Bab Ii Analisis Kompleks.docx

BAB II PEMBAHASAN A. TRANSFORMASI LINEAR Fungsi linier adalah sebuah fungsi yang berbentuk (𝑧) = 𝑎+ 𝑏 dengan 𝑎 dan 𝑏 merupakan konstanta kompleks. contoh fungsi linear : f(z) = 3z +2 fungsi nonlinear : f(z) = 2z2-2.

Definisi (Transformasi Linear) Suatu transformasi yang berbentuk w = f(z) = az + b dengan a , b ∈ C, a ≠ 0 disebut Transformasi linear.

Sifat-sifat Transformasi Linear: a. f’(z) = a,

untuk setiap z ∈ C, maka f adalah transformasi entire atau

transformasi analitik menyeluruh b. f adalah transformasi satu-satu, karena jika transformasi z1 ≠ z2, maka f(z1) = az1 + b ≠ az2 + b = f(z2) c. karena f transformasi satu-satu maka f mempunyai transformasi invers yaitu 1

𝑏

f’(z) = 𝑎z - 𝑎, dengan a ≠ 0. d. Transformasi linear adalah komposisi dari dua transformasi berikut: ζ = az dan w = ζ + b. Transformasi yang pertama , yaitu ζ = az merupakan suatu rotasi yamg “memperpanjang” atau “memperpendek”. Adapun alasannya sebagai berikut. Misa:𝑎 = 𝑟1 𝑐𝑖𝑠 𝜃1 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 𝜃2 maka ζ = az = 𝑟1 𝑐𝑖𝑠 𝜃1 . 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 𝜃2 = r1r2 {(cos 𝜃1 + i sin 𝜃1 )(cos 𝜃2 + i sin 𝜃2 )} = r1r2 {cos 𝜃1 cos 𝜃2 + sin 𝜃1 sin 𝜃2 +i(sin 𝜃1 cos 𝜃2 +cos 𝜃1 sin 𝜃2 )} =𝑟1 𝑟2 {cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + i sin (𝜃1 + 𝜃2 )} Jadi, / ζ/ = /a/ /z/ dan arg ζ = arg a + arg z.

3

a. Regangan Putaran Fungsi g(z) = az merupakan suatu fungsi regangan putaran (rotation stretching) dengan hubungan |g(z)| = |az| = |a||z|, dan arg g(z) = arg (az) = arg a + arg z Dalam hal : 1.|a| = 1 , yang berarti a ≠ 0 maka g merupakan suatu rotasi murni. 2. arg a = 0 maka titik-titik z ∋ Dg akan mengalami peregangan (bila |a| > 1 ) atau pengerutan (bila |a| < 1 ) 3. |a| = 1 dan arg a = 0 , yang berarti a = 1 maka g menjadi g(z) = z yang merupakan fungsi identitas.

b. Pergeseran Selanjutnya f(z) = z + b merupakan fungsi yang menggeser tiap titik di Df sejauh b. Dengan demikian, fungsi linier w = (𝑓°𝑔)(z) = az + b merupakan gabungan dari regangan putaran, dan translasi (geseran)

Sifat-sifat pemetaan ini paling mudah dilihat dengan memeriksa secara terpisah pemetaan-pemetaan 𝜁 = 𝑎z dan 𝑤 = 𝜁 + 𝑏 Kemudian digabungkan menjadi 𝑤 = 𝜁 + 𝑏 = 𝑎z + 𝑏 Pemetaan pertama 𝜁 = 𝑎z disebut regangan putaran. Istilah ini muncul dari hubunganhubungan |𝜁| = |𝑎||𝑏| 𝑑an arg 𝜁 = arg 𝑎 + arg 𝑏 Dua relasi ini dapat dijabarkan sebagai berikut, bahwa dibawah pemetaan 𝜁 = 𝑎z, bayangan titik 𝑧 adalah titik 𝜁 yang modulusnya |𝑧| “diregangkan” dengan faktor |𝑎| dan argumennya adalah arg 𝑧 diputar dengan sudut 𝑎. Proses regangan putaran ini digambarkan dalam gambar 1.1 berikut :

4

Gambar 1.1 Regangan Putaran Dari dua pemetaan diatas, dapat dilihat bahwa transformasi linear (𝑧) = 𝑎z+ 𝑏 terjadi akibat gabungan terhadap regangan putaran 𝜁 = 𝑎z yang diikuti dengan penggeseran 𝑤 = 𝜁 +

. Gambar 1.2 berikut menunjukkan gabungan pemetaan-

pemetaan tersebut. 𝜋

Contoh pemetaan linear di titik 𝑃 = 1 + 2𝑖, penggal garis 𝑆 ≔ arg 𝑧 = 4 , 1 < |𝑧| < 2 , busur 𝐴 ≔ |𝑧| = 2,

