Bab_v_mekanika_fluida[1].docx1.docx

TUGAS 1 MEKANIKA FLUIDA Judul : “Zat Cair Dalam Kesetimbangan Relatif”

Dosen Pengampuh

: RAHMAT FAISAL M.S.c.

Disusun Oleh :

Nama:

Elia Wellem

NPM:

1740301020

LOKAL A FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BORNEO TARAKAN 2018

Pendahuluan Zat cair di dalam tangki yang bergerak dengan kecepatan konstan tidak mengalami tegangan geser karena tidak adanya gerak relatif antara partikel zat cair atau antara partikel zat cair dengan bidang batas. Zat cair dalam keadaan ini disebut dalam keseimbangan relatif. Apabila zat cair mengalami percepatan, maka akan terjadi gaya yang di timbulkan oleh percepatan yang memberikan tambahan terhadap gaya hidrostatis. Akan di pelajari perubahan tekanan pada zat cair yang mengalami percepatan seragam, setelah kondisi seimbang tercapai. Contoh permasalahan dari zat cair dalam keseimbangan relatif adalah suatu tangki berisi zat cair yang mengalami percepatan atau perlambatan, dan zat cair dalam suatu silinder yang mengalami rotasi terhadap sumbu vertikal. Kedua permasalahan tersebut akan dibahan dalam bab ini. 5.2. Zat cair dalam tangki mengalami percepatan Apabila zat cair berada di dalam suatu tangki dalam keadaan diam, atau bergerak dengan kecepatan konstan, maka zat cair tersebut tidak dipengaruhi oleh gerk tangki. Tetapi apabila tangki tersebut mengalami percepatan kontinyu, maka percepatan tersebut akan berpengaruh pada zat cair dengan adanya perubahan distribusi tekanan. Oleh karena zat cair tetap diam, relatif terhadap tangki, maka tidak ada gerak relatif dari partikel zat cair, yang berarti tidak ada tegangan geser. Tekanan zat cair akan tegak lurus pada bidang di mana tekanan bekerja. Gambar 5.1. menunjukkan zat cair yang berada di dalam tangki dan bergerak dengan kecepatan ax searah sumbu x. percepatan tersebut menyebabkan terjadinya gaya horizontal yang bekerja pada zat cair, sehingga permukaan zat cair tidak lagi mendatar tetapi berubah menjadi miring. Pada sisi belakang tangki, zat cair akan naik dan di sisi depan zat cair akan turun. Misalkan θ adalah sudut antara bidang horizontal dan bidang permukaan zat cair.

Gambar 5.1. Zat cair dalam tangki bergerak dengan percepatan horizontal Dipandang suatu partikel A pada permukaan zat cair miring seperti di tunjukkan dalam gambar 5.2. Gaya-gaya yang bekerja pada partikel adalah:

Gambar 5.2. Gaya-gaya yang bekerja pada partikel zat cair 1. Berat partikel zat cair W yang bekerja vertical ke bawah: W=Mg Dengan M adalah massa partkel dan g adalah percepatan grafitasi 2. Gaya karena percepatan F yang bekerja secara horizontal: F = M ax Dengan ax adalah percepatan horizontal. 3. Gaya tekanan P pada partikel zat cair yang tegak lurus permukaan. Hukum Newton II untuk gaya-gaya dalam arah horizontal: Fx = M ax P sin θ = M ax

(5.1)

Hukum Newton II untuk gaya-gaya dalam arah vertikal: Fy = M ay Karena percepatan adalah dalam arah horizontal, berarti ay = 0, sehingga : P cos θ – W = 0 P cos θ = M g

(5.2)

Apabila persamaan (5.1) dibagi dengan persamaan (5.2), akan didapat : 𝑃 sin 𝜃

= 𝑃 cos 𝜃

𝑀 𝑎𝑥 𝑀𝑔

𝑎𝑥

tg θ = 𝑀 𝑔

(5.3)

yang konstan di setiap titik pada permukaan. Persamaan (5.3) menunjukkan bahwa permukaan zat cair merupakan bidang datar yang miring dengan sudut θ terhadap bidang horizontal. Oleh karena percepatan adalah horizontal maka gaya-gaya vertikal tidak berubah dan tekanan di suatu titik pada kedalaman h adalah γh. Bidang-bidang dengan tekanan yang sama adalah sejajar dengan bidang permukaan (lihat gambar 5.3)

