Bab2_2 State Space
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Bab2_2 State Space as PDF for free.
More details
- Words: 1,181
- Pages: 25
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
PEMODELAN STATE SPACE ♦Beberapa Pengertian: ♦ State: State suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel (disebut variabel-variabel state) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui variabel-variabel tsb pada t = t0, bersama sama dengan informasi input untuk t ≥ t0, maka perilaku sistem pada t ≥ t0 dapat ditentukan secara utuh. Pengertian state tidak hanya untuk sistem fisis, tapi juga sistem-sistem lain: biologi, ekonomi, sosial dsb. ♦ Variabel-variabel State: Variabel-variabel state suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel yang menentukan state sistem dinamik tsb. Variabel state tidak harus merupakan besaran yang dapat diukur atau diamati secara fisik (merupakan keunggulan metoda ini). Secara praktis, pilih besaran yang dapat diukur sebagai variabel state ( agar dapat diumpanbalikkan) .
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-29 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♦ Vektor State Bila dibutuhkan n var state untuk mendeskripsikan secara utuh perlaku suatu sistem, maka n variabel tsb dapat dipandang sebagai n komponen dari suatu vektor x. Suatu vektor state adalah suatu vektor yang menentukan secara unik state sistem x(t) untuk t ƒ t0 bila state pada t = t0 diberikan dan input u(t) pada t ƒ t0 juga diberikan. ♦ State Space Merupakan ruang berdimensi n dengan sumbu-sumbu x1, x2, … xn. Setiap state dapat terletak disuatu titik dalam ruang tsb. ♦ Persamaan State-Space Perlu 3 jenis variabel dalam analisis: 1. Variabel-variabel input, 2. Variabel-variabel output, 3. Variabel-variabel state. Representasi state space untuk suatu sistem tidak unik, tetapi jumlah variabel state nya adalah sama untuk sistem yang sama.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-30 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♦ Representasi State Space untuk sistem MIMO: Input : u1(t), u2(t), …,ur(t) Output : y1(t), y2(t), . . . , ym(t). Definisikan n output integrator sebagai variabel state: x1(t), x2(t), . . . , xn(t). ♦Sistem dapat didiskripsikan:
♦Output sistem dapat dinyatakan:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-31 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Bila didefinisikan:
Maka persamaaan state dan persamaan output menjadi:
(Disebut sistem time varying bila fungsi f dan g mengandung variabel t).
Bila persamaan state dan output diatas dilinearisasikan disekitar titik operasinya, maka persamaan state dan output linear dapat dituliskan:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-32 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Dengan: A(t) B(t) C(t) D(t)
: Matrix state : Matrix input : Matrix output : Matrix transmisi langsung
Untuk sistem time-invariant:
Diagram Blok nya:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-33 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh: Persamaan sistem :
Definisikan variabel state:
Sehingga diperoleh:
Atau:
Sehingga Persamaan output: y = x1
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-34 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Persamaan state dalam bentuk vektor:
Persamaan output dalam bentuk vektor:
Sehingga:
Blok diagram sistem:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-35 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♦ Kaitan
antara Fungsi Alih dan Persamaan-Persamaan State Space
Fungsi alih suatu sistem :
Representasi State Space sistem tsb:
Bentuk Laplace nya:
(Ambil kondisi mula =0), diperoleh:
sX(s) – AX(s) = BU(s) atau:
(sI – A)X(s) = BU(s) Diperoleh:
X(s) = (sI – A)-1BU(s)
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-36 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Persamaan Output menjadi: Y(s) =[C(sI – A)-1B + D] U(s) Dengan membandingkan Fungsi alih dan Persamaan Output, diperoleh:
G(s) = C(sI – A)-1B + D atau:
Terlihat bahwa: Eigenvalue A adalah pole-pole G(s).