3𝜋 4

≤ arg 𝑧 ≤

3𝜋 2

dan garis tegak 𝐿: 𝑅(𝑧) =

= 2𝑖z+ 1 + 𝑖 dapat dilihat pada gambar 1.3

Gambar 1.2 Transformasi Linear

5

1 2

dibawah fungsi 𝑤

Gambar 1.3 (Contoh Transformasi linear dibawah 𝑤 = 2𝑖z+ 1 + 𝑖)

Contoh soal Transformasi Linear 1. Tentukan bayangan dari titik P(-1,2) dibawah transformasi linear w = -2iz + 1 – 3i

𝜋

Karena g(z) = -2iz,, maka |-2i| = 2 dan arg(-2i) = − 2 . Titik P(-1,2) diperbesar dengan faktor 2 menjadi P’(-2,4)

6

𝜋

P’(-2,4) diputar dengan rotasi (0, − 2 ) didapat 1

𝜋 2 𝜋 sin(− ) 2

(𝑦𝑥 1 ) = (

𝜋 2 𝜋 cos(− ) 2

cos(− ) −sin(− )

0 ) (−2 ) = (−1 4

1 )(−2 ) 0 4

= (42)

diperoleh P’’(4,2)

Kemudian P’’(4,2) digeser 1 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah diperoleh P’’’(5,-1)

2. Transformasi w = (1+i)z + 3 – 1 mentransformasikan daerah persegi panjang pada bidang-z dalam gambar, ke daerah persegi panjang yang terletak di bidang-w.

Penyelesaian : Transformasi ini dapat ditulis dalam dua transformasi, yaitu f°g(z) = w dengan f(z) = z +3 – i dan g(z) = (1 + i)z 

Regangan putaran g(z) = (1 + i)z maka |1 + i| = √12 + 12 = √2

7

1

dan arg(1 + i) = 𝑡𝑎𝑔−1 (1) = 𝑡𝑎𝑔−1 (1) =

𝜋 4

transformasi pertama adalah regangan sebesar √2 kemudian dilanjutkan dengan 𝜋

perputaran sebesar 4



Pergeseran Transformasi kedua pergeseran sejauh 3-i yang dapat dilakukan dengan pergeseran ke kanan sejauh tiga satuan dan diikuti pergeseran ke bawah sejauh satu satuan

8

B. TRANSFORMASI PANGKAT Definisi. Suatu fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑧 𝑛 dengan n ∈ 𝑁 dinamakan fungsi pangkat Catatan: 1. Fungsi f tersebut merupakan fungsi menyeluruh karena 𝑓 ′ (𝑍) = 𝑛𝑧 𝑛−1 , 𝑧 ⩝ ∈ 𝐶. 2. Untuk n > 1 fungsi f bukanlah fungsi satu-satu sehingga tidak mempunyai invers. Sifat-sifat pemetaan tertentu pada transformasi pangkat lebih mudah dipelajari dalam bentuk kutubnya. Dengan menyatakan fungsi pangkat dalam bentuk kutub diperoleh 𝑤 = 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝑡 + 𝑖 sin 𝑛𝑡) Dari bentuk kutub ini dapat dilihat bahwa jika |𝑧| = 𝑟 dan arg 𝑧 = 𝑡 Maka, |𝑤| = 𝑟 𝑛 dan arg 𝑧 = nt Dari bentuk kutub diatas dapat disimpulkan bahwa transformasi pangkat memetakan suatu titik 𝑧 dengan modulus 𝑟 dan argumen 𝑡 ke suatu titik dengan 𝜋

modulus 𝑟 𝑛 dan argumen nt. Sebagai contoh, dibawah fungsi 𝑤 = 𝑧 3 , 𝑧 = 2 𝑐𝑖𝑠 ( 3 ) dipetakan ke 𝑤 = 8 𝑐is 𝜋. Pada umumnya, dibawah transformasi pangkat suatu sinar yang dipancarkan dari pusat sumbu koordinat dengan sudut inklinasi 𝛼 dipetakan menjadi suatu sinar yang bersudut inklinasi 𝑛𝛼. Sehingga suatu sektor lingkaran dengan jari-jari 𝑟 bersudut pusat 𝜙 ditransformasikan ke sektor lingkaran dengan jari-jari 𝑟 𝑛 bersudut pusat 𝑛𝜙. Proses transformasi ini bisa dilihat pada gambar

Gambar 2.1 (Pemetaan 𝑤 = 𝑧 𝑛 ) 9

Sebagai contoh, dibawah 𝑤 = 𝑧 2 , kuadran pertama bidang 𝑧 dipetakan ke setengah lingkaran atas bidang 𝑤 . Setengah lingkaran atas bidang 𝑧 dipetakan ke seluruh bidang 𝑤. Jika diambil seluruh bidang 𝑧 maka bidang 𝑤 akan ditutupi dua kali. Secara general, dibawah transformasi pangkat 𝑤 = 𝑧 𝑛 , bidang 𝑧 dipetakan ke bidang 𝑤, 𝑛kali. Artinya setiap titik pada bidang 𝑤, kecuali 𝑤 = 0 merupakan bayangan 𝑛 titik yang berbeda dari bidang 𝑧.

