Bab I-fungsi New.docx

BAB I FUNGSI

A. Definisi Fungsi adalah hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat. Dalam sistem salib sumbu, variabel bebas dinyatakan pada bidang datar sedangkan untuk variabel terikat dinyatakan pada bidang tegak. Selanjutnya bidang datar ini disebut sumbu x dan bidang tegak disebut sumbu y. Secara matematika dinyatakan dalam bentuk : 𝒚 = 𝒇 (𝒙) Berdasarkan uraian-uraian diatas dapat dibuat dalam suatu kurva (grafik) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.1

Gambar 1.1 Ilustrasi Hubungan Antara Variabel Terikat Dengan Variabel Bebas

I-1

B. Jenis-jenis Fungsi Secara umum fungsi dapat dikelompokkan atas 2 (dua) bagian, yaitu fungsi aljabar dan fungsi transenden : 1. Fungsi aljabar (fungsi pangkat), yaitu : 1.1 Fungsi konstanta 1.2 Fungsi linier 1.3 Fungsi kuadrat 1.4 Fungsi polinomial 1.5 Fungsi pecah 2. Fungsi transenden yang terdiri atas : 2.1 Funsi logaritma 2.2 Fungsi eksponensial 2.3 Fungsi trigonometri 2.4 Fungsi invers trigonometri 2.5 Fungsi hiperbolik 2.6 Funsi invers hiperbolik

C. Fungsi Aljabar 1.1 Fungsi konstanta Bentuk umum persamaan fungsi konstanta dapat ditulis sebagai berikut : 𝒚 = 𝒇 (𝒙) = 𝒌 dimana : k = konstanta Persamaan fungsi konstanta ini jika digambarkan pada salib sumbu akan berupa garis lurus yang sejajar dengan bidang tegak (sumbu y). Ada 3 (tiga) kemungkinan bentuk garis lurusnya, yaitu : 1. Untuk harga k = 0, maka garis lurus akan berhimpit dengan sumbu y. 2. Untuk harga k > 0, maka garis lurus akan berada pada sebelah kanan sumbu. 3. Untuk harga k < 0, maka garis lurus akan berada di sebelah kiri sumbu.

I-2

Gambar 1.2 memperlihatkan bentuk ketiga garis lurus dari fungsi konstanta tersebut

Gambar 1.2 Bentuk-bentuk Grafik Fungsi Konstanta

1.2 Fungsi Linier Bentuk umum persamaan fungsi linier ini dapat ditulis sebagai berikut : 𝒚 = 𝒇 (𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝒙 dimana : a dan b = konstanta : b ≠ 0 Persamaan fungsi linier ini jika digambarkan pada sumbu akan berupa garis lurus. Bentuk grafik garis lurusnya terdiri atas 6 (enam) kemungkinan, yaitu seperti yang terlihat pada Gambar 1.3.

I-3

Gambar 1.3 Bentuk-bentuk Grafik Fungsi Linier

1.3 Fungsi kuadrat Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat dapat ditulis sebagai : 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 a, b, dan c = konstanta : a ≠ 0 Bentuk persamaan fungsi kuadrat di atas, jika digambarkan pada sumbu akan berupa suatu lengkungan yang disebut parabola. Bentuk bentuk kurva parabola ini dapat ditentukan berdasarkan nilai-nilai dari diskriminasi (D) dan konstanta a, b dan c.

I-4

𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Berdasarkan kriteria harga diskriminannya terdapat 3 (tiga) bentuk kurva parabola, yaitu : 1. D = 0 ; parabola memotong sumbu x pada 1 titik. 2. D > 0 ; parabola memotong sumbu x pada 2 titik. 3. D < 0 ; parabola tidak akan memotong sumbu x Sedangkan berdasarkan harga-harga konstan a, b dan c akan terdapat 4 (empat) bentuk parabola, yaitu : 1. Parabola akan membuka keatas , jika harga a > 0 2. Parabola akan membuka kebawah, jika harga a < 0 3. Parabola akan simetris, jika b = c = 0 atau b =0 4. Parabola tidak simetris, jika b = c ≠ 0 atau b ≠ 0 Gambar 1.4 adalah contoh-contoh bentuk kurva parabola untuk fungsi kuadrat

