Bab I1.docx

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri yang berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Sangat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yang berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi. Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubungan dengan geometri. Materi yang kami bahas adalah materi tentang parabola. Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan mateeri yang kami bahas, maka mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan mencoba memahaminya.

B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan parabola? 2. Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke kanan? 3. Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke kiri? 4. Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke atas? 5. Bagaimana persamaan umum parabola yang terbuka ke bawah? 6. Bagaimana persamaan garis singgung pada parabola?

C. Tujuan Penulisan Adapun tujuan menyusun makalah ini adalah: 1. Untuk mengetahui dan menentukan persamaan umum parabola. 2. Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung parabola.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 DEFINISI PARABOLA

Suatu parabola adalah himpunan (tempat kedudukan) titik, yang titik-titiknya memenuhi syarat, bahwa jaraknya terhadap suatu titik tertentu sama dengan jaraknya terhadap suatu garis tertentu. Dengan kata lain parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik-titik tertentu itu disebut titik api (fokus) dan garis tertentu itu disebut direktriks.Perhatikan gambar berikut: Y A

T1 L (Gambar 2.1)

P Q

F

T2 L1 B Pada gambar 2.1 menunjukkan sebuah parabola yang memiliki titik puncak di sumbu X, yaitu titik P. Pada gambar tampak bahwa PQ = PF, F disebut titik fokus, LL1 disebut lactus rectum, T1T2 disebut tali busur fokal, FB disebut jari-jari fokal, dan I disebut direktriks

(garis arah). Pada gambar tersebut tampak juga jarak titik T1 ke A sama dengan jarak titik T1 ke F.

2.2 PERSAMAAN UMUM PARABOLA A. Parabola yang terbuka ke kanan Y

Q (-p,y) P (x,y)

F (p,0) O

x = -p

Pada gambar 2.2 di atas tampak sebuah parabola yang terbuka ke kanan. Perhatikan PF = PQ Maka : √(𝑝 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 = √(−𝑝 − 𝑥)2 + (𝑦 − 𝑦)2 √(𝑝 − 𝑥)2 + 𝑦 2 = √(−𝑝 − 𝑥)2 + 0 ↔ √(𝑝 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 = √(−𝑝 − 𝑥)2 + (𝑦 − 𝑦)2 ↔ 𝑝2 − 2𝑝𝑥 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑝2 + 2𝑝𝑥 + 𝑥 2 ↔ 𝑦 2 = 4𝑝𝑥

Pada persamaan yang didapat ini merupakan persamaan umum parabola yang terbuka ke kanan yang memiliki puncak di (0,0), titik fokus (p,0), dan sumbu direktriks : x = -p. Dengan menggunakan translasi susuna\n sumbu dapat kita jabarkan bahwa persamaan parabola yang berpuncak (𝛼, 𝛽) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu X adalah: (𝑦 − 𝛽)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝛼).

Sebuah parabola dengan puncaknya di (𝛼, 𝛽), fokus 𝐹(𝛼 + 𝑝, 𝛽), direktriksnya garis 𝑥 = 𝛼 − 𝑝 yang membuka ke kanan, bila persamaan parabolanya dalam system koordinat X’O’Y, maka persamaannya adalah: (𝑦 ′ )2 = 4𝑝𝑥′. Dengan mensubtitusikan persamaan 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝛼 dan 𝑦′ = 𝑦 − 𝛽 ke dalam persamaan (𝑦′)2 = 4𝑝𝑥 ′ , dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam system koordinat XOY, yakni: (𝑦 − 𝛽)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝛼)

Contoh soal 2.2 : Tentukanlah persamaan parabola jika diketahui: a) Puncak parabola (2,0) dan sumbu direktrisnya x = 1. b) Puncak parabola (1,-2) dan latus rektumnya 4. c) Koordinat fokusnya (11,4) dan sumbu direktrisnya x = 5.