Contoh Fungsi 𝑤 = 𝑧 2 jika diuraikan menghasilkan (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 dan (𝑥, 𝑦) = 2𝑥y. Selanjutnya, perhatikan hiperbola tegak lurus 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑐, 𝑐 ≠ 0 Jelas 𝑢 = 𝑐 dan bila 𝑥 dan 𝑦 mengambil seluruh nilai yang mungkin maka nilai 𝑣 bergerak dari −∞ hingga +∞. Hal ini menunjukkan bahwa dibawah 𝑤 = 𝑧 2 , hiperbola diatas dipetakan menjadi garis tegak 𝑢 = 𝑐. Selanjutnya perhatikan hiperbola 2𝑥y= 𝑘, 𝑘 ≠ 0 Jelas bahwa dibawah fungsi tersebut, bayangannya adalah garis mendatar 𝑣 = 𝑘. contoh Di bawah fungsi = 𝑧 4 , petakan titik P = 1 + I ke bidang-w dengan domain 𝐴 = {𝑧: |𝑧| < 1, 0 ≤ arg 𝑧 ≤

𝜋 4

}!

Jawab: |𝑷| = √12 + 12 = √2 |𝑃′| = (√2)4 = 4 Tuliskan P’ = a + ib. Daerah pada bidang-z dipetakan menjadi 𝐴′ = {𝑤: |𝑤| < 1,0 ≤ arg 𝑤 ≤ 𝜋} pada bidang-w, kita dapatkan 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0 10

𝑏 =0 |𝑃′ | 𝑏 =0 4 Kita dapatkan b = 0 . Analog dengan cara di atas, kita dapatkan 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −1 𝑎 = −1 4 𝑎 = −4 Jadi di dapat 𝑃′ = −4 + 0𝑖 = −4 seperti gambar di bawah ini.

Non Contoh: contoh Carilah bayangan sector 0 < arg

𝑧<

𝜋 2

di bawah = 𝑧 2 !

Jawab: Karena n = 2 maka di dapat 0 < arg 𝑧 < 𝜋.

11

contoh a. Dengan menggunakan kenyataan bahwa uraian fungsi kuadrat 𝑤 = 𝑧 2 menghasilkan 𝑢 = 𝑥 2 − 𝑦 2 dan 𝑣 = 2𝑥𝑦 , tunjukkan bahwa untuk fungsi ini 𝑣 2 = 4𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑢) = 4𝑦 2 (𝑢 + 𝑦 2 ) b.

Gunakan hasil dari a untuk menunjukkan bahwa, dibawah 𝑤 = 𝑧 2 garis-garis mendatar (𝑦 = 𝑘 ≠ 0 ) dan tegak lurus (𝑥 = 𝑐 ≠ 0 ) dipetakan menjadi parabola. jawab:

a. 𝑢 = 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑣 = 2𝑥𝑦 𝑣 2 = 4𝑥 2 𝑦 2 𝑣 2 = 4𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 4𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑢) 𝑣 2 = 4𝑦 2 (𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑦 2 ) = 4𝑦 2 (𝑢 + 𝑦 2 ) 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑣 2 = 4𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑢) = 4𝑦 2 (𝑢 + 𝑦 2 ) … … … … … … … . . (1) b. Misalkan 𝑥 = 𝑐 dan 𝑦 = 𝑘, substitusikan ke Persamaan (1), didapat 𝑣 2 = 4𝑐 2 (𝑐 2 − 𝑐 2 + 𝑘 2 = 4𝑐 2 𝑘 2 𝑣 = ±2𝑐𝑘 u=𝑐 2 − 𝑘 2

12

Jadi garis-garis mendatar (𝑦 = 𝑘 ≠ 0 ) dan tegak lurus ( 𝑥 = 𝑐 ≠ 0) dipetakan menjadi parabola.

C. TRANSFORMASI KEBALIKAN Definisi: 1

Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi 𝑓 dengan 𝑓(𝑧) = 𝑧 dinamakan transformasi kebalikan . 1

Secara geometric, transformasi 𝑤 = 𝑧 akan memetakan titik-titik yang mendekati ke titik-titik di daerah yang jauh dari peta titik-titik sebelumnya. Dengan menuliskan z dan w dalam bentuk kutub, kita lihat bahwa jika z=rcis(t) maka diperoleh: 1

𝑤 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠(−𝑡) 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖, 𝑤=

1 1 1 1 1 1 1 1 (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡) = = . = . = . . 𝑧 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝑡 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝑡 𝑟 cos 𝑡 − 𝑖 sin 𝑡 𝑟 cos 𝑡 − 𝑖 sin 𝑡 (cos 𝑡 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑡) =

1 (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡) 1 1 . = . (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡) = (cos(−𝑡) − sin(−𝑡)) 𝑟 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝑟 𝑟 1

= 𝑟 . 𝑐𝑖𝑠(−𝑡) Jadi, di bawah fungsi kebalikan suatu titik dengan modulus r dan argument t dipetakan menjadi suatu titik dengan modulus transformasi ini dapat dilihat pada gambar 3.1

Gambar 3.1

13

1 𝑟

dan argument -t. Geometri

Transformasi tersebut dapat digambarkan secara geometri dengan langkah-langkah sebagai berikut: Kasus I : z berada di dalam lingkaran 1. Ambil suatu titik 𝑧 ≠ 0yang mempunyai modulus r dan argument t yang terletak di dalam lingkaran satuan 2.

