Bab V Integral-h

BAB V. INTEGRAL

-

Integral tak tentu

-

Integral tentu

-

Penerapan : -

Luas daerah

-

Volume benda putar

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

1

Integral tak tentu Definisi : Suatu proses mencari suatu anti turunan dari fungsi misal F Notasi :

f

,

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C

Suatu anti turunan tidak tunggal, contoh : 2 - f ( x ) = sin 2 x → − 1 cos 2 x + 5 , sin x + 6

2

- f ( x ) = x3

→ 1 x4 + 8 4

22/04/2007

, 1 x 4 + 100 4

[PU 1333] Kalkulus

2

Sifat-sifat integral tak tentu 1. Linier :

∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

n 1 x n +1 + C 2. ∫ x dx = n +1

3. Misal fungsi g terdiferensialkan pada Dg dan Rg ⊆ I . Bila fungsi F suatu anti turunan dari fungsi f pada I, maka dengan mensubstitusi u = g ( x ) diperoleh ' ∫ f ( g ( x ) ) g ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C 22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

3

1

Contoh ⎛ 2⎞ 1 ⎛ 2⎞ 1. ∫ x sin ⎜⎝ x ⎟⎠ dx = − 2 cos ⎜⎝ x ⎟⎠ + C

2.

∫ 2x

3

+ 4 x dx = ∫ 2 x 3 dx + ∫ 4 x dx = 1 x 4 + 2 x 2 + C 2

x dx

3. ∫

=

⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠

x 2 + 4 + C,

1 2

dgn substitusi u = x 2 + 4 → du = x dx

4. Tentukan f (x ) , bila f ' ( x ) = 4 x + 1 dan f ( 2 ) = 7 f ' ( x) = 4 x + 1 ⇔ f ( x) = ∫ 4 x + 1 dx = 2 x 2 + x + C Bila f (2) = 7 , maka 2 ( 2 )2 + 2 + C = 7 Sehingga C = - 3 dan f ( x) = 2 x 2 + x − 3 22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

4

Notasi sigma Notasi : ∑ Contoh : penjumlahan a n

∑

sebagai berikut

i =1

Sifat-sifat : 1.

n

∑

i =1

n

n

i =1

i =1

k ai + l bi = k ∑ ai + l ∑ bi

n

2.

sebanyak n kali didefinisikan

a = a + a + a + .... + a = a n

∑

a = an

i =1

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

5

Sifat-sifat notasi sigma n

3.

∑

i=

i =1 n

4.

∑

n (n + 1) 2

i2 =

i =1

n ( n + 1) (2 n + 1) 6

5.

⎡ n (n + 1) ⎤ i3 = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ i =1

6.

∑

n

∑ n

i =1 22/04/2007

i4 =

2

(

)

n ( n + 1) 6 n3 + 9 n 2 + n − 1 30

[PU 1333] Kalkulus

6

2

Integral tentu Untuk mendefinisikan integral tentu digunakan konsep luas, yaitu Misal daerah D dibatasi oleh kurva y = f ( x ) , dimana f ( x ) ≥,0 garis

x = a , x = b , dan sumbu X. Kemudian daerah D

lebar

x + xn −1 ∆ xi = xn − xn −1 dan panjang f ( xi ,) dengan xi = n . 2

pada interval [ a, b] dipartisi menjadi n persegipanjang yang Sehingga luas satu partisi adalah

∆ Ai = f ( xi ) ∆ xi

n

Luas seluruh partisi mrp jumlahan riemann : .∑ f ( xi ) ∆ xi i =1

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

7

Integral tentu Bila banyaknya partisi yaitu n mendekati ∞ atau lebar partisi yaitu │P│→ 0, maka limit dari jumlahan riemannnya bila ada merupakan integral tentu pada [ a, b ] yaitu n

b

i =1

a

∑ f ( xi )∆ xi = ∫ f ( x ) dx →0

lim P

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

8

Sifat-sifat integral tentu b

1. Kelinieran : ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = a

b b ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx a a

2. Misal pada interval ( a, b ) terdapat c∈( a, b ), dan f ( x) kontinu b

c

b

a

a

c

di x = c , maka ∫ f ( x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ ( x ) dx 3. Misal f adalah fungsi genap dan g adalah fungsi ganjil pada interval ( − a, a ) , maka a a ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx −a 0 a ( ) dx = 0 g x - ∫ −a

