Bac 2009 Es Fr.

SESSION 2OO9

MATHEMATIQUES

ffiffiffi

Ce sujet cornporte 6 pages numérotées de

I

ù 6.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

L' util is ati on

d' un e c al cul atr

ic

e e st aut or

is é e.

Le sujet est composé de QUATRE uercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est irwité àfairefigurer sur la copie toute trace de recherche, même incotnplète ou nonfructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de Ia rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrerant oour une part importante dans l'appréciation des

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'MAESOMEl

Exercice 1 (4 points) (Commun à tous les candidats)

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de I'indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2407. Année

Rang de I'année : x,

Indice: H

2000

2001

2402

2003

2044

2005

2046

2Q07

:c$g

0

1

2

a J

.?

^

5

6

I

É

100

108,5

120,7

134,9

154,8

176,4

193,5

2r3,6

Source

:

INSEE.

1. Calculer le pourcentage d'augmentation de cet indice de I'année 2000 à l'année 2447.

2. Construire le nuage de points

M,(r,;1) dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal défini de la

manière suivante : sur I'axe des abscisses, on placera 0 à I'origine et on choisira 2 cm pour représenter une année. sur I'axe des ordonnées, on placera 100 à I'origine et on choisira I cm pour représenter 10 unités.

. c

3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le pian (P). 4. L'allure de ce nuage permet de penser quoun ajustement affine est adapté.

L. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite ( d ) d'ajustement

de

y

en

x

,

obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

b.

Tracer la droite ( d ) dans le plan (P).

5. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer I'indice du prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse.

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gMAESOMEl

1@5

Exerdge 2 (5 points) (Pour les candidats n'ayûnt pas suivi I'enseignement de spécialité)

Soit

/

une fonction définie et dérivable sur f intervalle

ï-Z;57, décroissante

sur chacun d.es intervalles

[-Z ; O] et12;5] et croissante sur I'intervalle lO ;Zl. On note -f ' sa fonction dérivée sur f intervalle l-2 ;5). La courbe

(f)

représentative de la fonction

orthogonal.EllepasseparlespointsA

/

est tracée en annexe 1 dans le plan muni d'un repère

(-2; 9),8 (0; +),C (1 i4,5),D (Z;5) etE (+;O).

En chacun des points B et D, ia tangente à la courbe

(f)

est parallèle à

I'axe des abscisses.

On note F le point de coordonnées (3 ; 6) . La droite (CF) est la tangente à la courbe

1.

À l'aide des informations précédentes et de I'annexe a. les valeurs de

justifier

:

/(0), /'(1) etf '(2),

b. le signe de

/'(x)

c. le signe de

/(x)

suivant les valeurs du nombre réel x de I'intervalle suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle

2. On considère ia fonction g définie par

g(r)

=

t"(/(r))

a. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur

b. calculer

1, préciser sans

(f) au point C.

s(-2), s(0) et g(z)

où

h

[-Z ; S], [-Z ; S].

désigne la fonction logmithme népérien.

I'intervalle [-2 ; a[.

.

c. Préciser, en le justifiant, le sens de variation de la fonction

g.

sur I'intervalie

l-Z

; +1 .

d. Déterminer la limite de la fonctiong lorsque x tend vers 4. Interpréter ce résultat pow la représentation graphique de ia fonctiong. e. Dresser le tableau de

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variation de la fonctiong.

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Exercice 3 (5 points) (Commun à tous les candidats)

jeu' Une salle de jeux comporte deux consoles identiques proposant ie même Un jour, l'une des deux est déréglée. LeJjoueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.

l.

Ce

jour-là, un jouew choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console'

On note

r o

:

_

D l'événement < ie joueur choisit la console déreglée > et D l'événement contraire. G l'événement < le joueur gagne la partie > et G l'événement contraire.

certaines Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequei figurent

probabilités

:

<. <.

t t/.

t',-*

t

Ainsi 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi la console déréglée.

r.

b.

c.

d. e.

Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter. gagne >. Caiculer la probabilité de l'événement < le joueur choisit la console déréglée et ii gagne Calculer la probabilité de l'événement < ie joueur choisit la console non déréglée et il Montrer que la probabilité que le joueur gagle est égale à 0,45. gagné'. Calculer la probabilité que le joueur ait choisi la console déréglée sachant qu'il a

D.

fu. 1

2. Trois fois successivement et

g

et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles

joue une partie.

sera donné calculer la probabilité de l'événement < le joueur gagne exactement deux fois >. Le résultat sous forme décimale arrondie au millième.

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*-;I

Exercice 4 (6 points) (Commun à tous les candidats)

Partie A - Étude doune fonction

on note

/'

1. a. Démontrer b.

/

définie sur l'intervalle [o,s ; r] pa, f (x) = 20(x-l)e-o,s'. la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle [0, s ; g].

on considère la fonction

/

que, pour tout nombre réel x de

Étudier le signe de la fonction

la fonction /.

2.

l'intervalle [0,5 ; sJ,

/'(r)= 10(-x+3)e-',r".

f ' sur f intervalle [0,5 ; 8] et en déduire le tableau de variation de

Construire la courbe représentative

(Q

de la fonction

/

dans le plan muni d'gn repère orthogonal

(O ; i,./= ). On prendra pour unités graphiques 2 cm sur l'axe

d.es abscisses

et 1 cm sur l'axe des

ordonnées.

3.

Justifier que la fonction.F définie sur l'intervalle [0,5 ; 8]

primitive de la fonction

4.

/

par F(x)

a0 (l + 1) = - no'5x

est une

sur I'intervalle [0,S ; S].

calculer la valeur exacte de I'inrégrale i définie par I =

Ii

rro>

*

.

Partie B - Application économique Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités. La production mensuelle peut varier de 50 à B0û bicyclettes. Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction/de la partie A de la façon suivante : si, un mois donné, on produit x centaines de bicyblettes, alorsl(x) modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, réalisé par I'entreprise ce même mois. Daris la suite de I'exercice, on utilise ce modèle.

1. a. Vérifier que si I'entreprise produit 22Abicyclettes

un mois donné, alors elle réalise ce mois là un

bénéfice de 7989 enros.

b.

2,

Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes un mois donné.

Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. Répondre aux questions suivantes en utiiisant les résultats de la partie A et le modèle précédent. Justifier chaque réponse.

a.

Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?

b.

Combien, pour un mois donné, I'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénétlce maximum ? Préciser alors ce bénéfice à I'euro près.

c. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8000 euros ?

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Annexe

I

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