Bab I-1-1.docx

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Proses estimasi merupakan peristiwa yang dialami oleh setiap orang dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, bila kita menyeberang jalan dan melihat ada kendaraan yang akan lewat maka kita membuat estimasi tentang kecepatan kendaraan, lebar jalan, dan kecepatan kita untuk membuat keputusan. Teori estimasi memegang peran yang sangat penting dalam statistika inferensial karena teori estimasi bersama-sama dengan pengujian hipotesis merupakan dasar statistika inferensial yang dilandasi oleh teori peluang. Di bidang gizi, teori estimasi digunakan untuk menaksirkan banyaknya penderita masalah gizi tertentu dimasa yang akan datang, menaksirkan jumlah pengunjung atau menaksir prognosa suatu penyakit, dan lain-lain. Demikianlah teori estimasi harus di pelajari didalam statistika dengan yang harus di ketahui terlabih dahulu yaitu estimator, titik estimasi, dan interval estimasi. B. Rumusan Masalah a.

Apa yang dimaksud dengan estimasi?

b.

Apa jenis estimasi?

c.

Apa ciri-ciri Estimasi yang baik?

C. Tujuan Masalah a.

Untuk mengetahui tentang Estimasi

b.

Untuk mengetahui jenis-jenis Estimasi

c.

Untuk mengetahui ciri estimasi yang baik

D. Manfaat Masalah A. Dapat mengetahu apa yang dimaksud dengan estimasi B.

Dapat mengetahui dengan jelas jenis dari estimasi

C.

Dapat mengenali estimasi yang baik dalam statistik

1

BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian dan Prosedur Estimasi Estimasi merupakan suatu metode dimana kita dapat memperkirakan nilai Populasi dengan memakai nilai sampel. Melakukan estimasi berarti menaksir keadaan parameter dengan menggunakan statistik. Dari sebuah populasi dapat diperoleh berbagai macam parameter, demikian juga dari suatu sampel juga dapat dihitung berbagai statistiknya. Oleh karena itu dengan sebuah sampel kita dapat menaksir berbagai macam parameter. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa statistik penaksir itu harus sejenis dengan parameternya. Pada umumnya estimasi parameter menempuh langkah-langkah : 1. Menetapkan besaran parameteryangakan diestimasi 2. Memilih kerangka estimasi, yaitu distribusi sampling yang sejenis dengan besaran parameter yang akan diestimasi. 3. Menentukan taraf kepercayaan 4. Proses perhitungan 5. Membuat kesimpulan berdasarkan proses perhitunganPada pokok bahasan ini hanya akan dibahas estimasi rerata dan proporsi. B. Jenis Estimasi Ada dua jenis estimasi yaitu estimasi titik (point estimation) dan estimasi interval (interval estimation). 1. Point estimation : Mengestimasi suatu parameter berdasarkan satu nilai saja.

2.

Misalnya mengestimasi  dengan x   = x , tentu saja hasil estimasi ini tidak memberikan tingkat keyakinan tertentu. Interval estimation : Mengestimasi suatu parameter berdasarkan banyak nilai dalam suatu interval tertentu, sehingga hasil estimasi interval akan memberikan tingkat keyakinan tertentu. Misalnya untuk mengestimasi  digunakan interval estimasi :

x −d  x

 d atau  = x  d dimana d adalah perbedaan true value dan estimate value (difference) yang dikehendaki. Selanjutnya, d ini disebut juga sebagai estimation error atau kekeliruan estimasi atau galat estimasi. Besarnya d akan tergantung pada : (1) ukuran sampel acak yang digunakan, (2) tingkat keyakinan (level of confidence), dan (3) distribusi probabilitas untuk statistik (estimate value) yang digunakan. Sehingga interval konfidens untuk estimasi suatu parameter, misalnya  dapat dituliskan sebagai : P( x − d    x  d) = 1 − . 1 −  adalah level of confidence (tingkat keyakinan) yang merupakan pernyataan probabilitas, sehingga nilainya adalah 0  1 −   1. Menentukan d, misalnya untuk

2

mengestimasi  dengan x menggunakan level of confidence 1 − . Dalam hal ini, x  N(;/n) yang ditransformasikan menjadi angka baku Z dengan rumus : Z