Penyelesaian : a) Puncak parabola (2,0) maka a = 2 dan b = 0 Sumbu direktrisnya x = 1, maka a – p = 1 atau a + p = 1 Karena a = 2 maka p = 1 atau p = -1. Jadi persamaan parabolanya adalah: 𝑦 2 = 4(𝑥 − 2) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 2 = −4(𝑥 − 2)

b) Puncak parabola (1,-2) maka a = 1 dan b = -2. latus rectum = 4 maka 4𝑝 = 4. Persamaan parabolanya adalah: (𝑥 − 1)2 = 4(𝑦 + 2) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑦 + 2)2 = 4(𝑥 − 1)

c) Koordinat fokusnya (11,4) dan sumbu direktrisnya x = 5 Maka a – p = 5 koordinat fokus (a + p,b) maka : b = 4 dan a + p = 11. Dengan mengeliminasi a – p = 5 dan a + p = 11 didapat a = 8 dan p = 3 Jadi, persamaan parabolanya adalah: (𝑦 − 4)2 = 12(𝑥 − 8)  Contoh-Contoh Soal

1. Gambarlah grafik dari parabola 𝑦 2 = 8𝑥 ! Penyelesaian : Koordinat puncaknya O (0,0) 4p = 8 p=2  Titik F(2,0) Persamaan direktriks g = x = -p = -2 Sumbu simetrinya y = 0

2. Gambarlah grafik dari parabola 𝑦 2 − 2𝑦 − 4𝑥 − 9 = 0 ! Penyelesaian : 𝑦 2 − 2𝑦 − 4𝑥 − 9 = 0 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 − 1 = 4𝑥 + 9 (𝑦 − 1)2 = 4𝑥 + 9 + 1 5 (𝑦 − 1)2 = 4 (𝑥 + ) 2 5

Puncak parabola : (− 2 , 1) Parameter : 4p = 4 ↔ p = 1 5

3

Titik fokus : F(1 + (− 2) , 1) ↔ 𝐹 = (− 2 , 1) Persamaan direktriks g = x = a – p 3

5

= −2 − 1 = −2 3

Persamaan lotus rectumnya x = − 2 Sketsa Grafik :

3. Penampang dari reflektor lampu mobil tertentu dapat dimodelkan oleh suatu persamaan 25𝑥 = 16𝑦 2 , dengan x dan y dalam cm dan x bilangan real dari 0 sampai 4. Gunakan informasi yang diberikan untuk menggambarkan grafiknya dengan domain yang diberikan. Penyelesaian : Persamaan 25𝑥 = 16𝑦 2 merupakan persamaan dari parabola horizontal yang memiliki titik pusat di (0, 0). Selanjutnya kita tentukan nilai p dari parabola tersebut. 25𝑥 = 16𝑦 2 𝑦2 =

25 16

persamaan awal

𝑥

bagi kedua ruas dengan 16

25

dijadikan bentuk 𝑦 2 = 𝑝𝑥

𝑦 2 = 4 (64) 𝑥

Sehingga kita peroleh p = 25/64 (p > 0), yang artinya grafik dari parabola tersebut terbuka ke kanan. Selanjutnya kita tentukan dua titik selain titik (0, 0) yang dilalui oleh grafik parabola tersebut. Karena domainnya memiliki batas kanan di 4, kita tentukan dua titik pada parabola yang memiliki absis 4. 25𝑥 = 64𝑦 2

persamaan awal

25(4) = 64𝑦 2

subtitusi 4 ke x

𝑦2 =

25(4)

𝑦= ±

bagi kedua ruas dengan 64

64 5(2) 8

= ±1,25

hasil

Diperoleh dua titik tersebut adalah (4, 1,25) dan (4, –1,25). Dengan menggunakan tiga titik (0, 0), (4, 1,25), dan (4, –1,25), kita dapat menggambarkan grafik dari parabola tersebut.