Lukis garis L melalui z yang tegak lurus pada sinar R dari O dan melalui z.

3. Dari titik-titik perpotongan L dengan lingkaran satuan, lukis garis singgung S dan T yang berpotongan pada suatu titik 𝜁 pada R . 1

1

4. Diperoleh | 𝜁| = 𝑟 dan 𝜁 = 𝑧 1

1

5. Tentukan titik dimana 𝑤 = 𝜁 di mana |𝑤| = 𝑟 dan arg w=-t . 1

6. Diperoleh w = 𝑧

Kasus II : z berada di garis pada lingkaran satuan 1

untuk setiap 𝑧 ∈ 𝐶, ∋ |𝑧| = 1, maka 𝑤 = 𝑧 merupakan pencerminan titik z terhadap sumbu Real 1. Ambil sebarang titik 𝑧 ∈ 𝐶, ∋ |𝑧| = 1 2. Cerminkan z pada sumbu Real

14

Kasus III : berada di luar lingkaran 1. Ambil sebarang titik 𝑧 ∈ 𝐶, ∋ |𝑧| = 1 2. Tarik garis R melalui (0,0) dan z 3. Bagi garis R menjadi dua bagian sama panjang, beri nama titik tengah dengan A 4. Lukis lingkarang dengan pusat A dan berjari-jari OA yang akan memotong lingkaran satuan di dua titik. Beri nama B dan C 5. Tarik garis S yang melalui B dan C sehingga memotong garis R di titik ζ. 1

1

6. Diperoleh | ζ |=𝑟 𝑑𝑎𝑛 ζ = z 1

1

7. Tentukan titik 𝑤 = ζ dimana |w|= 𝑟 dan arg w = -t . 8. Diperoleh 𝑤 =

1 z

contoh 1: 1

Perhatikan gars tegak x = 1, di bawah pemetaan 𝑤 = 𝑧

15

Penyelesaian: 1

Dari penguraian 𝑤 = 𝑧

1 𝑥 𝑦 = 2 − 2 𝑖 2 𝑧 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2 diperoleh, 𝑥

𝑢 = 𝑥 2 +𝑦 2

dan

𝑦

𝑣 = − 𝑥 2 +𝑦 2

Kemudian garis tegak yang diberikan x = 1 sehingga setiap titik pada garis yang diberikan berbentuk 𝑧 = 1 + 𝑣𝑖 kita mendapatkan bahwa 1

𝑦

𝑢 = 12 +𝑦 2 dan 𝑣 = − 12 +𝑦2 Dengan menguadratkan dan mmenjumlahkan dua persamaan terakhir itu, di peroleh 𝑢2 + 𝑣 2 = 𝑢 𝑢2 + 𝑣 2 − 𝑢 = 0 1 1 𝑢2 − 𝑢 + + 𝑣 2 = 4 4 (𝑢 − 21 )2 + 𝑣2 = 1

1 2

1

Sehingga, diperoleh sebuah lingkaran |𝑤 − 2| = 2 Setelah ditemukan gambar transformasi dari garis tersebut, kita akan menentukan daerah dari 𝑅(𝑧) > 1, 𝑅(𝑧) < 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑅(𝑧) = 1 pada bidang w. Misalkan daerah di dalam lingkaran, 1 1 |𝑤 − | < 2 2 1 1 |𝑢 + 𝑖𝑣 − | < 2 2 2

√(𝑢 − 1) + 𝑣 < 2

1 2

1 1 𝑢2 − 𝑢 + + 𝑣 2 < 4 4 𝑢2 − 𝑢 + 𝑣 2 < 0

16

2

2

      x x      y   0  2 2  2 2  2 2 x y  x y  x y  𝑥 2 − 𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑦 2 ( )<0 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝑥 2 − 𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑦 2 < 0 (𝑥 2 + 𝑦 2 )(1 − 𝑥) < 0 (1 − 𝑥) < 0 1<𝑥 Jadi, daerah di dalam lingkaran tersebut adalah pemetaan dari 𝑥 > 1 dengan cara yang hampir sama dapat di tunjukkan daerah di luar lingkaran adalah pemetaan dari daerah 𝑥 < 1 dan garis pada lingkaran merupakanpemetaan dari garis 𝑥 = 1

Pernyataan: Di bawah transformasi kebalikan garis-garis dan lingkaran-lingkaran dipetakan ke garis-garis atau lingkaran-lingkaran.

