Bab Iv Getaran

BAB IV GETARAN SELARAS  Gejala Periodik : peristiwa berulang secara teratur dalam interval besaran independen (waktu, ruang, atau keduanya)  Osilasi/Getaran : gerak periodik terhadap waktu disekitar titik seimbang.  Getaran Selaras/harmonik : posisi partikel yang bergetar merupakan fungsi waktu, dinyatakan sebagai fungsi inus/kosinus. III.1. GETARAN SELARAS SEDERHANA  Getaran selaras terjadi karena adanya gaya balik yang arahnya selalu

menuju titik setimbang

→ gaya balik linear (sebanding dengan

simpangan) :   F ( x) = −kx

 Persamaan Diferensial Getaran Selaras teredam : x + k x = 0 m

 Penyelesaian persamaan diferensial tersebut x(t ) = A cos ( ω0t − ϕ )

dimana A = simpangan maksimum/amplitudo

ϕ = tetapan yang menyatakan posisi awal/fase awal ω 0 = frekuensi sudut =

k m

 Fungsi Percepatan dan Kecepatan partikel dalam GSS :

 v (t ) = − A ω0 sin ( ω0t − ϕ )  2 2 a (t ) = − A ω0 cos ( ω0t − ϕ ) = −ω0 x(t )

 Tenaga Mekanik sistem GSS adalah konstan 1 1 2 mv x + kx 2 2 2 1 2 = mv maks 2 1 2 = kA 2

E = K +U =

III.2. GETARAN SELARAS TEREDAM  Selain gaya balik linear, terdapat gaya lain yang menimbulkan redaman pada getaran selarasnya, yakni gaya gesek (sebanding dengan kecepatan partikel tetapi melawan arah gerak), sehingga persamaan gayanya    F = −kx − cx

 Persamaan diferensial getaran selaras teredam x + c x  + k x = 0 m m

 Penyelesaian persamaan diferensial tersebut : tergantung nilai c

(konstanta gesek), m (massa) dan k (konstanta pegas). Ada 3 penyelesaian yang memunculkan tiga jenis getaran teredam, yaitu: c2 − 4 m k > 0

→ Getaran Selaras Teredam Kuat (overdamped)

c2 − 4 m k = 0

→ Getaran Selaras Teredam Kritis (critical damped)

c2 − 4 m k < 0

→ Getaran Selaras Teredam Lambat (underdamped)

1. Getaran Selaras Teredam Kuat Ada 2 akar negatif :

1/ 2  c  c2 k  q1 = − +  2 −  = − γ 1  2m  4m m   − γ 1t − γ 2t x ( t ) = A e + A e  1 2 1/ 2  c  c2 k  q2 = − −  2 −  = − γ 2  2m  4 m m  



Sistem setelah diberi simpangan awal akan kembali ke

posisi setimbang secara eksponensial (tanpa osilasi). 

Faktor redaman cukup besar melawan gaya balik

sehingga sistem tidak bergetar melainkan langsung menuju ke keadaan setimbang setelah mula-mula disimpangkan 2. Getaran Selaras Teredam Kritis Ada akar kembar negatif : q1 = q2 = −



c = −γ 2m

→ x(t ) = ( A t + B ) e −γt

Sistem juga tidak menjalani getaran, tetapi menuju

titik/posisi setimbang secara asimtotis. 3. Getaran Selaras Teredam Lambat Ada 2 akar kompleks :

 = −γ 1    2 1/ 2 k c   c q2 = − − i  − 2  = − γ 2  2 m  m 4m    k c2  c q1 = − + i  − 2  2m  m 4m 

1/ 2

dengan mengingat 1/ 2

k c2   ωd =  − 2   m 4m 

= (ω02 − γ 2 )

1/ 2

1/ 2

dimana γ =

c k dan ω0 =   2m m

maka

q1 = − γ + iω d  − γt  x(t) = e Ac o( ω sd t − ϕ ) q2 = − γ − iω d  

Pada getaran selaras lambat ini, masih terjadi

osilasi/getaran tetapi amplitudo mengecil dikarenakan faktor tenaga yang diperlukan untuk mengatasi redaman. 

Tenaga sistem getaran tidak konstan, tetapi berkurang

secara berangsur oleh adanya gaya peredam yang bersifat disipatif sebagaimana gaya gesek pada umumnya. 

Laju perubahan tenaga (daya disipasi pada sistem) dapat

dituliskan 1 1  2 + kx 2 mx 2 2  = mx  x +kx x  = ( mx +kx ) x  E E =

Jika dari persamaan diferensial telah didapatkan mx + kx = −cx

maka disimpulkan E = −cx 2 

 E

berkurang secara kontinu sebagaimana pengurangan

amplitudonya.

III.3. GETARAN SELARAS TERPAKSA  Pada getaran jenis ini ditambahkan lagi gaya eksternal dari luar sistem yang berguna untuk mempertahankan agar getaran tetap berlangsung, walaupun mengalami gaya peredam.  Persamaan gayanya     F = −kx − cx + Feks  Feks

merupakan fungsi harmonik atau fungsi eksponen kompleks

 Persamaan diferensial getaran selaras terpaksa  x + c x  + k x = F eks m m

 Penyelesaian persamaan diferensial tersebut terdiri atas 2 bagian : 1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen : bagian transient/fana x + c x  + k x = 0 m m

2. Bagian mantap (steady state condition) yang ditentukan oleh bentuk  Feks

(komponen non homogen)

tan ϕ =

A(ω ) =

2 γ ωp

ω02 − ωp2

[( ω

F0 / m

2 0

− ω p2 ) + 4γ 2ω p2 2

]

1/ 2

=

F0 / m D(ω )

 Amplitudo keadaan mantap Ap (ωp ) mencapai harga maksimum jika

sistem dalam keadaan resonansi, yakni saat terjadi resonansi antara gaya pemaksa dengan sistem getaran. Sistem getaran menyerap tenaga atau daya paling besar dari gaya pemaksa. Hal ini terjadi saat ϕp berharga π /2.

ωr = (ω02 − 2γ 2 )

1/ 2

atau

ωr = (ωd2 − γ 2 )

1/ 2