Bagian Arus

BAHAN AJAR MATAKULIAH DINAMIKA LAUT BAGIAN ARUS

Oleh AMIRUDDIN

LABORATORIUM GEOFISIKA PROGRAM STUDI GEOFISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN 2006

BAB I SIRKULASI ARUS YANG DITIMBULKAN ANGIN Dua faktor penggerak Sirkulasi arus laut : a. Angin b. Perbedaan densitas Pengaruh angin lebih dominan di lapisan 100 m ke atas Dalam perkembangannya teori sirkulasi arus yang dibangkitkan angin mengalami tahapantahapan sbb : 1.

1898 Nansen secara kualitatif menerangkan mengapa arus yang ditimbulkan angin tidak bergerak searah dengan angin tetapi membentuk sudut 20o s/d 40o ke arah kanan angin (di BBU)

2. 1902 Ekman secara kuantitatif menunjukkan bahwa penyimpangan arus terhadap arah angin adalah disebabkan oleh rotasi bumi 3. 1947 Sverdrup menunjukkan bahwa angin merupakan "driving agent" arus permukaan di darah ekuator 4. 1948 Stommel menerangkan intesifikasi arus di bagian barat bumi 5. 1950 Munk menghasilkan rumusan analitik yang dapat menerangkan secara kuantitatif sirkulasi arus laut yang ditimbulkan oleh angin. 6. Tahun-tahun belakang ini berbagai model numerik tekah dikembangkan untuk mensimulasi arus laut. 1.1. Pernyataan Kualitatif Nansen Kita akan melihat kenapa arus permukaan tidak bergerak searah engan angin yang membangkitkannya. Misalkan sebongkah es terapung di atas air dan angin berhembus di atasnya (lihat gambar).

2

angin  F1  F1 Vo

V0 Z

y

Elemen es

 Fb

 Fb y

 Fc x angin

x

 Fc

(a)

(b) Gambar 1

Ft = gaya tangensial yang bekerja pada permukaan atas elemen es cenderung menggerakkan elemen es dalam arah angin. Fc = gaya coriolis yang membelokkan gerakan elemen es ke arah kanan angin (di BBU) Fb = gaya gesekan di dasar elemen es, bekerja dalam arah yang berlawanan dengan gerak elemen es. Kombinasi Ft dan Fc akan mengakibatkan gerakan es dipercepat tetapi sejalan dengan itu gaya gesekan Fb juga akan bertambah besar. Akhirnya tercapai keadaan tunak (steady) dimana Ft, Fc, dan F berada dalam keadaan setimbang (lihat gambar 1.b) dan es bergerak dengan kecepatan tetap V dalam arah antara F dan F yaitu ke arah kanan angin di BBU. 1.2. Persamaan Gerak yang Memperhitungkan Gesekan Persamaan gerak horizontal yang memperhitungkan gesekan dapat dituliskan sebagai

3

du ∂p  = fv − α + Fx  dt ∂x   dv ∂p = − fu − α + Fy   dt ∂y

(1)

Fx dan Fy komponen gaya gesekan (persatuan massa) dalam arah x dan y. Untuk keadaan tidak dipercepat fv + Fx − α

du dv = = 0, akaibatnya dt dt

∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y

− fu + Fy − α

(2)

yaitu : Coriolis + Gesekan + Tekanan = 0 Kesetimbangan gaya - gaya ini diperlihatkan dalam gambar 2.a P Gaya tekanan F Gaya friksi (netto)

P

C

Diagram vektor kesetimbangan

C Gaya Coriolis (a)

(b)

Penjumlahan vektor ketiga gaya - gaya tersebut diperlihatkan pada gambar 2.b Berdua dengan aliran geostropik, akibat bekerjanya gaya gesekan, gaya tekanan dan gaya Coriolis tidak lagi bertolak belakang. Bagaimana terjadi gesekan di dalam fluida ?

4

Didalam fluida, bilamana dua lapisan berada dalam gerak relatif maka gesekan akan terjadi. Kedua lapisan tersebut bisa saja bergerak dalam arah yang sama atau dalam arah yang berlawanan. Untuk gerakan yang arahnya sama satu lapisan harus bergerak lebih cepat dari yang lain. Dalam kedua keadaan tersebut terdapat "velocity shear" di dalam fluida dan harga gesekan merupakan fungsi dari velocity shear. Besarnya velocity shear dinyatakan sebagai

δu u 5 − u 4 = δz Z 5 − Z 4 →

δz → 0

∂u u 5 − u 4 = ∂z Z 5 − Z 4

lihat gambar 3 di bawah ini. Z0 Z1

δz

Z2

U0 ← δu →

U1 .Uz = 0

Z3

SHEAR KECEPATAN ( : . ADA FRIKSI)

U3

Z4

U4

Z5

U5

Z6

U6

Z7

U7

Z8

U8

Z9

U9

Z10

U10

= TIDAK ADA SHEAR ( : . TAK ADA FRIKSI)

Gambar 3 Hukum gesekan Newton :

τ =µ

∂u du = ρυ ∂z dz

(3)

strees gesekan 5

τ bekerja pada permukaan antara dua lapisan yagnbergerak dengan kecepatan berbeda. τ

cenderung memperlambat lapisan yang cepat dan mempercepat lapisan yang lambat.

Fluida yang memenuhi pers. (3) disebut fluida Newton. µ = viskositas dinamik (molekuler)

υ = µ / ρ = veskositas kinematik (molekuler) Persamaan (3) berlaku untuknaliran "laminer". Di laut, gerakan adalah turbulen dan viskositas molekuler diganti dengan viskositas Eddy. Strees gesekan Eddy dinyatakan sebagai

τ = ρAz

∂u ∂x

Kita akan mencari gaya gesekan persatuan massa. Tinjau suatu elemen fluida seperti terlihat pada gambar 4 z

δδSS .

τ2

U1

δS

U2

δS

τ2

U3

δS

U4

y

U5

0

x Gambar 4

Pada gambar 4 dapat dilihat bahwa

τ 2 = τ1 +

∂τ δz ∂z

∴(τ 2 − τ 1 )δs =

∂τ ∂τ (δsδz ) = δv ∂z ∂z

dimana δv = volume elemen fluida jika δs, δz → 0 maka

δv → 0

(τ 2 −τ1 )δs adalah gaya yang bekerja pada elemen fluida dalam arah x. 6

profil kecepatan

Gaya persatuan volume = Gaya persatuan massa =

∂τ dan ∂z

1 ∂τ ∂τ ∂ ∂u =α = α ( ρAz ) ρ ∂z ∂z ∂z ∂z

(4)

Bila dianggap ρAz adalah konstan maka gaya gesekan persatuan massa = Az

∂ 2u ∂z 2

(5)

Persamaan gerak horizontal dapat ditulis sebagai ∂τx ∂ 2u ∂p fv + α = fv + Az 2 = α ∂z ∂x ∂z ∂τy ∂ 2v ∂p − fu + α = − fu + Az 2 = α ∂z ∂y ∂z suku seperti Az

(6)

∂ 2u akan berperan dalam gerak fluida bila besarnya sebanding dengan ∂z 2

gaya Coriolis, atau

Az

U = fU H2

misalkan untuk Az = 10-1 m2/det, f = 10-4 /det

maka H 2 ≅ Az / f ≅ 10 −1 / 10 −4 ≅ 10 3 m 2

atau H ≅ 30m. Gaya gesekan besarnya masih sekitar 10 % gaya Coriolis pada kedalaman 100 m. Jadi di dalam lapisan setebal 1000 m dari permukaan atau dasar gaya gesekan harus diperhitungkan. 1.3. Solusi Ekman Terhadap

Persamaan Gerak Yang Memperhitungkan Gaya

Gesekan. Dari pers. (6) dapat kita lihat bahwa ada dua gaya penyebab gerak fluida yaitu distribusi massa (yaitu densitas) yang menimbulkan gradien tekanan, dan suku gesekan angin. Karenanya kita dapat menyatakan kecepatan mempunyai dua komponen yang 7

berhubungan dengan gradien tekanan horizontal dan komponen yang berhubungan dengan gesejkan vertikal. fv = f (v g + v E ) = α

∂p ∂2 − Az 2 (u g + u E ) ∂x ∂z

(7)

dimana fv g = α

∂p , ∂x

ug, vg komponen kecepatan geostropik

dan fv E = Az

∂p , uE, vE komponen kecepatan Ekman ∂x

∂p ∂ 2u E −3 suku Az diabaikan karena besarnya ≤ 10 α . 2 ∂x ∂z Untuk menyederhanakan masalah, Ekman menganggap air adalah homogen dan tidak ada slope dipermukaan sehingga suku tekanan akan nol. Sebagai akibatnya vg juga = 0, artinya ia hanya menyelesaikan persamaan gerak dalam vE saja. Secara keseluruhan anggapannya adalah : 1. Tidak ada batas lateral. 2. Dalam laut tak berhingga (untuk menghindari gesekan dasar) 3. Az = konstan 4. Angin dengan kecepatan tetap berhembus di atas permukaan air dalam waktu yang cukup lama. 5.

Air adalah homogen dan permukaan laut datar sehingga

ρ = ρ ( p ) yaitu kondisi barotropik jadi tidak ada arus. 6. f adalah konstan yaitu pendekatan dengan bidang f.

Persamaan Ekman menjadi 8

∂p ∂p = = 0 , karena ∂x ∂y

 ∂ 2u E =0  2  ∂z  2 ∂ vE − fu E + Az = 0 ∂z 2  fv E + Az

(8)

atau Coriolis + gesekan = 0 Untuk penyederhanaan, dianggap angin berhembus dalam arah y. Solusi persamaan Ekman adalah :

ηz (ηz / DE )  )e  DE   ηz (ηz / DE )  0 v E = v 0 sin( 45 + )e  DE

u E = ± v0 cos(45 0 +

(9)

+ untuk BBU dimana V0 =

[

- untuk BBS

]

2Π τ yη / [ DE ρ f

]

(10)

Arus permukaan Ekman toyal

τ yη = stress angin pada permukaan laut (berbanding lurus dengan kecepatan angin kuadrat) DE = Π (2 Az / f) 1/2 ; kedalaman Ekman atau kedalaman pengaruh gesekan. Interprestasi Solusi : 1. Dipermukaan, z = 0 u = ± V0 cos 450 , v = V0 sin 450 artinya arus permukaan membentuk sudut 450 kearah kanan angin (di BBU) atau ke kiri angin BBS. 2.

Di bawah permukaan, kecepatan arus total = V0 e

(πz/DE)

berkurang dengan dalam (z

menjadi lebih negatif) dan arah arus berubah menurut putaran jarum jam di BBU (berlawawanan putaran jarum jam di BBS).

9

3.

Arah arus berlawanan dengan arus permukaan untuk z = - DE. Kecepatan arus di kedalaman z = - DE adalah e-π ∗ kecepatan arus permukaan (e-π = 0,04). DE biasanya dinyatakan sebagai kedalaman efektif dari wind driven current (arus yang ditimbulkan angin) atau "lapisan Ekman".

Interprestasi solusi Ekman secara ilustratif diperlihatkan pada gambar 5. y V0 = Kec. Permukaan

angin

V0

V0

x

Gaya friksi Total

V1 V2 V3 V4 V5

DE

V6 gaya coriolis

V7 V8 V9 V10 V11

v = V0 sin 450 V0

V0 y

450 V1 u = V0 cos 450

V11 x V7 V6

V2 V5 V4

V3 Spiral ekman

Gambar 5 10

Untuk mendapatkan hubungan empiris antara arue permukaan, Vo, kecepatan angin, w, dan kedalaman, DE, Ekman mengadakan pengamatan. 1.

