Bab Iv Gaya Dan Kopel

Bab IV Gaya Dan Torka Elektromagnetik Pada bahagian ini, kita akan membahas proses konversi-energi electromekanis yang terjadi dengan perantaraan medan magnetis dan medan listrik dari peralatan konversi. Walaupun beberapa peralatan konversi itu bekerja menurut prinsip yang sama, akan tetapi susunannya tergantung fungsinya. Peralatan-peralatan untuk pengukuran dan kontrol sering dikenal sebagai transducer. Transducer ini umumnya bekerja dengan kondisi masukan-keluaran (input-output) yang linear dan dengan sinyal yang relatif kecil. Ada banyak contohnya, termasuk di antaranya momen kakas motor, mikrofon, pickup dan pengeras suara. Kategori kedua dari peralatan ini mencakup peralatan penghasil gaya dan termasuk di antaranya solenoida, relay dari elektromagnit. Kategori ketiga mencakup peralatan konversi-energi-kontinu seperti motor dan generator. Dalam bagian ini perhatian ditujukan kepada perinsip-perinsip konversi energi elektromekanis dan analisis peralatan-peralatan yang menjalankan fungsi ini. Kita terutama akan mempelajari analisis sistem yang menggunakan medan magnetik sebagai medium konversi. Kegunaan dari analisis ini ada tiga (1) membantu kita untuk memahami bagaimana terjadinya konversi-energi, (2) melengkapi kita dengan teknik untuk merancang dan mengoptimasikan peralatan yang memiliki persyaratan-persyaratan yang khas, dan (3) menunjukkan bagaimana mengembangkan model-model peralatan konversi-energi-elektromekanis

yang

dapat

digunakan

untuk

menganalisis

penampilannya sebagai komponen dalam sistem teknik. Mungkin agak terlalu matematis bagi pembaca yang baru pertama berkenalan dengan mesin listrik. Mengingat hal in Pasal 4.1 dan 4.2 menyajikan pembahasan yang kuantitatif tentang gaya-gaya dalam sistem elektromekanik.

4.1

Gaya Dan Momen Kakas (Kopel) Dalam Sistem Medan Magnetik (Forces and Torques in magnetic field systems) Hukum dasar yang digunakan dalam menganalisais gaya dan kopel dalam sistem

medan magnetik adalah “Hukum gaya Lorentz” F = q (E + v x B)

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

(4-1)

Halaman 106

Dimana F gaya pada suatu partikel bermuatan q yang berada dalam medan listrik dan medan magnetik. Dalam satuan SI, F dinyatakan dalam newton, q dalam Coulomb, E dalam volt per meter, B dalam tesla dan kecepatan pantikel v relatif terhadap medan magnetik dinyatakan dalam meter per detik. Di dalaim sistem medan listrik murni, gaya ditentukan secara sederhana oleh muatan pada pantikel dari medan listrik F = qE

(4-2)

Gaya ini bekerja dalam anah medan listrik dan tidak tergantung pada gerak partikel. Di dalam sistem medan magnetik situasinya agak lebih rumit. Di sini gayanya adalah F = q(v x B)

(4-3)

Gaya ini ditentukan baik oleh besar muatan pada pantikel dan besar medan B, maupun oleh kecepatan partikel. Arah gaya tersebut ternyata selalu tegaklurus pada arab gerak partikel dan arab medan magnetik. Secara matematis, pernyataan ini dapat dituliskan sebagai perkalian-silang vektar v x B seperti dalam Pers. 4-3. Besar dari perkaliansilang ini sama dengan basil kali dan besar v dan B dan sinus sudut yang dibuat oleh vektor v dan B; arahnya dapat ditentukan dan aturan tangan-kanan, yang menyatakan bahwa apabila ibujari tangan kanan menunjuk arah V dan telunjuk menunjuk arab B. maka gaya menunjuk dalam arah normal pada telapak tangan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4-1.