Bukti berdasarkan a)

1 𝑧

𝑥

𝑦

= 𝑥 2 +𝑦 2 − 𝑖 𝑥 2 +𝑦 2

17

b) Persamaan 𝑎(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0 mewakili suatu lingkaran (𝑎 ≠ 0) atau suatu garis (𝑎 = 0) dan sebaliknya setiap garis atau lingkaran dapat diwakili oleh seuatu persamaan yang berbentuk seperti di atas.

Misalkan diberikan suatu lingkaran atau suatu garis, missal K . Kemudian untuk konstanta 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan d . Maka: 𝐾: 𝑎(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0 Dari a) kita mempunyai 𝑢=

𝑥2

𝑥 𝑦 1 ,𝑣 = − 2 , 𝑢2 + 𝑣 2 = 2 2 2 +𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 + 𝑦2

Kemudian dengan membagi persamaan K dengan 𝑥 2 + 𝑦 2 diperoleh 𝑎+𝑏

𝑥 𝑦 𝑑 − 𝑐 + =0 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2

𝑎 + 𝑏𝑢 = 𝑐𝑣 + 𝑑(𝑢2 + 𝑣 2 ) = 0 𝑑(𝑢2 + 𝑣 2 ) + 𝑏𝑢 − 𝑐𝑣 + 𝑎 = 0 yang merupakan garis (d=0) atau lingkaran pada bidang (d≠0) pada bidang w.

2. Perhatikan garis 𝑙1 : 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 Dalam notasi persamaan 𝐾: 𝑎(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0, 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1

−1, 𝑑 = 2. Jadi, di bawah = 𝑧 , 𝑙1 , dipetakan menjadi garis atau lingkaran yang diberikan. Maka, 𝑙1 dipetakan menjadikan lingkaran 𝐶1 : 2(𝑢2 + 𝑣 2 ) + 𝑢 + 𝑣 = 0 Begitu pula, kita mendapatkan bahwa garis 𝐿1 : 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 Dipetakan menjadi lingkaran 𝐶2 : 2(𝑢2 + 𝑣 2 ) − 𝑢 + 𝑣 = 0 Perhatikan bahwa: 𝐿1 : 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 1

1

1

Dipetakan ke lingkaran 𝐶1 : |𝑤 − (− 4 − 4 𝑖)| = 4 √2 𝐿2 : 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 1

1

1

Dipetakan ke lingkaran 𝐶2 : |𝑤 − (− 4 − 4 𝑖)| = 4 √2

18

𝑑𝑦

𝑑𝑦

Karena untuk 𝐿1 , 𝑑𝑥 = 1, dan untuk𝐿2 , 𝑑𝑥 = −1 maka kedua garis tersebut berpotongan tegak lurus di z = 2i. 𝑑𝑣

𝑑𝑣

Sedangkan untuk 𝐶1 , 𝑑𝑢 = −4𝑢 − 1 dan untuk 𝐶2 , 𝑑𝑢 = −4𝑢 + 1, serta 2𝑢2 + 2𝑣 2 + 𝑢 + 𝑣 = 𝑢2 + 2𝑣 2 + 𝑢 + 𝑣 𝑢 = −𝑢 2𝑢 = 0 𝑢=0 𝑑𝑣

𝑑𝑣

Subtitusi 𝑢 = 0 sehingga diperoleh untuk 𝐶1 , 𝑑𝑢 = −1 dan 𝐶2 , 𝑑𝑢 = 1 maka kedua lingkaran tersebut berpotongan pada 𝑤 = 0 dan =

−𝑖 2

.

1

Transformasi 𝑤 = 𝑧

D. TRANSFORMASI BILINEAR Definisi: Jika a, b, c, dan d konstanta kompleks, maka: 𝑤 = 𝑓(𝑧) =

𝑎𝑧 + 𝑏 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 𝑐𝑧 + 𝑑

dinamakan transformasi bilinear. Kita asumsikan 𝑐 ≠ 0guna menghindari persamaan bilinear berubah menjadi persamaan linear. Analog dengan transformasi

19

kebalikan, maka transformasi bilinear juga memetakan garis dan lingkaran menjadi garis atau lingkaran. Pemetaan bilinear 𝑤 = 𝑓(𝑧) =

𝑎𝑧+𝑏 𝑐𝑧+𝑑

= (𝑔°ℎ°𝑘)(𝑧) merupakan komposisi dari

fungsi-fungsi berikut: 𝑘(𝑧) = 𝑐𝑧 + 𝑑,

1 ℎ(𝑧) = , 𝑧

𝑔(𝑧) =

𝑎 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 + 𝑧 𝑐 𝑐

Jadi, transformasi bilinear merupakan gabungan dari transformasi linear diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linear sekali lagi. Teorema: Jika 𝑧1 ≠ 𝑧2 ≠ 𝑧3 sebarang titik pada bidang-z dan 𝑤1 ≠ 𝑤2 ≠ 𝑤3 sebarang titik pada bidang-w , maka terdapat fungsi transformasi bilinear yang memetakan 𝑧𝑗 ke 𝑤𝑗 denganj=1,2,3 adalah: (𝑤 − 𝑤1 )(𝑤2 − 𝑤3 ) (𝑧 − 𝑧1 )(𝑧2 − 𝑧3 ) = (𝑤 − 𝑤2 )(𝑤2 − 𝑤1 ) (𝑧 − 𝑧3 )(𝑧2 − 𝑧1 ) Bukti: 𝑤=