Stress angin = τ η = ρα CD w2 dimanan

ρα = densitas udara CD = drag coeff ≅1,4 x 10-3 (besaran yang tidak berdimensi) dan W = kecepatan angin (m/det). τ η = 1.3 kg m-3 x 1,4 x 10-3 x w2 = 1,8 x 10-3 w2 Pa. Subtitusikan kedalam persamaan (10)

V0 =

2 xηx1,8 x10 −3 xw 2 D E x1025kgm −3 x f

w2 m / det = 0,79 x 10 DE f -5

(11)

2. Observasi lapangan yang dilakukan Ekman menunjukkan bahwa arus permukaan dankecepatan angin mempunyai hubungan sebagai : V0 0,0127 = diluar ± 100 lintang dari ekuator w (sin φ )1 / 2

(12)

subtitusi (12) dalam (11) didapat

DE =

4,3w m (sin φ )1 / 2

(13)

Jika diketahui kecepatan angin, w, disuatu lintang φ kita dapat menghitung V0 dan DE, dan kecepatan pada tiap kedalaman di bawah permukaan. DE bergantung pada w lihat persamaan (13); dari persamaan (10) dapat diperlihatkan bahwa Az bertambah dengan bertambahnya w. Jika kita tahu DE kita dapat menaksir harga Az. Beberapa harga numerik dari hubungan - hubungan di atas diberikan pada tabel 1. Tabel 1. Lintang φ V0/w Kecepatan angin (w)

100 0,030

450 0,015 11

800 0,013

Az (taksiran)

10 m/det DE 20 m/det

100

50

45 m

0,014 m2/det

DE

200

100

90 m

0,055 m2/det

1.4. Transport dan Upwelling - Efek dari batas (boundaries) Arus Ekman berkurang dengan dalam. Arus yang paling kuat adalah ke arah kanan (kiri) angi. Kita tentu mengharapkan bahwa transport bersih (net transport) akan ke arah kanan (kiri) angin. Pada kenyataannya transport bersih adalah tegaka lurus ke arah kanan (kiri) angin. Persamaan gerak horizontal tanpa adanya gradien tekanan diberikan oleh

ρfv E dz +

∂τ x =0 ∂z

∂τ y

;

− ρfu E +

,

+ ρfu E dz = +dτ y

∂z

=0

yang dapat ditulis sebagai :

ρfv E dz = −dτx

(14)

ρv E dz adalah massa yang mengalir pedetik dalam arah y melaluisuatu bidang vertikal dengan kedalaman dz dan lebar 1 m dalam arah x. 0

∫ ρv

E

dz = massa total perdetik yang mengalir dalam arah y dari kedalman z ke

z

permukaan melaui bidang vertikal dengan lebar 1 m. 0

∫ ρu

E

dz = massa total yang mengalir dalam arah x persatuan lebar dari kadalaman z ke

z

permukaan. Jika kita pilih z cukup dalam, maka integral akan mencakup seluruh arus yang ditimbulkan angin. Kita pilih z = - 2 DE dimana kecepatan menjadi exp (-2π) = 0,002 kali kecepatan dipermukaan yang secara pendekatan ≅ 0. Kita gunakan simbol MxE dan MyE untuk menyatakan tramsport Ekman dalam arah x dan y. 0

fM yE = f

∫ ρv E dz = −

− 2 DE

0

∫ dτ

− 2 DE

x

= −(τ x ) efc + (τ x ) −2 DE

12

(15)

0

fM xE = f

∫ ρu E dz = −

− 2 DE

0

∫ dτ

− 2 DE

y

= −(τ y ) efc + (τ y ) −2 DE

(τ x ) −2 DE dan (τ y ) − 2 DE = 0 karena kecepatan di bawah kedalaman D E pada hakekatnya adalah nol jadi tidak akan ada lagi shear, yang berarti tidak ada gesekan. Akhirnya diperoleh

fM xE = τ yη dan fM yE = −τ xη

(16)

Variasi ρ adalah kecil jadi dapat dikeluarkan dari integral dalam persamaan (15). Harga ρ yang dipergunakan adalah harga rata - rata dari kedalaman 2 DE ke permukaan. Trasport volume (persatuan lebar) 0

Q y = ∫ V E dz sering digunakan sebagai alternatif dari transport massa. z

Maka MyE = ρ QyE dan MxE = ρ QxE dan bentuk alternatif pers. (16) adalah :

fQ xE = ατ yη dan

fQ yE = −ατ xη

(16b)

Dalam contoh, angin berhembus dalam arah y, jadi τxη = 0. Oleh karena itu MyE = 0, tetapi MxE >)

karena

τyη > 0. Hal ini menunjukkan bahwa transport bersih adalah lurus ke kanan (ke kiri) angin. Hasil ini tetap benar untuk arah angin yang manapun. 1.5. Upwelling Dan Welling Yang Jauh Dari Daratan

13

Di laut sebenarnya, angin tidaklah uniform seperti anggapan yang dibuat Ekman tetapi berubah dengan posisi. Sebagai contoh, jika arah angin adalah tetap tetapi kecepatannya bervariasi dalam arah tegak arah angin, maka transport Ekman yang tegak lurus arah angin akan bervariasi dan air di lapisan atas akan dipaksa mengarah atau menjauhi satu dengan yang lain, artinya konvergensi atau divergensi akan terbentuk. Kontinuitas fluida menghendaki konvergensi diikuti oleh gerakan ke bawah (down welling) sedangkan divergensi diikuti oleh gerakan ke atas (upwelling). Sebagai contoh, di Atlantik Utara arah angin umumnya ke arah timur di lintang tinngi dan ke arah barat di lintang rendah. Atau di lintang tinggi angin adalah westerlies sedangkan di lintang rendah easterlies. Daerah konvergen dan divergen yang timbul oleh transport Ekman akan mengakibatkan terbentuknya gradien tekanan yang akan menghasilkan arus geostropik. Arus yang oleh gradien tekanan ini (geostropik) mencapai kedalaman 1000 s/d 2000 m. Sedangkan arus yang timbul oleh angin (arus Ekman) hanya mencapai kedalaman 100 s/d 200m. Angin yang berhembus ke barat sepanjang daerah ekuator (gambar 6.b), meskipun tanpa shear horizontal akan menyebabkan divergensi dan upwelling di ekuator (lihat gambar 6.d) karena transport Ekman akan ke arah kanan da utara ekuator dan ke arah kiri di selatan ekuator, yaitu kedua - duanya menjauhi ekuator. 1.6 Gesekan Dasar dan Efek Dangkal Jika arus mengalir di atas dasar laut, gesekan akan menimbulkan pola arus spiral Ekman di atas dasar tetapi arah rotasinya berlawanan dengan arah rotasi spiral Ekman di lapisan dekat permukaan. Dengan menganggap Az konstan, pers. Ekman (8) tetap berlaku tetapi syarat batasnya berbeda, kecepatan tangensial harus nol di dasar ( u = v = 0 ) dan harus konstan di atas lapisan Ekman, diatas Ekman layer dianggap kecepatan arus geotropik tidak bergantung z. Jika kita ambil u = ug, V = 0 di daerah geostropik (meskipun rotasi relatif terhadap arus geostropik tidak tergantung pada arah arus geostropik). Solusi Ekman di lapisan dekat dasar laut (di BBU) adalah :

14

[

]

u E = u g 1 − e − πz / DE cos(π z / DE )

(17)

v E = u g e −πz / DE sin(π z / DE ) dimanan z = 0 diambil di dasar laut (yang dianggap datar) DE = π 2 Az / f Pers. (17) memenuhi pers. (8).

Di z = 0, uE = vE = 0 seperti yang dikehendaki. Untuk z > DE / π, e-πz/DE →0 dan uE = ug, vE = 0 (dikehendaki). Dekat, tidak pada, permukaan dasar πz/DE<<1 dan dengan menguraikan e-πz/DE, sin (π/DE), dan cos (πz/DE) samapi ke orde pertama saja (mengabaikan orde yang lebih tinngi) diperoleh uE =

πzu g DE

= vE

jadi dekat dasar u dan v berubah secara linier dengan dalam (z) dan di dekat dasar arus membentuk sudut 450 ke kiri arus geostropik (di BBU) dan ke kanan di BBS. Kecepatan arus adalah no; di dasar. Kenapa arus dekat dasar ke arah kiri ? (di BBU). Sebelum efek gesekan dasar dirasakan oleh arus geostropik gaya Coriolis diimbangi oleh gaya gradien tekanan. Coriolis arahnya ke kanan arus sedangkan gradien tekanan ke kiri arus. Kita dapat menganggap di dekat dasar kondisinya adalah barotropik dimana gradien tekanan tidak tergantung pada kedalaman. Arus yang di dekat dasar akan mengalami pengaruh gesekan dasar dan akibatnya

arus akan diperlambat. Gaya coriolis akan

berkurang dengan diperlambatnya arus (coriolis berbanding lurus dengan diperlambatnya arus). Dengan berkurangnya coriolis, gaya gradien tekanan tidak sepenuhnya diimbangi. Akibatnya arus akan dibelokkan ke arah kiri hingga jumlah vektor gaya - gaya coriolis dan gesekan dapat mengimbangi gaya gradien tekanan. 15

Solusi yang sama (dengan anggapan yang sama) berlaku untuk angin yagn berhembus di atas laut atau darat. Karena di BBU angin permukaan adalah 450 ke kiri angin geostropik (angin di atas Ekman layer), arus permukaan adalah 450 ke kanan angin permukaan, maka arus permukaan arahnya akan sama dengan arah angin geostropik. Di BBS hasil yang sama juga akan diperoleh. Arah penyimpangan angin permukaan biasanya kurang dari 450, yang umum diamati di atas laut adalah 100 - 200. Pada ketinggian 10 m kecepatan angin permukaan adalah 60 - 70 % kecepatan angin geostropik. Ketebalan lapisan Ekman (Ekman Layer) di atmosfir 10 kali lapisan Ekman di laut. Viskositas kinematik Eddy (Az) 100 kali viskositas Eddy di lapisan Ekman untuk laut. Situasi yang lebih kompleks : kombinasi arus geostropik dan arus Ekman yang bertumpang tindih di permukaan (dan dengan arus Ekman di lapisan dasar jika air adalah dangkal dan pengaruh geostropik sampai ke dasar). Keadaan di atas akan lebih kompleks lagi bila bertumpang tindih dengan arus pasut yang mungkin saja berotasi. Akan sangat sukar sekali untuk menganalis arus yang terdiri dari tiga komponen : geostropik, arus Ekman, dan pasut, terutama sekali bila ketiga - tiganya berubah dengan waktu. Jika air adalah dangkal dan kedalaman kurang dari DE atau sebanding dengan DE maka arus Ekman permukaan dan arus Ekman dasar akan saling menutup atau bahkan overlap. Di

perairan

dangkal

kedua

Spiral

Ekman

akan

cenderung

saling

menghapus/menghilangkan sehingga transport total akan mengarah mengikuti angin tidak lagi tegak lurus angin. Bila kedalaman air berkurang menjadi kira - kira 1/10 DE maka transport pada hakekatnya mengikuti arah angin. Disini efek gaya coriolis dihilangkan oleh gesekan. 1.7 Keterbatasan Teori Ekman Teori Ekman cukup bagus, tetapi kita tidak menjumpainya di laut. Namun kita dapat mengamati di laboratorium. Kenapa Spiral Ekman tidak kita jumpai di laut ?. Alasannya adalah : Ekman membuat anggapan - anggapan yang kurang realistis dalam penurunan teorinya. Komentar tentang anggapan - anggapannya : 16