Gambar 4-1 Aturan tangan-kanan untuk menentukan arah dan gaya Lorentz. F = q v x B Apabila jumlah partikel bermuatan yang bergerak banyak sekali, maka lebih memudahkan apabila Pers. 4-3 ditulis kembali dalam bentuk rapat arus J, dalam hal ini gayanya menjadi rapat gaya F=JxB

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

N/rn3

(4-4)

Halaman 107

Untuk arus yang mengalir dalam media penghantar, pers. 4-4 dapat digunakan untuk menentukan rapat gaya yang bekenja pada penghantan itu sendini. Hasil ini banyak sekali fisikanya, karena mekanisme pemindahan gaya dan muatan yang bergerak kepada medium yang menghantar tersebut merupakan hal yang cukup rumit. CONTOH 4-1 Suatu rotor yang bukan magnetik yang terdiri dan suatu kumparan berlilitan tunggal ditempatkan dalam suatu medan magnetik yang serbasama B0 seperti diperlihatkan pada Gambar 4-2. Sisi kumparan tersebut berjari-jarii R, dan kawatnya dialiri arus I seperti yang diperlihatkan. Tentukan arab momen kakas θ sebagai fungsi dari posisi rotor α, apabila I = 10 A, B0= 0,5 T, dan R = 0,1 m. Misalkanlah panjang rotor 0,6 m.

Penyelesaian Gaya per satuan panjang pada suatu kawat yang dialini arus I dapat diperoleh dengan mengalikan pers. 4-4 dengan luas penampang kawat. Apabila kita ingat bahwa basil kali luas penampang dengan rapat arus itu adalah arus I, maka gaya per satuan panjang yang bekerja pada kawat dibenikan oleh persamaan F=IxB

Gambar 4-2 Rotor kumparan tunggal Jadi, untuk kawat 1 yang dialini arus I yang arahnya tegaklurus pada kertas ini, arab gaya θ dibenikan oleh F1θ = IB0I sin α dan untuk kawat 2 (yang dialini arus dalani arab yang benlawanan dan benkedudukan 1800 dari kawat 1 F2θ = I B0 l sin α Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 108

di maim l adalah panjang rotor. Koppel T yang bekerja pada rotor dibenkan oleh jumlah hasilkali lengan-momen-gaya dan masing-masing kawat T = 2 I B0 R l sin α = 2(10)(0,5)(0,1)(0,6)(sinα ) = 0,6 sinα Nm Untuk situasi di mana gaya hanya bekerja pada elemen-arus dan geometrinya sederhana, pers. 4-4 umumnya merupakan cara yang paling sederhana dan termudah untuk menghitung gaya yang bekerja pada sistem. Meskipun demikian sangat sedikit situasi praktis yang masuk dalam golongan ini. Kenyataannya, seperti dibahas dalam pasal sebelumnya, kebanyakan peralatan konversi-energi-elektnomekanis mengandung bahan magnetik; dalam sistem ini gaya bekerja langsung pada bahan magnetis dan jelas tidak dapat dihitung dan pers. 4-4. Teknik untuk menentukan perinciannya, melokalisasi gaya yang bekenja pada bahanbahan magnetik adalah sangat rumit dan memerlukan pengetahuan yang terpeninci mengenai distribusi medan di seluruh kerangka. Untungnya, kebanyakan peralatan konversi-energi-elektromekanis dibangun dari kerangka yang tegar dan tidak berubah bentuk. Dalam peralatan ini, yang penting adalah gaya atau momen kakas total (net), sedangkan perincian lokasi distribusi gaya menempati kepentingan yang kedua. Misalnya, dalam suatu motor yang dirancang dengan baik momen kakas pemercepat total yang bekerja pada rotor menentukan karakteristik motor; sedangkan gaya-gaya yang menyertainya, yang menghimpit rotor atau membuat rotor yang kekar ini menjadi oval bentuknya, tidak memainkan peranan yang penting bahkan umumnya tidak dihitung. Untuk memahami tingkahlaku mesin rotasi, suatu gambaran fisik adalah sangat berguna. Pada kerangka stator dan rotor diassosiasikan suatu medan magnetik; kita dapat menggambarkannya sebagai suatu set kutub utara dan selatan yang diasosiasikan pada masing-masing kerangka. Persis seperti jarum kompas yang selalu berusaha menyerahkan diri dengan medan magnetis bumi, kedua set medan ini mencoba untuk menyerahkan diri, dan momen kakas diassosiasikan dengan perpindahan karena penyerahan ini. Jadi dalam suatu motor, medan magnetis stator berputar mendahului rotornya, menariknya dan melakukan kerja. Kebalikan dan ini berlaku untuk suatu generator; di sini rotornya yang melakukan kerja pada stator.