4. Penampang dari reflektor suatu lampu senter dapat dimodelkan dengan persamaan 4𝑥 = 𝑦 2 , dengan x dan y dalam cm dan x bilangan real dari 0 sampai 2,25. Gambarlah grafik dari penampang reflektor tersebut dengan domain yang diberikan. Penyelesaian : Persamaan 4𝑥 = 𝑦 2 merupakan persamaan suatu parabola horizontal yang berpusat di (0, 0). Dari persamaan tersebut kita ketahui p = 1 (p > 0), sehingga parabola tersebut terbuka ke kanan. Karena domainnya adalah bilangan real mulai 0 sampai 2,25, selanjutnya kita tentukan dua titik lain yang dilalui oleh parabola dan memiliki absis 2,25. 4𝑥 = 𝑦 2

persamaan awal

4(2,25) = 𝑦 2

subtitusi 2,25 ke x

𝑦 = ±3

hasil

Sehingga dua titik lainnya yang dilalui oleh parabola tersebut adalah (2,25, 3) dan (2,25, –3). Sehingga, grafik dari penampang reflektor yang dimaksud dapat digambarkan sebagai berikut.

B. Parabola yang Terbuka Ke Atas Misal garis g sebagai garis tetap (garis direktriks) dan titik F sebagai titik tetap (fokus) atau titik api. Jika F tidak terletak pada g, maka kita dapat memilih sebuah sistem koordinat yang menghasilkan sebuah persamaan yang sederhana untuk parabola dengan

mengambil sumbu Y melalui F dan tegak lurus garis g, dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah antara F dan g. Y 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 C

F (0,p)

P (x,y) X direktriks y = -p Q

𝑔

Jika jarak titik F dan garis g adalah 2p, maka koordinat titik F (0,p). dengan demikian persamaan garis g menjadi y = -p. Titik P (x,y) terletak pada parabola jika dan hanya jika PF = PQ, dengan Q(x,-p) adalah kaki garis tegak lurus dari P ke g. Dari PF = PQ, maka:

√𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 = √(𝑦 + 𝑝)2 ↔ 𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 = (𝑦 + 𝑝)2 ↔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2 = 𝑦 2 + 2𝑝𝑦 + 𝑝2 ↔ 𝑥 2 = 4𝑝𝑦

Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(0,P) didefinisikan dengan persamaan: 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 Sebuah parabola dengan puncaknya di (a,b) yang membuka ke atas, bila persamaan parabolanya dalam sistem koordinat X’O’Y’, maka persamaannya adalah: (𝑥′)2 = 4𝑝𝑦′ Dengan mensubtitusikan persamaan 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ′ = 𝑦 − 𝑏 ke dalam sistem persamaan (𝑥′)2 = 4𝑝𝑦′, dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam sistem koordinat XOY, yakni: (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)  Contoh-contoh Soal

1. Gambarlah grafik dari parabola 4x2 – 25y = 0 ! Penyelesaian : 4𝑥 2 − 25𝑦 = 0 4𝑥 2 = 25𝑦 25 𝑦 4 Koordinat puncaknya (0,0) 𝑥2 =

4𝑝 =

25 25 ↔𝑝= 4 16 25

Titik 𝐹 = (0, 16) 25

Persamaan direktris 𝑦 = − 16 Sketsa Grafik :

2. Gambarlah grafik dari parabola 𝑥 2 − 2𝑥 − 9 = 4𝑦 ! Penyelesaian : 𝑥 2 − 2𝑥 − 9 = 4𝑦 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 1 = 4𝑦 + 9 (𝑥 − 1)2 = 4𝑦 + 9 + 1 5 (𝑥 − 1)2 = 4 (𝑦 + ) 2 5

Puncak Parabola (1, − 2) Parameter : 4𝑝 = 4 ↔ 𝑝 = 1 5

Titik Fokus 𝐹 (1, 1 + (− 2))

3 ↔ 𝐹 (1, − ) 2 Persamaan direktriks g = y = b – p 3 5 = − −1 = − 2 2 3

Persamaan lotus rectumnya 𝑦 = − 2 3. Gambar di bawah menunjukkan penampang dari piringan antena radio. Seorang teknisi telah menempatkan suatu titik pada penampang antena yang terletak 0,75 meter di atas dan 6 meter di kanan dari titik pusatnya. Pada koordinat mana seharusnya teknisi tersebut menempatkan fokus antena tersebut?