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-37 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh Memperoleh Fungsi Alih dari State Space: Persamaan State dan Output semula:
Diperoleh:
Mengingat:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-38 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Maka Fungsi Alihnya:
Untuk sistem MIMO:
Maka diperoleh matriks transfer G(s) berdimensi (m x r) melalui persamaan: Y(s) = G(s) U(s)
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-39 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Representasi State Space untuk Sistem Dinamis
• Suatu sistem dinamik dengan elemen-elemennya bersifat lumped dinyatakan dalam Persamaan Differential biasa, dengan waktu merupakan variabel independen. • Dengan menggunakan notasi matriks vektor, Persamaan Differential orde-n dapat dinyatakan sebagai Persamaaan Differential matriks vektor orde pertama. • Bila n elemen dari vektor tsb adalah kumpulan variabel state, maka Persamaaan Differential matriks vektor merupakan Persamaan State.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-40 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♥ Sistem orde-n dengan input tak mengandung
suku-suku turunan:
Alternatif pemilihan n variabel state: • y*(t), y**(t) , …, y(t) : tak praktis karena memperkuat derau . • Ambil :
Sehingga persamaan differential semula menjadi:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-41 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Atau :
dengan:
dan
Atau : y=Cx dengan C = [1 0 . . . 0]
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-42 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Fungsi Alih sistem:
Diagram blok nya:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-43 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♥ Sistem orde-n dengan input tak mengandung suku-suku turunan: Ambil:
Maka : n variabel y*, y**, …, y(n) tak dapat menjadi kumpulan variabel state, mengingat:
dengan x1 = y, dapat menghasilkan solusi tak unik. Salah satu alternatif menentukan variabel-variabel state:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-44 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
dengan
(Solusi persamaan state terjamin ada dan unik!)
Diperoleh:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-45 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Dalam bentuk matriks vektor:
Atau:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-46 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
dengan:
Fungsi Alih nya:
Blok Diagramnya:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-47 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh Sistem Mekanis:
Model matematisnya:
Bentuk Laplace nya:
Dengan mengambil semua kondisi mula = 0, diperoleh :
(Hanya untuk sistem linear, time-invariant).
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-48 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Model State Space nya:
Dengan bentuk standard:
Definisikan:
Perhatikan kembali Persamaan:
diperoleh:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-49 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Dengan merujuk lagi persamaan:
Definisikan:
Dari Persamaan:
Diperoleh:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-50 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Persamaan Output:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-51 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh Rangkaian Elektrik:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-52 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-53 _____________________________________________________________________________
PEMODELAN STATE SPACE ♦Beberapa Pengertian: ♦ State: State suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel (disebut variabel-variabel state) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui variabel-variabel tsb pada t = t0, bersama sama dengan informasi input untuk t ≥ t0, maka perilaku sistem pada t ≥ t0 dapat ditentukan secara utuh. Pengertian state tidak hanya untuk sistem fisis, tapi juga sistem-sistem lain: biologi, ekonomi, sosial dsb. ♦ Variabel-variabel State: Variabel-variabel state suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel yang menentukan state sistem dinamik tsb. Variabel state tidak harus merupakan besaran yang dapat diukur atau diamati secara fisik (merupakan keunggulan metoda ini). Secara praktis, pilih besaran yang dapat diukur sebagai variabel state ( agar dapat diumpanbalikkan) .
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-29 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♦ Vektor State Bila dibutuhkan n var state untuk mendeskripsikan secara utuh perlaku suatu sistem, maka n variabel tsb dapat dipandang sebagai n komponen dari suatu vektor x. Suatu vektor state adalah suatu vektor yang menentukan secara unik state sistem x(t) untuk t ƒ t0 bila state pada t = t0 diberikan dan input u(t) pada t ƒ t0 juga diberikan. ♦ State Space Merupakan ruang berdimensi n dengan sumbu-sumbu x1, x2, … xn. Setiap state dapat terletak disuatu titik dalam ruang tsb. ♦ Persamaan State-Space Perlu 3 jenis variabel dalam analisis: 1. Variabel-variabel input, 2. Variabel-variabel output, 3. Variabel-variabel state. Representasi state space untuk suatu sistem tidak unik, tetapi jumlah variabel state nya adalah sama untuk sistem yang sama.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-30 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♦ Representasi State Space untuk sistem MIMO: Input : u1(t), u2(t), …,ur(t) Output : y1(t), y2(t), . . . , ym(t). Definisikan n output integrator sebagai variabel state: x1(t), x2(t), . . . , xn(t). ♦Sistem dapat didiskripsikan:
♦Output sistem dapat dinyatakan:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-31 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Bila didefinisikan:
Maka persamaaan state dan persamaan output menjadi:
(Disebut sistem time varying bila fungsi f dan g mengandung variabel t).