Z

X / n X / n

dan Z  N(0;1) = x Z 

n

  = x  Z0.5 

n

jadi d = Z0.5 

n

sehingga interval konfidensnya adalah : P( x − Z0.5 

n

   x  Z0.5 

n

)=1−

ESTIMASI RATA-RATA ()

Kasus Sampel Besar (n  30) dan atau  diketahui Untuk Infinite Population   PX  Z0.5     X  Z0.5    1  jika  diketahui n n    PX  Z0.5 s    X  Z0.5 s   1  jika n  30 n n 

Untuk Finite Population  Nn Nn  PX  Z0.5     X  Z0.5    1  jika  diketahui n N 1 n N  1    Nn Nn  PX  Z0.5 s    X  Z0.5 s   1  jika n  30 n N 1 n N  1  

Kasus Sampel Kecil (n  30) dan atau  tidak diketahui Untuk Infinite Population   PX  t0.5;df s    X  t0.5;df s  1  n n  

Untuk Finite Population  Nn Nn  PX  t0.5;df s    X  t0.5;df s   1  n N 1 n N  1  

3

dengan df = n − 1

SOAL-SOAL ESTIMASI RATA-RATA 1.

Telah diambil secara acak sampel yang terdiri dari 100 orang mahasiswa sebuah universitas di Jakarta. Melalui test IQ terhadap 100 mahasiswa tersebut diperoleh ratarata IQ sebesar 112 dan varians 100. Dengan menggunakan tingkat keyakinan (confidence level) sebesar 95%, tentukan interval konfidens untuk nilai rata-rata IQ seluruh mahasiswa universitas tersebut. X  112

Diketahui : n = 100

s2  100  s  10

1 –  = 0.95  0.5 = 0.025  Z0.025 = 1.96 Ditanyakan : P( . . .    . . . ) = 0.95 Jawab : PX  Z0.5 s 

n

   X  Z0.5 s

  1  n 

 10 10  P112  1.96    112  1.96   0.95 100 100  

P112  1.96    112  1.96  0.95  P110.04    113.96  0.95

Kita merasa yakin sebesar 95% bahwa rata-rata IQ seluruh mahasiswa universitas tersebut antara 110.04 dan 113.96 2.

Seorang petani apel ingin mengetahui rata-rata berat buah apel hasil kebunnya. Untuk itu, diambil sampel secara acak 10 buah apel dengan berat masing-masing (gram) : 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, dan 164. Jika petani tersebut merasa yakin 95% bahwa rata-rata berat buah apel akan tercakup dalam interval estimasi, maka tentukanlah interval estimasinya tersebut. x 1607 Diketahui : n = 10 X   i  X   160.7 n

10

n x i2   x i 

2

s

n(n  1)

 s

10261 .711  1607 2  19.62453113 10(9)

1 –  = 0.95  0.5 = 0.025  t0.025;df=9 = 2.262 Ditanyakan : P( . . .    . . . ) = 0.95   PX  t0.5;df s    X  t0.5;df s   1  n n  

 19.62453113 19.62453113  P160.7  2.262    160.7  2.262   0.95 10 10  

4

P160.7  14.03756855    160.7  14.03756855   0.95 P146.66    174.74  0.95

Petani tersebut merasa yakin sebesar 95% bahwa rata-rata berat buah apel hasil kebunnya ada antara 146.66 gram dan 174.74 gram . ESTIMASI PROPORSI (p)

Kasus Sampel Besar (n  30) Untuk Infinite Population  ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ)  p p ˆ  Z0.5 ˆ  Z0.5 Pp pp   1  n n  

Untuk Finite Population  ˆ(1 p ˆ) N  n ˆ(1 p ˆ) N  n  p p ˆ  Z0.5 ˆ  Z0.5 Pp pp   1  n N 1 n N  1  

Kasus Sampel Kecil (n  30) Untuk Infinite Population  ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ)  p p ˆ  t0.5;df ˆ  t0.5;df Pp pp   1  n n  