Gambar 5.3. Garis dengan tekanan sama pada tangki dengan percepata horizontal Apabila percepatan adalah dalam arah vertikal, permukaan zat cair akan tetap horizontal. Tetapi karena adanya percepatan maka akan terjadi pertambahan/pengurang tekanan terhadap tekanan hidrostatis. Percepatan vertikal ke atas akan menyebabkan pertambahan tekanan, dan percepatan kebawah menyebabkan pengurangan tekanan. Dipandang suatu prisma dengan tampang lintang A dan tinggi h yang mengalami percepatan vertikal ke atas ay. Tekanan hidrostatis pada dasar prisma yang mempunyai kedalaman h adalah p = h γ.

Gaya-gaya yang bekerja pada perisma adalah : 1. Berat prisma W yang bekerja vertikal ke bawah : W=Mg=ρVg=ρghA

Gambar 5.4. Gaya-gaya yang bekerja pada prismazat cair 2. Gaya karena percepatan F yang bekerja secara vertikal : F = M ay = ρ h A ay 3. Gaya tekanan hidrostatis pada dasar prisma : P=pA Dengan menggunakan hukum Newton II untuk gaya-gaya vertikal yangn bekerja pada prisma : Fy = M ay p A – ρ g h A = ρ h A ay p=

ρ ℎ 𝐴 𝑎𝑦+ ρ 𝑔 ℎ 𝐴 𝐴

p = ρ g h (1 + p = γ h (1 +

𝑎𝑦

𝑎𝑦 𝑔

𝑔

)

) (5.4)

Apabila percepatan adalah vertikal ke bawah maka nilai ay adalah negatif sehingga persamaan (5.4) menjadi : P=γh(1-

𝑎𝑦 𝑔

)

(5.5)

Persamaan (5.4) dan (5.5) menunjukkan bahwa bidang-bidang dengan tekanan sama adalah horizontal. Deistribusi tekanan pada dinding tangki untuk percepatan vertikal ke atas atau ke bawah di tunjukkan dalam gambar 5.5.

Gambar 5.5. Tangki dengan percepatan vertikal Apabila tangki bergerak dalam bidang miring, maka percepatan searah bidang tersebut dapat di proyeksikan dalam arah vertikal dan horizontal. Dipandang suatu tangki yang berisi zat cair dan bergerak ke kanan sepanjang bidang miring dengan percepatan seragam seperti ditunjukkan dalam gambar 5.6. sudut kemiringan bidang terhadap horizontal adalah φ.

Gambar 5.6. Zat cair dalam tangki bergerak pada bidang miring Sebelum mengalami percepatan permukaan zat cair di dalam tangki adalah horizontal (gambar 5.6.a). Keadaan ini dapat terjadi pada saat tangki diam atau bergerak dengan kecepatan konstan. Setelah mengalami percepataan permukaan zat cair tidak lagi horizontal tetapi berubah menjadi miring dengan sudut kemiringan terhadap horizontal adalah θ (gambar 5.6.b).

Dipandang suatu partikel A pada permukaan zat cair. Gaya-gaya yang bekerja pada partikel zat cair adalah (gambar 5.7): 1. Berat partikel W yang bekerja vertikal ke bawah,

Gambar 5.7. Gaya-gaya pada partikel zat cair

1. Gaya karena percepatan F yang bekerja dengan membentuk sudut 𝜑 terhadap horizontal, 2. Gaya tekan hidrostatis P yang bekerja pada partikel zat cair dan bekerja tegak lurus permukaan zat cair. Gaya percepatan F dapat diproyeksikan dalam arah vertical dan horizontal F x = F cos 𝜑 = M 𝛼y Fy = F sin 𝜑 = M 𝛼x Dengan menggunakan hokum newton ll untuk gaya gaya horizontal F y = M 𝛼y P cos 𝜃 = M 𝛼x (5.6) Hokum newton ll untuk gaya gaya vertical F y = M 𝛼y P cos 𝜃 – Mg = M 𝛼y P cos 𝜃 = Mg + M 𝛼y Persamaan (5.6) dibagi dengan persamaan (5.7)

(5.7)

