Bac-math-2003-2

‫       ‬ ‫  ‬ ‫ ‪2003   :‬‬ ‫)     (‬

‫   ‬ ‫    ‬ ‫ ‬

‫     ‬ ‫‪ 4‬‬ ‫ ‪:‬‬ ‫‪10 :‬‬ ‫ ‬

‫ا اول ) ‪(3‬‬ ‫   و ن ‪ U‬و ‪ .V‬ا وق ‪ U‬ي  ‪ 4‬آ ات "! اء و‪ 4‬آ ات زر ء؛‬ ‫ا وق ‪ V‬ي  آ *)( "! او( و‪ 4‬آ ات زر ء؛‬ ‫‪ /0‬ا‪ +- .‬ا‪:+)*,‬‬ ‫‪5 67‬ا‪ )4‬آ ة ‪ (2‬ا وق ‪ :U‬إذا آ ‪ !" 8‬اء ‪ ;< =0> ،‬ا وق ‪@A V‬‬ ‫‪5 67‬ا‪ )4‬آ ة ‪ (2‬ا وق ‪V‬؛ وإذا آ ‪ 8‬زر ء‪ / B =0> ،‬؛ ‪5 67 @A‬ا‪ )4‬آ ة ‪(2‬‬ ‫ا وق ‪.V‬‬ ‫و‪ (E‬ا‪ "D‬اث ا )‪:+‬‬ ‫‪ " : R1‬ا‪ E‬ة ا!‪ !" U (2 +-7‬اء "؛‬ ‫‪ " : B1‬ا‪ E‬ة ا!‪ U (2 +-7‬زر ء "؛‬ ‫‪ " : R2‬ا‪ E‬ة ا!‪ !" V (2 +-7‬اء "؛‬ ‫‪ " : B2‬ا‪ E‬ة ا!‪ V (2 +-7‬زر ء "؛‬ ‫‪1‬‬

‫‪ (1‬ا"‪ 67‬ا"! ل ا ‪ R1 ()A‬و ‪.B1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ (2‬ا"‪ 67‬ا"! ل " ‪ ! B2‬أن ‪ " M2 R1‬وا"! ل " ‪ ! B2‬أن ‪." M2 B1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪ ()- (3‬أن‪:‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪ (4‬ا‪. p ( R2 ) N O‬‬

‫= ) ‪. p ( B2‬‬

‫ا ا  ) ‪ 4‬و‪(P‬‬ ‫)‪  θ (E‬دا ")) ‪. p = 5cos θ + 3i sin θ :S> . 0 ≤ θ ≤ 2π :Q)-‬‬ ‫‪
;< /0‬ا!‪ 0‬د‪ ( E ) +‬ا )‪z 2 − 2 pz + 16 = 0 :+‬‬

‫‪. ( E ):‬‬

‫‪ (1‬أ‪ M* -‬أن‪p 2 − ( 3cosθ + 5i sin θ ) = 16 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫ب‪
;< V" -‬ا!‪ 0‬د‪- X2  : ( E ) +‬ـ ‪ z1‬و ‪ ; z2‬ا!‪ 0‬د‪. z1 < z2 :Q)- ( E ) +‬‬ ‫ ‬ ‫‪ (2‬ا!‪7‬ى ا‪ 0‬ي ‪7 2‬ب إ ‪ ( O; u , v ) Y /2 @Z !2 2 02 @02‬؛‬

‫‪ /0‬ا \)( ‪ M 1‬و ‪ M 2‬ا)(  ه!  اا; ه! ‪ z1‬و ‪. z2‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫أ( ‪ ()-‬أﻩ  ‪ )^ 2‬ا‪ 0‬د ‪ ;< θ‬ا!‪ .‬ل [ ‪`< ، [ 0; 2π‬ن ا \‪  )^* M 1 +‬دا‪ 4‬ة‬ ‫) ‪ 02  * ;^/  ( C‬د‪. = +‬‬

. [ M 1M 2 ] +0\‫ ا‬P 2 P (E (‫ب‬ . [ 0; 2π [ ‫ ل‬.!‫ <; ا‬θ ‫ د‬0‫ ^) ا‬2  P  ‫ ا‬+!.2 ( Γ ) (E‫و‬ .-4 ‫ و‬4 !=  ()‫ ا‬F ′ ‫ و‬F ‫ ه! ا \ ن‬b *‫ر‬c- N)‫ ( إه‬Γ ) ‫)( أن‬-

0.5

a+4 b+4 =− .  ⇔ ( ab = 16 ) :   ،
− {4} (2 b ‫ و‬a ()  (‫  د‬VE ‫)( أﻩ‬- -‫( أ‬3 a−4 b−4 .

z2 + 4 z +4 =− 1 :‫ أن‬N O‫ ا‬-‫ب‬ z2 − 4 z1 − 4

0.5

    . M 1 F ; M 1 F ′ ≡ π + M 2 F ; M 2 F ′ [ 2π ] :‫)( أن‬- -‫ج‬

(

:;‫ه‬

P

+\ ‫ا‬

;<

(Γ)

  !