Untuk Finite Population  ˆ(1 p ˆ) N  n ˆ(1 p ˆ) N  n  p p ˆ  t0.5;df ˆ  t0.5;df Pp pp   1  n N 1 n N  1  

dengan df = n – 1

SOAL-SOAL ESTIMASI PROPORSI 1. Dari hasil survey yang dilakukan suatu research agency mengenai kebiasaan ibu rumah tangga menyaksikan tayangan iklan di TV Swasta. Ternyata diperoleh hasil bahwa 76 orang dari 180 orang ibu rumah tangga yang dipilih secara acak, biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu. Jika peneliti tersebut menggunakan taraf konfidens sebesar 90%, maka tentukan interval estimasi seluruh

5

ibu rumah tangga yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu. Diketahui : Misalkan X adalah ibu rumah tangga yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per hari. n = 180 dan X = 76 sehingga pˆ  76 /180  0.42 1 –  = 0.90  0.5 = 0.05  Z0.05 = 1.645 Ditanyakan : P( . . .  p  . . . ) = 0.90 

Jawab : Ppˆ  Z0.5 

ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ)  p p ˆ  Z0.5 pp   1  n n 

 0.42(1  0.42) 0.42(1  0.42)  P0.42  1.645  p  0.42  1.645   0.90 180 180  

  0.90 P0.42  0.060515732 p  0.42  0.060515732   0.90 P0.359484268 p  0.480515732 P0.359  p  0.481  0.90

Kita merasa yakin sebesar 90% bahwa proporsi ibu-ibu yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per hari antara 35.9% dan 48.1% 2. Seperempat dari 300 konsumen yang diwawancarai secara acak menyatakan tidak suka sabun mandi merk "X". Jika digunakan taraf konfidens 95%, tentukanlah interval estimasi seluruh konsumen yang tidak menyukai sabun merk "X" tersebut. Diketahui : n = 300

ˆ  0.25 p

1 –  = 0.95  0.5 = 0.025  Z0.025 = 1.96

Ditanyakan : P( . . .  p  . . . ) = 0.95  ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ)  p p ˆ  Z0.5 ˆ  Z0.5 Pp pp   1  n n   Jawab :

 0.25(1  0.25) 0.25(1  0.25)  P0.25  1.96  p  0.25  1.96   0.95 300 300   P0.25  0.049  p  0.25  0.049  0.95 P0.201 p  0.299  0.95

Kita merasa yakin sebesar 95% bahwa proporsi konsumen yang tidak menyukai sabun mandi merk X antara 20.1% dan 29.9%.

6

ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA

A. Kasus σ1 = σ1 = σ diketahui : Untuk Infinite Population









 1 1 1 1  P X1  X2  Z0.5   1  2  X1  X2  Z0.5    1  n1 n2 n1 n2  

Untuk Finite Population







 

P X1  X2  d  1  2  X1  X2  d  1 

dimana d  Z0.5

1 1 (N1  N2 )  (n1  n2 )  n1 n2 N1  N2  1

B. Kasus σ1  σ1 diketahui : Untuk Infinite Population   2 2 2 2 P X1  X2  Z0.5 1  2  1  2  X1  X2  Z0.5 1  2   1    n1 n2 n1 n2   







Untuk Finite Population









 

P X1  X2  d  1  2  X1  X2  d  1 

dimana d  Z0.5

12 22 (N1  N2 )  (n1  n2 )  n1 n2 N1  N2  1

C. Kasus σ1 = σ1 tidak diketahui : Untuk Infinite Population









 1 1 1 1  P X1  X2  t0.5;df sp   1  2  X1  X2  t0.5;df sp    1  n1 n2 n1 n2  

Untuk Finite Population







 

P X1  X2  d  1  2  X1  X2  d  1 

dimana d  t0.5;df sp

1 1 (N1  N2 )  (n1  n2 )  n1 n2 N1  N2  1

7

(n1  1)s12  (n2  1)s22 n1  n2  2

sp 

df = n1  n2 − 2

D. Kasus σ1  σ1 tidak diketahui : Untuk Infinite Population   s2 s2 s2 s2 P X1  X2  t' 1  2  1  2  X1  X2  t' 1  2   1    n1 n2 n1 n2   







Untuk Finite Population









 

P X1  X2  d  1  2  X1  X2  d  1  s12 s22 (N1  N2 )  (n1  n2 )  n1 n2 N1  N2  1

dimana d  t'

t' 

t1w1  t2 w2 w1  w2

s2 w1  1 n1

s2 w2  2 n2

t2  t0.5;dfn2 1

t1  t0.5;dfn11

SOAL-SOAL ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA 1.

