Bab I,ii,iii, Lanjut 4.docx

BAB I PENDAHULUAN 1.1.

Latar Belakang Campak adalah suatu penyakit akut yang sangat menular yang disebabkan oleh virus campak golongan Paramyxovirus. Penyakit ini ditandai dengan gejala awal demam, batuk, pilek, dan konjungtivitas yang kemudian diikuti dengan bercak kemerahan pada kulit (rash) (Widhoyono, 2005). Campak merupakan penyakit endemik di negara berkembang termasuk Indonesia. Di Indonesia campak menempati urutan ke-5 penyakit yang menyerang terutama pada bayi dan balita. (Kemenkes RI, 2015). Campak lebih sering menimpa anak-anak berusia dibawah lima tahun. Tetapi pada dasarnya semua orang bisa terinfeksi virus ini, terutama yang belum pernah terkena campak atau yang belum mendapat vaksinasi campak. Maka dari itu, memungkinkan virus campak juga menyerang orang dewasa. Prof.dr.M Juffrie, Ph.D, Sp.A(K), dosen bagian Ilmu Kesehatan Anak Kesehatan UGM, menyebutkan bahwa vaksinasi campak merupakan cara efektif untuk mencegah penularan virus measles penyebab campak. Imunisasi diberikan dengan cara memberikan vaksin (bahan antigenik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh infeksi oleh organisme) ke dalam tubuh seseorang untuk memberikan kekebalan terhadap penyakit. Campak sangat potensial untuk menimbulkan wabah, sebelum imunisasi campak dipergunakan secara luas di dunia hampir setiap anak dapat terinfeksi campak. Indonesia adalah negara ke empat terbesar di dunia yang memiliki angka 1 juta per tahun dengan 30.000 kematian, yang menyebabkan Indonesia termasuk dalam salah satu dari 47 negara prioritas yang diidentifikasi WHO dan UNICEF untuk melaksanakan akselerasi dalam rangka mencapai eliminasi campak (Dirjen P2PL, Kemenkes RI, 2013). Imunisasi yang tinggi merupakan gambaran dari kekebalan individu yang tinggi. Daerah dengan cakupan imunisasi < 90% masih rentan terhadap kejadian campak karena belum terbentuk herd immunity (Afriani, 2014). Seperti cakupan imunisasi campak tahun 2014 di Kabupaten Pasuruan sudah mencapai target minimal

yaitu 99,48%, namun hal tersebut tidak berpengaruh besar terhadap penurunan kasus campak. Kualitas vaksin yang buruk dapat menjadi penyebab permasalahan campak di Kabupaten Pasuruan mengingat cakupan imunisasi campak di kabupaten pasuruan sudah sangat tinggi. Menurut Maksuk (2011), kualitas vaksin harus terjaga terutama selama pendistribusian vaksin yang dikenal dengan istilah rantai dingin (cold chain) dari tempat produksi sampai pada unit kesehatan. Imunisasi merupakan pencegahan yang telah berhasil menurunkan morbiditas (angka kesakitan) dan mortalitas (angka kematian) penyakit infeksi pada bayi dan anak.. Imunisasi pada prinsipnya dalam imunologi, bila benda asing masuk ke dalam tubuh, tubuh akan bereaksi membentuk zat anti. Cara yang efektif untuk mencegah penyebaran penyakit campak yaitu dengan imunisasi balita pada usia 9 bulan. Selama periode 2000-2013, imunisasi campak berhasil menurunkan 15,6 juta (75%) kematian akibat campak di Indonesia (Kemenkes RI, 2015). Berdasarkan data surveilans dan imunisasi, maka imunisasi campak rutin saja belum cukup untuk mencapai target eliminasi campak. Sedangkan untuk akselerasi pengendalian rubella/CRS maka perlu diadakan kampanye imunisasi tambahan sebelum introduksi vaksin MR kedalam imunisasi rutin (H.M. Subuh, 2017). Menurut Girsawan dkk (2012) menyimpulkan bahwa anak yang tidak diimunisasi akan berisiko sebesar 16,92 kali terkena campak dibandingkan yang diimunisasi. Imunisasi adalah pemberian vaksin kedalam tubuh untuk menciptakan kekebalan penyakit tertentu. Imunisasi tidak menjamin 100% terhindar dari penyakit, seperti halnya anak yang terkena campak walaupun ia sudah diimunisasi campak sebelumnya. Perkembangan ilmu pengetahuan memberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit campak. Model matematika adalah salah satu alat yang berperan dalam mempelajari penyebaran penyakit campak. Walaupun tidak dapat menyembuhkan penyakit, model tersebut dapat membantu dalam memprediksi dan pengendalian di masa mendatang. Model dasar tentang penyebaran penyakit dirumuskan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927 (Chasnov, 2009). Model tersebut yaitu SIR dimana populasi total menjadi 3 kelas, yaitu Susceptible (S) adalah populasi sehat tetapi rentan penyakit, Infected (I) adalah jumlah individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit kepada yang sehat, dan Recovered (R) yang menyatakan individu yang sembuh dan kebal dari penyakit. Namun penyakit campak memiliki