Bila persamaan state dan output diatas dilinearisasikan disekitar titik operasinya, maka persamaan state dan output linear dapat dituliskan:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-32 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Dengan: A(t) B(t) C(t) D(t)
: Matrix state : Matrix input : Matrix output : Matrix transmisi langsung
Untuk sistem time-invariant:
Diagram Blok nya:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-33 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh: Persamaan sistem :
Definisikan variabel state:
Sehingga diperoleh:
Atau:
Sehingga Persamaan output: y = x1
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-34 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Persamaan state dalam bentuk vektor:
Persamaan output dalam bentuk vektor:
Sehingga:
Blok diagram sistem:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-35 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♦ Kaitan
antara Fungsi Alih dan Persamaan-Persamaan State Space
Fungsi alih suatu sistem :
Representasi State Space sistem tsb:
Bentuk Laplace nya:
(Ambil kondisi mula =0), diperoleh:
sX(s) – AX(s) = BU(s) atau:
(sI – A)X(s) = BU(s) Diperoleh:
X(s) = (sI – A)-1BU(s)
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-36 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Persamaan Output menjadi: Y(s) =[C(sI – A)-1B + D] U(s) Dengan membandingkan Fungsi alih dan Persamaan Output, diperoleh:
G(s) = C(sI – A)-1B + D atau:
Terlihat bahwa: Eigenvalue A adalah pole-pole G(s).
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-37 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh Memperoleh Fungsi Alih dari State Space: Persamaan State dan Output semula:
Diperoleh:
Mengingat:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-38 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Maka Fungsi Alihnya:
Untuk sistem MIMO:
Maka diperoleh matriks transfer G(s) berdimensi (m x r) melalui persamaan: Y(s) = G(s) U(s)
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-39 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Representasi State Space untuk Sistem Dinamis
• Suatu sistem dinamik dengan elemen-elemennya bersifat lumped dinyatakan dalam Persamaan Differential biasa, dengan waktu merupakan variabel independen. • Dengan menggunakan notasi matriks vektor, Persamaan Differential orde-n dapat dinyatakan sebagai Persamaaan Differential matriks vektor orde pertama. • Bila n elemen dari vektor tsb adalah kumpulan variabel state, maka Persamaaan Differential matriks vektor merupakan Persamaan State.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-40 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♥ Sistem orde-n dengan input tak mengandung
suku-suku turunan:
Alternatif pemilihan n variabel state: • y*(t), y**(t) , …, y(t) : tak praktis karena memperkuat derau . • Ambil :
Sehingga persamaan differential semula menjadi:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-41 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Atau :
dengan:
dan
Atau : y=Cx dengan C = [1 0 . . . 0]
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-42 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Fungsi Alih sistem:
Diagram blok nya:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-43 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
♥ Sistem orde-n dengan input tak mengandung suku-suku turunan: Ambil:
Maka : n variabel y*, y**, …, y(n) tak dapat menjadi kumpulan variabel state, mengingat:
dengan x1 = y, dapat menghasilkan solusi tak unik. Salah satu alternatif menentukan variabel-variabel state:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-44 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
dengan
(Solusi persamaan state terjamin ada dan unik!)
Diperoleh:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-45 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Dalam bentuk matriks vektor:
Atau:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-46 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
dengan:
Fungsi Alih nya:
Blok Diagramnya:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-47 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh Sistem Mekanis:
Model matematisnya:
Bentuk Laplace nya:
Dengan mengambil semua kondisi mula = 0, diperoleh :
(Hanya untuk sistem linear, time-invariant).
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-48 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Model State Space nya:
Dengan bentuk standard:
Definisikan:
Perhatikan kembali Persamaan:
diperoleh:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-49 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Dengan merujuk lagi persamaan:
Definisikan:
Dari Persamaan:
Diperoleh:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-50 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Persamaan Output:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-51 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Contoh Rangkaian Elektrik:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-52 _____________________________________________________________________________
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-53 _____________________________________________________________________________
Related Documents
Bab2_2 State Space
June 2020 2
Bab22-perjanjianhudaibiyyah
October 2019 28
6- Analyzing State-space Characteristic
May 2020 3
Transfer Function Vs State Space
June 2020 0
Space
June 2020 30
Space
June 2020 25More Documents from "brittanyjguy"
Bab2_2 State Space
June 2020 2
Bab Ii.docx
December 2019 4
Pid
June 2020 2
New Microsoft Word Document.docx
November 2019 9
New Microsoft Word Document.docx
November 2019 11