Gambar 1.4 Contoh Bentuk Kurva Fungsi Kuadrat

I-5

1.4 Fungsi polimonial

Fungsi polimonial disebut juga sebagai fungsi pangkat tinggi, dimana bentuk umumnya dapat ditulis sebagai :

𝒚 = 𝒂𝒙𝒎 + 𝒃𝒙𝒎−𝟏 + 𝒄𝒙𝒎−𝟐 + ⋯ m = bilangan bulat positif dan m > 2

Contoh : 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 Bentuk sketsa untuk persamaan di atas seperti diperlihatkan pada gambar 1.5

Gambar 1.5 Kurva Fungsi Polinomial 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒

I-6

1.5 Fungsi pecah

Fungsi pecah dapat dibagi atas 2 (dua) bagian, yaitu : 1.5.1

Fungsi rasional Fungsi ini merupakan perbandingan antar fungsi konstanta, fungsi linier, fungsi kuadrat dan fungsi polynomial

Contoh : 1. 𝒚 = 2. 𝒚 =

𝟏 𝒙 𝟐−𝒙 𝟑+𝒙

Sketsa kedua kurva pada contoh diatas seperti diperlihatkan pada gambar 1.6.

Gambar 1.6 Contoh Kurva Fungsi Rasional

I-7

1.5.2

Fungsi irrasional Fungsi ini merupakan fungsi pecah dimana unsur dari variabel bebas mengandung pangkat bilangan pecahan. Contoh : 1. 𝒚 = √𝒙 2. 𝒚 = √𝟏 − 𝒙𝟐 Sketsa kedua contoh fungsi irrasional ini seperti terlihat pada gambar 1.7

Gambar 1.7 Contoh Kurva Fungsi Irrasional

D. Fungsi Transenden 2.1 Fungsi Logaritma dan Eksponensial Fungsi logaritma dan eksponensial termasuk jenis kurva hiperbolik. Bentuk sederhana dari jenis fungsi ini, yaitu : 1. 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙 ; 𝒙 > 0 2. 𝒚 = 𝒆𝒙 ; 𝒆 = 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒆𝒌𝒔𝒑𝒐𝒏𝒆𝒔𝒊𝒂𝒍 3. 𝒚 = 𝒂𝒙 ; 𝟎 > 𝒂 > 1

I-8

Gambar 1.8 merupakan bentuk kurva ketiga dari persamaan sederhana fungsi logaritma dan eksponensial.

Gambar 1.8 Bentuk Kurva Fungsi Logaritma dan Eksponensial Sifat-sifat fungsi logaritma dan eksponensial 1. 𝐥𝐧 𝒂𝒃 = 𝐥𝐧 𝒂 + 𝐥𝐧 𝒃 𝒂

2. 𝐥𝐧 𝒃 = 𝐥𝐧 𝒂 − 𝐥𝐧 𝒃

4. 𝐥𝐧 𝟏 = 𝟎 5. 𝐥𝐧 𝒆 = 𝟏

3. 𝐥𝐧 𝒂𝒃 = 𝒃 𝐥𝐧 𝒂

Contoh-contoh aplikasi sifat-sifat fungsi logaritma dan eksponensial 1. 𝒚 = 𝒆𝐥𝐧 𝒙 → 𝐥𝐧 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒆𝐥𝐧 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 𝐥𝐧 𝒆 = 𝐥𝐧 𝒙 ⇒𝒚=𝒙 Jadi :

𝒚 = 𝒆𝐥𝐧 𝒙 = 𝒙

2. 𝐉𝐢𝐤𝐚 ; 𝐥𝐧 𝟐 = 𝒑 𝒅𝒂𝒏 𝐥𝐧 𝟓 = 𝒒 𝐦𝐚𝐤𝐚 ∶ 𝐥𝐧 𝟏𝟎𝟎 = 𝐥𝐧 𝟒 · 𝟐𝟓 = 𝐥𝐧 𝟒 + 𝐥𝐧 𝟐𝟓 = 𝐥𝐧 𝟐𝟐 + 𝐥𝐧 𝟓𝟐 = 𝟐 (𝐥𝐧 𝟐 + 𝐥𝐧 𝟓) = 𝟐 (𝒑 + 𝒒)

