Bab Ii Deter Min An Matriks

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

1

Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks – Determinan dengan OBE – Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi Determinan ¾ Solusi SPL ¾ Optimasi ¾ Model Ekonomi ¾ dan lain-lain. 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

2

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks Permutasi Æ susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan Contoh : Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Invers dalam Permutasi ÆJika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

3

Permutasi Genap Å Jumlah invers adalah bil. genap Permutasi Ganjil Å Jumlah invers adalah bil. ganjil Contoh : Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3) Æ 0 + 0 = 0 Æ genap (1,3,2) Æ 0 + 1 = 1 Æ ganjil (2,1,3) Æ 1 + 0 = 1 Æ ganjil (2,3,1) Æ 1 + 1 = 2 Æ genap (3,1,2) Æ 2 + 0 = 2 Æ genap (3,2,1) Æ 2 + 1 = 3 Æ ganjil

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

4

Definisi Determinan Matriks ⎛ a11 ⎜ ⎜ a11 A=⎜ M ⎜ ⎜a ⎝ n1

a11 L a1n ⎞ ⎟ a11 L a2 n ⎟ M O M ⎟ ⎟ an1 L ann ⎟⎠

Hasil kali elementer A Æ hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama. Contoh : ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31

a12 a22 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu: a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

5

Hasil kali elementer bertanda a11 a22 a33 Perhatikan… – a11 a23 a32 Tanda (+/-) muncul sesuai hasil – a12 a21 a33 klasifikasi permutasi indeks kolom, a12 a23 a31 yaitu : jika genap Æ + (positif) jika ganjil Æ - (negatif) a13 a21 a32 – a13 a22 a31 Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut. Notasi : Det(A) atau |A|

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

6

Contoh : Tentukan Determinan matriks ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31

a12 a22 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠

Jawab : Menurut definisi : Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 atau a11 a12 a13 a11 a12 A = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a23 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

7

Contoh : Tentukan determinan matriks 2 − 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ B=⎜ 1 1 0⎟ ⎜− 2 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠

Jawab :

det (B ) =

3 1

2 1

−2 −2

−1 0 1

3

2

1 1 −2 −2

= (3)(1)(1) + ( 2)(0)( −2) + ( −1)(1)( −2) − ( −1)(1)( −2) − (3)(0)( −2) − ( 2)(1)(1)

= 3+ 0+ 2− 2−0− 2 =1 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

8

Menghitung Determinan dengan OBE Perhatikan : a. ⎛1 2⎞ ⎟⎟ = 3 det ⎜⎜ ⎝ 0 3⎠ b.

1 2 3 0 4 5 = 24 0 0 6

c.

Dengan mudah… Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol Det(A) = Hasilkali unsur diagonal?

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ det ⎜ 4 5 0 ⎟ = 45 ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠

07/03/2007 11:24

Hitung Det. Matriks Bukan Segitiga???

MA-1223 Aljabar Linear

9

Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga. Caranya : Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu : 1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh : ⎛ 2 1⎞ A =3 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝−1

sehingga

1⎠

⎛ − 1 1⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝ 2 1⎠

07/03/2007 11:24

−1 B = 2

1 = −3 = − A 1

MA-1223 Aljabar Linear

10

2.

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh : ⎛ 2 A = ⎜⎜ ⎝−1

1⎞ ⎟⎟ 1⎠

⎛ 2 B = ⎜⎜ ⎝− 2

1⎞ ⎟⎟ 2⎠

A =3

dan

maka 2 B = −2

07/03/2007 11:24

2 1 = 2 2 −1

1 =2A =6 1

MA-1223 Aljabar Linear

11

3.

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A) Contoh 3 : ⎛1 3 ⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 2 − 6⎠

A = −12

Perhatikan

1 3 1 3 = 0 − 12 2 −6

OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2

= - 12

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

12

Contoh 3 : Tentukan determinan matriks berikut : ⎛2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A=⎜1 2 1 ⎟ ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠

Jawab :

2 1 0 A= 1 2 1 0 1 2 1

2

1

=− 2

1

0

0

1

2

07/03/2007 11:24

pertukaran baris ke - 1 dan ke - 2

MA-1223 Aljabar Linear

13

1

2

1

A = − 0 -3 -2

=

0

1

2

1 0

2 1

1 2

− 2b1 + b2

Pertukaran baris ke - 2 dan ke - 3

0 -3 -2 1

2

1

= 0 0

1 0

2 4

= 4 07/03/2007 11:24

3b2 + b3

(hasil perkalian semua unsur diagonalnya) MA-1223 Aljabar Linear

14

Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A=⎜ : : : ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