1. tidak ada batas - tidak realistik tetapi anggapan yang tidak terlalu jelek untuk daerah yang jauh dari pantai. 2. Dalam laut yang tak berhingga - tidak benar Tetapi hanya memberikan kesalahan yang klecil di laut terbuka. Harga DE : 100 - 200 m yang relatif lebih kecil dibanding kedalaman rata - rata laut 4000 m 3. Az adalah konstan - mungkin tidak benar Tetapi sangat sedikit sekali pengetahuan orang tentang Az dewasa ini. 4. Solusi steady state dan angin tetap - mungkin merupakan sumber sebenarnya dari kesalahan karena baik angin maupun laut tidaklah Steady (kecuali sekitar daerah angin paasut) 5. Ada sumber - sumber lain dari gerakan fluida di laut yaitu thermohaline, pasut, gelombang permukaan dan gelombang dalam (internal wave). Sukar untuk memisahkan komponen arus Ekman dari komponenn arus - arus yang ditimbulkan sumber - sumber lain dari gerak tadi. Untuk memisahkannya diperlukan data arus yang diukur dalam satuan waktu yang lama. 6. Air homogen - tidak realistik, anggapan yang patut di kritik. Sverdrup telah mengkoreksi anggapan ini. 7. Asumsi bidang - f - merupakan sumber kesalahan yang kecil untuk daerah yang terbatas.

17

BAB II SOLUSI SVERDRUP UNTUK SIRKULASI ARUS YANG DITIMBULKAN ANGIN Persamaan gerak yang mengabaikan percep[atan dan gesekan akibat gradien horizontal kecepatan adalah :

α

∂τ ∂p = fv + α x , ∂x ∂z

α

∂τ y ∂p = − fu = α ∂y ∂z

(6)

yaitu : Tekanan = Coriolis + gesekan Ekman mengabaikan suku gradien tekanan dengan menganggap laut yang homogen ("tidak realistik") dengan isobar - isobar yang datar yaitu bukan aliran geostropik. Sverdrup tetap menentukan u dan v sebagai fungsi dari kedalaman z secara detail. Sverdrup hanya menentukan transport massa Mx dan My diseluruh lapisan yang dipengaruhi angin. Ia mengintegrasikan persamaan gerak dari permukaan (diambil sebagai z = 0 karena η akan lebih kecil dari pada DE) sampai ke z = - h (dianggap di atas dasar) dimana gerak arus yang ditimbulkan angin menjadi nol. Gerakan arus itu tidak saja meliputi arus Ekman tetapi juga arus geostropik yang ditimbulkan oleh divergensi aliran Ekman. Jadi h << DE. Integrasi pers. (6) menghasilkan 0

0

    = − fM x + τ yη   

∂p ∫−h ∂x dz = −∫h ρfvdz + τ xη = fM y + τ xη 0

0

∂p ∫−h ∂y dz = −−∫h ρfudz + τ yη

τxη dan τyη adalah stress gesekan angin dipermukaan dalam arah x dan y 18

(18)

Ingat :

(τ x ) − h

dan

(τ )

y −h

kedua - duanya nol karena pada z = - h gerakan arus yang

ditimbulkan angin sama dengan nol. Untuk menyederhanakan notasi, subkript η kita hilangkan dalam pembahasan berikut. Diferensir persamaan pertama dari (8) terhadap y dan persamaan kedua terhadap x, kemudian kurangkan. ∂τ ∂ ∂p ∂ dz = ( fM y ) + x ∫ ∂y − h ∂x ∂y ∂y 0

∂τ y ∂ ∂p ∂ dz = − ( fM ) + x ∂x −∫h ∂y ∂x ∂x 0

atau ∂M y ∂τ x ∂2 p ∂f ∫−h ∂y∂x dz = M y ∂y + f ∂y + ∂y 0

∂M x ∂τ y ∂2 p ∂f ∫−h ∂x∂y = − M x ∂x − f ∂x + ∂x ___________________________ 0

0= My

Mx

-

 ∂M x ∂M y  ∂τ x ∂τ y − ∂f + f + − + ∂y ∂y  ∂y ∂x  ∂x

∂f sama dengan nol karena f tidak berubah dengan lintang ( f ≅ f(x) ) ∂x ∂M x ∂M y + = 0 , dari persamaan kontinuitas. ∂x ∂y

Jadi My

∂f ∂τ y ∂τ x = − ∂y ∂x ∂y

(19)

19

Persamaan (19) dan persamaan kontinuitas transport massa ∂M x ∂M y + =0 ∂x ∂y

(20)

membentuk pasangan persamaan yang menggambarkan transport massa Mx dan My Perhatikan kembali persamaan (19) ∂τ y ∂x dari curl

 τη

−

∂τ x adalah komponen vertikal ∂y



(atau ∇xτη )

∂τ y ∂τ x  curlzτη = − ∂x ∂y

(21)

Persamaan (21) disebut persamaan Sverdrup.

β=

∂f ∂y

sumbu y adalah arah utara - selatan bila menggunakan notasi bidang β



Pada beberapa tempat curl z τ η akan hilang (sama dengan nol) dan pada tempat - tempat tersebut tidak akan ada transport utara - selatan (meskipun di tempat tersebut ada aliran aliran yang bila ditambahkan akan saling menghilangkan). Garis sepanjang mana curl z  τ η = 0 merupakan batas alami yang memisahkan sirkulasi menjadi "gyres". Mx dan My merupakan transport total dilapisan yang dipengaruhi angin, didefinisan sebagai Mx =

0

0

−h

−h

∫ ρudz dan M y = ∫ ρvdz

Kita tulis : MX = MXE + Mxg Dengan MXE = transport Ekman (non - geostropik), Mxg = transport geostropik Hal yang sama berlaku untuk My 20

My = MyE + Myg Pers. (18) menjadi 0

fM yE = f ∫ ρv E dz = −τ x −h

0

fM yg = f

∫ ρv g dz =

−h

0

∂p

∫ ∂x dz

(22)

−h

hal yang sama berlaku untuk Mx 0

fM XE = f

∫ ρu

E

dz = τ y

−h

0

− fM Xg = − f

∫ ρu

−h

0

g

dz =

∂p

∫ ∂y dz

−h

2.1. Besar (magnitude) suku - suku persamaan Sverdrup Untuk menaksir magnitude suku - suku persamaan Sverdrup kita tinjau daerah di Atlantik Utara pada lintang 350 N dengan kecepatan angin 7 - 8 m/detik (sekitar 15 knots) yang berhembus dari barat.

τ X ≅ 10 −1 Nm −2 (atau Pa) dan τy =0 ∂τ  10 −1 Nm −2 → curl zτ η ≅ − x ≅ ≅ −10 −7 Nm −8 ∂y 1000km f ≅ 10 −4 s −1 , β ≅ 2 x10 −11 m −1 s −1 menggunakan persamaan (22) dan harga - harga di atas diperoleh M yE = −

τx = −10 +3 kgm −1 s −1 f 21

tanda ( - ) menunjukkan aliran ke arah selatan. Menggunakan pers. (21) M y = M yE + M yg =

=−

 curl zτ η

β

10 −7 = −5 x10 3 kgm −1 s −1 2 x10 −11

kita lihat bahwa Myg = -4 x 103 kg m-1s-1 yang ditimbulkan oleh variasi utar - selatan dari angin dan konsekuensi dari konvergensi MyE, Myg jauh lebih besar dari MyE. Harga My di atas hanya untuk lebar laut = 1 m, jadi untuk lebar laut 5000 km = 5 x 10 6 m, aliran ke selatan akan menjadi 25 x 109 kg s-1 ≅ transport massa

25 x 106 m3 s-1 transport volume

atau 25 Sverdrup Dalam oseanografi, biasanya digunakan ρ = kg m3 bila ingin merubah dari transport massa menjadi transport volume karena kesalahannya hanya ≅ 3 % relatif terhadap penggunaan densitas yang sebenarnya. Kesalahan ini dapat diabaikan bila dibandingkan dengan ketidakpastian dalam menaksir transport. 2.2. Aplikasai Persamaan Sverdrup Sverdrup menerapkan persamaan (19) & (20) pada daerah angin pasat di lintang rendah dimana τy dan

∂τ y ∂x

dapat dianggap tak berarti (jauh lebih kecil dari suku - suku yang lain),

dan variasi τx dengan X dirata-ratakan. F = 2 Ω sin φ ; dy = R dφ dimana R = jari jari bumi 22

β=

df d ( 2Ω sin φ ) = dy Rdφ

β=

2Ω cos φdφ 2Ω cos φ = Rdφ R

dari pers. (19) : My

∂τ ∂f = − x , τ x = rata - rata dari τx ∂y ∂y

atau ∂τ  2Ω cos φ  My =− x  R  ∂y  My =−

∂τ x R 2Ω cos φ ∂y

menggunakan pers. (20) : ∂M y  ∂ 2τ x ∂τ x  ∂M x 1  R 2 + =− = tan φ  ∂x ∂y 2Ω cos φ  ∂y ∂y  integrasi dari x = 0 (pantai) dimana Mx disana sama dengan nol. x  ∂ 2τ x ∂τ x  ∂M x 1 dx = ∫0 ∂x ∫0 2Ω cos φ  R ∂y 2 + ∂y tan φ dx x

Mx =

 ∂ 2τ − x ∂τ x  1  R + tan φ  2 2Ω cos φ  ∂y ∂y 

My = −

∂τ x R 2Ω cos φ ∂y

23

dan

(23)

disini x adalah jarak dari pantai yang membujur dari utara - selatan ke suatu titik P di tengah laut yang terletak di sebelah barat pantai (lihat gambar 6)

Gamabr 6 Nilai x disini adalah negatif. Tanda bar ( - ) di atas suku stress angin τ x menunjukkan harga rata - rata yang diambil dalam jarak x. Harga Mx dan My adalah harga di titik P. Bila kita bandingkan solusi Ekman dan solusi Sverdrup kita lihat bahwa solusi Sverdrup tidak memberikan perubahan kecepatan arus terhadap kedalaman seperti yang secara detail diberikan oleh Ekman. Tetapi Sverdrup teloah memasukan satu batas lateral yang merupakan suatu langkah maju menuju suatu laut yang realistik (tidak seperti Ekman yang meninjau suatu laut yang tapa batas horizontal. Kelebihan lain dari solusi Sverdrup adalah laut yang ditinjau Sverdrup tidak lagi homogen jadi lebih mewakili laut sebenarnya. Perhatikan kembali pers. (23) Harga Mx ditentukan oleh dua suku : 24

∂τ x ∂ 2τ x tan φ dan ∂y ∂y 2

Di daerah angin pasat dan di daerah ekuator ternyata dari kedua suku tersebut,

∂ 2τ x yang ∂y 2

lebih penting. Pada gambar 7 diperlihatkan karakter komponen x dari angin rata - rata di ∂ 2τ x (garis putus - putus). ∂y 2−

Pasifik Timur (garis penuh) dan karakter dari

Gambar 7 Perkataan "karakter" disini dimaksudkan untuk menyatakan gambaran skematis. Variasi angin terhadap lintang yang sebenarnya tidaklah teratur seperti yang terlihat pada gambar. 9. Dapat dilihat bahwa : ∂ 2τ x a. Di utara lintang 15 N dan di selatan 2 N harga adalah positif dan x adalah ∂y 2 0

0

negatif, jadi Mx adalah nrgatif yaitu arus bergerak ke arah barat (NEC & SEC) 25

b.

