Bab V Ruang Vektor

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

1

RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan – Ruang Vektor Umum – Subruang – Basis dan Dimensi – Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor ¾ Beberapa metode optimasi ¾ Sistem Kontrol ¾ Operation Research ¾ dan lain-lain 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

2

Ruang Vektor Umum Misalkan u , v , w ∈ V dan k, l ∈ Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan Untuk setiap u , v ∈ V maka u + v ∈ V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w ) = (u + v ) + w 4. Terdapat 0 ∈ V sehingga untuk setiap u ∈ V berlaku u + 0 = 0 + u = u 5. Untuk setiap u ∈ V

terdapat (− u ) sehingga

u + (− u ) = (− u ) + u = 0 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

3

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u ∈ V

dan k ∈ Riil maka k u ∈ V

7. k (u + v ) = ku + kv 8.

(k + l ) u = ku + lu

9. k (l u ) = l (k u ) = (kl ) u 10. 1. u = u

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

4

Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

5

Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: • Penjumlahan u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n )

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

ku = (ku1 , ku 2 ,..., ku n ) • Perkalian Titik (Euclidean inner product)

u • v = u1 v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n • Panjang vektor didefinisikan oleh : u = (u • u )

1

2

2

2

= u1 + u 2 + ... + u n

2

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d (u , v ) = u − v 07/03/2007 12:17

=

(u1 − v1 )2 + (u 2 − v 2 )2 + ... + (u n − v n )2 MA-1223 Aljabar Linear

6

Contoh : Diketahui u = (1, 1, 2, 3) dan v = (2 , 2 , 1, 1) Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : 1 2 2 2 2 u = (u • u ) 2 = 1 + 1 + 2 + 3 = 15 v = 2 2 + 2 2 + 12 + 12 = 10

Jarak kedua vektor d (u , v ) = u − v =

=

(1 − 2)2 + (1 − 2)2 + (2 − 1)2 + (3 − 1)2

(− 1)2 + (− 1)2 + 12 + 22

= 7 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

7

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W ≠ { } 2. W ⊆ V 3. Jika u , v ∈W maka u + v ∈ W 4. Jika u ∈ W dan k ∈ Riil maka k u ∈ W

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

8

Contoh : Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : ⎛0 0⎞ ⎟⎟ ∈ W maka W ≠ 1. O = ⎜⎜ ⎝0 0⎠ 2. Jelas bahwa W ⊂ M2x2

{}

3. Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Tulis

⎛0 A = ⎜⎜ ⎝ a2

07/03/2007 12:17

a1 ⎞ ⎛0 ⎟⎟ dan B = ⎜⎜ 0⎠ ⎝ b2

b1 ⎞ ⎟⎟ 0⎠

MA-1223 Aljabar Linear

9

Perhatikan bahwa : ⎛ 0 a1 ⎞ ⎛ 0 b1 ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ A + B = ⎜⎜ ⎝ a2 0 ⎠ ⎝ b2 0 ⎠ a1 + b1 ⎞ ⎛ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎠ ⎝ a2 + b2

Ini menunjukan bahwa A + B ∈ W 4. Ambil sembarang matriks A ∈ W dan k ∈ Riil maka ⎛ 0 ka1 ⎞ ⎟⎟ ∈ W kA = ⎜⎜ ⎝ ka2 0 ⎠ Ini menunjukan bahwa kA∈ W Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2. 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

10

Contoh : Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab : Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Pilih a ≠ b :

⎛ a b ⎞ , jelas bahwa det (A) = 0 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 0⎠

⎛ 0 0 ⎞ , jelas bahwa det (A) = 0 ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝b a⎠ 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

11

Perhatikan bahwa :

A+ B

⎛a b⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝b a⎠

Karena a ≠ b Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0 Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

12

Sebuah vektor

u dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor

v1, v2 , … , vn jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

u = k1v1 + k 2v2 + ... + k n vn dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

13

Contoh Misal

u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3)

adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas a.

a = (4, 2, 6)

b. b = (1, 5, 6) c.

c

= (0, 0, 0)

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

14

Jawab : a. Tulis k1u + k 2 v = a akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ k1 ⎜ 4 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝

⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ k2 ⎜ -1 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Ini dapat ditulis menjadi: ⎛ 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ 4 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 ⎟ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:17