Sampel acak yang terdiri dari 22 orang buruh perusahaan A telah diperiksa ternyata rata-rata waktu menyelesaikan pekerjaannya per unit barang adalah 12 menit dengan standar deviasi 2 menit. Sedangkan dari perusahaan B yang sejenis diambil sampel acak berukuran 20, setelah diperiksa ternyata rata-rata menyelesaikan pekerjaan yang sama adalah 11 menit dengan standar deviasi 3 menit. Tentukanlah interval keyakinan sebesar 95% untuk mengestimasi beda rata-rata waktu penyelesaian pekerjaan semua buruh di perusahaan A dan perusahaan B. Asumsi 1 = 2 Diketahui : n1 = 22 X1  12 s = 2 n1 = 20 X1  11 s = 3 Karena 1 = 2 tidak diketahui, maka digunakan rumus interval konfidens untuk kasus C. Sehingga 1 –  = 0.95   = 0.05  dengan 0.5 = 0.025 dan df = 40 dari tabel t diperoleh t0.025;df=40 = 2.021 Ditanyakan : P...  1  2  ...  0.95 





Jawab : P X1  X2  t0.5;df sp 

sp 

(n1  1)s12  (n2  1)s22 n1  n2  2





1 1 1 1    1  2  X1  X2  t0.5;df sp    1  n1 n2 n1 n2 

 sp 

(22  1)2 2  (20  1)3 2  sp = 2.524876235 22  20  2

8

 1 1 1 1  P12  11  2.021(2.524876235 )   1  2  12  11  2.021(2.524876235 )    0.95 22 20 22 20   P1 1.576538987  1   2  1 1.576538987   0.95

P 0.576538987  1   2  2.576538987   0.95

 P 0.58  1   2  2.58  0.95

Kita merasa yakin sebesar 95% bahwa beda rata-rata waktu penyelesaian pekerjaan semua buruh di perusahaan A dan perusahaan B antara – 0.58 dan 2.58 menit. ESTIMASI BEDA DUA PROPORSI Kasus Sampel Besar Untuk Infinite Population

ˆ1  p ˆ 2 )  d  p1  p2  (p ˆ1  p ˆ 2 )  d  1   P(p d  Z 0.5

ˆ 1(1 p ˆ 1) p ˆ (1 p ˆ2) p  2 n1 n2

Untuk Finite Population P(pˆ1  pˆ 2 )  d  p1  p2  (pˆ1  pˆ 2 )   1  d  Z 0.5

ˆ 1(1  p ˆ 1) p ˆ (1  p ˆ2) p  2 n1 n2

N1  N2   n1  n2  N1  N2  1

Kasus Sampel Kecil Untuk Infinite Population

ˆ1  p ˆ 2 )  d  p1  p2  (p ˆ1  p ˆ 2 )  d  1   P(p d  t 0.5;dfn1 n2  2

ˆ1(1  p ˆ1) p ˆ (1  p ˆ2) p  2 n1 n2

Untuk Finite Population P(pˆ1  pˆ 2 )  d  p1  p2  (pˆ1  pˆ 2 )   1  d  t 0.5;dfn1n2 2

ˆ 1(1  p ˆ 1) p ˆ (1  p ˆ2) p  2 n1 n2

N1  N2   n1  n2  N1  N2  1

SOAL-SOAL ESTIMASI DUA PROPORSI 1.

Dua sampel acak masing-masing terdiri 700 mahasiswa dan 500 mahasiswi yang mengunjungi suatu bazar buku murah. Ternyata setelah kedua sampel tersebut diperiksa, terdapat 392 mahasiswa dan 325 mahasiswi yang merasa puas dengan adanya bazar tersebut. Tentukan interval konfidens sebesar 98% untuk mengestimasi

9

perbedaan proporsi mahasiswa dan mahasiswi yang merasa puas terhadap bazar buku murah tersebut. Diketahui : n1 = 700 x1 = 392  pˆ 1  ˆ2  p