I-9

2.2Fungsi trigonometri 2.2.1

Definisi Fungsi trigonometri dikenal juga sebagai fungsi segitiga. Bentuk umum fungsi ini dapat dinyatakan sebagai berikut : 𝒚 = 𝒇 (𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙, 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙, 𝐭𝐚𝐧 𝒌𝒙, 𝐜𝐨𝐭 𝒌𝒙, 𝐬𝐞𝐜 𝒌𝒙, 𝐜𝐬𝐜 𝒌𝒙) 𝒌 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂 Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini :

Sisi tegak = a Sisi datar = b Sisi miring = c (𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ) kx =sudut kemiringan

1. 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙 = 2. 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 = 3. 𝐭𝐚𝐧 𝒌𝒙 = 4. 𝐜𝐨𝐭 𝒌𝒙 = 5. 𝐬𝐞𝐜 𝒌𝒙 = 6. 𝐜𝐬𝐜 𝒌𝒙 =

𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒈𝒂𝒌 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒅𝒂𝒕𝒂𝒓 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈

𝒂

=

𝒄

𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒈𝒂𝒌

𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒅𝒂𝒕𝒂𝒓

=

𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒅𝒂𝒕𝒂𝒓 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒈𝒂𝒌

𝒂⁄ 𝒄 𝒃⁄ 𝒄

= 𝒃 𝒃

=

𝒂

= =

𝒄 𝒂

= 𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒅𝒂𝒕𝒂𝒓

𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒈𝒂𝒌

𝒃

=

𝒄 𝒃 𝒄

𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒌𝒙

=

= 𝒂

𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙

=

𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙

=

𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙

Berdasarkan definisi diatas dapat diketahui bahwa : 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙

1. 𝐭𝐚𝐧 𝒌𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 2. 𝐜𝐨𝐭 𝒌𝒙 = 3. 𝐬𝐞𝐜 𝒌𝒙 = 4. 𝐜𝐬𝐜 𝒌𝒙 =

𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒌𝒙

=

𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙

Sehingga untuk harga 𝒌 = 𝟏 akan didapatkan

I-10

1. 𝐭𝐚𝐧 𝐱 = 2. 𝐜𝐨𝐭 𝐱 = 3. 𝐬𝐞𝐜 𝐱 = 4. 𝐜𝐬𝐜 𝐱 =

𝐬𝐢𝐧 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟏

= 𝐭𝐚𝐧 𝐱

𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝐱

Selanjutnya juga akan didapatkan bahwa : 1. 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒌𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒌𝒙 = 𝟏 2. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒌𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒌𝒙 3. 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒌𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒌𝒙 Dan untuk 𝒌 = 𝟏, maka : 4. 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 5. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 6. 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙 Bukti Dari definisi tersebut dapat diketahui bahwa : 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝒌𝒙 = 𝟐 + 𝟐 = 𝒄 𝒃 𝒄𝟐 𝟐

𝟐

Karena 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 , maka terbukti 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒌𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒌𝒙 = 𝟏 Selanjutnya, jika dibagi dengan 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒌𝒙 atau 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒌𝒙 masing-masing akan didapatkan : 𝐚.

𝟏+

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒌𝒙 𝟏 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐤𝐱

𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒌𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒌𝒙

𝐛.

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒌𝒙 𝟏 + 𝟏= 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒌𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒌𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒌𝒙 + 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒌𝒙

I-11

Bentuk kurva fungsi trigonometri untuk 𝒔𝒊𝒏 𝒙 dan 𝒄𝒐𝒔 𝒙 adalah seperti terlihat pada Gambar 1.9 tersebut akan diketahui bahwa : 1. 𝒔𝒊𝒏(−𝒙) = −𝒔𝒊𝒏𝒙 2. 𝒄𝒐𝒔(−𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Gambar 1.9 Kurva SinX dan CosX