Antara 150 N dan 20 N (dol of drum), harga

∂ 2τ x adalah negatif dan x adalah negatif, ∂y 2

jadi Mx positif, yaitu arus bergerak ke arah timur (NECC). Secara kualitatif gambar di atas memperlihatkan bagaimana solusi Sverdrup menerangkan adanya (eksistensi) sistem arus di equator yang terdiri dari dua arus yang mengalir ke barat (NEC & SEC) dan arus yang mengalir ke timur (NECC) di antar NEC dan SEC. Sistem arus ini tidak simetris terhadap ekuator tetapi agak bergeser sedikit ke utara sesuai dengan sistem angin pasat yang tidak simetris terhadap ekuator Pasifik. Distribusi arus di Atlantik sama seperti di Pasifik tetapi di lautan Hindia, pola angin berubah menurut musim dan pola arus berubah mengikuti angin. Pada waktu Monsoon timur laut (November s/d Maret) pola angin sama seperti pola angin di Pasifik dan Atlantik tetapi terletak sedikit ke selatan. NEC mangalir di atas ekuator sedangkan NECC dan SEC terletak di bawah ekuator. Pada waktu Monsoon barat daya (Mei s/d September) angin pasat tenggara melintasi ekuator dan diutara ekuator angin bertiup ke arah timur laut (disebut Monsoon barat daya). Akibatnya hanya ada dua sistem arus yaitu arus yang digerakkan oleh monsoon barat daya ke arah timur (mengalir ai atas ekuator) dan Southern Equatorial Current di selatan ekuator mengalir ke arah barat. Sverdrup secara kuantitatif menguji solusinya dengan cara : a.

Menghitung τx dari angin rata - rata dan kemudian menghitung curl dst. Kemudian menghitung Mx dan My pada posisi - posisi tertentu yang didefinisikan dengan x (jarak dari batas sebelah timur)

b.

Menetukan Mxg dan Myg secara independent dengan metoda geostropik berdasarkan data oseanografi lapangan dan kemudian menambahkan transport Ekman untuk mendapatkan transport total, dan

c. Membandingkan hasil kedua perhitungan di atas. 26

Hasil dari perhitungan ini setelah direvisi oleh Reid (1948) diperlihatkan pada gambar 10. Harga Mx diperlihatkan pada gambar yang kiri dan harga My pada gambar yang kanan. Karena harga My adalah kecil, kesalahan relatif dalam menentukan My dari medan densitas adalah besar. Hal ini sedikitnya mungkin merupakan alasan mengapa ada ketidaksesuaian harga My yang dihitung dengan kedua metoda di atas tidak seperti halnya ∂ 2τ x dengan Mx. Ingat bahwa , yang berbanding lurus dengan Mx, mempunyai struktur ∂y 2 yang rumit bila angin sebenarnya yang digunakan ( tidak sederhana seperti yang terlihat pada gambar 9 ). Perhatikan bahwa Mx ≅10 My yang merupakan hal yang khas terutama sekalai untuk daerah ekuator. Alasannya terletak pada perbedaan antara skala panjang arah timur - barat dan utara - selatan dari sistem gyre. Skala panjang dalam arah timur - barat (Lx) ditentukan oleh batas - batas benua, dan skala panjang dalam arah utara - selatan (Ly) ditentukan dari  garis - garis curlz τ η = 0 . Umumnya rasio Lx/Ly adalah 10/1. Karena dari kontinuitas: ∂Mx ∂My + =0 ∂x ∂y

maka

Mx Lx 10 ≅ ≅ My Ly 1

kenyataan ini dapat kita lihat dari sudut pandang yang lain. Air yang bergerak ke utara atau ke selatan di dalam suatu gyre harus bergerak ke timur atau ke barat untuk "menutup" gyre. Jadi transport total utara - selatan sama dengan trasport total timur - barat yaitu MyLx = MxLy atau Mx Lx 10 = = My Ly 1 Air mengalir dalam arah yang ditunjukkan oleh tanda panah antara dua garis, transport total adalah 5 x 106 ton perdetik (atau sekitar 5 sv) 2.3. Keterbatasan - keterbatasan teori Sverdrup

27

1.

Aplikasinya hanya terbatas padda bagian timur yang dari laut,karena x dalam ekspresi untuk Mx (persamaan (23)) akan membuat Mx bertambah ke arah barat. Mx memang bertambah besar ke arah barat tetapi tidak sebesar harga yang diperoleh dengan persamaan (23). Mungkin alasan perbedaan ini adalah dikarenakan gesekan lateral (antara arus) diabaikan. Gesekan lateral ini akan bertambah dengan bertambah besarnya arus. Jadi di laut sebenarnya Mx tidak terus menerus betambah ke arah barat secepat yang ditunjukkan oleh persmaan Sverdrup. Suku -suku stress τx dan

∂ 2τ x jelas ∂y 2

bervariasi dalam x dan ini tidak dapat dimasukkan dalam membangun teori Sverdrup. 2. Persamaan diferensial hanya mengijinkan satu syarat batas yang harus dipenuhi, tidak ada aliran mengalir melalui pantai. Untuk dapat menerapkan lebih banyak syarat batas (misalnya syarat no slip di batas bagian timur dan mungkin syarat - syarat di bagian barat), diperlukan persamaan yang lebih kompleks. 3. Solusi persamaan Sverdrup hanya memberikan transport massa yang diintegrasikan terhadap dalam tetapi tidak memberikan detail distribusi kecepatan terhadap kedalaman.

28

BAB III KONTRIBUSI STOMMEL : INTENSIFIKASI ARUS DI BAGIAN BARAT BUMI Kalau kita perhatikan peta sirkulasi arus laut yang ditimbulkan angin maka akan terlihat adanya intensifikasi arus di barat bumi. Sebagai contoh : Gulf Stream, Kuroshio dan arus Agulhas. Alasan fisis dari fakta ini belum diketahui hingga Stommel mengemukakan teorinya. Dalam menerangkan intensifikasi arus ini, Stommel beranjak dari persamaan Sverdrup dengan menambahkan faktor gesekan. Sebelum kita bicarakan teori Stommel secara detail, terlebih dahulu ada baiknya kita tunjau masalah intensifikasi arus ini secara kualitatif dilihat dari sudut pandang vortisitas. Misalkan kita mempunyai profil angin seperti yang terlihat pada gambar 8.

Gambar 8 Profil angin dan vortisitas yang ditimbulkannya 29

Distribusi angin ini akan mengakibatkan laut berotasi mengikuti arah putaran jarum jam, karenanya menimbulkan vortisitas yang negatif atau vortisitas antisiklonik. Di pihak lain, gerak utara - selatan di dalam sikulasi arus mengakibatkan perubahan vortisitas relatif karena perubahan komponen vertikal vortisitas planeter. Perubahan vortisitas relatif akibat perubahan komponen vertikal vortisitas planeter adalah sedemikian sehingga vortisitas absolut adalah konstan. Untuk laut yang dalamnya konstan hubungan antara vortisitas relatif dan komponen vertikal vortisitas planeter diberikan oleh : f + ζz = konstan f

= parameter Coriolis = komponen vertikal vortisitas planeter

ζz = vortisitas relatif atau vortisitas lokal yang di amati konstanta = vortisitas absolut Parsel air yang bergerak dari selatan ke utara ( f bertambah ) cenderung meimbulkan vortisitas relatif yang negatif. Sebaliknya parsel air yang bergerak dari utara ke selatan ( f berkurang ) akan menimbulkan vortisitas relatif yang positif. Dalam model sirkulasi laut, secara rata - rata kita perlukan jumlah air yang mengalir dari selatan ke utara sama dengan jumlah air yng mengalir dari utara ke selatan (hukum kontinuitas). Vortisitas bersih (net vorticity) yang ditambahkan oleh angin tidak dapat diimbangi oleh transport meridional besih dari fluida. Kita perlukan mekanisme lain yang akan bertindak sebagai sink (sumur) bagi vortisitas yang ditambahkan oleh angin. Akan kita lihat apakah gesekan lateral dapat mengatasi masalah ini. Jika gesekan lateral bekerja pada batas - batas utar - selatan, maka vortisitas yang berlawanan (vortisitas positif) dengan sirkulasi akan terbentuk. Jadi kita telah mempunyai sink yang kita perlukan. 30

Kita gunakan istilah - istilah : -

vortisitas stress angin ζτ

-

vortisitas gesekan

ζf

-

vortisitas planeter

ζp

dan kita anggap aliran adalah tunak yang berarti vortisitas di setiap titik adalah konstan. Sekarang kita akan menaksir besar (magnitude) ketiga vortisitas yang disebut di atas. Distribusi vortisitas stressangin dipandang tetap dan diberi harga relatif -1. Jika sirkulasi arus laut adalah simetris, tendensi vortisitas gesekan di batas barat atau timur magnitudenya satu orde lebih kecil, katakanlah +1,1. Tendensi vortisitas planeter mungkin ordenya -1 di bagian bagian barat dan +1 dibagian timur (secara pendekatan), tetapi di bagian barat tidak terdapat keseimbangan. Untuk laut yang seperti ini (edaran arus yang simetris) kondisi yang tunak tidaklah mungkin. TABEL 1 Tendensi vortisitas

Aliran arus ke utara di

Aliran arus ke selatan di

bagian barat

bagian timur

Stress angin

- 1, 0

- 1, 0

Gesekan

+ 0, 1

+ 0, 1

Planeter

- 1, 0

+ 1, 0.

Total

- 1, 9

+ 0, 1

Sebaliknya, jika sistem arus sangat tidak simetris, dengan streamlines yang rapat di bagian bagian barat, suatu keadaan yang hampir setimbang antara vortisitas stress angin dan vortisitas planeter di bagian timur tidaklah banyak berubah dan vortisitas gesekan tetap kecil. Tetapi di bagian barat, karena streamlines yang rapat, kecepatan dan shear dari aliran bertambah dan vortisitas gesekan dan vortisitas planeter karenanya bertambah dengan cepat, ordenya lebih besar dari orde magnitude vortisitas stress angin, katakanlah + 10 dan

31

- 9. Keseimbangan antara vortisitas di bagian barat dan timur dari laut diperlihatkan dalam tabel 2 Keseimbangan antara vortisitas ini menghasilkan kondisi yang tunak. TABEL 2 Tendensi vortisitas

Aliran arus ke utara di

Aliran arus ke selatan di

bagian barat

bagian timur

Stress angin

- 1, 0

- 1, 0

Gesekan

+ 10, 0

+ 0, 1

Planeter

- 9, 0

+ 0, 9.