𝑎𝑧 + 𝑏 𝑎𝑧1 + 𝑏 𝑎𝑧2 + 𝑏 𝑎𝑧3 + 𝑏 , 𝑤1 = , 𝑤2 = , 𝑤3 = ,, 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑐𝑧1 + 𝑑 𝑐𝑧2 + 𝑑 𝑐𝑧3 + 𝑑

dengan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 𝑎𝑧 + 𝑏 𝑎𝑧1 + 𝑏 − 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑐𝑧1 + 𝑑

𝒘 − 𝒘𝟏 =

=

(𝑎𝑧 + 𝑏)(𝑧1 + 𝑑) − (𝑎𝑧1 + 𝑏)(𝑧 + 𝑑) (𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧1 + 𝑑)

=

𝒂𝒄𝒛𝑧1 + 𝑏𝑐𝑧1 + 𝑎𝑑𝑧 + 𝑏𝑑 = 𝑎𝑐𝑧𝑧1 − 𝑏𝑐𝑧 − 𝑎𝑑𝑧1 − 𝑏𝑑 (𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧1 + 𝑑)

=

−𝑏𝑐(𝑧 − 𝑧1 ) + 𝑎𝑑(𝑧 − 𝑧1 ) (𝑐𝑧 + 𝑑)𝑐𝑧1 + 𝑑) (𝑎𝑑−𝑏𝑐)(𝑧−𝑧1 )

= (𝑐𝑧+𝑑)(𝑐𝑧

1 +𝑑)

𝑎𝑧 +𝑏

𝑎𝑧 +𝑏

2

3

𝒘𝟐 − 𝒘𝟑 = 𝑐𝑧 2+𝑑 − 𝑐𝑧 3+𝑑

20

=

𝑎𝑐𝑧2 𝑧3 +𝑎𝑧2 𝑑+𝑏𝑐𝑧3 +𝑏𝑑−𝑎𝑐𝑧2 𝑧3 −𝑏𝑐𝑧2 −𝑎𝑧3 𝑑−𝑏𝑑 (𝑐𝑧2 +𝑑)(𝑐𝑧3 +𝑑)

=

𝑎𝑑(𝑧2 −𝑧3 )−𝑏𝑐(𝑧2 −𝑧3 ) (𝑐𝑧2 +𝑑)(𝑐𝑧3 +𝑑) (𝑎𝑑−𝑏𝑐)(𝑧2 −𝑧3 )

= (𝑐𝑧

2 +𝑑)(𝑐𝑧3 +𝑑)

𝑎𝑧+𝑏

𝒘 − 𝒘𝟑 =

𝑐𝑧+𝑑

𝑎𝑧 +𝑏

− 𝑐𝑧33+𝑑

=

𝑎𝑐𝑧𝑧3 +𝑎𝑑𝑧+𝑏𝑐𝑧3 +𝑏𝑑−𝑎𝑐𝑧𝑧3 −𝑎𝑑𝑧3 −𝑏𝑐𝑧−𝑏𝑑 (𝑐𝑧+𝑑)(𝑐𝑧3 +𝑑)

=

𝒂𝒅(𝒛−𝒛𝟑 )−𝒃𝒄(𝒛−𝒛𝟑 ) (𝑐𝑧+𝑑)(𝑐𝑧3 +𝑑) (𝒂𝒅−𝒃𝒄)(𝒛−𝒛𝟑 )

= (𝑐𝑧+𝑑)(𝑐𝑧

3 +𝑑)

𝑎𝑧 +𝑏

𝑎𝑧 +𝑏

2

1

𝒘𝟐 − 𝒘𝟏 = 𝑐𝑧 2+𝑑 − 𝑐𝑧 1+𝑑 =

𝑎𝑐𝑧1 𝑧3 +𝑎𝑧2 𝑑+𝑏𝑐𝑧1 +𝑏𝑑−𝑎𝑐𝑧1 𝑧3 −𝑏𝑐𝑧2 −𝑎𝑧1 𝑑−𝑏𝑑 (𝑐𝑧2 +𝑑)(𝑐𝑧1 +𝑑)

=

𝑎𝑑(𝑧2 −𝑧1 )−𝑏𝑐(𝑧2 −𝑧1 ) (𝑐𝑧2 +𝑑)(𝑐𝑧1 +𝑑) (𝑎𝑑−𝑏𝑐)(𝑧2 −𝑧1 )

= (𝑐𝑧

2 +𝑑)(𝑐𝑧1 +𝑑)

(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 − 𝑧1 ) 𝑤 − 𝑤1 )(𝑤2 − 𝑤3 ) (𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧1 + 𝑑) = (𝑎𝑑 (𝑤 − 𝑤3 )(𝑤2 − 𝑤1 ) − 𝑏𝑐)(𝑧 − 𝑧3 ) (𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧3 + 𝑑) =

(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧2 − 𝑧3 ) (𝑐𝑧2 + 𝑑)(𝑐𝑧3 + 𝑑) (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧2 − 𝑧1 ) . (𝑐𝑧2 + 𝑑)(𝑐𝑧1 + 𝑑)

.