periode laten yaitu ada selang waktu individu yang terinfeksi sampai munculnya suatu penyakit. Periode tersebut menyebabkan kelas baru terbentuk yaitu Exposed (E), individu yang terjangkit virus. Penambahan tersebut menjadi model SEIR. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan SEIR penyebaran penyakit campak dengan pengaruh imunisasi dan penambahan parameter imunisasi tambahan dengan vaksin MR. Terdapat empat subpopulasi yaitu S sebagai populasi individu yang rentan penyakit. E sebagai populasi individu laten (berpotensi terserang campak). I sebagai populasi individu terinfeksi campak. R adalah populasi yang telah pulih. Model awal penyebaran penyakit campak dengan imunisasi adalah seperti berikut : 𝑑𝑆 𝐼 = (1 − 𝑝)𝜇𝑁 − 𝛽𝑆 − 𝜇𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐸 𝐼 = 𝛽𝑆 − (𝜎 + 𝜇)𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐼 = 𝜎𝐸 − (𝛿 + 𝜇)𝐼 𝑑𝑡 𝑑𝑅 = 𝑝𝜇𝑁 + 𝛿𝐼 − 𝜇𝑅 𝑑𝑡 (G.Li dkk, 2005) Dari model awal terdapat penambahan parameter γ sebagai imunisasi tambahan dengan vaksin MR dengan skema berikut : Kelahiran

1  pN

pN µ

βS γ

S

µ

I N

µ

σ E

δ+γ R

I

γ

µ

Dari skema tersebut maka model matematika SEIR penyebaran penyakit campak dengan pengaruh imunisasi adalah sebagai berikut : dS I  1  p N  S  S  S dt N dE I  S  E  E  E dt N

dI  E  I  I  I dt dR  pN  E     I  R dt

N = S+E+I+R Dari persamaan di atas diperoleh

dN  0 sehingga populasi konstan. Persamaan di dt

atas dapat diskala dengan populasi N untuk menyederhanakan persamaan tersebut. s

S E I R ,e  ,i  , r  N N N N

Oleh karena itu, persamaan tersebut ekivalen dengan : ds  1  p   si  s  s dt de  si       e dt di  e       i dt dr  p  e     i  r dt

Keterangan : 𝜇

= laju kelahiran dan kematian tiap individu pada populasI

𝛽

= peluang laju transfer rentan ke laten

𝜎

= peluang laju transfer infeksi ke sembuh

𝛿

= peluang laju kesembuhan tiap individu

𝛾

= penambahan vaksin MR

𝑝

= proporsi vaksinasi

S

= populasi rentan

E

= populasi laten

I

= populasi terinfeksi

R

= populasi yang telah pulih Model ini akan diselesaikan dengan metode matematika sehingga ditemukan

model penyelesaian tersebut yang selanjutnya akan dilakukan tahap evaluasi. Tahap evaluasi bertujuan untuk mengetahui bagaimana cara kerja suatu sistem dan akan dianalisa kestabilan dari model tersebut. Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh suatu konsep dari hasil modelnya yang akan menjadi referensi dalam upaya menekan dan mengurangi penyebaran penyakit campak. Hal tersebut memotivasi penulis untuk mengangkat topik ini sebagai judul penelitian yaitu “Analisis Kestabilan Model SEIR Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR”.

1.2.Rumusan Masalah Dari latar belakang di atas, maka ditemukan beberapa masalah yang akan dibahas sebagai berikut : 1. Bagaimana membangun pemodelan matematika dengan pengaruh Imunisasi untuk mengurangi penyebaran penyakit campak ? 2. Bagaimana membuat simulasi model penyebaran penyakit campak dengan pengaruh imunisasi melalui model matematika ? 3. Bagaimana menganalisa bentuk kestabilan pada penyakit campak dengan pengaruh imunisasi dan vaksin MR ?

