Bac-math-2003-1

        4 :   10 :   

         2003  :  (      )

         

(3 ) ‫ا اول‬

(E):

x2 ( x2 + 7) = y ( 2x + y )

:‫ ( ا‬E ) ‫   ) *
( ا د‬ 2

. y ‫ و‬x ‫آ ! د‬#‫ ك ا‬%‫ ا'& ا‬δ ‫ (  ا  ) *
( و‬x; y )  2

. y = δ b ‫ و‬x = δ a :)* . ( E ) ‫ ! د‬01 ( x; y ) ‫ ض أن‬/ (1 . a 2 (δ 2 a 2 + 7 ) = b ( 2a + b ) :‫ أن‬34 -‫أ‬

0.5

. 2a + b = ka 2 ‫ و‬δ 2 a 2 + 7 = kb :=4> k  6 748 ‫  د‬9: ‫ ا'  < أﻩ‬-‫ب‬

0.5

. a = 1 :‫ > أن‬-‫ج‬

0.5

. ( b + 1) = δ 2 + 8 :‫ ا'  < أن‬-‫د‬

0.75

2

. ( E ) ‫  ) *
( ا د‬01 (2 2

0.75

(A‫ و‬3 ) ‫ا ا‬

  . ( O, i , j ) &B   &!  C‫ب إ‬:‫ى ﺱ‬: ‫اﺱ‬ .y=

3 16 − x 2 :‫ي  د ﻩ‬H‫ ( ا‬E ) C4‫  ا‬ 4 .I  4 &   أن‬-‫( أ‬1 . ( E ) C4‫ ار'& ا‬-‫ب‬

0.5 0.5

. ( 0;3) ‫ ( و‬4;0 ) ‫ا ه‬: ‫ ا‬C! N O‫ ا‬1‫ إ‬9‫  ا!  زو‬Q‫ ا‬B ‫ و‬A   (2 . [ 0; 4] ‫ل‬S‫ ا‬C‫   إ‬x1 =1 x1 N: ‫ ( ا  أ‬E )  M 1 Q‫  ا‬ . I ( x1 ) =

3 4 π 16 − x 2 dx :‫ ا‬0 ‫ و  ا‬. 0 ≤ t1 ≤ =1 x1 = 4 cos ( t1 ) :)* ∫ 4 x1 2

:‫ > أن‬، 0 ≤ t ≤

π 2

=1 x = 4 cos ( t ) )T:> U‫ وذ‬W ‫ ا‬W > ! ‫ >' ل‬-‫أ‬ . I ( x1 ) = 6t1 − 3sin ( 2t1 )

. ( E ) C4‫ ( وا‬OM 1 ) ‫ ( و‬OA )  ‫ر > اﺱ‬:4‫ ا‬7Q‫ اﺱ‬1‫ ﺱ‬S ( x1 )   -‫ب‬

1

. ( E ) C4‫ ( وا‬OB ) ‫ ( و‬OA )  ‫ر > اﺱ‬:4‫ ا‬7Q‫ اﺱ‬1‫ ﺱ‬S  ‫و‬ ‫ ؛‬3sin ( t1 ) :‫ ه‬M 1 Q‫ب ا‬:‫ أن أر‬34 (*

0.25

. t1 \ > S ( x1 ) [‫ﺱ‬1‫*( ا‬

0.25

. S ] <  '‫*( ا‬

0.25

. S ( x1 ) = . t1 =

π 4

1 π S ⇔ t1 = :‫( *( > أن‬3 2 4

  1  O; OA; OB &! ‫  ا‬M 1  O‫ ا‬1‫ د إ‬1(*

(

)

0.25 0.25

( A ‫  و‬4 ) ‫ا ا‬  a + b −b  2 . M ( a ,b ) =    :/‫   ا‬،   ( a, b ) 0 -I a  b

{

}

. E = M ( a ,b ) / ( a, b ) ∈  2 :‫ ت ا‬:/‫ ا‬:S E   ، M2 (  )  . 1‫! وا‬1 ( M2 (  ) , +, × ) ‫آ أن‬H . ( M2 (  ) ,× ) ‫ ( و‬M2 (  ) , + )   ‫ء ﺱ‬L9 ε ‫( > أن‬1

0.75

. 1‫! د وا‬1 ( E , +, × ) ‫( > أن‬2

0.25

. ( x 2 + xy + y 2 = 0 ) ⇔ ( x = y = 0 ) :  ، y ‫ و‬x 1 ‫  د‬0 ‫ > أﻩ‬-‫( أ‬3

0.5

. ( E , +, × ) !4‫>  ا‬:! 0  ‫ ا‬8 ‫ د ا‬1 -‫ب‬

0.25

.‫ﺱ& د‬9 ( E , +, × ) ‫ ا'  < أن‬-‫ج‬

0.5

.  C‫  دا   \   إ‬σ  -II . ( , +,i ) 4‫ ا‬NS ‫*ء ا‬/! ‫( أ'س‬1, σ ) ‫( > أن‬1 :! > ‫  ا ف‬:4 E  ψ 3Q ‫(   ا‬2