(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 − 𝑧1 )(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧2 − 𝑧3 )(𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧3 + 𝑑)(𝑐𝑧2 + 𝑑)(𝑐𝑧1 + 𝑑) (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 − 𝑧3 )(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧2 − 𝑧1 )(𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧1 + 𝑑)(𝑐𝑧2 + 𝑑)(𝑐𝑧3 + 𝑑) =

(𝑧 − 𝑧1 )(𝑧2 − 𝑧3 ) (𝑧 − 𝑧3 )(𝑧2 − 𝑧1 ) 21

𝑇𝐸𝑅𝐵𝑈𝐾𝑇𝐼 Contoh 1: 𝑧−1

Tunjukkan bahwa pemetaan bilnear 𝑤 = 𝑧+1 memetakan setengah bidang (𝑧) > 0 menjadi cakram satuan |𝑤| < 1 Penyelesaian : 1

Pemetaan ini dibagi dalam tiga tahapan, ζ= 𝑧 + 1, ξ= 𝜁 , dan 𝑤 = −2𝜉 + 1 1. Dibawah pemetaan ζ=𝑧 + 1, setiap titik pada setengah bidang yang diberikan diputar sebesar 0 radian, diperbesar dengan faktor 1 dan terakhir digeser dengan vektor 1 sehingga menghasilkan setengah bidang 𝑅(𝜁) > 1 1

2. Setengah bidang (𝜁) > 1 kemudian dipetakan dibawah ξ= 𝜁 kedalam lingkaran 1

1

|𝜉 − 2| = 2 ,tetapi dengan setengah bagian atas dan bawah saling dipertukarkan. 3. Terakhir dibawah 𝑤 = −2𝜉 + 1, bagian dalam lingkaran akan diputar sebesar –𝜋 1

1

radial menjadi bagian dalam lingkaran |𝜉 + 2| = 2, pertukaran ini akan menukar letak setengah bagian atas dan bawah cakram tersebut. Putaran ini kemudian diikuti dengan regangan dengan faktor 2 menjadi bagian dalam lingkaran|𝜉 + 1| = 1, dan akhirnya digeser dengan vektor 1 menghasilkan cakram |𝑤| < 𝑧−1

1.Berikut proses transformasi bilinear w=𝑧+1

22

Sifat kedua transformasi bilinear dinyatakan sebagai beikut: bila diketahui sebarang tiga titik berbeda 𝑧1 , 𝑧2, 𝑧3 pada bidang 𝑧 dan sebarang tiga titik berbeda 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3pada bidang 𝑤, maka terdapat transformasi bilinear yang tunggal yang memetakan 𝑧𝑗 ke 𝑤𝑗 , 𝑗= 1,2,3. Transformasi bilinear yang tunggal ini diperoleh dengan: (𝑤 − 𝑤1 )(𝑤2 − 𝑤3 ) (𝑧 − 𝑧1 )(𝑧2 − 𝑧3 ) = (𝑤 − 𝑤3 )(𝑤2 − 𝑤1 ) (𝑧 − 𝑧3 )(𝑧2 − 𝑧1 ) Contoh 2: Carilah transformasi bilinear yang memetakan 𝑧1 = 0, 𝑧2 = 𝑖, 𝑧3 = −1 ke 𝑤1, = 12, 𝑤2, = 11 + 𝑖𝑖, 𝑤3 = 11 secara berurutan Penyelesaian: Dengan subtitusi 𝑧1 , 𝑧2, 𝑧3 dan 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 (𝑤 − 𝑤1 )(𝑤2 − 𝑤3 ) (𝑧 − 𝑧1 )(𝑧2 − 𝑧3 ) = (𝑤 − 𝑤3 )(𝑤2 − 𝑤1 ) (𝑧 − 𝑧3 )(𝑧2 − 𝑧1 ) Diperoleh: (𝑤 − 12)𝑖 𝑧(1 + 𝑖) = (𝑤 − 11)(−1 + 𝑖) (𝑧 + 1)𝑖 Menghasilkan persamaan bilinear 𝑤=

contoh 3

23

10𝑧 − 12 𝑧−1

dengan menggunakan teorema

24

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULAN 1. Definisi (Transformasi Linear) Suatu transformasi yang berbentuk w = f(z) = az + b dengan a , b ∈ C, a ≠ 0 disebut Transformasi linear. 2. Sifat-sifat Transformasi Linear: e. f’(z) = a,

untuk setiap z ∈ C, maka f adalah transformasi entire atau

transformasi analitik menyeluruh f. f adalah transformasi satu-satu, karena jika transformasi z1 ≠ z2, maka f(z1) = az1 + b ≠ az2 + b = f(z2) g. karena f transformasi satu-satu maka f mempunyai transformasi invers yaitu 1