1.3.Batasan Masalah Agar masalah yang diteliti lebih jelas dan terarah maka dari rumusan masalah yang ada,penelitian ini dibatasi sebagai berikut: 1. Model yang digunakan model SEIR yaitu model yang berkaitan dengan populasi yang rentan penyakit campak (S), populasi laten (E), populasi terinfeksi (I) dan populasi yang telah pulih (R). 2. Populasi manusia sama. 3. Populasi yang sudah sembuh tidak bisa terinfeksi kembali. 4. Simulasi numerik model dengan menggunakan Matlab.

1.4. Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk membangun pemodelan matematika dengan pengaruh Imunisasi untuk mengurangi penyebaran penyakit campak. 2. Untuk membuat simulasi model penyebaran penyakit campak dengan pengaruh imunisasi melalui model matematika. 3. Untuk menganalisa bentuk kestabilan pada penyakit campak dengan pengaruh imunisasi dan vaksin MR.

1.5 . Manfaat penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah: 1. Menambah pengetahuan dan wawasan

mengenai model penyebaran penyakit

campak dengan pengaruh Imunisasi. 2. Agar memberikan suatu sumbangsi pengetahuan bahwa ilmu matematika mempunyai peranan yang sangat luasbagi kehidupan. 3. Dapat menjadi referensi baru dalam pengembangan ilmu pengetahuan matematika dalam pemodelaan pengaruh Imunisasi dan penyebaran penyakit campak.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1 (Persamaan Diferensial Linier). Sebuah persamaan diferensial termasuk persamaan diferensial linier jika memenuhi 2 hal berikut : 1. Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak terdapat fungsi transenden dalam bentuk peubah tak bebas, serta 𝑎𝑛 (𝑥) adalah fungsi kontinu. 2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan yang lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. (Marwan dan Said, 2009) Definisi 2.2 (Orde dan Pangkat Persamaan Diferensial). Suatu persamaan diferensial biasa orde ke-n adalah persamaan berbentuk :





F x, y , , y " ,..., y n   0 yang menyatakan hubungan antara peubah bebas x, peubah tak bebas yx  dan turunannya yaitu x, y ' , y " ,..., y n  . Jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke-n, maka persamaan diferensial tersebut orde (tingkat) ke-n. Jika turunan tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat k maka persamaan diferensial tersebut mempunyai derajat k. (Kartono, 2000) Definisi 2.3 (Persamaan Diferensial Linear Orde n). Suatu persamaan diferensial orde ken adalah persamaan yang berbentuk a o x   a n 1 x  y n 1  ...  a1 x  y '  a o x  y  f x 

(2.1)

Di mana koefisien-koefisien an x , an1 x ,..., ao dan f (x) merupakan fungsi-fungsi yang

kontinu pada suatu sel a ang I dan bahwa koefisien pertama a n x   0 untuk setiap x  I . Selang I disebut selang definisi dari persamaan diferensial itu (Finizio dan Ladas, 1998). a n x 

d"y d n1 y d2y dy      a x  ...  a x  a1  ao x  y  f x   n 1 2 n n 1 2 dx dx dx dx

(2.2)

terdapat fungsi ai ( x), i  0,1,..., n dan f (x) diberikan dan a n  x  bukan fungsi nol. (Abel dan Braselton, 2004)

Definisi 2.4 (Persamaan Diferensial Linier Autonomos). Setiap persamaan diferensial orde satu dikatakan sistem autonomus jika sistem tersebut ditulis dalam bentuk :

dx1  g1 x1 , x 2 ,, x n  dt dx 2  g 2 x1 , x 2 , , x n  dt  dx n  g 3 x1 , x 2 ,, x n  dt

(2.3)

(Zill dan Cullen, 2009) Jika sistem dinamik secara eksplisit bergantung pada waktu, maka sistem dinamik tersebut dinamakan sistem dinamik non-autonomus, sedangkan apabila sistem dinamik secara implisit bergantung terhadap waktu, maka dinamakan sistem dinamik autonomus. (Wiggins, 2003) Definisi 2.5 (Titik Tetap). Diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut :

dx  x  f ( x), x   n dt Suatu titik x  yang memenuhi f ( x  )  0 disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem. (Tu, 1994) Defenisi 2.6 (Titik Tetap Stabil). Titik x  tetap stabil jika terdapat  0  0 , yang memenuhi sifat berikut : Untuk setiap  1 , 0   1   0 , terdapat  0  0 sedemikian sehingga jika x   x0   maka x   xt    1 , untuk setiap t  t 0 .

