Bab Vi Ruang Hasilkali Dalam

  • Uploaded by: Alip Purnomo
  • 0
  • 0
  • June 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Bab Vi Ruang Hasilkali Dalam as PDF for free.

More details

  • Words: 2,982
  • Pages: 36
Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

1

Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan – Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

2

Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan u , v ∈ V maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. < u , v > = < v , u >

(Simetris)

2. < u + v , w > = < u , w > + < v , w >

(Aditivitas)

3.

untuk suatu k∈R, < k u , v > = < u , k v > = k < u , v > (Sifat Homogenitas)

4. < u , u > ≥ 0 , untuk setiap u dan < u, u > = 0 ⇔ (Sifat Positifitas) 07/03/2007 12:19

u =0

MA-1223 Aljabar Linear

3

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor u dinyatakan oleh : u yang didefinisikan oleh :

u = < u, u >

1

2

≥0

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan u , v ∈ Rn maka < u , v >= u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n u =

< u, u >

1

2

≥0

= (u12 + u22 + …..+un2)½

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

4

Contoh 2 : Misalnya W ⊆ R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali < u , v > = 2u1v1 + u 2 v2 + 3u3v3 , dimana u , v ∈ W Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab : Misalkan u , v , w ∈ W

< u , v > = 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3 = 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3 (terbukti simetris) = < v, u >

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

5

(ii) < u + v , w > = <(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3 = 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3 = 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3 = < u, w > + < v, w >

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu k∈R, < k u , v > = <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)> = 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3 = k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3 = k < u, v > = < u, k v >

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

(bersifat homogenitas)

6

(iv) < u , u > = 2u1 + u2 + 3u3 2

2

2

1

Jelas bahwa < u , u > 2 ≥ 0 untuk setiap u dan < u , u > = 0 hanya jika u = 0 Contoh 3 : Tunjukan bahwa < u , v > = u1v1 + 2u 2 v2 − 3u1v1 bukan merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan 2 2 2 < u , u > = 2u1 + u2 − 3u3 Pada saat 3u32 > u12 + 2u22 maka

< u, u > ≤ 0

07/03/2007 12:19

Tidak memenuhi Sifat positivitas

MA-1223 Aljabar Linear

7

Contoh 4 : Diketahui

< u , v >= ad + cf

dimana u = ( a , b, c )

dan v = ( d , e, f )

Apakah < u , v > merupakan hasil kali dalam? Jawab : Jelas bahwa Misalkan

< u, u >= ( a2 + c2 )

≥0

u = (0, 2, 0) diperoleh < u , u >= 0

Padahal ada u ≠ 0 Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi < u , v > = ad + cf 07/03/2007 12:19

bukan merupakan hasil kali dalam. MA-1223 Aljabar Linear

8

Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortonormal Î himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

9

Secara Operasional Misalkan, T = {c1 , c 2 ,..., c n } pada suatuRHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

< ci , c j > = 0

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

07/03/2007 12:19

ci = 1

MA-1223 Aljabar Linear

10

Contoh 5 : ⎧ ⎛1 ⎞ 1. A = ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎩ ⎝ 0 ⎠,

⎛ -1 ⎜⎜ ⎝ 0

⎞⎫ ⎟⎟ ⎬ ⎠⎭

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ 2. B = ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ ⎪⎩ ⎝ 0 ⎠ , ⎝ - 1 ⎠ ⎭ Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3.

⎧⎪⎛ C = ⎨⎜⎜ ⎪⎩⎝

1 2 1 2

⎞ ⎛ − 12 ⎞⎫⎪ ⎟ ⎜ 1 ⎟⎬ ⎟⎪ ⎟⎜ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭

Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

11

Misalkan S = {v1 , v 2 ,..., v n } adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika u adalah sembarang vektor pada V, maka

u = k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

< u , vi > = < k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n , vi > = k1 < v1, vi > +k2 < v2 , vi > +...+ ki < vi , vi > +...+ kn < vn , vi > Karena S merupakan himpunan ortonormal dan < vi , v j >= 0 untuk setiap i ≠ j 07/03/2007 12:19

dan

< vi , vi > = 1 untuk setiap i

MA-1223 Aljabar Linear

12

Sehingga, untuk setiap i berlaku < u , vi >= k i

Kombinasi linear u = k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n Ditulis menjadi

u =< u , v1 > v1 + < u , v 2 > v 2 + ...+ < u , v n > v n Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari

⎛1⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 v = u =⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎟ dan 1 ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

13

Jawab : a = k1u + k 2 v a =< a , u > u + < a , v > v ⎛1⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2⎠

a=

07/03/2007 12:19

1 2

⎛1⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎝ 2⎠ ⎝

u + (−

1

Perhatikan ….. u dan v mrp Basis ortonormal

⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎟ u + ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜ ⎟ v ⎟ ⎜ ⎟ 1 − 2 ⎝ ⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ 2

1

1 2

)v

MA-1223 Aljabar Linear

14

Proses Gramm-Schmidt

S = { c1 , c 2 , K c n

}

B = {w1 , w2 , ... , wn }

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

Langkah yang dilakukan c1 1. w1 = c1

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

15

c2

2. Langkah kedua

w2 c2

q1

w2

w1

p1

< c 2 , w1 > w1 p1 = proy w1 c 2 = =< c 2 , w1 > w1 w1

w2 =

q1 = c 2 − p1

c 2 − < c 2 , w1 > w1 c 2 , < c 2 , w1 > w 2

07/03/2007 12:19

Vektor satuan searah

MA-1223 Aljabar Linear

q1 16

3. Langkah ketiga

c3

w3 c3

q2

w3

W

p2 w1

w2

p 2 = proyW c3 =< c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 w3 = c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

q 2 = c3 − p 2

Vektor satuan Yang tegak lurus Bidang W

17

Contoh 7 : Diketahui : ⎧ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ B = ⎨u1 = ⎜1⎟, u 2 = ⎜ 1 ⎟, u 3 = ⎜ 0 ⎟⎬ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal Jawab : Langkah 1. u1 (1, 1, 1) v1 = = u1 3

07/03/2007 12:19

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎠

MA-1223 Aljabar Linear

18

Langkah 2 v2 =

u 2 − proyv1 u 2 u 2 − proyv1 u 2

Sementara itu,

u 2 − proyv1 u 2 = u 2 − u 2 , v1 v1 = (0, 1, 1) − ⎛ 2 1 = ⎜− , , ⎝ 3 3

Karena itu, u 2 − proy v1 u 2 =

sehingga :

07/03/2007 12:19

⎛ ⎜− ⎜ ⎜ v2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

4 9

+ 19 + 19 =

2 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ , , 3⎝ 3 3 3⎠ 1⎞ ⎟ 3⎠

6 3

2 ⎞ ⎟ 6⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠ MA-1223 Aljabar Linear

19

Langkah 3 v3 =

u3 − proy W u3 u3 − proy W u3

Sementara itu, u3 − proy W u3 = u3 − u3 , v1 v1 − u3 , v2 v2 1 ⎛ 2 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ − ⎜ = (0, 0,1) − , , , , ⎟− ⎜ 6⎝ 6 6 6⎠ 3⎝ 3 3 3⎠ 1 1⎞ ⎛ = ⎜ 0, − , ⎟ 2 2⎠ ⎝

sehingga :

07/03/2007 12:19

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ 1 v3 = ⎜ − 2 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ MA-1223 Aljabar Linear

20

Jadi,

⎧⎛ ⎪⎜ v1, v2 , v3 = ⎨⎜ ⎪⎜⎜ ⎩⎝

{

}

1 3 1 3 1 3

⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎟, ⎜ 16 ⎟, ⎜ − 12 ⎟⎬ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎪ ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclides

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

21

Contoh 8 :

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ Diketahui bidang yang dibangun oleh ⎨⎜ 0 ⎟, ⎜ 1 ⎟⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

merupakan subruang dari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ pada bidang tersebut.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

22

Jawab : Diketahui ⎛ 1 ⎞

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v1 = ⎜ 0 ⎟ , v 2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb. Karena

{v1 , v2 }

Selain membangun subruang pada RHD himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan). Langkah awal : Basis tersebut Î basis ortonormal. 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