Penyelesaian : Berdasarkan gambar di atas, kita tahu bahwa parabola di atas merupakan suatu parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0). Hal ini berarti bahwa persamaan dari parabola tersebut haruslah berbentuk x² = 4py. Karena titik (6, 0,75) terletak pada grafik, maka kita dapat mensubstitusi titik tersebut ke dalam persamaan dan menyelesaikan nilai p: 𝑥 2 = 4𝑝𝑦

Persamaan parabola vertikal, titik pusat (0,0)

62 = 4𝑝(0,75)

subtitusi 6 ke x dan 0,75 ke y

36 = 3𝑝

sederhanakan

𝑝 = 12

hasil

Karena diperoleh p = 12, maka fokus dari parabola tersebut terletak di koordinat (0, 12). Atau dengan kata lain, fokus dari parabola tersebut seharusnya ditempatkan 12 meter di atas titik pusatnya.

4. Salah satu bentuk teknologi yang menggunakan piringan parabolis adalah panel surya. Pada umumnya, sinar matahari yang datang ke panel tersebut dipantulkan ke

fokusnya, dan menghasilkan suhu yang sangat tinggi. Misalkan suatu panel surya memiliki diameter 10 meter dan penampangnya dapat dimodelkan dengan persamaan x² = 50y. Berapakah kedalaman dari panel surya tersebut? Di manakah lokasi dari fokusnya? Penyelesaian : Persamaan x² = 50y merupakan persamaan suatu parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0). Dari persamaan tersebut, kita peroleh p = 50/4 = 12,5 (p > 0). Sehingga grafik dari persamaan tersebut berupa parabola yang terbuka ke atas. Selain itu, kita juga peroleh bahwa koordinat titik fokusnya adalah (0, 50/4), atau dengan kata lain, fokusnya terletak 50/4 meter di atas titik pusatnya. Untuk menentukan kedalaman dari panel surya tersebut, kita selesaikan y untuk x = 10/2 = 5 (diameter dibagi dua). 𝑥 2 = 50𝑦

persamaan awal

52 = 50𝑦

subtitusi 5 ke x

𝑦=

25 50

=

1 2

bagi kedua ruas dengan 50; hasil

Sehingga kedalaman dari panel surya tersebut adalah 0,5 meter. Panel surya parabolis tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

5. Reflektor dari suatu lampu sorot yang berupa piringan parabolis memiliki diameter 120 cm. Berapakah kedalaman dari reflektor tersebut jika penempatan bola lampu yang tepat adalah 11,25 cm di atas titik pusatnya (titik terendah dari piringan)?

Tentukan persamaan yang digunakan oleh teknisi dalam membuat piringan reflektor tersebut! Penyelesaian : Lokasi yang tepat dari bola lampu merupakan lokasi dari fokus parabola. Sehingga lokasi fokusnya 11,25 di atas titik pusat. Jika kita anggap penampang dari reflektor tersebut berupa parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0) yang terbuka ke atas, maka koordinat titik fokusnya adalah (0, 11,25). Artinya, kita peroleh p = 11,25. Sehingga, persamaan dari parabola yang dimaksud adalah x² = 4 ∙ 11,25y atau ekuivalen dengan x² = 45y. Karena diameter reflektornyanya 120 cm, kedalaman dari reflektor tersebut dapat ditentukan dengan menyelesaikan nilai y untuk x sama dengan jari-jari, yaitu x = 120/2 = 60. 𝑥 2 = 45𝑦

persamaan parabola

602 = 45𝑦

subtitusi 60 ke x

𝑦=

3600 45

= 80

bagi kedua ruas dengan 45; hasil

Jadi, kedalaman dari reflektor lampu sorot tersebut adalah 80 cm. Grafik dari pemodelan reflektor tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