-

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

9

3

Sifat-sifat integral tentu 4. Teorema dasar kalkulus „

Andaikan f adalah fungsi yang terdiferensialkan pada interval ( a, b ) , dan F ( x ) adalah anti turunan dari f ( x ) , maka

„

Bila

b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a

f

adalah

fungsi yang terdiferensialkan pada

selang ( a, b ), c∈( a, b ) di mana

b f ( c ) = 1 ∫ f ( x ) dx b−a a

maka f ( c ) disebut nilai rata-rata dari integral f ( x )

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

10

Sifat-sifat integral tentu Misalkan f kontinu dan terdiferensialkan di ( a, b ) dan

„

terdapat x∈( a, b) , maka turunan integral f ( x ) adalah : ⎛x ⎞ Dx ⎜ ∫ f ( t ) dt ⎟ = f ( x ) ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

-

⎛ g (x ) ⎞ - Dx ⎜ ∫ f ( t ) dt ⎟ = f ( g ( x ) ) g' ( x ) − f ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ h (x ) ⎠

22/04/2007

( h ( x ) ) h' ( x )

[PU 1333] Kalkulus

11

Contoh 1.

∫ 3 + x dx = 3 x + 12 x

2

9 − 3 − 1 = 10 2 2

π 1

1

π

2.

] =9+ 3

3

2

()

2 π ∫ cos x dx = sin x ] = sin 2 = 1

0

0

⎛x

⎞

⎝0

⎠

3. Dx ⎜⎜ ∫ sin t + 5 dx ⎟⎟ = sin x + 5 4. rata-rata integral f ( x ) = 4 x3 , di [ 1, 4 ] adalah 4 4 1 4 x3 dx = 1 ⎡ x 4 ⎤ = 5 3∫ 3 ⎢⎣ ⎥⎦1 1 22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

12

4

Contoh ⎧ 2 , −1 ≤ x < 2 ⎪

5. Integral dari f ( x ) = ⎨ x , 2 ≤ x < 4

⎪2 x − 6 , 4 ≤ x < 6 ⎩

adalah 6

2

∫ f ( x ) dx = ∫

−1

−1

4

6

2

] +x

2 dx + ∫ x dx + ∫ 2 x − 6 dx

= 2 x ]−21 + 1 x 2 2

22/04/2007

4

4 2

2

]

6

− 6 x 4 = 20

[PU 1333] Kalkulus

13

[PU 1333] Kalkulus

14

Latihan I. Hitung integral 4 t4 − 6 1. ∫ dt 2 1 t 2.

1

∫

( x2 + 1)10 2 x dx

0

π

8 5 ∫ sin 2 x cos 2 x dx 0 4 π2 1 4. ∫ sin x dx x π2

3.

22/04/2007

Latihan Tentukan S' ( x ) x

1. S ( x ) = ∫ sin 4 u cot u du 0

1 2. S ( x ) = ∫ 1 + t 4 dt x sin x 3. S ( x ) = ∫ ⎛⎜ u 2 + cos u ⎞⎟ du ⎝ ⎠ 0 2 x 4. S ( x ) = ∫ t 2 1 + t dt x 22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

15

5

Latihan III. Tentukan nilai rata-rata integral, bila x 1. f ( x ) = , pada [ 0, 3 ] 2 x +8 2. f ( x ) = 4 + x

, pada [ - 1, 3 ]

3. f ( x ) = x x 2 + 6 , pada [ 2, 7 ] x

∫

4. Hitung

lim 0

x →0

t 2 dt sin x

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

16

Penerapan integral tentu Integral

tentu

dapat

diterapkan,

antara

lain

untuk

menghitung luas daerah dan volume benda putar. Luas daerah

y = f ( x) , f ( x) ≥ 0

Suatu daerah D di bawah kurva

pada interval ( a, b ) yang dibatasi oleh sumbu X, luas daerah D adalah

Y

b

A = ∫ f ( x ) dx

f(x )

a

D

a

22/04/2007

b

[PU 1333] Kalkulus

X

17

Luas daerah Sedangkan untuk daerah D yang dibatasi oleh dua kurva, misal

y = f ( x ), y = g ( x ) f ( x ) ≥ g ( x )

b

pada interval (a, b), luas daerah D adalah ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