2.2.2 Bentuk-bentuk rumus identitas Dengan cara menggunakan sudut-sudut istimewa dapat dibuktikan bahwa : 1. 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 2. 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 3. 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 4. 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 Berdasarkan keempat identitas di atas dan definisi dari fungsi trigonometri dapat diturunkan bahwa : 𝐭𝐚𝐧 𝒙+𝐭𝐚𝐧 𝒚

5. 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝐭𝐚𝐧 𝒙−𝐭𝐚𝐧 𝒚

6. 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚

I-12

Dan jika dilakukan operasi penjumlahan serta pengurangan akan didapatkan : 7. 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) + 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 8. 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 9. 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 10. 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) − 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = −𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 2.2.3 Bentuk-bentuk identitas istimewa Lihatlah ketiga bentuk identitas dibawah ini : 1. 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 2. 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐭𝐚𝐧 𝒙+𝐭𝐚𝐧 𝒚

3. 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝟏

Jika : 𝒙 = 𝒚 = 𝟐 𝒌𝒙, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒅𝒊𝒅𝒂𝒑𝒂𝒕𝒌𝒂𝒏 ∶ 𝟏 𝟏 𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐. 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒌𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒌𝒙 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒌𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒌𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒌𝒙 𝟑. 𝐭𝐚𝐧 𝒌𝒙 = 𝟏 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟐 𝒌𝒙 Sehingga untuk harga k = 1 dan k = 2 akan didapatkan 1. 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 2. 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 𝟏 𝟏 𝟒. 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟓. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟐 𝟔. 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝟏 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟐 𝒙 𝟑. 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 =

I-13

Contoh-contoh soal 1. Jika : 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒑 . Hitunglah : (𝐚). 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝒙 dan (b). 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒙 Jawab : 𝐚. 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝒙 =

𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟐𝒙

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ∎ 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 = = = 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝒙𝟐 𝟏− 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 =

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 √𝟏 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟐𝒑√𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟏 − 𝟐𝒑𝟐

∎𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟐𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝒙 =

𝟒𝒑𝟐 (𝟏 − 𝒑𝟐 ) (𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )𝟐 − 𝟒𝒑𝟐 (𝟏 − 𝒑𝟐 ) = (𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )𝟐 (𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )𝟐

𝟏 − 𝟒𝒑𝟐 + 𝟒𝒑𝟒 − 𝟒𝒑𝟐 + 𝟒𝒑𝟒 𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 = (𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )𝟐 (𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )𝟐

(𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )𝟐 𝟒𝒑√𝟏 − 𝒑𝟐 · 𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒

𝟒𝒑(𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )√𝟏 − 𝒑𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝒙 = 𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 𝐛. 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒙 = 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙 + 𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 

𝐬𝐢𝐧 𝟒𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝟐(𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙)(𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙) = 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙)



𝐬𝐢𝐧 𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙(𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙) = 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝒙 (𝟏 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙)(𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙) = 𝟒𝒑(𝟏 − 𝒑𝟐 )(𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 )



𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝟐(𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙)𝟐 = 𝟏 − 𝟖 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝟖 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙(𝟏 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙) = 𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 (𝟏 − 𝒑𝟐 )



𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒑(𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 )

𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒙 = 𝟒𝒑 (𝟏 − 𝒑𝟐 )(𝟏 − 𝟐𝒑𝟐 ) + 𝒑(𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 ) = 𝟒𝒑(𝟏 − 𝟑𝒑𝟐 + 𝟐𝒑𝟒 ) + 𝒑(𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 ) = 𝒑(𝟒 − 𝟏𝟐𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 + 𝟏 − 𝟖𝒑𝟐 + 𝟖𝒑𝟒 ) = 𝒑(𝟓 − 𝟐𝟎𝒑𝟐 + 𝟏𝟔𝒑𝟒 )

I-14

2. Hitunglah (tanpa alat bantu hitung) untuk : 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 Jawab : 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟎 = − (𝐜𝐨𝐬(𝟓𝟎𝟎 + 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝟎 ) − 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 )) 𝟐 𝟏 = − (𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎𝟎 − 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟎𝟎 ) 𝟐 𝟏 𝟏 = − ( − 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟎𝟎 ) 𝟐 𝟐 𝟏 = − (𝟏 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟎𝟎 ) 𝟒 𝟏 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 = − 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 + · 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟎𝟎 𝟒 𝟒 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟎𝟎 = 𝐬𝐢𝐧(𝟕𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝟎 ) + 𝐬𝐢𝐧(𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 ) = 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟎𝟎 + 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎𝟎 𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 = − 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 + + 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝟖 𝟒 =