C. Parabola yang Terbuka Ke Kiri Jika jarak titik F dan garis g adalah 2p, maka koordinat titik F(-p,0). Dengan demikian persamaan garis g menjadi x = p. Titik P(x,y) terletak pada parabola jika dan hanya jika PF = PQ, dengan Q(p,y)

Y 𝑦 2 = −4𝑝𝑥

Direktriks 𝑥 = 𝑝

P(x.y)

F(-p,0)

Q(p,y)

0

X 𝑔

Dari PF = PQ, maka: √(−𝑝 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 = √(𝑝 − 𝑥)2 + (𝑦 − 𝑦)2 √(−𝑝 − 𝑥)2 + 𝑦 2 = √(𝑝 − 𝑥)2 + 0 ↔ (−𝑝 − 𝑥)2 + 𝑦 2 = (𝑝 − 𝑥)2 ↔ 𝑝2 + 2𝑝𝑥 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑝2 − 2𝑝𝑥 + 𝑥 2 ↔ 𝑦 2 = −4𝑝𝑥

Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(-p,0) didefinisikan dengan persamaan: 𝑦 2 = −4𝑝𝑥 Sebuah parabola dengan puncaknya di (a,b), fokus F(a-p, b), dan persamaan direktriksnya x = a + p yang membuka ke kiri, bila persamaaan parabolanya dalam sistem koordinat X’O’Y’, maka persamaannya adalah: (𝑦′)2 = −4𝑝𝑥′ Dengan mensubtitusikan persamaan 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ′ = 𝑦 − 𝑏 ke dalam persamaan (𝑦 ′ )2 = −4𝑝𝑥′, dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam sistem koordinat XOY, yakni: (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑎)

D. Parabola yang Terbuka Ke Bawah

Jika jarak titik F dan garis g adalah 2p, maka koordinat titik F(0,-p). Dengan demikian persamaan garis g menjadi y = p. Titik P(x,y) terletak pada parabola jika dan hanya jika PF = PQ, dengan Q(x,p)..

Dari PF = PQ, maka: √𝑥 2 + (𝑦 + 𝑝)2 = √(𝑦 − 𝑝)2 ↔ 𝑥 2 + (𝑦 + 𝑝)2 = (𝑦 − 𝑝)2 ↔ 𝑥 2 = −4𝑝𝑦

Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(0,-p) didefinisikan dengan persamaan: 𝑥 2 = −4𝑝𝑦 Sebuah parabola dengan puncaknya di (a,b), fokus F(a, p-b), dan garis direktriksnya y = b + p yang membuka ke bawah, bila persamaaan parabolanya dalam sistem koordinat X’O’Y’, maka persamaannya adalah: (𝑥′)2 = −4𝑝𝑦′ Dengan mensubtitusikan persamaan 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ′ = 𝑦 − 𝑏 ke dalam persamaan (𝑥 ′ )2 = 4𝑝𝑦′, dapat dinyatakan persamaan parabola di dalam sistem koordinat XOY, yakni: (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑏)  Contoh-contoh Soal 1. Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya. Penyelesaian : Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p: 4𝑝 = −12 𝑝=

−12 = −3 4

Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.

2. Tentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola yang diberikan, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktriksnya: x² – 6x + 12y – 15 = 0. Penyelesaian : Karena hanya suku-x yang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalam x dan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran. 𝑥 2 − 6𝑥 − 15 = 0

persamaan yang diberikan

𝑥 2 − 6𝑥 = −12𝑦 + 15

memisah suku x

𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = −12𝑦 + 24

tambahkan dengan 9

(𝑥 − 3)2 = −12(𝑦 − 2)

faktorkan

Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu, semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4p = –12, maka p = –3 (p < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, – 3), dan direktriksnya y = 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilai x dengan 3 dan nilai y dengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, –3 + 2) = (3, –1), dan direktriksnya adalah y = 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah |2p| = 6 satuan (karena |4p| = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (–3, –1) dan (9, –1).