⎛ k1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠

MA-1223 Aljabar Linear

15

dengan OBE, diperoleh:

⎛ 1 12 2 ⎞ ⎛ 1 12 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1 -3 -6 ⎟~⎜ 0 1 ⎜ 0 3 6 ⎟ ⎜ 0 0 ⎠ ⎝ ⎝

2⎞ ⎟ 2⎟ 0 ⎟⎠

Dengan demikian,

a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v atau

r r r a = u + 2v

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

16

b. Tulis : r r v k1 u + k 2 v = b ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ k1 ⎜ 4 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = 5 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

ini dapat ditulis menjadi: ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ k1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 4 - 1 ⎟ ⎜⎜ ⎜ 0 3 ⎟ ⎝ k2 ⎠ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

17

dengan OBE dapat kita peroleh : ⎛2 1 ⎜ ⎜ 4 -1 ⎜ 0 3 ⎝

1 5 6

⎞ ⎛ 1 12 ⎟ ⎜ ⎟ ~⎜ 0 -3 ⎟ ⎜ 0 3 ⎠ ⎝

0 3 6

⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎟~⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝

1

2

1 0

1

⎞ ⎟ 2⎟ 3 ⎟⎠ 2

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyaisolusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi Î b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

18

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis

r r r k1u + k 2 v = c artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

19

Definisi membangun dan bebas linear Himpunan vektor

S = {v1 , v 2 , ... , v n }

dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S. Contoh : Tentukan apakah

v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan

v3 = (2, 1, 3) 07/03/2007 12:17

membangun V???

MA-1223 Aljabar Linear

20

Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 misalkan .

Tulis : .

⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜u2 ⎟ ⎜u ⎟ ⎝ 3⎠

u = k1 v1 + k 2 v 2 + k 3 v 3

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : ⎛ u1 ⎞ ⎡1 1 2⎤ ⎛ k1 ⎞ ⎢1 0 1 ⎥ ⎜ k ⎟ = ⎜ u ⎟ ⎜ 2⎟ ⎥ ⎜ 2⎟ ⎢ ⎜u ⎟ ⎢⎣2 1 3⎥⎦ ⎜⎝ k3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

21

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh :

⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎢0 ⎣

1 -1 0

2 -1 0

u1 ⎤ ⎥ u2 − u1 ⎥⎥ u3 − u1 − u2 ⎥⎥⎦

Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian vektor – vektor tersebut tidak membangun R3 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

22

Misalkan S = {u1 , u 2 ,..., u n } adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen :

k1u1 + k 2 u1 + ... + k n u n = 0 hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni 0 k1 =, 0 k 2 =,...,

kn = 0

Jika solusinya tidak tunggal maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent) 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

23

Contoh :

Diketahui u = (− 1, 3, 2) dan a = (1, 1, − 1) Apakah saling bebas linear di R3

Jawab : Tulis

r r r k1u + k 2 a = 0

atau ⎛ -1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ k1 ⎞ 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 3 ⎜ 2 − 1 ⎟ ⎝ k2 ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:17

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

MA-1223 Aljabar Linear

24

dengan OBE dapat diperoleh : ⎛ -1 1 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎜ 1 0 ⎟ ~ ⎜0 ⎜ 3 ⎜ 2 −1 0 ⎟ ⎜0 ⎠ ⎝ ⎝

− 1 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 4 0⎟ ~ ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ 1 0 ⎟⎠ ⎠ ⎝

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

25

Contoh : Misalkan

⎛, − 1⎞ ⎜ ⎟ a =⎜ 3 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ,

⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b = ⎜ 1 ⎟ c = ⎜ − 6⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 = k1 a + k 2 b + k 3 c

atau 2 ⎞ ⎛ k1 ⎞ ⎛−1 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 1 − 6⎟ ⎜ k 2⎟ = ⎜ 2 − 1 − 4⎟ ⎜ k3⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

07/03/2007 12:17

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

MA-1223 Aljabar Linear

26

dengan OBE diperoleh : ⎛1 ⎛1 − 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ~ ⎜0 ⎜0 4 ⎜0 1 ⎜0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝

− 1 − 2⎞ ⎟ 1 0 ⎟ 0 0 ⎟⎠

Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak Jadi

a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

27

Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor – vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V Jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