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 109

Aneka teknik telah dikembangkan untuk menghitung gaya total yang menjadi perhatian dalam konversi-energi elektromekanis. Teknik yang dikembangkan dalam bab ini dan digunakan dalam seluruh buku ini dikenal sebagai metoda energi (energy method) dan berdasarkan atas peninsip kekekalan energi (conservation of energy). Dasar untuk metoda ini dapat dipahami dengan memperhatikan Gambar 4-3a. Dalam gambar tersebut ditunjukkan secara skematis peralatan konversi-energi-elektromekanis yang berdasarkan medan magnetik sehagai sistem penyimpan energi-magnetis tanparugi. Pada sistem ini terdapat dua terminal. Terminal listriknya mempunyai terminal tegangan variabel v dan arus i, dan terminal mekanis yang mempunyai terminal gaya variabel ffld dan posisi x. Gambaran semacam ini berlaku dalam situasi di mana mekanisme rugi dapat dipisah dari mekanisme-penyimpan energi;

Gambar 4-3 : (a) Gambar skematis peralatan konversi-energi-elektromekanis medan magnetik. (b) peralatan penghasil gaya yang sederhana. dalam kasus-kasus ini kerugian-kerugian yang bersifat listrik seperti rugi-ohm dapat dimasukkan sebagai unsur luar yang dihubungkan pada terminal listrik dan kerugiankerugian mekanik seperti gesekan dapat dimasukkan sebagai elemen luar yang dihubungkan pada terminal mekanis. Gambar 4-3b memperlihatkan suatu contoh dari sistem yang semacam itu; suatu peralatan penghasil-gaya yang sederhana dengan suatu kumparan tunggal membentuk terminal listrik, dan suatu torak (plunger) yang dapat bergerak berlaku sebagai terminal mekanisnya.

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 110

Interaksi antara terminal listrik dan mekanis, yaitu konversi-energielektromekanis, terjadi dengan perantaraan energi magnetis. Karena sistem penyimpanan energi adalah tanpa rugi, maka laju perubahan energi yang tersimpan dalam medan magnetis Wfld dapat dengan mudah dituliskan sebagai input daya listrik dikurangi dengan output daya mekanis dari sistem penyimpanan energi dW fld dt

= ei − f fld

dx dt

Dengan menggunakan pers. 1-17 dan mengalikan pers. 4-5 dengan dt kita peroleh dW fld = idλ − f fld dx

(4-6)

Seperti yang akan diperlihatkan dalam Pasal: 4-4, Pens: 4-6 memungkinkan kita untuk memecahkan gayanya sebagai fungsi dan fluks λ dan posisi terminal mekanis x. Hasil ini tenjadi sebagai akibat dan kemampuan kita untuk memisahkan rugi-rugi dan masalah fisis, yang menghasilkan elemen penyimpan energi tanpa rugi, seperti dalam Gambar 43a. Persamaan 4-5 dan 4-6 merupakan dasar untuk metoda energi. Teknik ini sungguh memiliki daya yang besar dalam kemampuannya menentukan gaya dan momen kakas dalam situasi sistem konversi-energi-elektromekanis yang rumit. Pembaca hendaknya mengakui babwa daya ini datang dengan mengorbankan gambaran yang terperinci dari mekanisme penghasil-gaya. Gaya itu sendiri dihasilkan oleh fenomena fisika yang terkenal seperti gaya Lorentz pada elemen-axus yang diungkapkan oleh pers. 4-4, atau interaksi dan medan magnetis dengan dipol dalam bahan magnetis.

4.2 Kesetimbangan Energi (Energy Balance) Prinsip kekekalan enengi menyatakan bahwa energi itu tak dapat diciptakan maupun dilenyapkan, ia hanya berubah dalam bentuknya. Misalnya, suatu bola golf meninggalkan tempat permulaan permainan golf dengan suatu energi kinetik yang tertentu; energi ini akhirnya hilang sebagai kalor karena gesekan udara atau gesekan pada waktu menggelinding ketika bola berhenti di fairway (atau karena untung berhenti di lapangan hijau). Sama halnya, energi kinetis dan suatu palu akhirnya hilang sebagai kalor apabila sebuah paku dipukul masuk dalam kayu. Untuk sistem yang terisolasi dengan batas yang dapat dikenali dengan jelas, fakta ini memungkinkan kita untuk Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 111

melacak erengi dengan cara yang sederhana; jumlah bersih arus energi yang masuk ke dalam sistem menembus perbatasan itu sama dengan laju perubahan enengi yang tersimpan dalam sistem. Hasil ini adalah suatu pernyataan dan hukum pertama termodinamika. Walaupun pernyataan ini sangat umum, kita akan menggunakannya dalam bab ini untuk sistem elektromekanik yang mekanisme utama penyimpananenengi-listriknya adalah dalam medan magnetik. Dalam sistem yang demikian, kita dapat menerangkan pemindahan enengi sebagai