23

v w1 = 1 v1

(1 , 0 ,1) (1)2 + (0)2 + (1)2 (1 , 0 ,1) = =

2

1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , = ⎜⎜ ⎟⎟ 2⎠ ⎝ 2

Perhatikan bahwa : v2 , w1 = < (0 ,1 ,1) ⎛⎜⎜ 1 , 0 , 1 ⎞⎟⎟ > ⎝ 2

=0+0+ = 07/03/2007 12:19

2⎠

1 2

1 2

MA-1223 Aljabar Linear

24

Sehingga:

1 ⎞ 1 ⎛ 1 v2 , w1 w1 = ⎟⎟ ⎜⎜ ,0 , 2⎠ 2⎝ 2 1⎞ ⎛1 = ⎜ ,0 , ⎟ 2⎠ ⎝2

1⎞ ⎛1 v2 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟ 2⎠ ⎝2 1⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,1 , ⎟ 2⎠ ⎝ 2

Akibatnya : 2

⎛1⎞ ⎛ 1⎞ v2 − v2 , w1 w1 = ⎜ − ⎟ + (1)2 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠

07/03/2007 12:19

=

1 1 +1+ 4 4

=

6 4

=

1 6 2

2

MA-1223 Aljabar Linear

25

Akhirnya, diperoleh v2 − v2 , w1 w1 w2 = v2 − v2 , w1 w1 1⎞ ⎛ 1 ⎜ − ,1 , ⎟ 2 2⎠ =⎝ 1 6 2 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟= , , = ⎜⎜ − 6 6 6⎠ ⎝

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 07/03/2007 12:19

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 6⎟ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟,⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

MA-1223 Aljabar Linear

26

Proyeksi Orthogonal Vektor

⎛1⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

pada bidang tersebut adalah

Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2

Perhatikan bahwa : 1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , ⎟⎟ > u , w1 = < (1 ,1 ,1) ⎜⎜ 2⎠ ⎝ 2 1 1 = +0 + 2 2 2 = 2 = 2 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

27

Sementara itu : ⎛1⎞ ⎛⎜ − 16 ⎞⎟ ⎜ ⎟ < u , w2 > = ⎜1⎟, ⎜ 26 ⎟ ⎜1⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠ 1 2 1 =− + + 6 6 6 2 = 6

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

28

Dengan demikian, Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2 ⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎛1⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

⎛ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

07/03/2007 12:19

2 3 2 3 4 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

MA-1223 Aljabar Linear

29

Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎨⎜ 0 ⎟,⎜ 1 ⎟ ⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

merupakan subruang dari RHD Euclides

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor u = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

pada bidang tersebut.

Jawab Jelas bahwa {v1 , v 2 } merupakan basis bagi bidang tersebut, karena

v1 dan v 2 saling bebas linear 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

30

Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal. v w1 = 1 v1

(1 , 0 ,1) (1)2 + (0)2 + (1)2 (1 , 0 ,1) = =

2

1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , ⎟⎟ = ⎜⎜ 2⎠ ⎝ 2

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

31

Perhatikan bahwa : 1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , v2 , w1 = < (0 ,1 ,1) ⎜⎜ ⎟⎟ > 2⎠ ⎝ 2 1 =0+0+ 2 1 = 2

Sehingga: 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ , 0 , ⎟ ,0 , v 2 , w1 w1 = 2⎠ 2⎝ 2 2⎠ ⎝2

akibatnya 1⎞ ⎛1 v2 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟ 2⎠ ⎝2 1⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,1 , ⎟ 2⎠ ⎝ 2 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

32

Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:

u

Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2

=

⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜− 3 ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 + ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ 2 =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

33

v2 − v2 , w1 w1 w2 = v2 − v2 , w1 w1 1⎞ ⎛ 1 ⎜ − ,1 , ⎟ 2 2⎠ =⎝ 1 6 2 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟ , , = ⎜⎜ − 6 6 6⎠ ⎝

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 6⎟ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟,⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

07/03/2007 12:19

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ MA-1223 Aljabar Linear

34

Latihan Bab VI 1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan a. < u , v > = u12v1 + u2v22 di R2 b. < u , v > = u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3 c. < u , v > = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3 2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

35

3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun oleh vektor ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ dan ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ Tentukan proyeksi orthogonal vektor ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2⎟ pada W ⎝ ⎠

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

36

Related Documents

Bab Vi
May 2020 24
Bab-vi
April 2020 25
Bab Vi
October 2019 33
Bab Vi
May 2020 19
Bab Vi
November 2019 31

More Documents from ""