Total

0, 0

0, 0

3.1. Model Sirkulasi Arus Stommel Tinjau suatu laut segi empat dengan titik awal koordinat kartesian terletak di sudut barat daya. Sumbu x ke arah timur dan sumbu y ke arah utara, sumbu z positif ke arah atas. Batas - batas lateral adalah x = λ, y = 0, dan y = b. Laut dipandang homogen dan bila dalam keadaan diam kedalaman (yang konstan) adalah D. Bila ada arus kedalaman akan berbeda dengan D, dengan faktor tambahan h = (x, y). Jadi kedalaman total adalah (D + h). Angin yang berhembus di atas laut dianggap hanya dalam arah zonal (barat - timur) seperti terlihat pada gambar 12. Bentuk fungsional sederhana dari stress angin diambil sebagai

τ x = − F cos

πy , τy =0 b

(22)

untuk menjaga agar gerakan arus tidak dipercepat, maka diperlukan suku gesekan. Misalkan Ex dan Ey adalah komponen gesekan lateral.. 32

Persamaan gerak horisontal adalah : 1 ∂p ∂  ∂u  = fv +  Kv  + Ex ρ ∂x ∂z  ∂z 

(23)

1 ∂p ∂  ∂v  = − fu +  Kv  + Ey ρ ∂y ∂z  ∂z 

(24)

dimana Kv = Av/ρ, koefisien Austausch (kinematik). Komponen persamaan gerak dalam arah z adalah persamaan hidrostatik. ∂p = − ρg ∂z

(25)

Karena air adalah homogen maka persamaan hidrostatik dapat diintegrasikan terhadap z, z

p = − ρg ∫ dz = ρg (h − z )

(26)

h

Persamaan (26) dideferensir terhadap x dan y, ∂h ∂p ∂h ∂p = ρg = ρg , ∂y ∂x ∂x ∂y

(27)

Substitusikan dalam persamaan (23) dan (24) dan diintegrasikan secara vertikal dari - D ke h : h

h

h

h

∂h ∂  ∂v  dz = − ∫ fudz + ∫  Kv dz + ∫ E x dz (28) ∂x ∂z  ∂z  −D −D −D −D

g∫ h

h

h

h

∂h ∂  ∂u  dz = ∫ fvdz + ∫  Kv dz + ∫ E y dz ∂y ∂z  ∂z  −D −D −D −D

g∫

Untuk menyederhanakan analitis, Stommel mengambil u dan v kedalaman. 33

(29)

tidak tergantung pada

Dengan menulis

Kv

∂u ∂z

Kv

∂v ∂z

z=h

z =h

=τx

Kv

∂u ∂z

=τy

Kv

∂v ∂z

z =− D

=0

Z =− D

=0

integrasikan persamaan (28) dan (29) menghasilkan g ( D + h)

∂h = fv( D + h) + τ x + ( D + h) Ex ∂x

(30)

g ( D + h)

∂h = − fu ( D + h) + τ y + ( D + h) Ey ∂y

(31)

Untuk gesekan lateral Ex dan Ey, digunakan bentuk yang sederhana yaitu : berbanding lurus dengan kecepatan fluida. (D + h) Ex α - u atau

(D + h) Ey α - v

(D + h) Ex - Ru

(32)

(D + h) Ey = - Rv R : adalah konstanta yang merupakan koefisien gesekan dengan satuan (panjang/waktu). Harga R ditentukan kemudian dengan cara tunning agar didapatkan harga kecepatan layak. Untuk mendapatkan satu persamaan yang menyatakan keseimbangan vortisitas, persamaan (22) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30) dan (31) dan kemudian persamaan pertama dideferensir terhadap y dan persamaan kedua terhadap x, hasilnya g ( D + h)

∂2h ∂h ∂h ∂ ∂f +g = f (v( D + h)) + v ( D + h) ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂y

(33)

∂u  πF   πy  +  sin   − R ∂y  b  b  dan g ( D + h)

∂2h ∂h ∂h ∂ ∂v +g =−f (u ( D + h)) − R ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂x 34

(34)

kurangkan persamaan (33) dan (34) diperoleh : ∂  ∂ ∂f − f  ( u ( D + h ) ) + ( v ( D + h ) )  − v ( D + h) ∂y ∂y  ∂x   ∂v ∂u   πF   πy  =  sin   + R −   b   b   ∂x ∂y 

(35)

Kita harus menambahkan persamaan kontinuitas : ∂Mx ∂My + =0 ∂x ∂y

(36)

atau dapat ditulis sebagai : h

h

∂ ∂ ρudz + ρvdz = 0 ∫ ∂x − D ∂y −∫D

(37)

Untuk ρ yang konstan serta u dan v yang tidak bergantung pada z, persamaan (37) di atas menghasilkan, ∂ [ u ( D + h) ] + ∂ [ v ( D + h)] = 0 ∂x ∂y

(38)

Jadi persamaan (35) menjadi : − v ( D + h)

 ∂v ∂u  ∂f  πF   πy  =  sin   + R −  ∂y  b   b   ∂x ∂y 

(39)

Suku ruas kiri dan dan suku pertama di ruas kanan dari persamaan (39) merupakan suku suku persamaan zonal dari Sverdrup : ∂τ ∂f My = − x ∂y ∂y Suku - suku ini menyatakan keseimbangan antara transport meridional dari vortisitas dan curl dari stress angin. Suku ketiga merupakan suku tambahan yang menyatakan tambahan vortisitas yang disebabkan oleh gesekan lateral. Di laut sebenarnya, h << D (h

ordenya cm, D ordenya m). Jadi sebagai pendekatan

pertama kita dapat menuliskan kembali persamaan (39) sebagai v

D ∂f  πF   πy   ∂v ∂u  +  sin   +  −  = 0 R ∂y  bR   b   ∂x ∂y 

Persamaan (38) juga ditulis kebali sebagai 35

(40)

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(41)

Karena aliran adalah dua dimensi dan inkompreaibel maka kita dapat mengintrodusir stream function

ψ , dimana

u=−

∂ψ ∂ψ ; v= ∂y ∂x

(42)

sebagai penyingkatan didefinisikan

α≅

D ∂f πF ; γ =− R ∂y bR

(43)

Persamaan (40) dapat ditulis kembali sebagai  ∂ 2ψ ∂ 2ψ  2 + 2 ∂y  ∂x

 ∂ψ πy  + α = γ sin ∂x b 

(44)

Syarat batas yang harus dipenuhi untuk mendapatkan solusi persamaan ini adalah : tidak ada aliran melalui batas - batas laut yaitu (lihat gambar 14), u (0, y ) = u (λ , y ) = v( x,0) = v ( x, b) = 0 atau bila dinyatakan dalam ψ

ψ (0, y ) = ψ (λ , y ) = ψ ( x,0) = ψ ( x, b) = 0

(45)

Secara fisis syarat ini menyatakan bahwa batas "vertikal" laut adalah Stream line. Dalam oseanografi, variasi f dengan lintang disebut efek beta dan sistem koordinat bidang singgung dimana parameter coriolis dianggap konstan kecuali diturunkan terhadap meridional (arah y) disebut bidang beta ( β ). Jika f merupakan fungsi linier terhadap y, , ∂f 2Ω cos φ = β = kons tan = ∂y R0 disini R0 = jari - jari bumi. Jadi

α≡

D ∂f = konstan R ∂y

dan persamaan (44) adalah persamaan deferensial parsial dengan koefisien yang konstan. Solusi umum persamaan (44) adalah : 36

ψ = ψ1 +ψ 2 ψ 2 adalah solusi dari persamaan homogen ψ 1 adalah solusi dari persamaan non homogen Jika kita anggap bahwa : ∂ 2ψ 1 πy = γ sin 2 b ∂y dan diintegrasikan dua kali, akan diperoleh  γb 2  πy ψ 1 = − 2  sin b π 

(46) Persamaan homogen adalah ∂ 2ψ 2 ∂ 2ψ 2 ∂ψ 2 + + ε =0 ∂x ∂x 2 ∂y 2

(47)

ψ 2 memenuhi syarat batas (45),2 ψ (0, y ) = ψ 1 (0, y ) = ψ 2 (0, y ) = 0 dengan menggunakan ψ 1 dari persamaan (46) diperoleh  γb 2  πy ψ 2 (0, y ) =  2  sin b π 

(48)

Dengan cara yang sama diperoleh  γb 2  πy ψ 2 (λ , y ) =  2  sin = −ψ 1 b π 

(49)

ψ 2 ( x,0) = ψ 2 ( x, b) = 0

(50)

dan

Untuk mencari solusi persamaan (47) kita gunakan teknik pemisahan variabel, misalkan

ψ 2 = x( x) y ( y ), dimana x(x) hanya fungsi x saja y(y) hanya fungsi y saja Substitusi dalam persamaan (47) diperoleh : 37

x" y + xy"+αx' y = 0 Pisahkan x da y, x"+αx ' y" = − ≡ n2 x y dimana n adalah suatu konstanta, atau

x"+αx '− n 2 = 0

(51)

dan

y"+ n 2 y = 0

(52)

Persamaan karakteristik (51) adalah k 2 + αk − n 2 = 0

α α2 k1 = − − + n2 2 4

(53a)

α α2 + + n2 2 4

(53b)

k2 = −

Jadi x( x) = C1e k1x + C 2 e k 2 x

(54)

dimana C1 dan C2 adalah konstanta. Solusi persamaan (52) adalah Y ( y ) = C 3 sin ny + C 4 cos ny

(55)

C3 dan C4 juga konstanta. Sekarang kita gunakan syarat - syarat batas. Dari ψ 2 = ( x,0) = 0 kita lihat C4 = 0 dan dari

ψ 2 = ( x, b) = 0 didapat n =

π . Kemudian untuk ψ 2 (0, y ) = −ψ 1 , b

 γb 2  πy  πy  ψ 2 (0, y ) = C 3 sin  ( C1 + C 2 ) =  2  sin b b  π  kita dapat mengambil C1 + C2 = 1 bila kita nyatakan C 3 =

γb 2 π2 38

(56a)

Dari ψ 2 (0, y ) = −ψ 1 ,

ψ 2 (γ , y ) =

γb 2  πy  γb 2 πy k 1λ k 2λ sin ( C e + C e ) = sin   1 2 2 2 b π π b 

atau

C1e k1λ + C 2 e k 2 λ = 1

(56b)

dari persamaan (56a) dan (56b) didapat : C1 =

1 − e k 2λ e k1λ − e k 2λ

(57a)

C2 =

e k1λ − 1 e k 1λ − e k 2λ

(57b)

dan

Solusi umum dari persamaan (3.35) adalah

 γb 2  πy  (1 − e k 2κ )e k1x + (1 − e k1κ )e k 2 x  ψ =  2  sin  − 1 b  e k1λ − e k 2 λ π  

(58)

k1 dan k2 diberikan oleh persamaan (53). Garis - garis ψ = konstan adalah stream line dari aliran horisontal. Komponen -komponen kecepatan horisontal u dan v dapat diperoleh dari (42), u=−

∂ψ ∂ψ ; v= ∂y ∂x

 γb   πy  u = −  cos  C1e k 1x + C 2 e k 2 x − 1 π   b 

(

)

(59)  γb   πy  v = −  sin   C1 k1e k1x + C 2 k 2 e k 2 x π   b 

(

)

(60) Untuk memvisualisasikan arti persamaan (58) dan untuk memperlihatka peranan yang dimainkan oleh parameter - parameter yang berbeda, Stommel menghitung berbagai contoh. 1. f dianggap sama dengan nol, kasus laut yang tidak berortasi 39

2. f dianggap konstan, kasus laut yang berotasi secara uniform 3.

f dianggap fungsi linier dari lintang f ≡ βy

Kasus ketiga ini yang paling mendekati laut yang sebenarnya. Dimensi dari model laut Stommel : λ = 109 cm = 104 km,

b = 2π x 3 = 2π x 10 km = 6300 km

D = 2 x 10 cm = 200 m Untuk menseleksi D agar kecil, Stommel hanya meninjau lapisan permukaan yang langsung dipengaruhi oleh angin. Stress angin maksimum, F, diambil = 1 dyne/cm2. R = koefisian - gesekan, diambil = 0,02. 1. Kasus Laut yang Tidak Berotasi Untuk laut yang tidak berotasi, konstanta C1 dan C2 dari persamaan (43), (53) dan (57) secara pendekatan (menurut Stommel) dengan kesalahan 1 % :

C1 =

1 − eπλ / b =1 e −πλ / b − eπλ / b

e −πλ / b − 1 C1 = −πλ / b πλ / b = e −πλ / b e −e Dari persamaan (58), persamaan untuk stream line adalah

 γ b 2   π y  ( x − λ )π / b − xπ / b ψ =  2  sin  ( e −e − 1) π   b  Plot streamline dari persamaan ini ditunjukkan pada gambar 9.

