Bab-8-boundary.docx

46

BAB 8 TITIK LIMIT, INTERIOR, EXTERIOR DAN BOUNDARY

8.1 Titik Limit Definisi 8.1: Jika (X,  ) adalah ruang topologi, titik p  X disebut titik limit dari A, A  X jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka Gi   yang memuat p, memuat sekurangkurangnya satu titik dari A yang lain dengan p  Gi , maka G  { p}  A  0 .

Himpunan titik limit dari A disebut himpunan turunan dari A yang dinotasikan A ' . Contoh 8.1: X = {a,b,c,d,e},   X ,0 ,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d , e} merupakan topologi dan A={a,b,c}. Apakah A merupakan titik limit dari A? Penyelesaian : Ga  {a},{a, c, d}, X 

Ga  { p}  A  0

{a} - {a}  A  0 jadi a bukan titik limit dari A Gb  {b, c, d , e}, X 

Gb  { p}  A  0

{b,c,d,e} - {b}  A {c,d,e}  {a,b,c}={c}  0 {a,b,c,d,e}-{b}  A {a,c,d,e}  {a,b,c}={a,c}  0 jadi b titik limit dari A Gc  {c, d},{a, c, d},{b, c, d , e}, X 

Gc  { p}  A  0

{c,d} - {c}  A {d}  {a,b,c}= 0 jadi c bukan titik limit dari A Gd  {c, d},{a, c, d},{b, c, d , e}, X 

Gd  { p}  A  0

{c,d} - {d}  A {c}  {a,b,c}={c}  0 {a,c,d} - {d}  A {a,c}  {a,b,c}={a,c}  0 Titik Limit, Interior, Eksterior Dan Boundary

Pengantar Topologi

47 {b,c,d,e}-{d}  A {b,c,e}  {a,b,c}={b,c}  0 {a,b,c,d,e}-{d}  A {a,b,c,e}  {a,b,c}={a,b,c}  0 jadi d titik limit dari A Ge  {b, c, d , e}, X 

Ge  { p}  A  0

{b,c,d,e}-{e}  A {b,c,d}  {a,b,c}={b,c}  0 {a,b,c,d,e}-{e}  A {a,b,c,d}  {a,b,c}={a,b,c}  0 jadi e titik limit dari A

8.2 Titik Interior Definisi 8.2: Jika (X,  ) adalah ruang topologi dan A  X . Titik p  A disebut titik interior A jika p  G  A dengan G himpunan terbuka.

Himpunan titik-titik dalam A ditulis A  atau int (A) atau interior dari A. Contoh 8.2: A=(a,b], S= Int (a,b]=(a,b) dimana b  G  A B=[a,b] Int [a,b] =(a,b) dimana a  Ga  A dan b  Gb  A Interior dari suatu himpunan A adalah gabungan dari semua himpunan terbuka yang termuat dalam A, sehingga (i) A  terbuka (ii) A  adalah himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A yaitu G  A   A . (iii) A terbuka jika dan hanya jika A  A Contoh 8.3: X = {a,b,c,d,e} dan   X ,0 ,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d , e} Misal A={b,c,d} maka Int (A)={c,d} Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a}  {c,d}  {a,c,d}={a,c,d}.

8.3 Titik Eksterior Definisi 8.3: Eksterior suatu himpunan A dalam ruang topologi (X,𝜏), Titik eksterior dari A ditulis Eks (A) adalah interior dari komplemen A. Eks(A)=Int( A C )

Titik Limit, Interior, Exterior Dan Boundary

Pengantar Topologi

48 Contoh 8.4 : X={a,b,c,d,e} dan   X ,0 ,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d , e} A={b,c,d}, A C ={a,e} maka Int ( A C )=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)={a} B={a,c,d}, B C ={b,e} maka Int({b,e})= 0 , sehingga Eks(B)= 0 .

8.4 Perbatasan ( Boundary) Definisi 8.4: Perbatasan (boundary) adalah himpunan titik-titik yang bukan anggota Interior dari A maupun eksterior dari A. Perbatasan A ditulis b(A). Dengan kata lain b(A) = (int(A)  eks(A))C = (int(A))C  (Eks(A))C Contoh 8.5: X ={a,b,c,d,e} dan   X ,0 ,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d , e} Misal A={b,c,d} maka Int (A)= {c,d} Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a}  {c,d}  {a,c,d}={a}.

A C ={a,e} maka Int ( A C )=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)= {a} B C ={b,e} maka Int({b,e})= 0 , sehingga Eks(B)= 0 . Jadi b(A) = (int(A))C  (Eks(A))C = {c,d} C  {a} C = {a,b,e}  {b,c,d,e} = {b,e} b(B) = (int(B))C  (Eks(B))C = {a} C  { 0 } C = {b,c,d,e}  {a,b,c,d,e} = {b,c,d,e}

8.5 Titik Batas Definisi 8.5 : Jika (X,  ) adalah ruang topologi maka p  X dikatakan titik batas dari A  X jika dan hanya jika p  G   , maka G  A  0 & G  ( S  A)  0 Contoh 8.6: A=(a,b] maka Int(A)=(a,b)

AC  (, a]  (b, ) maka Eks (A)=Int( A C )= (, a]  (b, ) Sehingga b(A)={a,b}

Titik Limit, Interior, Exterior Dan Boundary

Pengantar Topologi

49

8.6 Titik Terasing Definisi 8.6: Jika (X,  ) adalah ruang topologi dan A  X maka A  A  b(A) dan A C  Eks(A) . Contoh 8.7: A=(a,b], Int(A)=(a,b) dan b(A)={a,b}.

A  A  b(A) =(a.b)  {a,b}=[a,b] A ' =[a,b] maka A  A'  A  [a, b]  (a, b)  [a, b]   

A dikatakan tidak rapat dimana-mana pada S jika Int( A )= 0 . Titik a  A disebut titik terasing jika a  A  A ' . Suatu himpunan bagian dari S disebut sempurna jika himpunan tersebut tertutup dan tidak mempunyai titik terasing.

Contoh 8.8: 1. Q adalah bilangan Rasional.

Q  Q , maka Int ( Q )= 0  jadi Q tidak rapat dimana-mana. Q- Q ' = 0 , Q ' =Q  jadi Q tidak mempunyai titik terasing.  1 1  2. 1, , ,   2 3   1 1  Int 1, , ,  = 0  Jadi tidak rapat dimana-mana.  2 3 

3.

 1 1  A= 1, , ,  ,0 , titik limit dari A = 0  2 3   1 1  A  A '  1, , , ,0  0  2 3  jadi semuanya adalah titik terasing kecuali 0.  1 1  Int 1, , ,  ,0 = 0  tidak rapat dimana-mana.  2 3 

Titik Limit, Interior, Exterior Dan Boundary

Pengantar Topologi