1 x pertemuan)

1. DERET BILANGAN Deret suatu barisan bilangan dan jumlah n suku pertamanya Jika suku – suku suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku – suku barisan itu disebut Deret Secara Umum : maka

𝑼𝟏 , 𝑼𝟐 , 𝑼𝟑 , . . . . ,𝑼𝒏 adalah suku –suku dari suatu barisan,

𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + 𝑼𝟑 + . . . + 𝑼𝒏 adalah deret yang bersesuaian dengan barisan itu.

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan dilambangkan

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

Misal : 

Barisan : 1, 2, 3, 4, 5, ……… Deret



: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………

Barisan : 1, 4, 9, 16, 25, ……… Deret

: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……

Contoh : Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 +…hitunglah: a. jumlah dua suku yang pertama b. jumlah lima suku yang pertama c. jumlah sepuluh suku yang pertama d. jumlah n suku yang pertama e. jumlah 20 suku yang pertama Jawab: a. S2 = 1 + 3 = 4 b. S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 𝟓𝟐 c. S10 = 102 = 100 d. Sn = n2 e. S20 = 202 = 40

dengan 𝑺𝒏 , atau

2. JUMLAH n SUKU PERTAMA DERET ARITMATIKA Jika 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + 𝑼𝟑 + 𝑈4 + . . . + 𝑼𝒏 adalah deret aritmatika Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan 𝑆𝑛 , ditentukan dengan rumus : 𝑛

𝑆𝑛 = 2 (a + 𝑈𝑛 ) atau 𝑛

𝑆𝑛 = 2 (2a +(n – 1)b)

Dengan : n = banyak suku, n ∈ bilangan asli a = suku pertama b = beda atau selisih 𝑈𝑛 = suku ke – n 𝑆𝑛 = Jumlah n suku pertama deret aritmatika Contoh : 1. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada deret 9 + 12 + 15 + 18 + . . . . . Jawab : a = 9 b = 12 – 9 = 3 dan n = 20 𝑛

𝑆𝑛 = 2 (2a +(n – 1)b) 𝑆20 =

20 2

(2.9 +(20 – 1)3)

= 10(18 + 19.3) = 10(18 + 57) = 10(75) = 750 2. Hitunglah jumlah dari deret 5 + 7 + 9 + …. + 61 Jawab : a = 5, b = 7 – 5 = 2 dan 𝑈𝑛 = 61 𝑈𝑛 = 61 a + (n – 1)b = 61 5 + (n – 1)2 = 61 5 + 2n – 2 = 61

maka 𝑆𝑛 dapat

3 + 2n

= 61 2n = 61 – 3 2n = 58 n =

58 2

n = 29 (banyak suku = 29) 𝑛

𝑆𝑛 = 2 (a + 𝑈𝑛 ) 𝑆29 =

29 2 29

=

2

(5 +61) (66)

= 29 (33) 𝑆29 = 957 Jadi jumlah deret itu adalah 957

3. Hitunglah jumlah semua bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis

dibagi 7

Jawab : Bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah 7 + 14 + 21 + . . . . . + 98 a = 7, b = 14 – 7 = 7 dan 𝑈𝑛 = 98 𝑈𝑛 = 98 a + (n – 1)b = 98 7 + (n – 1)7 = 98 7 + 7n – 7 = 98 7n = 98 n=

𝟗𝟖 𝟕

= 14 (banyak bilangan yang habis dibagi 7 antara 5 dan 100 ada 14 buah)

𝑛

𝑆𝑛 = 2 (a + 𝑈𝑛 ) 𝑆14 =

14 2

(7 +98)

= 7(105) 𝑆14 = 735 Jadi, jumlah bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah 735

3. PENERAPAN DERET ARITMATIKA Penerapan barisan dan deret aritmatika yang dapat digunakan dalam bidang keuangan, pertanian, dan lain sebagainya. Contoh : 1. Pada bulan Januari 2001 Anto menabung Rp. 10.000,00. Jika setiap bulan berikutnya Anto menabung Rp. 5.000,00 lebihnya dari bulan sebelumnya. Berapakah jumlah seluruh tabungan Anto sampai akhir tahun? Jawab : Tabungan Anto dalam bentuk deret adalah 10.000 + 15.000 + 20.000 + . . . . . . . . a = 10.000, b =5.000 dan n = 12 𝑛

𝑆𝑛 = 2 (2a +(n – 1)b) 𝑆12 =

12 2

(2.(10.000) +(12 – 1)5.000)

= 6(20.000 + 11.(5.000)) = 6(20.000 + 55.000) = 6(75.000) 𝑆12 = 450.000 Jadi, jumlah seluruh tabungan Anto sampai akhir tahun adalah Rp. 450.000,00