𝒌𝒂𝒓𝒆𝒏𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 = 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟎𝟎 , 𝒎𝒂𝒌𝒂 ∶ 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟎𝟎 =

𝟏 𝟖

2.3 Fungsi Invers Trigonometri 2.3.1 Definisi Fungsi invers dikenal juga sebagai fungsi arcus, dimana untuk fungsi invers trigonometri didefinisikan sebagai berikut : 1. 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒚 2. 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒚 3. 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 4. 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝐜𝐨𝐭 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭 𝒚 5. 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝒚 6. 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝐜𝐬𝐜 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 −𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 𝒚

2.3.2 Bentuk identitas Dengan memanfaatkan rumus-rumus dasar fungsi trigonometri akan dapat bentuk-bentuk identitas dari fungsi invers trigonometri :

I-15

1. 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒚  Cara ke 1 𝝅 𝝅 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 ( − 𝒚) → − 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙 𝟐 𝟐 𝝅 𝒚 = − 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙 𝟐  Cara ke 2 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 −𝟏

𝟏 𝟏 → 𝐜𝐬𝐜 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒚 𝒙

𝟏 𝒙

𝐣𝐚𝐝𝐢 ∶ 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 −𝟏

𝟏 𝝅 = − 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙 𝒙 𝟐 𝟏

2. 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒚 𝟏 𝟏 ⇒ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 𝒙 𝒙 𝟏 𝝅 𝐣𝐚𝐝𝐢 ∶ 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 = − 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 𝒙 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝒚 =

3. 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 → 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚 

Cara ke-1

𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 = 

𝟏 𝟏 𝟏 ⇒ 𝐜𝐨𝐭 𝒚 = ⇒ 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 𝐜𝐨𝐭 𝒚 𝒙 𝒙

Cara ke-2

𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 = √𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒚 − 𝟏 ⇒ 𝐬𝐞𝐜 𝒚 = √𝟏 + 𝒙𝟐 ⇒ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 √𝟏 + 𝒙𝟐 

Cara ke-3 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒚 =

𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐬𝐢𝐧(−𝒚) → −𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝐜𝐨𝐬(−𝒚)

−𝒙 = 𝐭𝐚𝐧(−𝒚) ⇒ − 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (−𝒙) 𝒚 = − 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (−𝒙) 𝐣𝐚𝐝𝐢 ∶ 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 = − 𝐭𝐚𝐧−𝟏(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐭 −𝟏

𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 √𝟏 + 𝒙𝟐 𝒙

Dengan cara yang sama akan didapatkan :

I-16

𝟏 𝝅 𝟏. 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) = − 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐. 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 ( ) 𝒙

𝟏 𝟑. 𝐜𝐬𝐜 −𝟏 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 ( ) 𝒙

2.3.3 Bentuk-bentuk kurva

Gambar 1.10 Kurva Fungsi Invers Trigonometri

I-17

2.3.4 Penyederhanaan bentuk persamaan 1.

Misalkan :𝒚 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 (𝐬𝐢𝐧 𝒙) Maka : 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒚 ⇒ 𝒚 = 𝒙 Berdasarkan permisalan di atas maka : 1. 𝐬𝐢𝐧−𝟏 (𝐬𝐢𝐧 𝒙) = 𝒙 2. 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 (𝐜𝐨𝐬 𝒙) = 𝒙 3. 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝐭𝐚𝐧 𝒙) = 𝒙 4. 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 (𝐜𝐨𝐭 𝒙) = 𝒙 5. 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 (𝐬𝐞𝐜 𝒙) = 𝒙 6. 𝐜𝐬𝐜 −𝟏 (𝐜𝐬𝐜 𝒙) = 𝒙