Beberapa definisi yang perlu diketahui : • Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : ⎛2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A=⎜1 2 1 ⎟ ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 11:24

1

2

maka M 13 =

=1 0

MA-1223 Aljabar Linear

1 15

•

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij Contoh : ⎛2 1 ⎜ A=⎜1 2 ⎜0 1 ⎝

0⎞ ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟⎠

maka C12 = (− 1)

2 +1

1 1

0 2

= (– 1)3 .2 =–2

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

16

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : ⎛2 1 0 ⎞ ⎟ ⎜ A=⎜1 2 1 ⎟ ⎜0 1 2 ⎟ ⎠ ⎝ 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

17

Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2

1

0

A= 1 0

2 1

1 2

3

det( A) =

∑ a3 j c3 j j =1

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 + 1 (−1) 3+ 2

2 1

0 2 3+ 3 + 2 (−1) 1 1

1 2

=0–2+6 =4 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

18

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 2 1 0 A= 1 2 1 0

1

2

3

det( A) = ∑ ai 3ci 3 i =1

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 + 1 (−1) 2+3

2 0

1 2 + 2 (−1) 3+3 1 1

1 2

=0–2+6 =4 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

19

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka ⎛ C11 ⎜ ⎜C C = ⎜ 21 M ⎜ ⎜C ⎝ n2

C12 C22 M Cn 2

L C1n ⎞ ⎟ L C1n ⎟ O M ⎟ ⎟ L Cnn ⎟⎠

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A). adj ( A) = C T =

07/03/2007 11:24

⎛ C11 C21 ⎜ ⎜ C12 C22 ⎜ M M ⎜ ⎜C ⎝ 1n C2 n

L Cn1 ⎞ ⎟ L Cn1 ⎟ O M ⎟ ⎟ L Cnn ⎟⎠

MA-1223 Aljabar Linear

20

Misalkan A punya invers maka A−1 =

1 adj ( A) det( A)

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0. Beberapa sifat determinan matriks adalah : 1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det (A) = det (At) 2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka : det (A) det (B) = det (AB) 3. Jika A mempunyai invers maka : 1 det( A ) = det( A) −1

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

21

Contoh : Diketahui ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 -1 0 ⎟ ⎜ 0 2 1⎟ ⎠ ⎝ Tentukan matriks adjoin A

Jawab : Perhatikan bahwa c11 = (−1)

1+1

−1 0 = −1 2 1

c12 = (−1)

1+ 2

−1 1 0 1+ 3 1 c = ( − 1 ) =2 = −1 13 0 2 0 1

c21 = 2, c22 = 1, c23 = −2, c31 = 1, c32 = 1, dan c33 = −1.

07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

22

Sehingga matriks kofaktor dari A : ⎛ -1 ⎜ C =⎜ 2 ⎜ 1 ⎝

-1 1 1

2 ⎞ ⎟ - 2⎟ - 1 ⎟⎠

Maka matriks Adjoin dari A adalah : ⎛ -1 ⎜ T adj ( A) = C = ⎜ - 1 ⎜ 2 ⎝

07/03/2007 11:24

2 1 -2

1⎞ ⎟ 1⎟ - 1 ⎟⎠

MA-1223 Aljabar Linear

23

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan ekspansi kofaktor ⎛2 1 1⎞ ⎜ ⎟ P = ⎜ 1 2 1 ⎟ dan ⎜ 1 1 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3 − 2 0⎞ ⎟ ⎜ Q = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜− 4 4 1⎟ ⎠ ⎝

2. Diketahui : ⎛ 2 1 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 3 4 0⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎠ ⎝

dan

⎛ 1 −1 3⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 7 1 2⎟ ⎜5 0 1⎟ ⎝ ⎠

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB) 07/03/2007 11:24

MA-1223 Aljabar Linear

24

3. Diketahui :

⎛ 1 5 k⎞ ⎟ ⎜ D = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 3 k 4⎟ ⎠ ⎝ Tentukan k jika det (D) = 29

4. Diketahui matriks ⎛1 0 ⎜ A = ⎜2 1 ⎜3 4 ⎝

0⎞ ⎟ 0⎟ 5 ⎟⎠

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai x=

07/03/2007 11:24

( ) det (A t B )

det 2 A2 − det(5B )

MA-1223 Aljabar Linear

25