Persamaan 4-7 ini ditulis sedemikian rupa hingga suku-suku energi-mekanik dan energi-listrik mempunyai nilai positif untuk tindakannya sebagai motor. Pensamaan ini dapat pula digunakan dengan baik untuk generator: suku-sukunya untuk ini mempunyai nilai negatif. Dalam sistem ini konversi energi kedalam kalor terjadi dengan mekanisme pemanasan-ohm (ohmic heating) disebabkan kanena aliran arus listrik dalam kumparan terminal listrik dan gesekan mekanik disebabkan karena gerak komponen sistem yang merupakan terminal mekanik. Seperti telah dibahas dalam Pasal: 4-1, pada umumnya mungkin memisahkan secara matematik mekanisme rugi ini dan mekanisme penyimpanan energi. Dalam hal mi, peralatannya dapat digambarkan sebagai sistem penyimpan energi magnetik tanpa-rugi dengan terminal listrik dan mekanik, seperti yang dipenlihatkan dalam Gamban 4-4. Mekanisme rugi dapat diwakili oleh elemen-elemen luar yang dihubungkan dengan terminal mi, tahanan pada terminal listrik dan daspot (dashpots) pada terminal mekanis.

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 112

Gambar 4-4 Sistem penyimpan-energi magnetis tanpa-rugi dengan terminal listrik dan mekanis. Gambar 4-4 adalah agak umum dalam arti bahwa tidak ada batas bagi jumlah terminal listrik atau mekanik. Untuk sistem macam ini medan magnetik bekerja sebagai media pengkopel antara terminal listrik dan mekanik. Kemampuan untuk mengenali suatu sistem penyimpan-energi tanpa-rugi adalah dasar dari metoda energi. Adalah penting untuk mengingat bahwa ini dilakukan secara matematis sebagai bagian dan proses peragaan. Tentu tidak akan mungkin untuk mengambil tahanan keluar dari lilitan dan gesekan-gesekan keluar dari bantalan (bearing). Sebagai gantinya kita menggunakan fakta bahwa model di mana ini dilakukan adalah merupakan gambaran yang benar dari sistem fisisnya. Untuk sistem penyimpan-energi magnetik tanpa-rugi dan gambar 4-4, pers. 4-7 menjadi dWlis = dWmek + dW fld

(4-8)

di mana dWlis

= diferensial input energi-listnik

dWmek

= diferensial output energi-mekanik

dWfld

= diferensial perubahan dalam energi magnetik

Dalam waktu dt, dan pers. 1-32, (diferensial input energi listrik dapat dituliskan sebagai) dWlis = eidt

(4-9)

Di situ e adalah tegangan yang diinduksikan dalam terminal listrik oleh perubahan energi magnetik. Melalui tegangan reaksi inilah rangkaian listrik luar mencatu daya pada medan magnetik perangkaian (coupling magnetic field), jadi kepada terminal output mekanik. .Jadi dasar dan proses ini adalab sesuatu yang melibatkan medan perangkaian dan aksi-reaksinya pada sistem mekanik dan listrik. Gabungan pers. 4-8 dan 4-9 mengbasilkan

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 113

dWlis = eidt = dWmek + dW fld

(4-10)

Persamaan 4-10, bersama-sania dengan hukum Faraday untuk tegangan induksi, pers. 1-17, merupakan dasan untuk metoda energi; bagian benikut ini membenikan gainbaran kegunaannya dalam analisis peralatan konversi energi elektromagnetik.