𝟐. 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (

𝟏+𝒙 𝟐+𝒙 ) + 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( )= 𝒙 𝟑

Misalkan : A + B = C, dimana : 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝑨 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( )→ = 𝐭𝐚𝐧 𝑨 𝟐 𝟐 𝟐+𝒙 𝟐+𝒙 𝑩 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( )→ = 𝐭𝐚𝐧 𝑩 𝟑 𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝑨 + 𝐭𝐚𝐧 𝑩 𝐭𝐚𝐧 𝑪 = 𝐭𝐚𝐧(𝑨 + 𝑩) = 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝑩 𝟏+𝒙 𝟐+𝒙 ( 𝟐 )+( 𝟑 ) 𝟑(𝟏 + 𝒙) + (𝟐 + 𝒙)𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝑪 = = 𝟏+𝒙 𝟐+𝒙 𝟔 − (𝟏 + 𝒙)(𝟐 + 𝒙) 𝟏 − ( 𝟐 )( 𝟑 ) 𝟕 + 𝟓𝒙 𝟕 + 𝟓𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝑪 = → 𝑪 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) 𝟐 𝟒 − 𝟑𝒙 − 𝒙 𝟒 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 Jadi : 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (

𝟏+𝒙 𝟐+𝒙 𝟕 + 𝟓𝒙 ) + 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) 𝟐 𝟑 𝟒 − 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐

I-18

2.4 Fungsi hiperbolik 2.4.1 Definisi 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 𝟏. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 = 𝟐 𝒙 𝒆 + 𝒆−𝒙 𝟐. 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝟑. 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝟒. 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝟏 𝟓. 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝟏 𝟔. 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 2.4.2

Bentuk identitas 1.

Berdasarkan definisi-definisinya akan didapatkan : 𝟏. 𝐬𝐢𝐧𝐡 (−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝟐. 𝐜𝐨𝐬𝐡 (−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝟑. 𝐭𝐚𝐧𝐡 (−𝒙) = − 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 𝟒. 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟓. 𝐭𝐚𝐧 𝒉𝟐 𝒙 + 𝐬𝐞𝐜 𝒉𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟔. 𝐜𝐨𝐭 𝒉𝟐 𝒙 − 𝐜𝐬𝐜 𝒉𝟐 𝒙 = 𝟏

2. Jika dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan akan didapatkan : 𝟏. 𝐬𝐢𝐧𝐡 (𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 + 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 𝟐. 𝐬𝐢𝐧𝐡 (𝒙 − 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 − 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 𝟑. 𝐜𝐨𝐬𝐡 (𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 𝟒. 𝐜𝐨𝐬𝐡 (𝒙 − 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 𝟓. 𝐭𝐚𝐧𝐡 (𝒙 + 𝒚) =

𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 + 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙−𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚

7. 𝐭𝐚𝐧𝐡 (𝒙 − 𝒚) = 𝟏−𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 3.

Berdasarkan butir (2) akan didapatkan : 𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝒉(𝒙 + 𝒚) + 𝐬𝐢𝐧 𝒉(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒚 𝟐. 𝐬𝐢𝐧 𝒉(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐢𝐧 𝒉(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝒚

I-19

𝟑. 𝐜𝐨𝐬 𝒉(𝒙 + 𝒚) + 𝐜𝐨𝐬 𝒉(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒚 𝟒. 𝐜𝐨𝐬 𝒉(𝒙 + 𝒚) − 𝐜𝐨𝐬 𝒉(𝒙 − 𝒚) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝒚 4. Untuk 𝒚 = 𝒙 akan didapatkan : 𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝟐𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒙 𝟐. 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝟐𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝟐 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝟐 𝒙 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝟐 𝒙 − 𝟏 𝟑. 𝐭𝐚𝐧 𝒉𝟐𝒙 =

𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒉𝒙 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝒉𝟐 𝒙

I-20

2.4.3 Bentuk-bentuk kurva fungsi hiperbolik

GAMBAR 1.11 KURVA sinx, coshx, tanhx , cothx, sechx DAN cschx

I-21

2.5Fungsi invers hiperbolik

2.5.1 Definisi 𝟏. 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 𝟐. 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 𝟑. 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 𝟒. 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒚 𝟓. 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒚 𝟔. 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒚 2.5.2 Penjelasan 1. 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 Cara ke-1 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 =