28

Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : ⎧⎪ M =⎨ ⎪⎩

⎡3 6 ⎤ ⎢3 − 6⎥, ⎣ ⎦

− 8⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎫⎪ ⎡ 0 − 1⎤ ⎡ 0 ⎢− 1 0 ⎥, ⎢− 12 − 4⎥, ⎢− 1 2⎥ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab : Tulis kombinasi linear :

⎡3 6 ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ 0 − 8⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡a b⎤ k1 ⎢ + k2 ⎢ + k3 ⎢ + k4 ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 3 − 6 1 0 12 4 1 2 c d − − − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ atau

3k1 + k 4 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 3k1 − k 2 − 12k 3 − k 4

07/03/2007 12:17

6k1 − k 2 − 8k 3

⎞ ⎛a b ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ − 6k1 − 4k 3 + 2k 4 ⎠ ⎝ c d ⎠

MA-1223 Aljabar Linear

29

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : 0 0 1 ⎤ ⎛ k1 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎡ 3 ⎢ 6 −1 − 8 0 ⎥ ⎜k ⎟ ⎜b ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ 2⎟ = ⎜ ⎟ ⎢ 3 − 1 − 12 − 1⎥ ⎜ k3 ⎟ ⎜ c ⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎣− 6 0 − 4 2 ⎦ ⎝ k 4 ⎠ ⎝ d ⎠

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) ≠ 0 Î SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(MK) ≠ 0 ÎSPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear. 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

30

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat… Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh : Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks : ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎫⎪ ⎢0 1⎥, ⎢0 0⎥, ⎢1 0⎥, ⎢0 1⎥ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭

juga merupakan basisnya.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

31

Misalkan matriks : ⎛ −1 − 2 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ 1 2 3 −1 ⎟ ⎟ ⎜ 1 2 2 − 1 ⎠ ⎝

Vektor baris

Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh :

⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎢0 ⎣

2 0 0

0 1 0

-1⎤ ⎥ 0⎥⎥ ⎥ 0⎥⎦

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

32

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : ⎧⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 3 ⎟ ⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh : ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

07/03/2007 12:17

1

0

0

1

0 0

0 0

-1 2 1 2 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

MA-1223 Aljabar Linear

33

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : ⎧⎛ − 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ − 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎨⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎬ ⎪⎜ − 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎪ ⎪⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1⎟⎠ ⎪ ⎩ ⎭

Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2. 07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

34

Contoh : Diberikan SPL homogen : 2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s =0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s =0 Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab : SPL dapat ditulis dalam bentuk : ⎛ 2 1 −2 −2 ⎜ ⎜ 1 −1 2 −1 ⎜ −1 2 − 4 1 ⎜ ⎜ 3 0 0 −3 ⎝ 07/03/2007 12:17

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

MA-1223 Aljabar Linear

35

dengan melakukan OBE diperoleh : ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 0 −1 1 −2 0 0 0 0 0 0 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

Solusi SPL homogen tersebut adalah : ⎛ p⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ q ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ r ⎟ = ⎜ 0 ⎟a + ⎜ 1 ⎟b ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ s ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dimana a, b merupakan parameter.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

36

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah : ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ , ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

⎛0⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 2⎟ ⎪ ⎜1⎟ ⎬ ⎜ ⎟⎪ ⎜0⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎭

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

37

Latihan Bab 5 ⎡6 3⎤ 1.Nyatakanlah matriks ⎢ ⎥ ⎣0 8⎦

sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : ⎡ 1 2⎤ ⎡0 ⎢− 1 3⎥ , ⎢ ⎣ ⎦ ⎣2

1⎤ ⎡ 4 − 2⎤ , dan ⎢ ⎥ ⎥ 0 − 2 4⎦ ⎦ ⎣

2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 } b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2} 3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

38

4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2) a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2} b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2} 5. Misalkan J = ⎧⎨a + bx + cx 2 ⎩

a 2 = b 2 + c 2 ⎫⎬ ⎭

merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah J merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

39

6. Diberikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0 p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0, Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya. 7. Tentukan rank dari matriks : ⎡− 1 − 2 − 1 1 ⎤ ⎢1 ⎥ 2 3 1 − ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 2 2 − 1⎥⎦

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

40