Kita lihat bahwa

streamline adalah simetris terhadap garis utara - selatan dan barat - timur.

40

Gambar 9 Garis arus - garis arus untuk laut yang tak berotasi atau berotasi secara seragam 2. Kasus Laut Yang Berotasi secara Uniform Dengan mengambil f = konstan tidak merubah

C1 dan C2. Streamlinenya sama

dengan yang diperlihatkan pada gambar 15. 3. Kasus Parameter Coriolis yang Merupakan Fungsi Linier dari Lintang Di laut sebenarnya, variasi f hampir linier di lintang rendah dan β = 1013 cm-1/det. Dengan menggunakan harga ini bersama dengan parameter - parameter lain yang telah dispesifikasikan menghasilkan streamline yang tidak simetri antara bagian barat dan timur (lihat gambar 10).

Gambar 10 Garis arus - garis arus untuk laut yang berotasi, parameter Coriolis merupakan fungsi linier dari lintang Kita lihat streamline menumpuk dan menyempit di bagian barat sementara sirkulasi di bagian tengah dan bagian timur tetap lebar. Hasil ini menunjukkan kesamaan dengan

41

intensifikasi arus di bagian barat dari laut yang sebenarnya. Penyebabnya adalah variasi f dengan lintang. Pembahasan di atas adalah untuk BBU. Untuk BBS : f diambil negatif, α tidak berubah, β tetap positif. Jika stress angin masih diberikan oleh

τ x = − F cos

πy b

b < 0 dan y hanya berganti tanda. Gambar 15 dan 16 dapat dipakaikan untuk daerah di selatan ekuator, karena dari persamaan (59) dan (60) jelas bahwa : u (x,y) = u (x, -y)

dan

v (x,y) = - v (x,-y) menumpuk dan menyempitnya streamlines

di bagian barat dalam kasus

merupakan fungsi linier dari lintang terdapat baik di BBU maupun di BBS.

42

f

yang

BAB IV TEORI MUNK TENTANG SIRKULASI LAUT YANG DISEBABKAN OLEH PENGARUH ANGIN Dalam model Stommel untuk intensifikasi arus di laut bagian barat, laut dianggap homogen. Anggapan ini menghasilkan arus horisontal yang meluas sampai ke dasar. Hasil ini bertentangan dengan hasil pengamatan yang memperlihatkan transport massa dalam jumlah besar terjadi di lapisan atas. Anggapan ini juga menimbulkan komplikasi matematik yang mamaksa Stommel mengambil jalan untuk mengatasi hal ini dengan mengambil gaya gesekan yang agak sembarang. Untuk menghindari kesulitan - kesulitan ini, Munk tetap mempertahankan transport massa Sverdrup sebagai dependent variable. Sekali lagi hal ini memungkinkan untuk menyelidiki kasus yang lebih umum dari laut yang baroklinik (tidak homogen) tanpa keharusan untuk menspesifikasikan distribusi vertikal dari densitas dan kecepatan. Seperti model Stommel, laut dalam model mempunyai batas - batas berbentuk segi empat dan bila tidak ada arus permukaan laut adalah datar. Sumbu x ke arah timur, sumbu y ke arah utara, dan sumbu z positif ke atas. Bidang z = 0 terletak pada muka rata - rata, permukaan sebenarnya adalah z = h(x,y). Persamaan gerak horisontal untuk kondisi tunak dan mengabaikan suku non linier adalah : − ρfv = −

∂p ∂  ∂u  ∂  ∂u  ∂  ∂u   +  AV +  AH  +  AH  ∂x ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  43

(1)

ρfu = −

∂p ∂  ∂v  ∂  ∂v  ∂  ∂v   +  AV +  AH  +  AH  ∂x ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 

(2)

Persamaan - persamaan ini mempunyai suku - suku yang sama dengan suku persamaan Stommel : gaya Coriolis, gradien tekanan, gesekan lateral dan gesekan vertikal. Kita ingin mengintegrasikan persamaan (1) dan (2) secara vertikal dari suatu kedalaman z = - D dimana gradien tekanan horisontal dan gerakan sama dengan nol (seperti model Sverdrup) ke permukaan z = h(x,y). Dengan mendefinisikan integrasi vertikal tekanan sebagai h

p≡

∫

pdz

(3)

−D

Integral di gradien tekanan persamaan (1) dan (2) adalah h

h

h

h

∂p ∂ ∂h ∂D ∫− D ∂x dz = ∂x −∫D pdz − ∂x p( z = h) − ∂x p( z = − D) dan ∂p ∂ ∂h ∂D ∫− D ∂y dz = ∂y −∫D pdz − ∂y p( z = h) − ∂y p( z = − D) Dua suku terakhir adalah nol karena ∂D ∂D = = 0 dan p(z=h) = 0 ∂x ∂y menggunakan (3) didapat h

∫

−D h

∫

−D

∂p ∂p dz = ∂x ∂x ∂p ∂p dz = ∂y ∂y

(4)

Integrasi suku - suku Coriolis dari persamaan (1) dan (2) menghasilkan komponen transport massa Mx dan My f

∂p ρudz = fMx ∂x

f

∂p ρvdz = fMy ∂x

(5) 44

dan integrasi suku -suku shearing stress vertikal menghasilkan komponen x dan y dari stress angin permukaan τ x dan τ y , h

∫

−D h

∫

−D

∂  ∂u   Av dz = τ x ∂z  ∂z  ∂  ∂v   Av dz = τ y ∂z  ∂z 

(6)

Integrasi suku - suku shearing stress horisontal lebih rumit dan suatu pendekatan yang sembarang harus dibuat agar hasil analitik dapat dicapai. Misalnya : ambil AH = ρ KH dan KH, viskositas kinematik eddy sebagai konstanta, h

h

∂  ∂u  ∂  ∂u  ∫− D ∂x  AH ∂x dz = K H −∫D∂x  ρ ∂x dz  ∂ h ∂u ∂h  ∂u   = K H  ∫ ρ dz −  ρ   ∂x  ∂x  z = h   ∂x − D ∂x h  ∂ h ∂ρu ∂ ∂ρ ∂h  ∂u   = KH  ∫ dz − u dz −  ρ   ∫ ∂x − D ∂x ∂x  ∂x  z =h   ∂x − D ∂x h  ∂2 h ∂  ∂h ∂ρ  ∂h  ∂u   = K H  2 ∫ ρudz −  ( ρu ) z = h + ∫ u dz  −  ρ   ∂x  ∂x ∂x  ∂x  ∂x  z =h   ∂x − D −D memperhitungkan/mengambil seluruh sukuk - suku ini tidaklah mungkin. Munk menganggap bahwa integrasi, dengan menggunakan (5), dapat didekati sebagai h

∂ ∂u  ∂2 A dz = K   H ∫ ∂x  H ∂x  ∂x 2 −D

h

∫ ρudz = K H

−D

∂2 Mx ∂x 2

Akhirnya integrasi suku -suku shearing stress horisontal dapat didekati sebagai

∂   ∂2 ∂u  ∂  ∂u  ∂2    A + A dz = K +   H 2 ∫  ∂x  H ∂x  ∂y  H ∂y  ∂y 2  ∂x − D h

dan

45

 Mx 

(7a)

∂   ∂2 ∂v  ∂  ∂v  ∂2    A + A dz = K + H 2 ∫  ∂x  H ∂x  ∂y  H ∂y  ∂y 2  ∂x −D  h

 My 

(7b)

Menggabungkan persamaan (4), (5), (6) dan (7a,b) integrasi persamaan gerak (1) dan (2) secara vertikal menghasilkan : − fMy = −

 ∂2 ∂p ∂2 + K H  2 + 2 ∂x ∂y  ∂x

  Mx + τ x 

(8)

dan  ∂2 ∂p ∂2  fMx = − + KH  2 + 2 ∂y ∂y  ∂x

  My + τ y 

(9)

Sekarang, karena variasi h dengan x dan y relatif kecil dan kita mencari solusi untuk keadaan tunak, maka adalah mungkin (seperti dalam model Sverdrup) menggunakan persamaan kontinuitas yang diintegrasi secara vertikal dalam bentuk ∂Mx ∂My + =0 ∂x ∂y Hal ini menuntut adanya stream function transport massa ∏ = ∏( x, y ) sedemikian sehingga Mx = −

∂∏ ∂∏ ; My = ∂y ∂x

(10)

Analog dengan stream function transport volume ψ (x,y), yang ada bila aliran adalah dua dimensi dan non divergen (divergensi horisontal dari kecepatan = 0, ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0). Suatu stream function transport massa ada bila aliran adalah dua dimensi dan divergensi horisontal dari transport massa sama dengan nol (∂Mx/∂x + ∂My/∂ y = 0). Substitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (8) dan (9) diperoleh −f

 ∂3 ∏ ∂3 ∏  ∂∏ ∂p  +τx = − − K H  2 + 2  ∂x ∂x  ∂x ∂y ∂y 

−f

 ∂3 ∏ ∂3 ∏ ∂∏ ∂p = − − K H  2 + ∂y ∂y ∂x∂y 2  ∂x

dan   + τ y  46

Persamaan pertama diferensir terhadap y dan persamaan kedua terhadap x  ∂4 ∏ ∂2 ∏ ∂∏ ∂2 p ∂ 4 ∏  ∂τ x  + −f −β =− − KH  2 2 + 4  ∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂ x ∂ y ∂ y   ∂y −f

 ∂4 ∏ ∂2 ∏ ∂2 p ∂ 4 ∏  ∂τ y =− + K H  4 + 2 2  + ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂y  ∂x  ∂x

_______________________________________________  ∂   4  K H ∇ − β  ∏ = −curl zτ ∂x  

_ (11)

dimana ∇4 adalah operator biharomik dua dimensi ∇4 ≡

∂4 ∂4 ∂4 + 2 + ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

Seperti sebelumnya, persamaan (11) ini adalah persamaan tendensi vortisitas yang menyatakan keseimbangan antara tiga torsi : yaitu pertama yang disebabkan oleh gesekan lateral, kedua yang disebabkan oleh vortisitas planeter dan yang ketiga disebabkan oleh stress angin. Suku kedua dan ketiga persamaan (11) merupakan persamaan Sverdrup. Suku - suku inilah yang akan tinggal dalam persamaan (11) bila kita anggap bahwa derivatif dengan orde tinggi tidak penting. Ada 8 syarat batas, 4 pada x dan 4 pada y, diperlukan untuk mendapatkan siolusi persamaan (11) : 1. Tidak ada aliran melalui batas - batas ∏ = 0 pada batas

