Bab Iv Vektor Di Bidang Dan Di Ruang

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

1

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Pokok Bahasan : 1. Notasi dan Operasi Vektor 2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal 3. Perkalian silang dan Aplikasinya Beberapa Aplikasi : • Proses Grafika Komputer • Kuantisasi pada proses kompresi • Least Square pada Optimasi • Dan lain-lain 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

2

Notasi dan Operasi Vektor Î besaran yang mempunyai arah Notasi vektor

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ c = ⎜ c2 ⎟ = c1iˆ + c2 ˆj + c3 kˆ = (c1 , c2 , c3 ) ⎜c ⎟ ⎝ 3⎠ Notasi panjang vektor adalah

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ c = ⎜ c2 ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ 3⎠

c = c1 + c2 + c3 2

2

2

Vektor satuan Î Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

3

Operasi Vektor meliputi : 1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama) 2. Perkalian vektor (a) dengan skalar (b) dengan vektor lain • Hasil kali titik (Dot Product) • Hasil kali silang (Cross Product)

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

4

Penjumlahan Vektor Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektor maka u + v didefinisikan

v

u +v

u

{ u

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

5

Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian vektor

u dengan skalar k,

(k u )

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor u dengan arah Jika k > 0 Æ searah dengan u Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan u

2u u

− 2u 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

6

Scaling P’

P

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

7

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan a = (a11 a 2 , a 3 ) dan

b = (b1 , b 2 , b 3 )

adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka

1. a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) 2. a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) 3. k a = (ka1 , ka2 , ka3 )

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

8

Perkalian antara dua vektor • Hasil kali titik (dot product) • Hasil kali silang (cross product) Hasil kali titik (dot product) Î Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar Hasil kali silang (Cross product) Î Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

9

Dot Product Misalkan a, b adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor : a • b = a b cosα

dimana a

: panjang a

b

: panjang b

α

: sudut keduanya

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

10

Ilustrasi dot product vektor A dan B A• B = A

07/03/2007 12:16

B cosα

MA-1223 Aljabar Linear

11

Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor a = 2iˆ dan b = 2iˆ + 2 ˆj Jawab :

Karena tan α = 1 , artinya = 450 a • b = a b cosα

1 =2 8 2 =4 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

12

Ingat aturan cosinus c

α

a

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α

b

Perhatikan a b−a

a

α

−b

b

b

b −a

2

07/03/2007 12:16

= a

2

+ b

2

−2 a

b cos α

MA-1223 Aljabar Linear

13

Selanjutnya dapat ditulis b cos θ =

a

1 2

⎡ a ⎢⎣

2

+ b

2

− b −a

2

⎤ ⎥⎦

Ingat bahwa : 1. a • b = a b cosα 2.

3.

4.

a

a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn

2

= a 1 + a 2 + ... a n

2

= b 1 + b 2 + ... + b n

b

b−a

2

2

2

2

2

2

2

= (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + ... + (bn − an ) 2

2

2

= b1 + b 2 + ... + b n + a 1 + a 2 + ... + a n 2

2

2

2

2

2

− 2 b1 a 1 − 2 b n a n − ... − 2 b n a n 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

14

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya a • b = a1b1 + a 2 b2 = 2 (2) + 0 (2) =4 Beberapa sifat hasilkali titik :

1. a • b = b • a

(

) ( )

2. a • (b + c ) = a • b + a • c

(

)

3. k a • b = k a • b = a • kb , dimana k ∈ R 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

15

Proyeksi Ortogonal a

w

terlihat bahwa b

c =k b k=

c = proyb a

Karena

a = w +c

a •b b

2

a • b = (w + c ) • b = w •b + c •b = kb • b =k b

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

16

Jadi, rumus proyeksi diperoleh : Pr oyb a =

a •b b

2

b

Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal ⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ vektor u = ⎜ − 4 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ terhadap vektor v = ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

17

Jawab : Pr oy v w =

w •v v

2

v

⎛ − 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4⎟ • ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎝ ⎜ 3 ⎟ 2 2 2 1 + 3 + ( −4) ⎜ − 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟ − 2 + ( − 12 ) + ( − 12 ) ⎜ = ⎜ 3 ⎟ 26 ⎜− 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟ − 26 ⎜ = ⎜ 3 ⎟ 26 ⎜ ⎟ ⎝− 4⎠ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − 3⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

18

Cross Product (hasilkali silang) Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

iˆ C = A x B = A1 B1

ˆj B2 B2

A2

A3

B2

B3

=

07/03/2007 12:16

kˆ A3 B3 iˆ −

A1

A3

B1

B3

ˆj +

MA-1223 Aljabar Linear

A1 B1

A2 ˆ k B2

19

Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)

C = A xB

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

20

Contoh : Tentukan w = u × v , dimana u = (1, 2, − 2) v = (3, 0, 1) Jawab : ˆj iˆ w = u1 u2 v1 v2

kˆ u3 v3

iˆ ˆj kˆ = 1 2 −2 3 0 1

= (2.1 − 0( −2) ) iˆ + (3( −2) − 1.1) ˆj + (1.0 − 3.2) kˆ

= 2 iˆ − 7 ˆj − 6 kˆ 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

21

Beberapa sifat Cross Product : a. u • ( u x v ) = 0

b. v • ( u x v ) = 0 c. u × v

2

= u

07/03/2007 12:16

2

v

2

− (u • v )

2

MA-1223 Aljabar Linear

22

Dari sifat ke-3 diperoleh

u ×v

2

= u

2

v

− (u • v )

2

2

= u ⋅ v − ( u ⋅ v ⋅ cos α ) 2

2

2

(

= u ⋅ v − u ⋅ v ⋅ cos 2 α 2

2

= u ⋅ v 2

2

2

2

)

(1 − cos α ) 2

= u ⋅ v ⋅ sin 2 α 2

2

Jadi, u x v = u ⋅ v ⋅ sin α 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

23

Perhatikan ilustrasi berikut :

v v sin α α

u

u

Luas Jajaran Genjang = u x v = u ⋅ v ⋅ sin α

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah 1 Luas segitiga = u × v 2 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

24

Contoh : Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah : A = (1, –1, –2) B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3) Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC ! Jawab : Tulis AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5) 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

25

AB × AC =

iˆ 3 1

kˆ 2 5

ˆj 2 4

= 2iˆ − 13 ˆj + 10kˆ

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah 1 4 + 169 + 100 Luas = 2 1 = 273 2

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

26

Orientasi pada titik B BA = a − b = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2) BC =

c − b = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

BA × BC =

iˆ

ˆj

kˆ

− 3 − 2

− 2

− 2

2

3

= − 2 iˆ + 13 kˆ − 10 ˆj

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah : 1 = BA x BC = 1 4 + 169 + 100 2 2 =

07/03/2007 12:16=

1 273 2 MA-1223 Aljabar Linear

27

Latihan Bab 4 1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut : 6 a. u = ⎛⎜⎜ 1 ⎞⎟⎟ dan v = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ b.

⎝ 2⎠

⎝ − 8⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ − 3⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ − 2⎟ ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠

dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: a. a = ⎛⎜⎜ 2 ⎞⎟⎟ dan b = ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ b.

⎝1⎠

⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ − 1⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:16

dan

MA-1223 Aljabar Linear

28

3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap ⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ u = ⎜⎜ ⎝ − 2⎠ 4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor ⎛− 7⎞ ⎜ ⎟ u =⎜ 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ dan v = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

29