Definisi 2.7 (Pelinearan). Untuk suatu sistem persamaan diferensial tak linear, maka analisis kestabilan dilakukan melalui pelinearan. Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk menetapkan suatu titik tetap x  , maka persamaan yang terbentuk :

x   Ax   x 

Dengan A adalah Matriks Jacobi,  f1  x  1 A  Df x      f n  x1 

 

f1  x n      f n   x n  



(Tu 1994) Definisi 2.8 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen). Misalkan A adalah matriks n  n , maka suatu matrik taknol x di dalam  n disebut vektor eigen dari A, jika suatu skalar  , yang disebut nilai eigen dari A diperoleh :

Ax  x

Teorema 2.1 (Kestabilan) a. Jika semua nilai eigen terdapat nilai negatif bagian real, maka kesetimbangan E adalah stabil asimtotik b. Jika beberapa nilai eigen terdapat nilai positif bagian real, maka E tidak stabil. (Kelley dan Peterson, 2010) Teorema 2.2 (Rout-Hurwitz Criterion). Persamaan Karakeristik nilai eigen dari matriks A diperoleh :

p( )  k  a1k 1  ...  ak 2 2  ak 1k  a Tabel ini digunakan untuk pengurutan koefisien-koefisien dari matriks A.

an

an2

an4



a n 1

a n 3

a n 5



b1

b3



c1

b2 c2

c3









 (Olsder dan Waode, 2003)

Teorema 2.3 Persamaan Karakteristik bagian real dari setiap nilai eigen tersebut yaitu :

p( )  2  A  B  0 Adalah negatif jika dan hanya jika A dan B positif.

Teorema 2.4 Semua nilai eigen dari matriks A terdapat bagian real negatif jika dan hanya jika untuk setiap diberikan matriks definit positif Q ada matriks definit positif P yang memenuhi :

At P  PA  Q (Olsder dan Waode, 2013)

BAB III METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah penelitian kepustakaan atau riset kepustakaan (library research) dan penelitian simulasi.Riset keputusan atau sering juga disebut study pustaka ialah serangkaian kegiatan yang berkenaan dengan metode pengumpulan data pustaka,membaca dan mencatat serta mengolah bahan penelitian.Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk penelitian ini disajikan dalam bentuk diagram berikut ini:

Model SEIR Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR

Menentukan Titik Kesetimbangan

Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan

Membentuk Matriks Jacobian dan Polinomial

Menentukan Nilai Eigen

Membentuk Model Numerik dari Sistem

Menarik Kesimpulan

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Model Matematika Penyebaran Penyakit Campak dengan Imunisasi dan Vaksin MR Model penyebaran penyakit campak dijadikan sebagai gambaran untuk melihat bagaimana penyebaran penyakit campak di suatu daerah. Penelitian ini akan melihat pengaruh suatu vaksin tambahan terhadap penyebaran penyakit campak yang bertujuan untuk mengendalikan penyebaran tersebut. Ide penelitian ini atas dasar pengembangan model matematika sesuai kebijakan dalam menanggulangi penyakit campak dengan pemberian imunisasi secara umum dan Vaksin MR. Dengan penambahan satu variabel tersebut maka akan ditemukan kesetimbangan populasi rentan, laten, terinfeksi dan sembuh. Kerangka model penyebaran penyakit campak sebagai berikut :

Formulasi kerangka model sebagai berikut : ds  1  p   si  s  s dt de  si       e dt di  e       i dt dr  p  e     i  r dt

Keterangan : μ

= laju kelahiran dan kematian tiap individu pada populasi

β

= peluang laju transfer rentan ke laten

σ

= peluang laju transfer infeksi ke sembuh

δ

= peluang laju kesembuhan tiap individu

γ

= penambahan vaksin MR

p

= proporsi vaksinasi

S

= populasi rentan

(1)

E

= populasi laten

I

= populasi terinfeksi

R

= populasi yang telah pulih

4.2. Titik Kesetimbangan dari Populasi Rentan Titik kesetimbangan dicari dengan membuat nol

ds de di dr , , , sehingga diperoleh dt dt dt dt

(1  p )   si  s  s  0 si       e  0 e         0

(2)

p     i  e  r  0

Langkah pertama adalah untuk menentukan kestabilan pada populasi rentan diperoleh

s

1  p        e    

(3)

e

si      

(4)

i

e      

(5)

Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4) diperoleh

s 

          

(6)



Selanjutnya persamaan 3 kita manipulasi diperoleh

e

1  p      s      

(7)

Substitusi persamaan 6 ke persamaan 7 diperoleh

e 

1  p                   

     





(8)

Substitusi persamaan 8 ke persamaan 5 diperoleh

i 

1  p                            

(9)

Dari persamaan 2 diperoleh

r

p       e



Substitusi persamaan 8 dan 9 ke persamaan 10 diperoleh

r 

                1  p           1  p                         p                                



Referensi : 1. Li,G & Z.Jin. 2005.Global Stability of an SEIR epidemic model with infectious force in latent, infected and immune period.Chaos,Solitons & Fractal, 25:1177-1184. 2. Tessa, O.M. 2006. Mathematical model for control of measles byvaccination. Proceedings of Mali Symposium on Applied Scienes.Niger: Abdou Moumouni Univeristy. 3. Dr.H.Mohamad subuh,MPPM.,(2017).

Petunjuk Teknis

Kampanye

Imunisasi

Measlese Rubella (MR),Jakarta. 4. Menkes. 2013 .Penyelenggaran Imunisasi Permenkes,RI No.42 Tahun 2013,Jakarta. 5. Widoyono. 2005. PENYAKIT TROPIS Epidemiologi, Penularan, Pencegahan & Pemberantasannya. Jakarta:Erlangga. 6. Prof.dr.M.Juffrie,Ph.D.,Sp.A(K).(2016)

Ilustrasi

Pemberian

Vaksin

Campak.

UGM.Yogyakarta. 7. Giarsawan N, I Wayan S A,A nisyah EY, 2012.Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Kejadian Campak Di Wilayah Puskesmas Tejakula I Kecamatan Tejakula Kecematan Buleleng.Jurnal Kesehatan Lingkungan 4 (2):140-145. 8. Kementerian Kesehatan RI.Kesehatan dalam Kerangka Sustainable Dvelopment Goals (SDGs).Jakarta:Kementerian Kesehatan RI ;2015. 9. Arfriani,T,Andrajati,R,Supardi,S.2014.Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan Kelengkapan Imunisasi Dasar pada Anak dan Pengelolaan Vaksin di Puskesmas dan Posyandu di Kecamatan X Kota Depok.Buletin Penelitian Sistem Kesehatan .Vol 17,No.2,hal,153-142. 10. Maksud.2011.Pengelolaan Rantai Dingin Vaksin Tingkat Puskesmas di Kota Palembang Tahun 2011.Karya Tulis Ilmiah Politeknik Kesehatan Kemenkes Palembang. 11. Dirjen P2PL,Kemenkes RI,2013.Petunjuk Teknis Introduksi Imunisasi DPT-HB-Hib (Pentavalen) pada Bayi dan Pelaksanaan Imunisasi Lanjutan pada Anak Balita.Jakarta :Kementerian Kesehatan RI. 12. Chasnov,Jeffrey R. (2009). Introduction to Differential Equations and Boundary Value Problems.New York : JohnWiley and Sons. 13. Marwan,Munjir Said ,(2009).Persamaan Diferensial.Graha Ilmu.Yogyakarta. 14. Kartono, (2000).Persamaan Diferensial.Andi Offset.Yogyakarta.

15. Olsder and Van Der Waode,(2004).Mathematical Systems Theory .Delf University of Tecnology. 16. Wiggins,S. (2003).Introduction to Applied Nonlinear Dinamical System and Chaos.Springer-Verlag.Berlin.Heidelberg: New York. 17. Finizio,Ladas. (1998).Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.Erlangga.Jakarta. 18. Zill G. Dennis, Cullen R. Michael, (2009). Differential Equations with BoundaryValue Problems.Metric Version.Amerika Serikat. 19. Tu, P.N.V. (1994). Dinamycal System an Introduction with Applications in Economics and Biology.Second Revision and Enlarged Edition.New York.SpringerVerlag. 20. Kelley G. Walter,Peterson C. Allan,(2010). The Theory Of Differential Equations.Springer Science Bussines Media. New York. 21. Abell, M.,Braselton, J. (2004). Differential Equations with Matematica Third Edition.Elsevier Academic Press.USA.