𝑝 sin 𝜃 𝑝 cos 𝜃

𝑀 𝛼𝑥

= 𝑀g + 𝑀 𝛼𝑦 𝛼𝑥

tg 𝜃 = g+𝛼𝑦

(5.8)

pada tangki tertutup yang terisi zat cair sampai penuh ,tekanan disetiap titil didalam tangki dapat dihitung apabila tekanan disuatu titik didalam tangki diketahui . karena tangki tertutup dan terisi penuh maka permukaan zat cair tetap datar,tetapi percepatan yang bekerja pada zat cair akan menyebabkan bertambahnya tekanan disepanjang tangki. Tekanan disepanjang tangki dapat dihitung apabila tekanan disuatu titik dalam tangki dikethui. Misalkan tekanan di titik A adalah atmosfer, yang dapat dilakukan dengan menberi lobang kecil dititk A dengan adanya percepatan ax maka tinggi tekanan pada sisi atas tangki ditunjjukan oleh garis AC. Garis AC adalah sama dengan kemiringan mika air apabila tangki terbuka dan dinding cukup tinggi sehingga air tidak tumpah. Kenaikan tekanan dititik B dapat dihitung dengan persamaan (5.3) :

Gambar 5.8. tangki tertutup erisi zat cair mengalami percepatan horizontal tg 𝜃 = ℎ 𝑏

=

h=

𝛼𝑥 𝑔

𝛼𝑥 𝑔 𝛼𝑥 𝑔

b

dengan h adalah tinggi tekanan dititk B dan b adalah panjang tangki. Contoh 1

Tangki segi empat dengan panjag 4,0 m, lebar 1,0 m dan tinggi 3,0 m berisi air dengan kedalaman 2,0 m bergerak dengan kecepatan horizontal 4,0 m/𝑑 2 dalam arah panjang tangki. Cari kemiringan permukaan air dan gaya tekanan pada sisi muka dan belakang tangki. Percepatan geavitasi g = 9,81m/𝑑 2 . Penyelesaian Digunalan system satuan SI Misalkan karena adanya percepatan 𝛼x = 4,0 m/𝑑 2 permukaan zat cair miting dengan sudut 𝜃 terhadap horizontal. Dengan menggunakan rumus berikut,

tg 𝜃 =

𝛼𝑥 𝑔

4,0

= 9,81 = 0,408

Atau 𝜃 = 22,195°12’

Dari gambar diatas dapat dicari kenaikan maka air pada sisi belakang tangki, h = 2 tg 𝜃 = 2 x 0,408 = 0,816 m jadi h1 = 2 + 0,816 = 2,816 m Kedalaman air pada sisi depan,

ℎ2 = 2 – 0,816 = 1,184 𝑚 Gaya tekakan hidrostatis pada sisi belakang,

𝐹1 =

1 2

ℎ12 p g B =

1 2

(2,816)2 x1000x9,81x1,0

=38.896 N = 38,896 k N Gaya tekanan hidrostatis pada sisi depan, F2 =

V.

1 2

ℎ12 p g B =

1 2

(1,184)2 x1000x9,81x1,0 = 6,876N = 6,876kN

ZAT CAIR DI DALAM SILINDER BEROTASI

Apabila suatu tangki silinder berisi zat cair diputar(rotasi) terhadap sumbu vertikaldengan kecepatan sudut konstan,maka zat cair tersebut akan mengalami gaya sentrifugal dengan arah meninggalkan sumbu vertikal.Karena perputaran tersebut permukaan zat cair yang semula horizontal berubah menjadi bentuk paraboloida. Gambar 5.14. menunjukkan tangki silinder berisi zat cair yang berotasi dengan kecepatan sudut konstan @. Permukaan zat cair pada sumbu vertikal turun sampai titik terendah,sedang pada dinding silinder naik sampai titik teratas. Semakin besar kecepatan rotasi,penurunan dan kenaikan zat cair tersebut semakin besar. Dipandang suatu partikel A di permukaan zat cair pada jarak (jari-jari) r dari sumbu rotasi seperti terlihat dalam gambar 5.14. Silinder silinder tersebut berputar dengan kecepatan sudut @ (radial/detik). Kecepatan sudut dapat juga dinyatakan dalam kecepatan rotasi N rpm (rotasi per menit). Hubungan antara N dan @ diberikan oleh bentuk berikut : 2𝜋𝑁