(12)

Syarat batas ini menyatakan bahwa batas - batas adalah streamline yang harganya diambuil sama dengan nol. 2. Tidak ada shear aliran sepanjang batas ∂Π/∂n = 0 pada batas

(13)

47

n

adalah normal terhadap batas. Secara fisis persamaan (13) menyatakan tidak ada

transport massa sepanjang batas. Dinyatakan dalammlaut segi empat kita, dari

x=0

x = λ dan dari y = - b ke y = + b, syarat - syarat batas ini menjadi :

ke

∏(0, y ) = ∏(λ , y ) =

∂ ∏(0, y ) ∂ ∏(λ , y ) = =0 ∂x ∂x

(14)

∂ ∏( x, b) ∂ ∏( x,−b) = =0 ∂y ∂y

(15)

dan ∏( x, b) = ∏( x,−b) =

Munk mengamati bahwa memiliki batas - batas laut yang sembarang seperti di atas, akan membuat tidak mungkin untuk mempelajari laut yang sebenarnya. Tetapi ia menunjukkan bahwa solusi untuk "bentuk umum" (main feature) dalam sirkulasi laut diharapkan tidak sensitif terhadap pilihan batas - batas, kaena bentuk umum ini sama disemua laut meskipun batas - batasnya tidak sama. Untuk amgin zonal (τy = 0 ) stress pada permukaan laut dapat dinyatakan sebagai

τ x.n ≡ a n cos

nπy nπy + d n sin + cn b b

(16)

dimana n = 1,2,3, ..... nπ/b dapat dipandang sebagai bilangan gelombang angin (wind wave number). Sebagai contoh : n=1

τ x.1 ≡ a1 cos

πy πy + d1 sin + c1 b b

dan anggap bahwa a1, b1, c1, semuanya positif. Plot komponen angin zonal ini akan terdiri dari jumlah ketiga suku di ruas kanan (lihat gambar 18). Stress angin zonal total adalah jumlah seluruh τx.n adalah Στx.n.  curl zτ x.n 1 adalah jumlah suku - suku  ∂τ curl zτ x.n 1 = − x.n ∂y atau  nπ  nπy nπy  curl zτ x.n 1 = − d n cos  a n sin  b  b b  48

(17)

 curl zτ x.n 1 adalah komponen z dari curl dari n komponen stess angin zonal.

  curl zτ x.n 1 = Σcurl zτ x.n 1 Karena τx.n

adalah kombinasi linier dari τx.n

(persamaan 16) maka tiap

τx.n dapat

digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial (11) secara independen dan kita dapat menulis ∂  nπ  nπy nπy   4 − d n cos  K H ∇ − β  ∏n = −  a n sin  ∂x  b  b b  

(18)

Solusi umum dari persamaan (18) terdiri dari jumlah solusi khusus dari persamaan non homogen. Solusi khusus didapat dengan mengintegrasikan ∂ 4 (∏ n ) 1 1  nπ  nπy nπy  = − d n cos −  a n sin  4 K H  b  b b  ∂y hasilnya (∏ n ) 1 = −

1 ( a n sin my − d n cos my ) m KH

(∏ n ) 1 = −

 1 curl τ 1 z x.n m3 K H

3

atau (19)

dimanan m = nπ/b subscript 1 menunjukkan solusi khusus. Bentuk persamaan homogen dari persamaan (18) ditulis oleh Munk sebagai (∇ 4 − k 2

∂ )(∏ n) 2 = 0 ∂x

(20)

Subscript 2 menunjukkan solusi persamaan homogen k ≡ 3 β / KH

(21) yang disebut "bilangan gelombang Coriolis - Gesekan" (Coriolis - friction wave number), k dianggap konstan. 49

Perbandingan gaya Coriolis dan gaya gesekan atau scaling variasi gaya Coriolis terhadap gaya gesekan. Karena solusi umum persamaan (18) : ∏ n ( x, y ) = (∏ n ( y ))1 + (∏ n ( x, y )) 2

(21a)

harus memenuhi syarat batas (14) maka, (∏ n ( y ))1 + (∏ n (0, y )) 2 = (∏ n ( y ))1 + (∏ n (λ , y )) 2 = 0 jadi (∏ n (0, y )) 2 = −(∏ n ( y ))1 karenanya Munk mengambil solusi persamaan homogen sebagai : (∏ n ) 2 = X n ( x )Yn ( y ) − (∏ n ( y ))1

(22)

dimana Xn dan Yn harga fungsi dari x dan y saja. Dengan cara ini syarat batas (22) dapat dipenuhi. Selanjutnya bila Yn(y) dianggap sebagai : Yn( y ) ≡ λK H m 4 β −1 (∏ n ( y ))1 maka

[

]

(∏ n ) 2 = (∏ n ( y )1 λ K H m 4 β − 1 Xn( x) − 1

(23)

Bentuk ini dipilih oleh Munk untuk kemudahan. Kombinasi λKHm4β-1 adalah tanpa satuan, jadi Xn(x) akan tanpa satuan, yang berarti X(x) adalah eksponensial dalam x. Juga anggapan di atas menyederhanakan bentuk solusi umum Πn, yang dari persamaan (21a) adalah ∏ n = ( ∏ n ( y ) ) 1 λK H m 4 β −1 Xn( x)

(24)

atau dari (19),

 ∏n = −λβ −1 Xn( x )curl zτ x.n 1

(25)

Untuk mendapatkan fungsi Xn(x), persamaan (23) disubstitusikan ke dalam persamaan (20). Substitusi akan memerlukan derivatif - derivatif : 50

∂ 4 (∏ n ) 2 = ( ∏ n ) 1 (λK H m 4 β −1 Xn IV ) 4 ∂x

(26a)

∂ 4 (∏ n ) 2 = m 4 ( ∏ n ) 1 (λK H m 4 β −1 Xn − 1) ∂y 4

(26b)

∂ 4 (∏ n ) 2 = − m 2 ( ∏ n ) 1 (λK H m 4 β −1 Xn II ) 2 2 ∂x ∂y

(27a)

∂ (∏ n ) 2 = −( ∏ n ) 1 (λK H m 4 β −1 Xn I ) ∂x

(27b)

dan

yang menghasilkan persamaan diferensial biasa tidak homogen X

IV

− 2m X 2

II

k3 −k X +m X = λ 3

I

4

(28)

Superscript menunjukkan diferensiasi terhadap

x. Subscript

n

dihilangkan untuk

penyederhanaan. Solusi persamaan (28), sekali lagi, terdiri dari jumlah solusi khusus dan solusi homogen. X = X1 + X 2 dimana X1 adalah solusi khusus dan X2 adalah solusi persamaan homogen Dari persamaan (28) jelas bahwa kita dapat mengambil, X1 =

k3 λm 4

(29)

dan menganggap Xz mempunyai bentuk : X 2 ≡ ceαkx

(30) dimana c dan α adalah konstanta - konstanta. Substitusi ke dalam persamaan (28) akan menghasilkan :

α 4 − 2γ n 2α 2 − α + γ n 4 = 0

(31)

dimana 51

γn ≡

m n π  =   k kb

Persamaan (31) dapat ditulis dalam bentuk :

(α

2

−γ 2

)

2

=α

(32)

Persamaan (31) atau (32) akan mempunyai 4 akar α1, α2, α3, dan α4, dua adalah real dan dua adalah compleks conjugate. Misalkan akar yang kompleks dapat dinyatakan sebagai : α1 = α1' + i α1" dan α2 = α2' + i α2" dengan i = √-1,

α1' = α2'

dan

α1" = α2"

Munk mengilustrasikan kelakuan keempat akar α1, α2, α3, dan α4 sebagai fungsi dari parameter γn

yang didapatkan dari solusi numerik persamaan (32). Jika panjang

gelombang zonal minimum diambil sebagai : (2π / m) = 1500km ,maka mmax = 2π / 1500km −1 dan (γ η ) n = m max/ k = k

2π / 1500 = 0,26 0,016

ditaksir dari (21)  2 x10 −13 cm −1 / det  k=  7 2  5 x10 cm / det 

1/ 3

= 0,016km −1

Untuk harga γn yang kecil solusi asimtotik adalah pendekatan yang cukup baik sehingga : α1 = -1/2 (1 + i√3 ) α2 = -1/2 (1 - i√3 ) α3 = γn4 52

α3 = 1 Substitusi harga - harga ini ke dalam persamaan (29) dan (30) dan jumlahkan, akan didapat solusi umum X sebagai :

k3 X = + c1e −1 / 2 (1+i 4 λm

3 ) kx

+ c2 e −1 / 2 (1−i

3 ) kx

+ c3 e γ n

4kx

+ c4 e kx

atau dituli kembali sebagai :

γ n 4 λkx =

k3 + c1e −1 / 2 (1+i 4 λm

3 ) kx

+ c2 e −1 / 2 (1−i

3 ) kx

+ c3e γ n

4kx

+ c4 e kx

(33)

(33) Untuk menetukkan konstanta - konstanta c1, c2, c3, dan c4, syarat batas pada x seperti diberikan oleh persamaan (14) diterapkan melalui persamaan (24). 1. Dari ∏(0, y ) = 0, dan x (0) = 0, dan 1 = c1 + c2 + c3 + + c 4 = 0

(34)

2. Dari Π(λ,y) = 0 x (λ) = 0, dan

1 + c1e −1/ 2(1+ i

3 ) kλ

+ c2 e −1/ 2(1−i

3 ) kλ

4

c3eγn kγ + c4 e kλ = 0

(35)

3. Dari ∂ ∏(0, x ) / ∂x = 0 x' = 0 dan − 1 / 2(1 + i 3) kc1 − 1 / 2(1 − i 3 )kc 2 + γ n kc3 + kc4 = 0 4

(36)

4. Dari ∂ ∏(λ , y ) / ∂x = 0 x' = 0 dan

1 / 2(1 − i 3 )kc2 e −1/ 2(1+ i

3 ) kλ

4

+ γ n kc3eγ n kλ + kc4 e kλ = 0 4

(37)

Persamaan - persamaan ini : (34) s/d (37) dapat diselesaikan secara simultan dan dengan menganggap bahwa :

γ n 4 << 1 ; e − kλ << 1 ; e −γ n4kλ = 1 − γ n 4 kλ kλ

(38)

menghasilkan : c1 = −1 / 2γ n kλ (1 + i 3 / 3) 4

c 2 = −1 / 2γ n kλ (1 − i 3 / 3) 4

(39)

c3 = γ n kλ − 1 4

c 4 = γ n kλ 4

53

menggunakan harga - harga ini mengingat anggapan (38), persamaan (33) menjadi :  3 3 π X = − Be −1 / 2 kx cos kx + −  2kλ 6   2

Barat (40)

central + 1 −

(

)

1 kx − e − k ( λ − x ) + 1 kλ

Timur

dimana B ≡ 2/√3 - √3 /kλ Diferensiasi terhadap x menghasilkan : x' = k

 3 3   Barat Be −1 / 2 kx sin  kx +  2 2 k λ   (41) −1

central

1 − (1 kλ

−e

−k (λ − x )

)