2.3 GARIS SINGGUNG PADA PARABOLA A. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Parabola 1. Parabola dengan puncak (0,0) Syarat garis menyinggung parabola adalah D = 0. Sehingga dari persamaan 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 (𝑚𝑥 + 𝑛)2 = 4𝑝𝑥 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 = 4𝑝𝑥

𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑛𝑥 − 4𝑝𝑥 + 𝑛2 = 0 𝑚2 𝑥 2 + 2(𝑚𝑛 − 2𝑝)𝑥 + 𝑛2 = 0

Substitusi ke rumus diskriminan: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2

𝐷 = (2(𝑚𝑛 − 2𝑝)) − 4𝑚2 𝑛2 𝐷 = 4(𝑚𝑛 − 2𝑝)2 − 4𝑚2 𝑛2 :4 𝐷 = (𝑚𝑛 − 2𝑝)2 − 𝑚2 𝑛2 𝐷 = 𝑚2 𝑛2 − 4𝑝𝑚𝑛 + 4𝑝2 − 𝑚2 𝑛2 𝐷 = −4𝑝𝑚𝑛 + 𝑝2 𝐷 = 4𝑝2 − 4𝑝𝑚𝑛 = 0 (menyinggung) 4𝑝 − 4𝑚𝑛 = 0 4𝑝 4𝑚 𝑝 𝑛= 𝑚 𝑛=

Jadi persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 adalah: 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradient m seperti tabel berikut ini:

No

Persamaan Parabola

1

𝑦 2 = 4𝑝𝑥

2

𝑦 2 = −4𝑝𝑥

3

𝑥 2 = 4𝑝𝑦

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑝𝑚2

4

𝑥 2 = −4𝑝𝑦

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝𝑚2

2. Parabola dengan Puncak (a,b)

Persamaan Garis Singgung 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚

Untuk parabola dengan bentuk umum (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑏). Dengan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke dalam persamaan parabola. (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑏) Subtitusi 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ↔ (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝 (𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑏) ↔ 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = 4𝑝𝑚𝑥 + 4𝑝(𝑛 − 𝑏) ↔ 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 − 4𝑝𝑚𝑥 − 4𝑝(𝑛 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 − 4𝑝𝑚𝑥 + 𝑎2 − 4𝑝(𝑛 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑥 2 + (−2𝑎 − 4𝑝𝑚)𝑥 + 𝑎2 − 4𝑝(𝑛 − 𝑏) = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0 ↔ (−2𝑎 − 4𝑝𝑚)2 − 4.1(−4𝑝(𝑛 − 𝑏)) + 𝑎2 = 0 ↔ 4𝑎2 + 16𝑝𝑚𝑎 + 16𝑝2 𝑚2 + 16𝑝(𝑛 − 𝑏) − 4𝑎2 = 0 ↔ 16𝑝𝑚𝑎 + 16𝑝2 𝑚2 + 16𝑝(𝑛 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑚𝑎 + 𝑝𝑚2 + (𝑛 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑛 = −𝑚𝑎 − 𝑝𝑚2 + 𝑏 Jadi persamaan garis singgung parabola (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑏) diperoleh dengan cara mensubtitusikan nilai 𝑛 = −𝑚𝑎 − 𝑝𝑚2 + 𝑏 pada 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. ↔ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ↔ 𝑦 = 𝑚𝑥 + (−𝑚𝑎 − 𝑝𝑚2 + 𝑏) ↔ 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑎 − 𝑝𝑚2 + 𝑏 ↔ 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑝𝑚2 Untuk p dengan bentuk umum(𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝 (𝑥 − 𝑎) dengan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dapat diperoleh garis singgungnya dengan mensubtitusikan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke dalam persamaan parabola. (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝 (𝑥 − 𝑎) 2

↔ ((𝑚𝑥 + 𝑛) − 𝑏) = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) ↔ (𝑚𝑥 − 𝑛)2 − 2(𝑚𝑥 + 𝑛)𝑏 + 𝑏 2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) ↔ 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑥𝑛 + 𝑛2 − 2𝑚𝑏𝑥 − 2𝑏𝑛 + 𝑏 2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) ↔ 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑛𝑥 − 2𝑚𝑏𝑥 − 4𝑝𝑥 + 4𝑝𝑎 − 2𝑏𝑛 + 𝑛2 + 𝑏 2 = 0

