Bab Vi Ruang Hasilkali Dalam

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

1

Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan – Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

2

Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan u , v ∈ V maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. < u , v > = < v , u >

(Simetris)

2. < u + v , w > = < u , w > + < v , w >

(Aditivitas)

3.

untuk suatu k∈R, < k u , v > = < u , k v > = k < u , v > (Sifat Homogenitas)

4. < u , u > ≥ 0 , untuk setiap u dan < u, u > = 0 ⇔ (Sifat Positifitas) 07/03/2007 12:19

u =0

MA-1223 Aljabar Linear

3

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor u dinyatakan oleh : u yang didefinisikan oleh :

u = < u, u >

1

2

≥0

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan u , v ∈ Rn maka < u , v >= u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n u =

< u, u >

1

2

≥0

= (u12 + u22 + …..+un2)½

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

4

Contoh 2 : Misalnya W ⊆ R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali < u , v > = 2u1v1 + u 2 v2 + 3u3v3 , dimana u , v ∈ W Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab : Misalkan u , v , w ∈ W

< u , v > = 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3 = 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3 (terbukti simetris) = < v, u >

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

5

(ii) < u + v , w > = <(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3 = 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3 = 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3 = < u, w > + < v, w >

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu k∈R, < k u , v > = <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)> = 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3 = k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3 = k < u, v > = < u, k v >

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

(bersifat homogenitas)

6

(iv) < u , u > = 2u1 + u2 + 3u3 2

2

2

1

Jelas bahwa < u , u > 2 ≥ 0 untuk setiap u dan < u , u > = 0 hanya jika u = 0 Contoh 3 : Tunjukan bahwa < u , v > = u1v1 + 2u 2 v2 − 3u1v1 bukan merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan 2 2 2 < u , u > = 2u1 + u2 − 3u3 Pada saat 3u32 > u12 + 2u22 maka

< u, u > ≤ 0

07/03/2007 12:19

Tidak memenuhi Sifat positivitas

MA-1223 Aljabar Linear

7

Contoh 4 : Diketahui

< u , v >= ad + cf

dimana u = ( a , b, c )

dan v = ( d , e, f )

Apakah < u , v > merupakan hasil kali dalam? Jawab : Jelas bahwa Misalkan

< u, u >= ( a2 + c2 )

≥0

u = (0, 2, 0) diperoleh < u , u >= 0

Padahal ada u ≠ 0 Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi < u , v > = ad + cf 07/03/2007 12:19

bukan merupakan hasil kali dalam. MA-1223 Aljabar Linear

8

Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortonormal Î himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

9

Secara Operasional Misalkan, T = {c1 , c 2 ,..., c n } pada suatuRHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

< ci , c j > = 0

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

07/03/2007 12:19

ci = 1

MA-1223 Aljabar Linear

10

Contoh 5 : ⎧ ⎛1 ⎞ 1. A = ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎩ ⎝ 0 ⎠,

⎛ -1 ⎜⎜ ⎝ 0

⎞⎫ ⎟⎟ ⎬ ⎠⎭

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ 2. B = ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ ⎪⎩ ⎝ 0 ⎠ , ⎝ - 1 ⎠ ⎭ Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3.

⎧⎪⎛ C = ⎨⎜⎜ ⎪⎩⎝

1 2 1 2

⎞ ⎛ − 12 ⎞⎫⎪ ⎟ ⎜ 1 ⎟⎬ ⎟⎪ ⎟⎜ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭

Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

11

Misalkan S = {v1 , v 2 ,..., v n } adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika u adalah sembarang vektor pada V, maka

u = k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

< u , vi > = < k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n , vi > = k1 < v1, vi > +k2 < v2 , vi > +...+ ki < vi , vi > +...+ kn < vn , vi > Karena S merupakan himpunan ortonormal dan < vi , v j >= 0 untuk setiap i ≠ j 07/03/2007 12:19

dan

< vi , vi > = 1 untuk setiap i

MA-1223 Aljabar Linear

12

Sehingga, untuk setiap i berlaku < u , vi >= k i

Kombinasi linear u = k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n Ditulis menjadi

u =< u , v1 > v1 + < u , v 2 > v 2 + ...+ < u , v n > v n Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari

⎛1⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 v = u =⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎟ dan 1 ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

13

Jawab : a = k1u + k 2 v a =< a , u > u + < a , v > v ⎛1⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2⎠

a=

07/03/2007 12:19

1 2

⎛1⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎝ 2⎠ ⎝

u + (−

1

Perhatikan ….. u dan v mrp Basis ortonormal

⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎟ u + ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜ ⎟ v ⎟ ⎜ ⎟ 1 − 2 ⎝ ⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ 2

1

1 2

)v

MA-1223 Aljabar Linear

14

Proses Gramm-Schmidt

S = { c1 , c 2 , K c n

}

B = {w1 , w2 , ... , wn }

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

Langkah yang dilakukan c1 1. w1 = c1

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

15

c2

2. Langkah kedua

w2 c2

q1

w2

w1

p1

< c 2 , w1 > w1 p1 = proy w1 c 2 = =< c 2 , w1 > w1 w1

w2 =

q1 = c 2 − p1

c 2 − < c 2 , w1 > w1 c 2 , < c 2 , w1 > w 2

07/03/2007 12:19

Vektor satuan searah

MA-1223 Aljabar Linear

q1 16

3. Langkah ketiga

c3

w3 c3

q2

w3

W

p2 w1

w2

p 2 = proyW c3 =< c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 w3 = c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

q 2 = c3 − p 2

Vektor satuan Yang tegak lurus Bidang W

17

Contoh 7 : Diketahui : ⎧ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ B = ⎨u1 = ⎜1⎟, u 2 = ⎜ 1 ⎟, u 3 = ⎜ 0 ⎟⎬ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal Jawab : Langkah 1. u1 (1, 1, 1) v1 = = u1 3

07/03/2007 12:19

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎠

MA-1223 Aljabar Linear

18

Langkah 2 v2 =

u 2 − proyv1 u 2 u 2 − proyv1 u 2

Sementara itu,

u 2 − proyv1 u 2 = u 2 − u 2 , v1 v1 = (0, 1, 1) − ⎛ 2 1 = ⎜− , , ⎝ 3 3

Karena itu, u 2 − proy v1 u 2 =

sehingga :

07/03/2007 12:19

⎛ ⎜− ⎜ ⎜ v2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

4 9

+ 19 + 19 =

2 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ , , 3⎝ 3 3 3⎠ 1⎞ ⎟ 3⎠

6 3

2 ⎞ ⎟ 6⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠ MA-1223 Aljabar Linear

19

Langkah 3 v3 =

u3 − proy W u3 u3 − proy W u3

Sementara itu, u3 − proy W u3 = u3 − u3 , v1 v1 − u3 , v2 v2 1 ⎛ 2 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ − ⎜ = (0, 0,1) − , , , , ⎟− ⎜ 6⎝ 6 6 6⎠ 3⎝ 3 3 3⎠ 1 1⎞ ⎛ = ⎜ 0, − , ⎟ 2 2⎠ ⎝

sehingga :

07/03/2007 12:19

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ 1 v3 = ⎜ − 2 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ MA-1223 Aljabar Linear

20

Jadi,

⎧⎛ ⎪⎜ v1, v2 , v3 = ⎨⎜ ⎪⎜⎜ ⎩⎝

{

}

1 3 1 3 1 3

⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎟, ⎜ 16 ⎟, ⎜ − 12 ⎟⎬ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎪ ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclides

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

21

Contoh 8 :

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ Diketahui bidang yang dibangun oleh ⎨⎜ 0 ⎟, ⎜ 1 ⎟⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

merupakan subruang dari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ pada bidang tersebut.