4.3. Energi Dan Gaya Dalam Sistem Medan Magnetik Yang Diteral Tunggal (energy and force in single excited magnetic field systems) Dalam bagian ini kita berbicara konversi energi listrik-magnetik ke energi mekanik Akan dianalisa rangkaian magnetiknya mempunyai celah udana yang terdapat antara bagian yang diam dan bagian yang bergerak, yang di dalamnya tersimpan sejumlah energi dalam medan magnetik. Medan ini bekerja sebagai medium konversienergi, dan energinya merupakan penyimpanan (reservoir) antana sistern elektrik dan mekanik. Tinjaulah relay elektromagnetik yang secara skematis diperlihatkan dalam Gambar 4-5. Tahanan kumparan peneralan diperlihatkan sebagal tahanan luar R, dan vaniabel terininal-mekanisnya dipenlihatkan sebagai suatu gaya fftd yang dihasilkan oleh medan magnetik diarahkan dan relay ke sistern mekanik luar dan suatu perpindahan x, rugi-rugi mekanik dapat dimasukkan sebagai elemen luar yang dihubungkan pada terminal mekanik. Demikian pula, anmatur yang bergerak diperlihatkan sebagai yang tanpa-massa; massanya berperan sebagal penyimpan energimekanik dan dapat dimasukkan sebagai suatu massa luar yang dihubungkan pada terminal mekanik. Akibatnya, inti magnetis dan armatur merupakan suatu sistem energi magnetik tanpa-rugi, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 4-4. Tegangan induksi e yang terinduksi pada kumparan dapat dinyatakan dalam gandengan fluks (flux linkages) λ dλ dt

(2.19)

dWlis = idλ

(4-12)

e= dan dan Pers 4-9 menjadi:

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 114

Gambar 4-5 Skema relai elektromagnetik Rrangkaian magnetik seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 4-5 dapat dinyatakan oleh suatu induktansi L yang merupakan fungsi dari geometri dari kerangka magnetik

dan

permeabilitas

bahan

magnetiknya.

Peralatan

konversi-energi

elektromagnetik itu mengandung celah udara dalam rangkaian magnetiknya untuk memisahkan bagian-bagiannya yang bergerak. Pada rangkaian seperti itu relaktansi celah udara jauh lebih besar daripada bahan magnetisnya. Jadi penyimpanan energi paling utama terjadi dalam celah udara, dan sifat-sifat rangkaian magnetik ditentukan oleh dimensi celah udara. Karena kesederhanaan hubungan yang dihasilkan, maka ketidaklinearan magnetik dan rugi-rugi inti sering diabaikan dalam analisis peralatan praktis. Hasil akhir dan analisa pendekatan yang demikian itu, bila perlu, dapat dikoreksi terhadap penganuh faktor yang diabaikan ini dengan metoda semiempiris. Konsekuensinya, analisis dilakukan dengan asumsi bahwa fluks dan ggm berbanding lurus untuk seluruh rangkaian magnetik seperti halnya dalam udara. Jadi gandengan fluks λ dan arus i dianggap mempunyai hubungan yang linear dengan faktor yang hanya tergantung pada geometri, jadi hanya pada posisi armatur x λ = L(x)i

(4-13)

Di sini ditunjukkan ketergantungan L pada x secara eksplisit. Karena gaya magnetik ffld didefinisikan sebagai gaya yang bekerja dari relay kepada sistem mekanik luar dan dWmek didefinisikan sebagai output energi mekanik relai, kita dapat menuliskan dWmek = f fld .dx Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

(4-14) Halaman 115

Jadi, dengan menggunakan Pers 1-12 dan 4-14, kita dapat menuliskan Pers 4-8 sebagai dW fld = idλ − f fld dx

(4-15)

Sistem penyimpan-energi magnetik adalah tanpa-rugi, karena itu ia merupakan suatu sistem yang konservatif dan nilai Wfld secara khas ditentukan oleh nilai λ dan x. Jadi, ketidaktergantungan Wfld itu sama dengan bagaimana λ dan x itu dibawa ke nilai akhir. Tinjaulah Gambar 4-6, pada gambar itu diperlihatkan dua jejak yang terpisah di mana integrasi dapat dilakukan untuk menentukan Wfld di titik (λ, x0). Jejak 1 adalah keadaan umum di mana integrasi sukar dilakukan, kecuali apabila i dan ffld kedua nya diketahui secara eksplisit sebagai fungsi dan λ dan x.

Gambar 4-6 Jejak-jejak integrasi untuk Wtld Akan tetapi, jejak 2 membenikan hasil yang sama dan lagi jauh lebih mudah melakukan integrasinya. Dan Pers 4-15 dW fld ( λ o , xo ) =

∫ dW

jejek 2a

fld

+

∫ dW

fld

(4-16)

jejek 2b

Perhatikanlah bahwa pada jejak 2a, dλ = 0 dan ffld = 0 karena λ = 0. Jadi dari Pers 4-15, dWfld = 0 pada jejak 2a. Pada jejak 2b, dx= 0, jadi dengan menggunakan Pers 4-15, Pers 4-16 menjadi

dW fld ( λ o , xo ) =

∫

λo

0

i( λ o , xo )dλ

(4-17)