↔ 𝑚2 𝑥 2 + (2𝑚𝑛 − 2𝑚𝑏 − 4𝑝)𝑥 + 4𝑝𝑎 − 2𝑏𝑛 + 𝑛2 + 𝑏 2 = 0 Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0 2

↔ ((2𝑚𝑛 − 2𝑚𝑏) − 4𝑝) − 4𝑚2 (4𝑝𝑎 − 2𝑏𝑛 + 𝑛2 + 𝑏 2 ) = 0 ↔ 4𝑚2 𝑛2 − 8𝑚2 𝑛𝑏 + 4𝑚2 𝑏 2 − 16𝑚𝑛𝑝 + 16𝑚𝑏𝑝 + 16𝑝2 − 16𝑚2 𝑝𝑎 + 8𝑚2 𝑏𝑛 − 4𝑚2 𝑛2 − 4𝑚2 𝑏 2 = 0 ↔ −16𝑚𝑛𝑝 + 16𝑚𝑏𝑝 + 16𝑝2 − 16𝑚2 𝑝𝑎 = 0 ↔ −𝑚𝑛 + 𝑚𝑏 + 𝑝 − 𝑚2 𝑎 = 0 ↔ −𝑚𝑛 = −𝑚𝑏 + 𝑚2 𝑎 − 𝑝 ↔ 𝑚𝑛 = 𝑚𝑏 − 𝑚2 𝑎 + 𝑝 𝑝 ↔ 𝑛 = −𝑚𝑎 + 𝑏 + 𝑚 Subtitusi nilai n pada persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑎 + 𝑏 +

𝑝 𝑚

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) +

𝑝 𝑚

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini: No

Persamaan Parabola

Persamaan Garis Singgung 𝑝 (𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑚 𝑝 (𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑚

1

(𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎)

2

(𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑎)

3

(𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑝𝑚2

4

(𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑏)

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑝𝑚2

 Contoh Soal Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦 2 = Penyelesaian : 𝑦2 =

4 3

4

𝑥, maka 4𝑝 = 3, sehingga 𝑝 =

Gradien = 2, maka m = 2 Persamaan garis singgungnya adalah :

1 3

4 3

𝑥 dengan gradient sama dengan 2.

𝑦 = 𝑚𝑥 +

𝑝 𝑚

1 ↔ 𝑦 = 2𝑥 + 3 2 1 ↔ 𝑦 = 2𝑥 + 6 B. Persamaan garis singgung pada parabola dengan titik singgung T (x1, x2) Y l P(x, y) X y = -p

Pada gambar 3 tampak garis l melalui titik P(x,y) terlatak pada parabola x2 = 4py. Persamaan garis l adalah: 𝑦 – 𝑦1 = 𝑚(𝑥 – 𝑥1) dengan m adalah gradien garis l melalui P(x1, y1) yang terletak pada parabola 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 maka 𝑚 = (dibaca m sama dengan turunan y terhadap 𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 𝑥1) Perhatikan persamaan parabola 𝑥 2 = 4𝑝𝑦! 𝑥2 𝑥2 = 4𝑝𝑦 ↔ 𝑥 = 4𝑝

↔ Jadi, 𝑚 =

𝑥1 2𝑝

𝑦 – 𝑦1 =

↔

𝑑𝑦 𝑥2 = 𝑑𝑥 4𝑝

↔

𝑑𝑦 𝑥 = 𝑑𝑥 2𝑝

𝑑𝑦 𝑥1 |𝑥 = 𝑥1 = 𝑑𝑥 2𝑝

. Ini berarti persamaan garis l adalah : 𝑥1 (𝑥 – 𝑥1 ) 𝑎𝑡𝑎𝑢 2𝑝𝑦 – 2𝑝𝑦1 = 𝑥1 𝑥 – 𝑥12 2𝑝

