اﳌﻤﻠﻜﺔ اﳌﻐﺮﺑﻴﺔ وزارة اﻟﱰﺑﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ واﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﻌﺎﱄ و ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻷﻃﺮ و اﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻗﻄﺎع اﻟﱰﺑﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﲏ اﳌﻮﺣﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ 2005 اﻟﺸﻌﺒﺔ :اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ)أ و ب(
اﳌﺎدة:اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت
اﳌﺪة4:ﺳﺎﻋﺎت
اﳌﻌﺎﻣﻞ10 :
اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول : ﻧﻌﺘﱪ ﰲ \ 2ﻗﺎﻧﻮن اﻟﱰآﻴﺐ اﻟﺪاﺧﻠﻲ * اﳌﻌﺮف ﲟﺎ ﻳﻠﻲ
ﻟﻜﻞ ) ( a, b
و
) ( x, y
:
ax + by ay + bx 2 , ﻣﻦ \ : 2 2
( a, b ) * ( x, y ) =
1 1 ﻟﺘﻜﻦ اﺠﻤﻟﻤﻮﻋﺔ E = m + , m − ∈ \ 2 / m ∈ \* : m m
(1ﺑﲔ أن *
ﻗﺎﻧﻮن داﺧﻠﻲ ﰲ اﺠﻤﻟﻤﻮﻋﺔ E
(2ﻟﻴﻜﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ϕ
اﳌﻌﺮف *\ ﻣﻦ ﳓﻮ Eﲟﺎ ﻳﻠﻲ :
أ( ﺑﲔ أن ϕﺗﺸﺎآﻞ ﺗﻘﺎﺑﻠﻲ ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ
أن )*( E ,
ﻣﻦ )×( \ , *
( ∀m ∈ \ ) ϕ (m) = m + m1 , m − m1 *
ﳓﻮ )*( E ,
1 1 زﻣﺮة ﺗﺒﺎدﻟﻴﺔ ﳏﺪدا ﻋﻨﺼﺮهﺎ اﶈﺎﻳﺪوﳑﺎﺛﻞ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ m + , m − m m
ﺣﻴﺚ ﻋﺪد mﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﲑ ﻣﻨﻌﺪم . (3ﻧﻌﺘﱪ اﺠﻤﻟﻤﻮﻋﺔ
}
y2 = x2 − 4
و
F = {( x, y ) ∈ \ 2 / x ≥ 2
1 1 أ( ﺑﲔ أن F = m + , m − ∈ \ 2 / m > 0 : m m ب( ﺑﲔ
أن )*( F ,
زﻣﺮة ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ
)*( E ,
اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ: اﳉﺰء اﻷول :
pﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ أوﱄ أآﱪ أو ﻳﺴﺎوي ﻣﻦ 5 (1ﺑﲔ ان p 2 ≡ 1 [3] :
(2أ( ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل زوﺟﻴﺔ اﻟﻌﺪد p
،ﺑﲔ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ q 1
ﲝﻴﺚ
http://arabmaths.site.voila.fr
)p 2 − 1 = 4q ( q + 1
]p 2 ≡ 1 [8
ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ أن:
]p 2 ≡ 1 [24
(3ﺑﲔ أن :
اﳉﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ : ﻟﻴﻜﻦ aﻋﺪدا ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎ أوﻟﻴﺎ ﻣﻊ اﻟﻌﺪد. 24
(1ﺑﲔ أن a 2 ≡ 1 [24] : (2هﻞ ﺗﻮﺟﺪ أﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻃﺒﻴﻌﻴﺔ a23 ، ... ، a1
ﺣﻴﺚ ak ∧ 24 = 1 :ﻟﻜﻞ k
2 a12 + ... + a23؟ ) ak ∧ 24هﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﳌﺸﱰك اﻷآﱪ ﻟﻠﻌﺪدﻳﻦ ak = 23997
ﻣﻦ }{1,..., 23 و ( 24
اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﳉﺰء اﻷول :
ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ f
اﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﺠﻤﻟﺎل
[∞[0, +
ﲟﺎ ﻳﻠﻲ :
2 − f ( x) = ( x + 2 ) e x ; x > 0 f (0) = 0
ﻟﻴﻜﻦ C fﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﰲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﳑﻨﻈﻢ
G G
) ( O, i , j
)اﻟﻮﺣﺪة
( 2cm
(1أ( ﺑﲔ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﲔ ﰲ 0 ب( ﺑﲔ أن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﲔ ﰲ 0 ج( ﺑﲔ أن
fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ
(2أ( اﺣﺴﺐ
[∞[0, +
)lim f ( x
∞x →+
t2 ب( ﺑﲔ أن : 2 ج( ﺑﲔ ان :
≤ 0 ≤ e−t + t − 1
) ( ∀t ≥ 0
4 4 2 ≤ f ( x) − x ≤ 2 − x x x
−
) ( ∀x > 0
د( اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﳌﻨﺤﲎ C fﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ (3أﻧﺸﺊ اﳌﻨﺤﲎ C fو
ﻣﺎﺋﻼ ) ∆ (
ﻳﻨﺒﻐﻲ ﲢﺪﻳﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻪ.
اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ (
اﳉﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ nﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﲑ ﻣﻨﻌﺪم . ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ f nاﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
اﺠﻤﻟﺎل [∞[0, +
2
ﲟﺎ ﻳﻠﻲ :
http://arabmaths.site.voila.fr
و
2 − 2x ; x>0 f n ( x) = x + e n f (0) = 0 n
(1ﺑﲔ أن f nﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﲔ ﰲ .0 (2ادرس ﺗﻐﲑات اﻟﺪاﻟﺔ f nﻋﻠﻰ اﺠﻤﻟﺎل
[∞[0, +
2 (3ا( ﺑﲔ أن ،ﻟﻜﻞ nﻣﻦ *` ،اﳌﻌﺎدﻟﺔ n 2 2 ب( ﺑﲔ أن : > f n ( x) − n +1 n
f n+1 ( x) −
= )f n ( x
ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا
anﰲ اﺠﻤﻟﺎل
) *` ∈ ( ∀x > 0 ) ( ∀n
ج( اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) (anﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﰒ ﺑﲔ أن ) (anﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ . ﻧﻀﻊ
lim a n = a :
∞n→+ 2 an
nan = 2e − 2
د( ﺑﲔ أن :
) ` ∈ ( ∀n *
. a=0
ه( ﺑﲔ أن
اﳉﺰء اﻟﺜﺎﻟﺚ
[∞[0, +
ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ Fاﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﺠﻤﻟﺎل
f (t ) dt
2x x
ﲟﺎ ﻳﻠﻲ :
∫ = )F ( x
) fهﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻌﺮﻓﺔ ﰲ اﳉﺰء اﻷول( (1أ( ﺑﲔ أن :
) ( ∀x > 0
)xf ( x) ≤ F ( x) ≤ xf (2 x
)lim F ( x
ب( اﺣﺴﺐ
∞x →+
(2أ( ﺑﲔ أن Fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﺠﻤﻟﺎل
ب( ﺑﲔ أن :
[∞[0, +
2 1 − 1x x F (' x ) = e x + 2 e − 1 + 3 x + 2 e ) ) x ; x > 0 ( ( Fd ' (0) = 0
) ) Fd '(0هﻮ اﻟﻌﺪد اﳌﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ Fﰲ0
ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﲔ(
(3أﻋﻂ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﲑات اﻟﺪاﻟﺔ F اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي zﳐﺎﻟﻒ ﻟﻠﻌﺪد ، −1ﻧﺼﻊ :
iz − 1 2
)( z + 1
= )f ( z
(1أ( ﺣﺪد اﻟﻌﺪد اﳊﻘﻴﻘﻲ yﲝﻴﺚ f (iy ) = iy : ب(ﺣﻞ ﰲ ^
اﳌﻌﺎدﻟﺔ :
f ( z) = z
)(E 3
http://arabmaths.site.voila.fr
[∞ ]0. +
ﻧﺮﻣﺰ ب z0و z1 (2أ( ﲢﻘﻖ أن :
و z2 11π 6
i
)(E
ﳊﻠﻮل اﳌﻌﺎدﻟﺔ
z1 + 1 = e
7π 6
و
i
ﺣﻴﺚ
z2 + 1 = e
ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ z1 (3ﰲ هﺬا اﻟﺴﺆال ﻧﻔﱰض أن
Re( z0 ) = 0و ) Re( z1 ) > Re( z2
z = ei α
و z2
ﺣﻴﺚ . 0 ≤ α < π
أ( ﺑﲔ أن f ( z ) = izf ( z ) : ب( ﺣﺪد αإذا ﻋﻠﻤﺖ أن f ( z ) + f ( z ) = 0 :
ج( اآﺘﺐ ) f ( z
ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ
(4ﺣﺪد zإذا ﻋﻠﻤﺖ أن
iϕ
f ( z ) = reﺣﻴﺚ :
\ × ( r ,ϕ ) ∈ \*+
| z |= 1 1 Re( z ) = 2
اﻧﺘﻬﻰ
4
http://arabmaths.site.voila.fr