! 4 : 10 :
2004 : ( )
( # 3 ) ا ا ول . داn (1 n ≡ 1[8] : د نn أ إذا آ ن-أ 2
n ≡ 4 [8] أوn ≡ 0 [8] : زو" نn أ إذا آ ن- ب 2
2
. ' أ ادا ' ' دc وb وa & (2 ( . ) د, ( ) آ )* ) أيa 2 + b 2 + c 2 : أن-أ 2(ab + bc + ca ) ≡ 6 [8] : أن- ب
0,5 0,5
0,5 0,5
( (a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca : أن/ﺡ1 ) 2
2
2
2
. *) ) آ, 2(ab + bc + ca ) أن3&4&5 ا- ج .*) ( ) آab + bc + ca أن-د
0,5 0,5
( # 3 ) ا ا 1 1 a ( a − ) Ma = a 67 ا89 :&; <&@?> ت اA>' اAB) E & 3 −a 0 1 1 a (a − ) a 3 Na = 67 ا89 :&; <&@?> ت اA>' اAB) F و −a 3 −a . م4) E IR ) فA اHI& اϕ - ب
0,5
*
. (E , × ) > (IR * , × ) ) <9 D; 6 آ7; ϕ أن . (E , × ) ' ـB' ا4 ا3&4&5ا (∀(a, b ) ∈ IR *2 ) : N a × N b = N b : أن-( أ2
0,5 0,25 0,25
a
. ( ز) ةG , × ) أن. G = E ∪ F KL - ب ( ز) ة ; د' ؟G , × ) 6 ه-ج
1 0,25
( %& # 3 ) ا ا z 2 + z + 1 = 0 ' دA ' اD اداP>' اAB) 8 6( ﺡ1
2π 2π KL θ ≠ − وθ≠ و−π ≤ θ ≤ π 3 3
iθ
K) . z = e Q ﺡz يD د6 (2
z '=
1 z + z +1 2
0,5
z 2 + z + 1 = z (1 + z + z ) ) أنHD; -أ . θ '1 z ' ةA ) ر و:, اﺡ- ب . & نD دان ﺡy وx C ﺡz ' = x + iy KL - ج x 2 + y 2 = (1 − 2x ) 2 أن 5 ورأST ; ) آU& >لW ه8< إA&4; z ' H9 ذات اM 'ID4 أن ا3&4&5 ا-د . رD)و
( %& # 10 )
0,5 1 0.5
1
ا اا
e −x : <9 A IR * 89 ' A ا ا' ا د ' اf & - I x . Y? ; '>AB) ) ات4 f ' ت ا اY :,( أﺡ1 . f ' ات ا اZ; ( أدرس2 . U^4A) ) &) U9 ) < f ' ا9 6]AA ا844A( اC ) (3 . (C ) 844A9 '` Y * أدرس ا? وع ا-أ . (C ) 844A اU5 أر-ب : <9 A ' A&& ' ا د ' اA( اu n ) & - II (∀n ∈ IN ) : u n +1 = u n2 f (u n ) = u n e −u n وu 0 = 1
. f (x ) =
0,5 0,25
1 ل ا ه ن & " ع أنA &5 -( أ3 n +1 . Y& Y ر' وﺡ دD&) ' &&) (u n ) أن- ب
0,5 0,25
vn =
n −1
∑u k =0
. v n = ln(
k
IN * ) n 6 آ6" ) أKL (4
1 ) un
IN * ) n 6 أ( أ
. (v n ) ' &&A ' اY ب( ﺡ د : 89 A [ 0, +∞[ لBA ا89 ' A اF ' & ا ا' ا د- III 4x F (x ) = ∫ x 2 f (t ) dt F (0) = 2 ln 2 2
(∀t > 0) : − t ≤ e
−t
0,5 0,5
. (∀x ∈ IR ) : e x ≥ x + 1 ا( أن x (∀x > 0) : x 2 f (x ) ≤ أن3&4&5( ا2 x +1
(∀n ∈ IN ) : 0 < u n ≤
(∀x > 0) :
1 0,5
∫
4x 2 x2
0,5 0,25
; x >0
f (t ) dt = 2 ln(2)
: ) أنHD; -( أ1
− 1 ≤ 0 : ( أن1 II الb,' اB& لA &5 - ب
. (∀x > 0) : − 3x 2 ≤ F (x ) − 2 ln(2) ≤ 0 : أن-( أ2 .0 'ID4 < اA ا89 قD&e* '9 c' و9@&) F أن3&4&5 ا- ب (∀t ≥ 1) : f (t ) ≤ e −t : أن-( أ3 . lim F (x ) 3&4&5 ا-ب x →+∞
. F '(x ) :,] وأﺡ0, +∞[ 89 قD&e* '9 c F ' أن ا ا-( أ4 . F ' ات ا اZ; أﻁ " ول- ب . U^4A) ) &) U9 ) 8 F ' ا9 6]AA ا844A اU5 ار- ج
0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,75 0,5 0,5
G (x ) =
∫
4x
x
e −t ln(t ) dt
: 89 A ]0, +∞[ 89 ' A ا ا'اG & (5
(∀x > 0) : G (x ) = F ( x ) − e −4 x ln(4x ) + e − x ln(x ) أن-أ lim+ (e − x − e −4 x ) ln(x ) :, أﺡ- ب x →0
lim+ G (x )
x →0
34&5 ا- ج
0,5 0,5 0.5