𝑑𝑦 𝑑𝑥

| x = x1

↔ 2𝑝𝑦 – 2𝑥1 𝑥 – 𝑝𝑦1 + 𝑥12 = 0 Karena titik P(x1y1) terletak di parabola 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 maka 𝑥12 = 4py1 Jadi, persamaan garisl dapat dinyatakan dalam bentuk : 2𝑝𝑦 – 2𝑝𝑦1 = 𝑥1 𝑥 – 4𝑝𝑦1 ↔ 2𝑝𝑦 – 𝑥1 𝑥 – 2𝑝𝑦1 + 4𝑝𝑦1 = 0 ↔ 2𝑝𝑦 – 𝑥1 𝑥 + 2𝑝𝑦1 = 0 ↔ 2𝑝(𝑦 + 𝑦1 ) = 𝑥1 𝑥 ↔ 𝑦 + 𝑦1 =

1 𝑥 𝑥 2𝑝 1

Jadi, persamaan garis singgung parabola x2 = 4py di titik P(x1,y1) adalah : 𝑥1 𝑥 𝑦 + 𝑦1 = 2𝑝  Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung pada parabola x2 = 8y yang melalui titik (4,2)!

Penyelesaian : Titik (4,2) terletak pada parabola x2 = 8y. Dari persamaan parabola diperoleh p = 2, maka 2p = 4. Persamaan garis singgung parabola yang melalui titik (4,2) adalah : 𝑦 + 2 =

4𝑥 4

↔ 𝑦– 2 = 𝑥 ↔ 𝑥– 𝑦 = 2

C. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik Diluar Parabola  Contoh Soal Tentukan persamaan garis yang melalui garis singgung parabola y2 = 4x yang melalui titik (2,3)! Penyelesaian : Titik (2,3) terletak di luar parabola 𝑦 2 = 4𝑥 karena 32 > 4.2 𝑎𝑡𝑎𝑢 9 > 8. Misalkan, gradien garis singgung parabola tersebut adalah m maka persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 − 3 = 𝑚(𝑥 − 2) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 2) + 3.

Jika persamaannya 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 2) + 3, kita substitusikan ke 𝑦 2 = 4𝑥, maka didapat: 𝑚((𝑥 − 2) + 3)2 = 4𝑥 𝑚2 (𝑥 − 22 ) + 6𝑚(𝑥 − 2) + 9 = 4𝑥 𝑚2 (𝑥 2 − 4𝑥 + 4) + 6𝑚𝑥 – 12𝑚 + 9 = 4𝑥 𝑚2 𝑥 2 – 4𝑚2 𝑥 + 4𝑚2 + 6𝑚𝑥 – 12𝑚 + 9 – 4𝑥 = 0 𝑚2 𝑥 2 – (𝑚2 – 𝑚 + 1)4𝑥 + 4𝑚2 – 8𝑚 + 4 = 0

Diskriminan dari persamaan kuadrat itu adalah: 𝐷 = [(𝑚2 – (𝑚 – 1))]2 – 4𝑚2 (4𝑚2 – 8𝑚 + 4) = 0 = 16(𝑚4 2𝑚2 (𝑚 – 1) + (𝑚 – 1)2 ) − 16𝑚4 + 32𝑚3 – 16 𝑚2 = 16𝑚4 – 32𝑚3 + 16𝑚2 + 16𝑚2 – 32𝑚 + 16 – 16𝑚 + 32𝑚3 – 16𝑚2 = 16𝑚2 – 32𝑚 + 16

Garis 𝑦 – 3 = 𝑚(𝑥 – 2) menyinggung parabola 𝑦 2 = 4𝑥 Maka haruslah D = 0. Jadi, 16𝑚2 – 32𝑚 + 16 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 – 2𝑚 + 1 = 0 (𝑚 − 1)2 = 0 𝑚 = 1 ini berarti persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 – 3 = 1(𝑥 – 2) atau 𝑦 – 1 = 1, dan gambarnya seprti pada gambar 4 berikut : 𝑦– 𝑥 = 1

Y (2, 3) 3

X 2 𝑦 2 = 4𝑥 𝑥 = −1