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

22

Jawab : Diketahui ⎛ 1 ⎞

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v1 = ⎜ 0 ⎟ , v 2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb. Karena

{v1 , v2 }

Selain membangun subruang pada RHD himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan). Langkah awal : Basis tersebut Î basis ortonormal. 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

23

v w1 = 1 v1

(1 , 0 ,1) (1)2 + (0)2 + (1)2 (1 , 0 ,1) = =

2

1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , = ⎜⎜ ⎟⎟ 2⎠ ⎝ 2

Perhatikan bahwa : v2 , w1 = < (0 ,1 ,1) ⎛⎜⎜ 1 , 0 , 1 ⎞⎟⎟ > ⎝ 2

=0+0+ = 07/03/2007 12:19

2⎠

1 2

1 2

MA-1223 Aljabar Linear

24

Sehingga:

1 ⎞ 1 ⎛ 1 v2 , w1 w1 = ⎟⎟ ⎜⎜ ,0 , 2⎠ 2⎝ 2 1⎞ ⎛1 = ⎜ ,0 , ⎟ 2⎠ ⎝2

1⎞ ⎛1 v2 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟ 2⎠ ⎝2 1⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,1 , ⎟ 2⎠ ⎝ 2

Akibatnya : 2

⎛1⎞ ⎛ 1⎞ v2 − v2 , w1 w1 = ⎜ − ⎟ + (1)2 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠

07/03/2007 12:19

=

1 1 +1+ 4 4

=

6 4

=

1 6 2

2

MA-1223 Aljabar Linear

25

Akhirnya, diperoleh v2 − v2 , w1 w1 w2 = v2 − v2 , w1 w1 1⎞ ⎛ 1 ⎜ − ,1 , ⎟ 2 2⎠ =⎝ 1 6 2 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟= , , = ⎜⎜ − 6 6 6⎠ ⎝

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 07/03/2007 12:19

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 6⎟ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟,⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

MA-1223 Aljabar Linear

26

Proyeksi Orthogonal Vektor

⎛1⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

pada bidang tersebut adalah

Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2

Perhatikan bahwa : 1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , ⎟⎟ > u , w1 = < (1 ,1 ,1) ⎜⎜ 2⎠ ⎝ 2 1 1 = +0 + 2 2 2 = 2 = 2 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

27

Sementara itu : ⎛1⎞ ⎛⎜ − 16 ⎞⎟ ⎜ ⎟ < u , w2 > = ⎜1⎟, ⎜ 26 ⎟ ⎜1⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠ 1 2 1 =− + + 6 6 6 2 = 6

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

28

Dengan demikian, Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2 ⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎛1⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

⎛ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

07/03/2007 12:19

2 3 2 3 4 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

MA-1223 Aljabar Linear

29

Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎨⎜ 0 ⎟,⎜ 1 ⎟ ⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

merupakan subruang dari RHD Euclides

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor u = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

pada bidang tersebut.

Jawab Jelas bahwa {v1 , v 2 } merupakan basis bagi bidang tersebut, karena

v1 dan v 2 saling bebas linear 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

30

Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal. v w1 = 1 v1

(1 , 0 ,1) (1)2 + (0)2 + (1)2 (1 , 0 ,1) = =

2

1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , ⎟⎟ = ⎜⎜ 2⎠ ⎝ 2

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

31

Perhatikan bahwa : 1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , v2 , w1 = < (0 ,1 ,1) ⎜⎜ ⎟⎟ > 2⎠ ⎝ 2 1 =0+0+ 2 1 = 2

Sehingga: 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ , 0 , ⎟ ,0 , v 2 , w1 w1 = 2⎠ 2⎝ 2 2⎠ ⎝2

akibatnya 1⎞ ⎛1 v2 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟ 2⎠ ⎝2 1⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,1 , ⎟ 2⎠ ⎝ 2 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

32

Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:

u

Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2

=

⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜− 3 ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 + ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ 2 =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

33

v2 − v2 , w1 w1 w2 = v2 − v2 , w1 w1 1⎞ ⎛ 1 ⎜ − ,1 , ⎟ 2 2⎠ =⎝ 1 6 2 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟ , , = ⎜⎜ − 6 6 6⎠ ⎝

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 6⎟ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟,⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

07/03/2007 12:19

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ MA-1223 Aljabar Linear

34

Latihan Bab VI 1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan a. < u , v > = u12v1 + u2v22 di R2 b. < u , v > = u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3 c. < u , v > = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3 2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

35

3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun oleh vektor ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ dan ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ Tentukan proyeksi orthogonal vektor ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2⎟ pada W ⎝ ⎠

07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

36