18

6

Contoh 1 2 Daerah D di atas sumbu X yang dibatasi oleh y = x dan garis x = 3

3

Luas daerah D adalah

A=∫

x dx = 2 3

0

22/04/2007

3

x3 ⎤ = 2 3 ⎥⎦ 0

[PU 1333] Kalkulus

19

Contoh 2 2 Daerah D di atas sumbu X yang dibatasi oleh y = x dan garis y = 2 + x x = 0, x = 2 2 2 Luas daerah D adalah ∫ 2 + x − x 2 dx = 2 x + 1 x 2 − 1 x3 ⎤⎥ = 16 2 3 ⎦0 3 0

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

20

Contoh 3 Daerah D di atas sumbu X yang dibatasi oleh y = x − 1 dan garis x = 1, x = 4 serta sumbu X Luas daerah D adalah 4

∫ 1

4 x − 1 dx = 2 ( x − 1) x − 1 1 3

= 2 (3) 3 − 2 (0) 0 3

3

=2 3 22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

21

7

Latihan IV. Hitung luas daerah D, bila D dibatasi oleh : 1.

x = y 2 dan garis y = x − 2

2.

y = 4 x − x2

3.

y = sin x , y = cos x dan garis x = 0 , x = π

4.

y=

x+2

dan garis x + y = 4

, garis

22/04/2007

y = x dan sumbu X [PU 1333] Kalkulus

22

Volume benda putar Benda putar dapat diperoleh dari suatu daerah D dibawah kurva misal

y = f ( x ) dan sumbu X pada interval (a, b)

yang diputar mengelilingi suatu sumbu putar tertentu. Proses tersebut akan diperoleh suatu benda pejal, yang volumenya dapat dihitung dengan menggunakan dua cara yaitu metode cakram dan kulit tabung.

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

23

Metode cakram Misal daerah D dibatasi oleh kurva y = f ( x ), f ( x ) ≥ 0 pada interval (a, b) dan sumbu X, kemudian diputar mengelilingi sumbu X. Dari proses tersebut akan diperoleh suatu benda putar yang dapat dilihat pada gambar di bawah. Kemudian benda putar tersebut dipartisi sebanyak n partisi yang berbentuk cakram dengan tinggi (h) yaitu ∆ xi

dan luas

alas (Ai) yaitu π r 2 = π [ f ( xi )]2

2 Sehingga volume 1 partisi adalah ∆ Vi = π [ f ( xi )] ∆ xi

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

24

8

Metode cakram Sedangkan volume seluruh partisi merupakan jumlahan n 2 riemann yaitu ∑ π [ f ( xi )] ∆ xi i =1

Bila banyaknya partisi yaitu n mendekati ∞ atau lebar partisi yaitu │P│→ 0, maka limit dari jumlahan riemannnya bila ada akan merupakan volume benda putar dari daerah D

dengan sumbu putar sumbu X n

yaitu

lim

∑ π [ f ( xi ) ]

P → 0 i =1

22/04/2007

2

pada interval [a, b],

b

∆ xi = ∫ π [ f ( x ) ]2 dx a

[PU 1333] Kalkulus

25

Metode cakram Bila konsep tersebut digambarkan sebagai berikut :

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

26

Metode cakram Sedangkan untuk daerah D yang dibatasi oleh dua kurva, misal y = f ( x ), y = g ( x ) , dimana f ( x ) ≥ g ( x ) pada interval (a, b) dan diputar mengelilingi sumbu X, maka volume benda putar adalah . b π ∫ [ f ( x ) ]2 − [ g ( x ) ]2 dx a

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

27

9

Contoh 1 1.