)

(T )

(

‫ا!! س‬

)

+‫ د‬0!‫ا‬

‫أن‬

()-

(‫أ‬

0.5

0.5

(4

0.5

. 3x cos θ + 5 y sin θ = 15 . ( M 1M 2 ) @)7!‫( !دي  ا‬T ) ‫ ا!! س‬:‫)( أن‬- (‫ب‬

0.5

(  3 )  ‫ا ا‬  a b 2 . M ( a ;b ) =   +<f!‫ ا‬/0 ،  2 (2 ( a; b ) VE b 2 a  

{

}

. E = M ( a ;b ) / a 2 − 2b 2 = 1 :+)*,‫< ت ا‬f!‫ ا‬+!.2 E (E ، M2 (  ) ;<  3 .E ‫ * !; إ‬A ‫ أن‬M* . A =  2 2 

2 2  :S> (1 3 

0.25

.E ;< ;‫ د‬/* × ‫ ( وأن ا ن‬M2 (  ) ; × ) (2 72 ‫ء‬XB E ‫)( أن‬- -‫( أ‬2

0.5

. × ;i‫ ا ا‬6)‫  ن ا آ‬+/7  - E ;< -2 V/* E   S)!B ‫)( أن‬- -‫ب‬

0.5

.+)‫ د‬/* ‫ ة‬2‫ ( ز‬E ; × ) ‫)( أن‬- -‫ج‬

0.5

1 0 . An +1 = An × A :  (2 n VE‫ و‬، A0 =   :S> (3 0 1 . G = { An / n ∈ } :+!.!‫ ا‬/0 . G ⊂ E :‫ أن‬M* (‫أ‬

0.25

.E ;< × +)!0 +/7  - G ‫< ت‬f2 ‫ت‬jA !2 +!.2 H (E (‫ب‬

0.5

 3 .B =  −2 2 

−2 2   :Q)" H = { B n / n ∈ } :‫)( أن‬3  . ( E ; × ) (2 +)4XB ‫ ة‬2‫ ز‬G ∪ H :‫)( أن‬- (‫ج‬

0.5

(P‫  و‬9 )

‫ا اا‬

.‫ م‬0 2 )n )0)/o ) ‫  دا‬n (E) -I . g n ( x ) = x + e − nx :; !-   +< 0!‫ ا‬g n +‫ د‬0‫ ا‬+‫ ا ا‬/0

  . ( O, i , j ) @Z !2 2 02 @02 ;< g n +‫  ا‬Vp!!‫ ( ا!   ا‬Cn ) (E)‫و‬ . g n +‫ أدرس *^) ات ا ا‬-‫( أ‬1 . n +q - b  * @ un ;)" ‫ د)   د‬+!) V/* g n ‫)( أن‬- -‫ب‬ lim g n ( x ) ‫ و‬lim g n ( x ) 67"‫ ا‬-‫( أ‬2

x →−∞

x →+∞

. ( Cn )   ! ())4 =j‫ )( ا‬f‫ " د ا‬-‫ب‬ . g 2 ‫ و‬g1 ()‫)(  ا‬p!!‫ ( ا‬C2 ) ‫ ( و‬C1 ) ())  ! ;/7 ‫ ا‬Sr‫ ادرس ا‬-‫( أ‬3 . ( C2 ) ‫ ( و‬C1 ) ())  !‫ ا‬،@0!‫ ا‬sf ;< ،@O‫ ار‬-‫ب‬

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

  .( ln 2 ≈ 0, 7 :;\0‫ و‬i = j = 2cm :tiu ) . I ( x ) = ∫ te −2t dt :V2 E‫ ا‬x +q - 67"‫ ا‬،‫اء‬XBD - +2 E2 ‫! ل‬0O - -‫( أ‬4 . [ 0;ln 2] ‫ ل‬.!‫  ا‬g 2 +‫ ر ا ا‬h2 (E -‫ب‬

1 0.5

.V) - (5 . != = ‫ ن و" د‬-‫ ر‬2 ( vn )n∈* ‫ ( و‬un )n∈* ()) !‫)( أن ا‬-

1

Fn ( x ) = x + e nx :; !-   +< 0!‫ ا‬Fn +‫ د‬0‫ ا‬+‫ ا ا‬/0 - II

  . ( O, u , v ) @Z !2 2 02 @02 ;< Fn +‫   ا ا‬2 ( Γ n ) (E)‫و‬

. Fn +‫( ادرس *^) ات ا ا‬1

0.5

. α n ‫ و") ا‬j" V/* Fn ( x ) = 0 +‫ د‬0!‫ أن ا‬N O‫( ا‬2

0.5

1  . α1 ∈  − ln 2, −  :‫)( أن‬- -‫( أ‬3 2 

0.5

.‫ رة‬Yw‫ ا‬sf != e x + α1 ‫ و‬x − α1 ‫)( أن‬- -‫ب‬ .ϕ ( x) = ex −

1 1  x :; !-  −∞, −   +< 0!‫ ا‬+‫ ا ا‬ϕ (E -‫( أ‬4 2 e 

0.5

0.5

1  .  −∞, −   +) * ϕ +‫)( أن ا ا‬2  . e x + α1 ≤

1 x − α1 :‫ أن‬N O‫ ا‬-‫ب‬ e

0.5

. β n +1 = −e βn : n ;0)/o ‫  د )ﺡ‬VE‫ و‬β 0 = −

1 :S> (5 2

.  (2 n VE β n +1 − α1 ≤ a β n − α1 :Q)- a ;)" ‫  د‬B ‫)( أﻩ‬- -‫أ‬ . = = ‫ و" د‬+-‫ ر‬2 ( β n ) +) !‫)( أن ا‬--‫ب‬

0.5 0.5