0.25 0.75

ψ :E →  M ( a ,b ) → a + σ b

. ( , + ) :4 ( E , + )  !> 0‫آ‬% ψ ‫> أن‬ . z 2 − z + 1 = 0 :‫(     ا د‬3

0.75

.b!b‫ ا‬0%‫ ا‬C! N!1 [ ‫ ا د واآ‬IH‫ اد ا   ه‬#‫ ا‬:S  01 .σ =

1 3 +i :‫ال أن‬c‫ا اﺱ‬H‫ ض  ه‬/ (4 2 2

. ( ,× ) :4 ( E ,× )  0‫آ‬% ψ ‫> أن‬

0.5

( 9 )

‫ا اا‬

ln x 1 − :! > ]0; +∞[ C! 

‫ ا ا ا د ا‬f   -I x2 2     . i = j = 2cm ‫ ﻩ‬1‫ ( و‬O; i ; j ) &B   &!   f ‫ ا ا‬C4 (C) ‫و‬ ‫ ؛‬f ( x) = 4

.(C) C4! fNg‫  ا‬/‫ د ا‬1 &O ‫ ؛‬lim f ( x ) ‫ و‬lim+ f ( x ) [‫ﺱ‬1‫( ا‬1

0.5

 1 − 2 ln x  .( f ‫  ا ا‬% ‫ ه‬f ′ =1 ) ( ∀x ∈ ]0; +∞[ ) , f ′ ( x ) = 4   :‫ > أن‬-‫( أ‬2 3  x 

0.25

x →+∞

x →0

. f ‫ ات ا ا‬W ‫ ول‬9 ‫ أ‬-‫ب‬ :=4> β ‫ و‬α /! h !1 *> 0 f ( x ) = 0 ‫( > أن ا د‬3

0.75 0.75

.( 1 < ln 3 < 1,1 Q  ) 1 < α < e < β < 3 .1 N: ‫ ا  أ‬Q‫(  ا‬C) C4! (T ) ‫ د  د اس‬1 (4 .(C) C4‫( ار'& ا‬5 . ( ∀t ∈ [ 0; +∞[ ) , 1 − t ≤ . ( ∀a ∈ [ 0; +∞[ ) , a −

1 ≤ 1 :‫( > أن‬1 -II 1+ t

a2 ≤ ln (1 + a ) ≤ a :‫( ا'  < أن‬2 2

0.5 0.75

0.25 0.5

:! > ]0; +∞[ C! 

‫ ا‬f n ‫   ا ا‬، 4 ≤ n =4> n 748 ‫  د‬0 -III

fn ( x ) = n

ln x 1 − x2 2

.&B   &!   f n ‫ ! ا‬0b‫ ا‬C4‫ ( ا‬Cn ) ‫و‬ . f n ‫ ات ا ا‬W ‫( ادرس‬1

0.5

. e N: ‫ف أ‬Q ‫ ا‬Q 0 ‫( و> أﻩ‬C) C4‫( ادرس  ا‬2

0.5

. x &] [‫ﺱ‬1 f n +1 ( x ) ‫ و‬f n ( x ) ‫ ]رن‬-‫( أ‬3

0.25

5 6

. ( Cn +1 ) ‫ ( و‬Cn ) 4! ‫) اﺱ‬T:‫ ا'  < ا‬-‫ب‬

0.25

. 1 < un < e < vn :=4> vn ‫ و‬un /! h !1 *> 0 f n ( x ) = 0 ‫( > أن ا د‬4

0.5

.( (3 -III ‫ال‬c‫ اﺱ‬S  ‫ ا' ل‬U )  Q] ]   ( un )n≥ 4 ‫( > أن‬5

0.5

:‫ > أن‬، (2 -II ‫ال‬c‫ اﺱ‬S  ‫ >' ل‬-‫( أ‬6

0.25

( ∀n ≥ 4 ) ,

( un − 1)( 3 − un ) ≤ ln 2

( un ) ≤ un − 1

( ∀n ≥ 4 )

(u ) , n

2

( un ) ≤ un − 1 ≤ n ( 3 − un ) 2

:‫ ا'  < أن‬-‫ب‬

0.25

1 e ≤ un − 1 ≤ :‫ > أن‬-‫ج‬ 2n n

0.25

.N N ‫ دا‬4 >‫ (  ر‬un )n≥ 4  ‫ ا'  < أن ا‬-‫د‬

0.5

2n

( ∀n ≥ 4 ) ,

5

5

.( e 3 < 5,3 :Q  ) ، ( ∀n ≥ 4 ) , e 6 < vn :‫ > أن‬-‫( أ‬7 . lim vn = +∞ :‫ ا'  < أن‬-‫ب‬ x →+∞

0.5 0.5