392  0.56 700

n2 = 500

x2 = 325 

325  0.65 500

Karena sampelnya besar, maka 1 –  = 0.98  0.5 = 0.01 Z0.01 = 2.32 Ditanyakan : P( …  p1 – p2  … ) = 0.98 Jawab : d  Z 0.5

ˆ 1(1 p ˆ 1) p ˆ (1 p ˆ2) p 0.56(1  0.56) 0.65(1  0.65)  2   0.065905969  d  2.32 n1 n2 700 500

ˆ1  p ˆ 2 )  d  p1  p2  (p ˆ1  p ˆ 2 )  d  1   P(p P(0.56  0.65)  0.066  p1  p 2  (0.56  0.65)  0.66  0.98 P 0.09  0.066  p1  p 2   0.09  0.066  0.98

 P 0.156  p1  p 2   0.024  0.98

Kita merasa yakin sebesar 98% proporsi mahasiswi yang merasa puas terhadap bazar buku lebih besar daripada mahasiswa antara 2.4% dan 15.6%. C. Ciri Estimator yang Baik a. Tidak bias Jika mean dari distribusi sampling suatu statistik sama dengan parameter populasi korespondensinya, maka statistik ini disebut sebagai estimator tak bias dari parameter tersebut. Kebalikannya, jika mean dari distribusi sampling suatu statistik tidak sama dengan parameter populasi korespondensinya, maka statistik ini disebut sebagai estimator bias dari parameter tersebut. Nilai-nilai korespondensi dari statistikstatistik ini msaing-masing disebut estimasi bias dan estimasi tak bias. b. Efisien Jika distribusi sampling dari dua statistik memiliki mean atau ekspektasi yang sama, maka statistik dengan varians yang lebih kecil disebut sebagai estimator efisien dari mean, sementara statistik yang lain disebut sebagai estimator tak efisien. Adapun nilai-nilai yang berkorespondensi dengan statistik-statistik ini masing-masing disebut sebagai estiamsi efisien dan estimasi tak efisien. Jika semua kemungkinan statistik yang distribusi samplingnya memiliki mean yang sama, maka statistik dengan varian terkecil terkadang disebut sebagai estimator paling efisien atau terbaik dari mean ini.

10

c. Konsisten Bila besarnya sampel bertambah maka hampir dapat dipastikan bahwa nilai statistik sampel akan lebih mendekati nilai parameter populasi, estimator demikian disebut konsisten. Estimator konsisten adalah estimator yang cenderung sarna dengan nilai sebenarnya meskipun ukuran sampel semakin lama semakin besar. Dalam Kasus ini, apakah kita tahu bahwa nilai barn dari x akan lebih mendekati mean (rata-rata) Dari J.l Atau ada kemungkinan lebih jauh? Estimator Yang konsisten adalah estimator yang akan bergerak mendekati nilai sebenarnya bila jumlah elemen sampel ditambah.

11

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Estimasi merupakan kegiatan penarikan kesimpulan statistik yang berawal dari hal-hal yang bersifat umum ke hal – hal yang bersifat khusus, agar penarikan kesimpulan dapat dibenarkan dan mampu mendekati kebenaran maka dibutuhkan suatu alat untuk memproses data secara benar, jika kegiatan estimasi dapat dilakukan secara benar maka semua keputusan yang berkaitan dengan estimasi dapat dilakukan juga dengan benar dan dapat untuk mengatasi segala persoalan statistik. Estimator : setiap statistik (mean sampel,varians sampel) yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter haruslah meliputi kriteria di bawah ini: a. Estimator tak bias b. Estimator konsisten c. Estimator terbaik B. Saran Semoga dengan pembuatan makalah ini dapat dipergunakan di kehidupan seharihari sebagai acuan dalam pembelajaran statistik.

12

DAFTAR PUSTAKA Sudjana. 2010. Statistic untuk Ekonomi dan Niaga jilid 1. Bandung: tarsito Sudjana. 2010. Statistic untuk Ekonomi dan Niaga jilid 2. Bandung: tarsito http://antho-765.mhs.narotama.ac.id/2012/05/04/makalah-singkat-mengenai-estimasitugas-mata-kuliah-statistik-bisnis-oleh-bpk-i-putu-artayase-mm

13