Untuk suatu sistem yang linear di mana N berbanding lurus dengan I, seperti dalam Pers 4-13, Pers 4-17 memberikan Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 116

dW fld ( λ o , xo ) =

∫

λo

0

i( λ o , x o )dλ =

∫

2 λ 1 λ0 dλ = L( x0 ) 2 L( x 0 )

(4-

18) Energinya dapat juga dinyatakan dalam kerapatan energi dan medan magnetis yang diintegrasikan pada volume V dari medan magnetis. Dalam hal ini W fld =

∫

v

1 2

( H • B)dV W

(4-19)

Untuk medium magnetis dengan ~ ermeabilitas yang konstan, persamaan ini menjadi

W fld

B2 = ∫( )dV rh B2 v µ

(4-20)

1 2

4.4 Penentuan Gaya Magnetik; Koenergi (ditermination of magnetic force; coenergy) Seperti telah dibahas dalam fasal sebelumnya, energi magnetik Wfld ditentukan secara khas (unik) oleh λ dan x. Sistem penyimpanan-enengi magnetik tanpa rugi itu adalah suatu sistem konservatif, dan energi magnetik Wfld adalah suatu fungsi keadaan (state function), yang ditentukan secara unik oleh nilai-nilal perubah keadaan (state variable) yang bebas λ dan x. Ini dapat ditunjukkan secara eksplisit dengan menuliskan Pers 4-15 dalam hentuk dW fld = idλ − f fld dx

(4-21)

Untuk setiap fungsi F(x1, x2) difenensial total dan F terhadap kedua vaniabel keadaan bebas x1 dan x2 dapat dituliskan sebagai

(

)

dF x1 , x 2 =

dF dF dx1 + dx dx1 dx 2 2

(4-22)

Adalah sangat penting untuk diingat, bahwa penurunan partial dalam pent. samaan 4-22 masing-masing dilakukan dengan menganggap perubah keadaan yang lainnya konstan. Karena Pers

4-22 itu benlaku untuk setiap fungsi keadaan F, persamaan

tensebut tentu benlaku pula untuk Wfld ; jadi kita dapat tnenuliskan dW fld ( λ, x) = Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

dW fld dλ

dλ +

dW fld dx

dx

(4-23)

Halaman 117

Karena λ dan x itu adalah variabel bebas, maka Pers. 4-21 dan 4-23 harus sama untuk semua nilai dan dλ dan dx, jadi kita dapat melihat i =

∂W fld ( λ, x) dλ

(4-24)

di mana penurunan partial dilakukan dengan menganggap x konstan dan f fld =

∂W fld (λ, x) dx

(4-25)

dalam hal ini, λ dianggap konstan selama melakukan penurunan partial. Inilah hasil yang kita cari. Sekali kita mengetahui Wfld sebagai fungsi dan λ dan x, Pers 4-24 dapat dipakai untuk memecahkan i(λ, x). Tidak dapat tenlalu ditekankan bahwa penurunan partial Pers 4-25 dilakukan dengan menganggap gandengan fluks λ konstan. Penurunan ini dengan mudah dilakukan asal Wfld diketahui sebagai fungsi dan λ dan x. Ini adalah suatu persyanatan matematik yang murni dan tidak ada urusannya déngan apakah dalam peralatan yang sebenamya λ dibuat konstan atau tidak. Gaya ffld ditentukan secara langsung dan Pers 4-25 dalam variabel keadaan listrik λ. Apabila kita ingln menyatakan gaya tersebut sebagai fungsi dari i, kita dapat melakukannya dengan memasukkan pernyataan untuk λ sebagai fungsi dari i ke dalam Pers 4-25. Cara lain, dapat dilakukan dengan menggunakan suatu fungsi keadaan yang bukan energi, misalnya, koenergi, untuk memperoleh gaya langsung sebagai fungsi dan arus. Pemilihan fungsi keadaan ini adalah semata-mata masalah kemudahan; kedua cara ini memheri basil yang sama, akan tetapi mungkin yang satu secana analitik lebih mudah danipada yang lain, tengantung hasil yang diinginkan dan ungkapan mula dan sistem yang dianalisa. Koenergi W’fld didefinisikan sebagai suatu fungsi dari i dan x sedemiklan rupa sehingga W ' fld ( i, x) = iλ - W fld ( λ, x)

(4-26)

Hasil yang diinginkan dapat diperoleh dari pernyataan energi, yaitu Pers

2.21.