Timur

Perhatikan bahwa x tidak tergantung pada .......... konsekuensinya persamaan (25) dapat ditulis sebagai :

 ∏ = −λβxcurl zτ x.n 1

(42)

yang dapat langsung dihitung dari pengamatan stress angin zonal tanpa menguraikan stress angin dalam deret Fourier seperti yang ditunjukkan oleh pewrsamaan (17), asalkan deret mencapai konvergensi dengan cepat sehingga untuk semua suku - suku yang penting pendekatan yang ditunjukkan oleh persamaan (38) dipenuhi. Sepanjang setiap lintang stream fucntion transport massa bervariasi dengan variasi X(x). Dari definisi (10) : Mx = −

∂∏ ∂∏ ; My = + ∂y ∂x

X (x) dapat ditafsirkan sebagai berbanding lurus dengan transport ke arah utara dari x = 0 hingga ke suatu titik x = x1. X' (x) disetiap titik dan kelakuannya sepanjang garis lintang yang konstan akan identik. 54

Gambar 20 menunjukkan streamlines transport massa Π(x,y) di laut berbentuk segi empat yang dihitung dari persamaan (42) untuk angin zonal tahunan rata - rata yang berhembus di atas Lautan Pasifik. Di sebelah kiri adalah Plot τx(y) dan curl τx(y) : (d τx/dy), di bawah adalah plot fungsi X(x). Fungsi - fungsi ini dikombinasikan secara grafik menurut (42) untuk menghasilkan isoline dari Π. Transport diantara garis penuh yang berdekatan adalah 107 m3/det. Sistem angin zonal terlihat membagi Sirkulasi menjadi beberapa gyre. Garis pemisah antara gyre terjadi pada Φ = Φb dimana dτx/dy = 0, yang bersesuaian denganlintang lintang angin barat, angin pasat utara dan selatan dan doldrums. Hasilny asesuai dengan yang ditentukan dari observasi oseanografi. Sumbu - sumbu lintang dari gyres (MxMy = 0) terjadi di lintang - lintang

Φ = Φa dimana dτx/dy mempunyai harga - harga ekstrim.

Laut Sargasso di Atlantik dihubungkan dengan titik belok dari stress angin rata - rata antara Westerlies dan angin pasat. Titik belok antara doldrums dan angin pasat di BBU dan di BBS menetukan batas dari Equator Counter Current.

55

Gambar 11 Garis - garis arus transport massa yang diintegrasikan secara vertikal untuk edaran arus yang dibangkitkan angin zonal di dalam laut segi empat Sepanjang setiap lintang, Π berubah hanya dengan X (x) dan kita telah melihat bahwa fungsi X (x) da X' (x) secara fifis dapat diinterprestasikan sebagai komponen utara selatan dari transport massa dan transport massa per satuan panjang. Tinjau section (bagian) di lintang - lintang

Φ melalui pusat Gyres dalam gambar 11. Bila X dan X'

dihitung dari (40) dan (41) didapatkan bahwa persamaan tersebut memberikan hasil yang 56

dapat dibagi dalam 3 bagian dimana laut (bagian barat, bagian tengah yang lebar dan bagian timur). Lihat gambar 12.

Gambar 12 Plot variasi timur - barat transport massa (α x) dan kecepatan transport massa (α x) 4.1. Daerah Arus Barat Di pinggir bagian barat dari laut, x << λ, persamaan (40) dapat didekati dengan : Xw = −

 3 3 π e −1 / 2 kx cos kx + −  + 1 2 2 k λ 6 3 

2

λ disini diambil = 6000 km Dengan menguraikan cosinus di ruas kanan diperoleh : Xw = −

  3  3 π 3  π   3  e −1 / 2 kx  cos kx −  cos − sin  kx −  sin  +1  6 2kλ  6   2kλ  3  2   2

2

Karena kλ >> 1 kita dapat mendekati : 57

 3   3  3  → 1 dan sin  → cos    2kλ  2kλ   2kλ  Akhirnya pendekatan untuk Xw dapat ditulis sebagai :

Xw = −

 3 π e −1 / 2 kx cos kx −  + 1 6 3  2

2

(43)

Turunkan persamaan (43) terhadap x menghasilkan :  1  3  3 X 'w π π  = e −1 / 2 kx  cos kx −  + sin  kx −    3 k 6 6    2  2  Uraikan cosinus dan sinus di ruas kanan,  1  X 'w 3 π 3 π   cos = e −1 / 2 kx  kx cos + sin kx sin  3 k 2 6 2 6    + sin

3 π 3 π kx cos − cos kx sin 2 6 2 6

)

X 'w 1 3 1 3 3 3 1 3 = e −1 / 2 kx ( cos kx + sin kx + sin kx − cos kx k 2 2 2 2 2 2 2 2 3

)

atau X 'w 2 −1 / 2 kx 3 = e sin kx k 2 3

(44)

Persamaan (43) dan (44) menyatakan persamaan osilasi yang teredam (underdamp). Persamaan (43) menunjukkan osilasi yang berkurang. Secara eksponensial di sekitar angka/harga satu, sedangkan persamaan (44) menunjukkan osilasi yang berkurang secara eksponensial di sekitar harga nol. 58

Panjang gelombang osilasi diberikan oleh : 4π

4π  K H  Lw = = 3k 3 β

  

1/ 3

(45)

kita lihat bahwa persamaan (43) dan (44) sama dengan suku - suku yang diberi label west pada persamaan (40) dan (41). Plot Kx versus Xw dan X'w/k terlihat di bagian kiri gambar 21. Munk juga menetukan lokasi dan harga dari beberapa harga ekstrem Xw dan X'w. Sebagai contoh, harga ekstrem Xw' diperoleh dengan menurunkan (44) terhadap x dan hasilnya disamakan dengan nol dan kemudian diselesaikan untuk

kx. Hasilnya akan

memberikan poros arus barat dan poros counter current. Bila harga kx yang diperoleh ini dibagi dengan persamaan (45) dan didapatkan lokasi dari sumbu - sumbu ini sebagai fraksi dari Lw (western wave lenght). Harga ekstrem dari Xw menyatakan limit (batas) dari arus arus, yang didapat dengan men - nolkan persamaan (44) dan kemudian diselesaikan untuk kx. Hasil perhitungan diberikan pada Tabel 3. Jelas bahwa counter current magnitudenya kira - kira 17 % magnitude western current (exp - π/√3 = 0,09/0,55 = 0,17). Hasil analisa data lapngan Gulfstream yang dilakukan oleh Wust (1936) dan Iselin (1936) menunjukkan eksistensi Counter current dengan kecepatan maksimum sebesar kira - kira 19 % western current. Tabel 3 Harga ekstrim dari Xw dan X'w berdasarkan persamaan (43) dan (44) Western

X/Lw Xw Xw'/k

Lokasi (lihat gambar 12) Western Western

Western

Current

Current

Current

Current

axis 1/6 0,45 0,55

limit 3/6 1,17 0,00

axis 4/6 1,09 - 0,09

limit 1 0,97 0,00

Munk juga memperlihatkan persesuaian yang baik antara Xw dengan fungsi transport Π memotong Gulfstream dan Kuroshio yang dihitung dari data oseanografi.

59

Bentuk kurva gambar 13 harus dibandingkan dengan bentuk kurva fungsi X yang terlihat di bagian kiri gambar 12. Kita lihat ada kesamaan bentuk antara keduanya.

Gambar 13 Fungsi arus transport massa Π memotong Gulf Stream Dan Kuroshio, dihitung dari data oseanografi 4.2 Central Ocean Drift Di suatu jarak tertentu dari batas timur dan barat, faktor pengali eksponensial dari fungsi fungsi cosinus dan sinus dalam persamaan (40) dan (41) akan meredam osilasi dan untuk daerah tengah (central) persamaan (40) dan (41) dapat dipakai oleh : Xc = 1 −

x X 'c 1 =− ; λ k kλ

(46)

dan dari persamaan (10) dan (42) didapat :   ∂∏ My = = − λβ −1curlτ x 1 ( − 1 / λ ) = β −1curlτ x 1 ∂x

(

)

60

(47)

Persamaan ini menyatakan arus yang lebar dan konstan, tidak seperti arus di bagian barat yang sempit dan cepat. Persamaan (47) adalah persamaan Sverdrup, yang ditulis untuk angin zonal dan menyatakan keseimbangan antara aliran geostropik dan arus yang ditimbulkan angin (pure wind drift). Validitas persamaan ini telah didemontrasikan untuk arus ekuator di Pasifik Timur oleh Sverdrup (1947) dan Reid (1948). Gambar 21 mengilustrasikan kelakuan persamaan (46). Dengan menulis kedua persamaan (46) dalam bentuk : kλXc = k (λ − x) ; kλ

X ' c' = −1 k

(48)

jelas dapat kita lihat bahwa persamaan pertama menyatakan suatu garis lurus dengan slope = 1 bila ruas kiri adalah ordinat dan ruas kanan adalah absis. Persamaan kedua karena tidak bergantung pada x, diplot sebagai garis horisontal. 4.3 Daerah Pantai Timur Dari persamaan (40) dan (41) solusi untuk daerah pantai timur adalah X E = 1−

(

x 1 − 1 − e −k ( λ − x ) λ kλ

(

X 'E' 1 =− 1 − e −k (λ − x ) k kλ

)

(49)

)

(50)

Persamaan (49) dapat ditulis kembali sebagai :

(

kλ X E = k (λ − x) − 1 − e − k ( λ − x )

)

Jelas bahwa kλXE dapat dinyatakan sebagai jumlah dua kurva (kλXE)1 dan (kλXE)2 dimana, (kλXE)1 ≡ k(λ - x) - 1

(51a)

(kλXE)2 ≡ e-k (λ-x)

(51b)

dan

61

Persamaan (51a) menyatakan suatu garis lurus dengan slope = 1 sedangkan persamaan (51b) menyatakan fungsi yang berkurang secara eksponensial bila absis adalah

k (λ - x),

lihat gambar 23. Sebaliknya persamaan untuk X'E' yang berikan oleh (50) menggambarkan suatu fungsi yang berkurang secara eksponensial dengan asimtot = - 1

bila

k (λ - x)

digunakan sebagai variabel bebas. Hasil dari (49) dan (50) diperlihatkan pada bagian kanan gambar 21. Munk menamakan bagian timur ini sebagai an eksponential slippage zona. Lebar efektif dari zona ini (dari gambar 23) adalah kira - kira mendekati k (λ - x) = π bersesuaian dengan 200 km untuk KH = 5 x 107 cm/det. Dengan memperhitungkan seluruh suku -suku yang mewakili bagian barat, tengah, dan timur, plot x versus X dan x versus X' sepanjang suatu sumbu gyre akan terlihat seperti Gambar 14.

62

Gambar 14 Variasi X dan X' sepanjang suatu gyre

63

DAFTAR PUSTAKA 1.

Hadi, S., (1998), Arus Laut, Departemen Geofisika dan Meteorologi, ITB, Bandung

2.

von Schwind, (1980), Geophysical Fluid Dynamics for Oceanographers, Prentice-Hall, Inc, USA

3.

Komar, P.,D., (1976), Beach Processes and Sedimentation, Prentice-Hall, Inc, USA

4.

Horikawa, K., (1988), Nearshore Dynamics and Coastal Processes, University of Tokyo Press, Japan

5.

McLelan, H.,J., (1965), Elements of Physical Oceanography, Pergamon Press, New York

64