𝜔= 60

Gaya-gaya yang bekerja pada partikel A adalah : 1. Berat partikel W yang bekerja vertikal ke bawah, 2. Gaya sentrifugal F yang bekerja dalam arah keluar (menjauhi sumbu),dengan bentuk : F= M(𝜔2 r) 3. Gaya tekanan hidrostatis P yang bekerja pada partikel A di permukaan zat cair. Misalkan garis singgung pada permukaan zat cair melalui partikel membentuk sudut 𝛼 terhadap horizontal seperti terlihat dalam gambar 5.15. Keseimbangan gaya-gaya yang bekerja dalam arah garis singgung melalui partikel A memberikan : F cos 𝛼 = W g sin 𝛼

M (𝜔2 r) cos 𝛼 = M g sin 𝛼 tg 𝛼 =

𝑀(𝜔 2 𝑟) 𝑀𝑔

=

𝜔2𝑟 𝑔

Mengingat tg 𝛼 = dy/dr maka: 𝑑𝑦 𝜔 2 𝑟 𝑑𝑟

=

𝑔

Integrasi persamaan diatas akan didapat : ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝜔2 𝑟 2

y=

2𝑔

𝜔2𝑟 𝑔

𝑑𝑟

+C

dengan C adalah konstanta integrasi. Apabila titik terendah dari permukaan zat cair dipiih sebagai sumbu koordinat,berarti r = 0 dan y =0, sehingga persamaan diatas menjadi: 𝜔2 0

0= 2𝑔 + C Atau C=0 Sehingga persamaan diatas menjadi : y=

𝜔2 𝑟 2 2𝑔

Persamaan (5.11) merupakan bentuk parabola,yang dalam koordinat tiga demensi permukaan zat cair mempunyai bentuk paraboloida. Apabila jari-jari silinder adalah R, maka kenaikan zat cair pada dinding silinder dari permukaan terendah adalah: 2

yp=

𝜔 2𝑅 2𝑔

Seperti terlihat dalam gambar 5.16, permukaan zat cair sebelum berotasi diberikan oleh garis A A’. Setelah berotasi,zat cair pada sumbu rotasi turun sampai titik C yang melalui garis B B’, sedang zat cair pada dinding silinder naik sampai garis D D’. Tinggi parabola adalah yp sedang h adalah jarak antara A A’ dan B B’. Volume zat cair sebelum dan setelah rotasi adalah sama. Volume parabola

1

Vp=2 𝜋 𝑅 2

𝜔 2 𝑅2 2𝑔

.................. Pers 1

Volume silinder yang ditempati paraboloida Vs=𝜋 𝑅 2

𝜔2 𝑅2

.................. Pers 2

2𝑔

Dari kedua persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa : Vs= 2 Vp

.................. Pers 3

Volume paraboloida tersebut sama dengan volume bagian silinder sebagai tinggi yaitu : V𝑠 ′ = 𝜋 𝑅 2 ℎ

.................. Pers 4

Volume V𝑠 ′ adalah sama dengan volume paraboloida sehingga dengan menyamakan persamaa 1 dan 4 dan didapat persamaan :

1

ℎ =2 𝜋 𝑅 2

𝜔 2 𝑅2 2𝑔

1

= 2 𝑦p

Jika kenaikan zat cair pada dinding dari permukaan awal (sebeum silinder berotasi ) adalah sama dengan penurunan pada sumbu Contoh : Silinder berdiameter 20 cm berisi air sampai kedalaman 50 cm. Apabila silinder diputar terhadap sumbunya dengan kecepatan 300 rpm (rotasi per menit), hitung kedalaman parabola ( jarak antara muka air tertinggi pada dinding dan muka air terendah pada sumbu silinder). Penyelesaian Hubungan antara kecepatan putar dan kecepatan sudut diberikan oleh bentuk berikut 2𝜋𝑁

𝜔= 60

Dengan 𝜔 adalah kecepatan sudut (rad/detik) dan N adalah kecepatan putar (rpm), sehingga di dapat : 2x𝜋x300

𝜔=

60

= 31,42 rad/d

Kedalaman parabola dihitung dengan rumus berikut :

2

yp=

𝜔 2𝑅 2𝑔

=

(31,42)2 x(0,10)2 2x9,81

= 0,5032 m = 50,32 cm