Transformasi dilakukan dengan menggunakan diffenensial dan iλ d (iλ ) = idλ + λdi

(4-27)

dan differensial dWfld(λ. x) dan Pers. 4-21. dari pers. 4-26 kita peroleh dW ' fld (i, x) = d (iλ) - dW fld (λ, x) Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

(4-28) Halaman 118

Substitusi pers.4-21 dan 4-27 ke dalam pers.4-28 menghasilkan dW ' fld ( i, x) = λdi + f fld dx

(4-29)

Koenergi W’fld(i, x) adalah suatu fungsi keadaan dari dua vaniabel bebas i dan x. Jadi differensialnya dapat dinyatakan sebagai

dW ' fld ∂W ' fld dW fld ( i, x) = di + dx ∂i dx '

(4-30)

Pens. 4-29 dan 4-30 harus sama untuk semua nilai dari di dan dx, jadi λ =

∂W ' fld ( i, x) ∂i

f fld =

(4-31)

∂W ' fld ( i, x) ∂x

(4-32)

Pers. 4-32 memberikan gaya mekanik langsung dalam i dan x. Pembaca diperingatkan, bahwa penurunan partial dalam Pers. 4-32 dilakukan dengan membuat i tetap; jadi W’fld sebagai fungsi dari i dan x harus diketahui. Persamaan 4-25 dan 2.32 adalah ekivalen dan keduanya dapat digunakan untuk menghitung gaya untuk suatu sistem yang diketahui. Mana yang lebih disukai dan mana yang lebih memudahkan sipemakai menentukan pemilihan tersebut. Seperti telah dibahas, untuk suatu sistem dengan terminal mekanis rotasi, pernyataan yang sama untuk kopel mekanis telah diturunkan dan penurunan partial dilakukan terhadap perpindahan sudut. Dengan uraian yang langsung sejalan dengan diperolehnya pers.4-17, koenergi untuk setiap nilai i dan x yang diketahui dapat diperoleh

dW ' fld ( i0 , x0 ) =

∫

i0 i

0

λ(i, x 0 )di

(4-33)

Untuk suatu sistem linear di mana λ dan i sebanding dan di mana dapat digambarkan oleh suatu induktansi yang tergantung pada posisi, seperti dalam pers.4-13, koenerginya adalah dW ' fld ( i, x) = Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

i

∫ L( x)i di 0

'

'

=

1 2

L( x)i 2

(4-34) Halaman 119

Sejalan dengan 4-20 koenerginya dapat dinyatakan dalam istilah medan untuk medium dengan permeabilitas µ konstan dW ' fld =

1 2

µH 2 dV

(4-35)

4.5. Sistem Medan Magnetik Yang Diteral Ganda (multiply excited magnetic field systems) Banyak peralatan elektromekanik mempunyai pasangan ganda terminal listrik. Dalam sistem pengukuran sering dikehendaki agar kopel berbanding lurus dengan dua sinyal listrik; contoh yang umum adalah daya sebagai perkalian tegangan dan arus. Serupa dengan itu, kebanyakan peralatan konversi energi elektromekanis terdiri dari sistem medan magnetik terteral ganda. Analisis sistem ini langsung mengikuti teknik yang dibahas dalam pasal yang terdahulu. Pasal ini akan menggambarkan teknik ini didasarkan pada sistem yang mempunyai dua terminal listrik. Model sistem sederhana dengan dua pasang terminal listrik dan satu terminal mekanis diperlihatkan dalam Gambar 4-7; dalam hal ini ada suatu terminal mekanis yang berputar yang mempunyai variabel terminal kopel Tfld dan perpindahan sudut θ. Karena ada tiga terminal, sistem ini harus diungkapkan dalam ketiga variabel bebasnya, ini boleh saja berupa sudut mekanik θ bersama dengan rangkuman fluks λ1 dan λ2, arus i1 dan i2 atau himpunan campuran yang memasukkan satu arus dan satu fluks. Bila menggunakan fluks, fungsi energi differensial dWfld (λ1, λ2,θ) yang sesuai dengan Pers. 4-21 adalah dW fld ( λ 1 , λ 2 , θ ) = i1 dλ 1 + i2 dλ 2 − T fld dθ

(4-37)

dan sejalan dengan Pens. 4-24 dan 4-25 i1 = i2 =

dan

T fld =

∂W fld ( λ 1 , λ 2 , θ ) ∂λ 1 ∂W fld ( λ 1 , λ 2 , θ ) ∂λ 2 ∂W fld ( λ 1 , λ 2 , θ ) ∂θ