𝑏

f’(z) = 𝑎z - 𝑎, dengan a ≠ 0. h. Transformasi linear adalah komposisi dari dua transformasi berikut: ζ = az dan w = ζ + b. Transformasi yang pertama , yaitu ζ = az merupakan suatu rotasi yamg “memperpanjang” atau “memperpendek”. Adapun alasannya sebagai berikut. Misa:𝑎 = 𝑟1 𝑐𝑖𝑠 𝜃1 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 𝜃2 maka ζ = az = 𝑟1 𝑐𝑖𝑠 𝜃1 . 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 𝜃2 = r1r2 {(cos 𝜃1 + i sin 𝜃1 )(cos 𝜃2 + i sin 𝜃2 )} = r1r2 {cos 𝜃1 cos 𝜃2 + sin 𝜃1 sin 𝜃2 +i(sin 𝜃1 cos 𝜃2 +cos 𝜃1 sin 𝜃2 )} =𝑟1 𝑟2 {cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + i sin (𝜃1 + 𝜃2 )} Jadi, / ζ/ = /a/ /z/ dan arg ζ = arg a + arg z. 3. Definisi: Suatu fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑧 𝑛 dengan n ∈ 𝑁 dinamakan fungsi pangkat. 4. Sifat-sifat pemetaan pada transformasi pangkat lebih mudah dipelajari dalam bentuk kutubnya.. Dengan menyatakan fungsi pangkat dalam bentuk kutub diperoleh 𝑤= 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃) Dari bentuk kutub ini dapat dilihat bahwa jika 25

|𝑧| = 𝑟

dan

arg 𝑧 =𝜃

Maka |𝑤| = 𝑟 𝑛

dan

arg 𝑧 = 𝑛𝜃

Dari bentuk kutub diatas dapat disimpulkan bahwa transformasi pangkat memetakan suatu titik 𝑧 dengan modulus 𝑟 dan argumen 𝜃 ke suatu titik dengan modulus 𝑟 𝑛 dan argumen 𝑛𝜃 . 5. Transformasi fungsi balikan Secara geometri hal ini bisa didekati dengan menuliskan 𝑧 dan 𝑤 dalam bentuk kutub. Jika 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃

maka

1

𝑤 = 𝑟 cos(−𝜃)

Yang dapat di jelaskan dengan, “dibawah fungsi kebalikan suatu titik dengan modulus 𝑟 dan argumen 𝜃 dipetakan menjadi suatu titik dengan modulus

1 𝑟

dan

argumen –𝜃”. 6. Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari pemetaan linear diikuti dengan pemetaan kebalikan dan terakhir pemetaan linear . Sifat pertama ini didasarkan pada 2 kenyataan. Pertama kenyataan bahwa pemetaan bilinear merupakan gabungan dari tiga fungsi diantaranya: ζ=cz +𝑑,

1

𝑎

ξ= 𝜁, dan 𝑤 = 𝑐 +

𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑐

𝜉

Sifat kedua transformasi bilinear dinyatakan sebagai beikut: bila diketahui sebarang tiga titik berbeda 𝑧1 , 𝑧2, 𝑧3 pada bidang 𝑧 dan sebarang tiga titik berbeda 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3pada bidang 𝑤, maka terdapat transformasi bilinear yang tunggal yang memetakan 𝑧𝑗 ke 𝑤𝑗 , 𝑗= 1,2,3. Transformasi bilinear yang tunggal ini diperoleh dengan: (𝑤 − 𝑤1 )(𝑤2 − 𝑤3 ) (𝑧 − 𝑧1 )(𝑧2 − 𝑧3 ) = (𝑤 − 𝑤3 )(𝑤2 − 𝑤1 ) (𝑧 − 𝑧3 )(𝑧2 − 𝑧1 ) B. SARAN Kritik dan saran dari pembaca sangat diharapkan demi kesempurnaan makalah di kemudian hari. Karena penulis menyadari bahwa masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah tersebut dengan sumber-sumber yang lebih banyak dan tentunya dapat di pertanggungjawabkan.

26

DAFTAR PUSTAKA Buku Perkuliahan Program S-1

digilib.uinsby.ac.id/fungsikompleks:

Jurusan

Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya

http://digilib.uinsby.ac.id/20106/1/Fungsi%20komplek.pdf https://dokumen.tips/documents/fungsi-pangkat.html https://anzdoc.com/fungsi-kompleks-transformasi-pangkat-makalah-memenuhi-.html https://anzdoc.com/fungsi-kompleks-transformasi-linear-makalah-memenuhi-.html https://anzdoc.com/fungsi-kompleks-transformasi-kebalikan-makalah-memenuhi.html https://anzdoc.com/fungsi-kompleks-transformasi-bilinear-makalah-memenuhi-.html

27