𝟏 𝟏 → 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒚 𝒙

𝟏 𝒂𝒕𝒂𝒖 ∶ 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜𝐡−𝟏 ( ) 𝒙 Cara ke-2 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 =

𝒆𝒚 − 𝒆−𝒚 𝒆𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟐 𝟐𝒆𝒚

𝒆𝟐𝒚 − 𝟐𝒙 𝒆𝒚 − 𝟏 = 𝟎 𝒆𝒚 =

𝒙 ± √𝟒𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐

⇒ 𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 ) Cara ke-3 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 = √𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝒚 − 𝟏 → 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 = √𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬𝐡−𝟏 √𝟏 + 𝒙𝟐 𝐣𝐚𝐝𝐢 ∶ 𝟏 𝐬𝐢𝐧𝐡−𝟏 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜𝐡−𝟏 ( ) = 𝐥𝐧 (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 ) = 𝐜𝐨𝐬𝐡−𝟏 √𝟏 + 𝒙𝟐 𝒙

I-22

2. 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 Cara ke-1 𝟏

𝟏

𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒚 → 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒚 = 𝒙

𝟏

⇒ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜𝐡−𝟏 (𝒙)

Cara ke-2 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 =

𝒆𝒚 + 𝒆−𝒚 𝒆𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟐 𝟐𝒆𝒚

𝒆𝟐𝒚 − 𝟐 𝒙 𝒆𝒚 + 𝟏 = 𝟎 𝒆𝒚 =

𝟐𝒙±√𝟒𝒙𝟐 −𝟒 𝟐

= 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟏 ⇒ 𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏)

Cara ke-3 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒚 = √𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒉 𝒚 → 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒚 = √𝒙𝟐 − 𝟏 ⇒ 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝐣𝐚𝐝𝐢 ∶ 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐡−𝟏 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜𝐡−𝟏 ( ) = 𝐥𝐧 (𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝐬𝐢𝐧𝐡−𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙

3. 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧𝐡−𝟏 𝒙 → 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 Cara ke-1 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 =

𝟏 𝟏 → 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒚 𝒙

𝟏 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝐡−𝟏 ( ) 𝒙 Cara ke-2 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 =

𝒆𝒚 − 𝒆−𝒚 𝒆𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝒆𝒚 + 𝒆−𝒚 𝒆𝟐𝒚 + 𝟏

𝒙(𝒆𝟐𝒚 + 𝟏) = 𝒆𝟐𝒚 − 𝟏 𝟏 + 𝒙 = (𝟏 − 𝒙)𝒆𝟐𝒚 → 𝒆𝟐𝒚 =

𝟏+𝒙 𝟏−𝒙

𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝟏 𝟏+𝒙 𝒆𝒚 = √ → 𝒚 = 𝐥𝐧 √ = 𝐥𝐧 ( ) 𝟏−𝒙 𝟏−𝒙 𝟐 𝟏−𝒙 𝒚=

𝟏 𝟏+𝒙 𝐥𝐧 ( ) 𝟐 𝟏−𝒙

I-23

Cara ke-3 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 = √𝟏 − 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒚 → 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒚 = √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜𝐡−𝟏 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝐉𝐚𝐝𝐢 ; 𝟏 𝟏 𝟏+𝒙 𝐭𝐚𝐧𝐡−𝟏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭𝐡−𝟏 ( ) = 𝐥𝐧 ( ) = 𝐬𝐞𝐜𝐡−𝟏 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙 𝟐 𝟏−𝒙

Dengan cara yang sama akan didapatkan : 𝟏

𝟏

𝒙+𝟏

4. 𝐜𝐨𝐭𝐡−𝟏 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡−𝟏 (𝒙) = 𝟐 𝐥𝐧 (𝒙−𝟏) = 𝐜𝐬𝐜𝐡−𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏

5. 𝐬𝐞𝐜𝐡−𝟏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡−𝟏 (𝒙) = 𝐥𝐧(𝟏 + √𝟏 − 𝒙𝟐 ) 𝟏

6. 𝐜𝐬𝐜𝐡−𝟏 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡−𝟏 (𝒙) = 𝐥𝐧(𝟏 + √𝟏 − 𝒙𝟐 )

I-24