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

(4-38)

(4-39)

(4-40) Halaman 120

Energi Wfld dapat diperoleh dengan mengintegrasikan Pers. 4-37. Seperti pada kasus yang tereksitasi tunggal, paling memudahkan melakukan ini dengan membuat λ1 dan λ2 tetap sama dengan nol dan mengintegrasikan pertama kali pada θ; Tfld adalah nol, jadi integral ini nol. Kemudian kita dapat mengintegrasi ke λ2 (dengan membuat λ1 = 0) dan akhirnya ke λ1. Jadi Wfld (λ10, λ20, θ0) dapat diperoleh sebagai berikut

dW fld ( λ 1o ,λ 2o ,θ o ) =

∫

λ10

0

i1( λ 1 ,λ 2 = λ 2o ,θ = θ o )dλ 1 +

∫

λ 20

0

i 2 ( λ 1 = 0,λ 2 ,θ = θ o )dλ 2 (4-41)

Gambar 4-7 Sistem penyimpanan energi magnetik yang dikeluarkan secara ganda.

Gambar 4-8 : Jalur integrasi untuk memperoleh Wfld (λ10, λ20 , θ0 )

Jalan integrasi diperlihatkan dalam, Gambar 4-8 dan langsung sejalan dengan Gambar 4-6. Tentu saja kita dapat mempertukarkan urutan integrasi untuk λ1 dan λ2. Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 121

Sangat penting untuk diingat bahwa variabel keadaan diintegrasikan melalui jalan tertentu dan bahwa misalnya λ1 dibuat tetap nol sementara mengintegrasikan ke λ2 dalam Pers. 4-41. Ini ditunjukkan secara eksplisit dalam Pens. 4-41 dan dapat pula dilihat dan Gambar 4-8. Kegagalan untuk mengamati fakta ini adalah satu diantara kesalahan yang lazim dilakukan dalam menganalisa sistem-sistem ini. Dalam suatu sistem linear hubungan antara λ dan i ditentukan dalam induktansi

dan

λ 1 = L11i1 + L12 i2

(4-42)

λ 1 = L 21i1 + L 22 i2

(4-43)

L12 = L 21

(4-44)

Di sini induktansi adalah fungsi umum posisi sudut θ. Persamaan-persamaan ini dapat dibalik (inverted) untuk memperoleh rumusan bagi i sebagai fungsi dari θ. i1 = i2 = di mana

L 22 λ 1 − L12 λ 2

(4-45)

D L11 λ 2 − L 21 λ 1

(4-46)

D

D = L11 L 22 − L12 L 21

(4-47)

Energi dapat diperoleh dan Pers. 4-41  L 22 λ 1 − L12 λ 2o ,θ = θ o )  dλ + ∫0   1 D   L 1 1 2 = + 12 λ 1o λ 2o L11 λ 22o + L 221 λ 1o D D D

dW fld ( λ 1o ,λ 2o ,θ o ) =

λ10

∫

λ 20

0

 L11 λ 2 )  dλ   D  2   (4-48)

Serupa dengan ini, bila arus yang dipergunakan untuk menggambarkan sistemnya, maka differensial koenerginya adalah ' dW fld ( i1 ,i2 ,θ ) = λ 1 di1 + λ 2 di2 − T fld dθ

λ1 =

∂W fld ( λ 1 ,λ 2 ,θ ) ∂i1

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

(4-49) (4-50)

Halaman 122

λ2 =

∂W fld ( λ 1 ,λ 2 ,θ )

(4-51)

∂i2

T fld =

∂W fld ( i1 ,i2 ,θ )

(4-52)

∂θ

Sejalan dengan Pens. 4-4 1, koenengi dapat diperoleh

dW'fld ( i1o ,i 2o ,θ o ) =

∫

λ10

0

λ 1( i1 ,i2 = i 2o ,θ = θ o )di1 +

∫

λ 20

0

λ 2 ( i1 = 0,i2 ,θ = θ o )di 2 (4-53)

Untuk sistem linear Pens. 4-42 hingga 4-44 dW'fld ( i1o ,i2o ,θ o ) =

1 2

L11i12 +

1 2

L221i22 + L12 i1i2

(2.54)

Sistem yang mempunyai lebih dan dua pasang terminal listrik diperlakukan dengan cara yang sejalan; satu variabel bebas dipilih untuk tiap pasang terminal.

Diktat E &DKEE - Andi Pawawoi, MT

Halaman 123