Daerah D dibatasi oleh kurva y = x3 + 2 , sumbu X, dan

x = 0 , x = 2 , dengan sumbu putar sumbu X.

garis

Hitung luas dan volume benda putar Jawab : 2

2

- A = ∫ ⎛⎜ x3 + 2 ⎞⎟ dx = 1 x 4 + 2 x ⎤ = 8 ⎥ 4 0

⎝

⎦0

⎠

2 2 2 2 - V = ∫ π ⎛⎜ x3 + 2 ⎞⎟ dx = π ∫ x6 + 4 x3 + 4 dx = π ⎛⎜ 1 x7 + x 4 + 4 x ⎞⎟ = 408 7 ⎝7 ⎠0 ⎝ ⎠ 0 0

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

28

Contoh 2 2. Daerah D dibatasi oleh kurva sumbu Y, kemudian

y = x + 1, y = 4 x

, dan

diputar mengelilingi sumbu Y.

Hitung volume benda putarnya Jawab : 1

2

4

2

3 ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ V = π ∫ ⎜ ⎟ dy + π ∫ ⎜ ⎟ − ( y − 1)2 dy 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ 0 1

] (

1 V = π 1 y3 + π 1 y3 − 1 y3 + 1 y 2 − y 48

22/04/2007

0

48

3

2

)]1

4

3

=

π 27

[PU 1333] Kalkulus

29

Metode kulit tabung Misal daerah D dibatasi oleh kurva y = f ( x ) , f ( x ) ≥ 0 pada interval (a, b) dan sumbu X, kemudian diputar mengelilingi sumbu Y. Dari proses tersebut akan diperoleh suatu benda putar yang dapat dilihat pada gambar. Kemudian benda putar tersebut dipartisi sebanyak n partisi yang berbentuk tabung dengan tinggi (h) yaitu f ( xi ) dan luas alas (Ai) yaitu π r 2 . Sehingga volume satu partisi adalah

2 ⎞ = 2 π h ⎛ rL + rD ⎞ ( r − r ) V = VL − VD = π h ⎛⎜ rL2 − rD ⎜ ⎟ L D ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎠ ⎝ 22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

30

10

Metode kulit tabung Rumus tersebut disingkat menjadi 2 π h r ∆ r Bila dikembalikan ke daerah D : r = x , h = f ( xi ) ∆ ri = ∆ xi Sehingga ∆ Vi = 2 π [ f ( xi )] x ∆ xi dan Volume seluruh partisi n merupakan jumlahan riemann ∑ 2 π x [ f ( xi )] ∆ xi i =1

Bila banyaknya partisi yaitu n mendekati ∞ atau lebar partisi yaitu │P│→ 0, maka limit dari jumlahan riemannnya bila ada merupakan volume benda putar dari daerah D dengan sumbu putar sumbu Y pada [a, b], yaitu n

b

i =1

a

∑ 2 π x [ f ( xi ) ]∆ xi = ∫ →0

lim P 22/04/2007

2 πx

[ f ( x ) ] dx

[PU 1333] Kalkulus

31

Metode kulit tabung Konsep tersebut bila digambarnya sebagai berikut

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

32

Metode kulit tabung Sedangkan untuk daerah D yang dibatasi oleh dua kurva, misal y = f ( x ), y = g ( x ) , dimana f ( x ) ≥ g ( x ) pada interval (a, b) dan diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar adalah

b 2π ∫ x a

22/04/2007

[ f ( x ) ] − [ g ( x ) ] dx

[PU 1333] Kalkulus

33

11

Contoh 2. Daerah D dibatasi oleh kurva sumbu Y, kemudian

y = x + 1, y = 4 x

, dan

diputar mengelilingi sumbu Y.

Hitung volume benda putarnya Jawab :

1 1 3 3 π V = 2 π ∫ x ( x + 1 − 4 x ) dx = 2 π ⎛⎜ 1 x 2 − x3 ⎞⎟ ⎤ = ⎥ 27 ⎝2 ⎠⎦0 0

22/04/2007

[PU 1333] Kalkulus

34

Latihan V. Hitung volume benda putar dari daerah D yang dibatasi oleh dan diputar dengan sumbu putar berikut 2 1. y = 4 x − x dan garis x + y = 4 dengan sumbu putar a. Sumbu X

c. garis y = 5

e. garis x = −2

f. garis x = 6 3 2. y = 2 + x dan garis y = 10 dengan sumbu putar b. Sumbu Y

d. garis y = −1

a. Sumbu X

c. garis

b. Sumbu Y

d. garis y = −2

22/04/2007

y = 12

[PU 1333] Kalkulus

e. garis x = −2 f. garis x = 4 35

12