Bab-7-optimasi-satu-variabel-dengan-cara-golden-section.docx

LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES BAB VII OPTIMASI SATU VARIABEL DENGAN CARA GOLDEN SECTION

DISUSUN OLEH Nama

: Noni Ayu Rizka

NIM

: 12521004

Kelas

:A

Asisten

: 1. Heni Anggorowati 2. Agus Kurniawan 3. Andry Septian 4. Ria Aryani

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES JURUSAN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA YOGYAKARTA 2014

DAFTAR ISI

Daftar Isi ..........................................................................................................

1

BAB I A. Tujuan ............................................................................................

2

B. Dasar Teori.....................................................................................

2

C. Latihan Soal ...................................................................................

7

D. Tugas ..............................................................................................

9

BAB II

BAB III E. Kesimpulan dan Saran ...................................................................

10

F. Daftar Pustaka ................................................................................

12

1

BAB I OPTIMASI SATU VARIABEL DENGAN CARA GOLDEN SECTION A. Tujuan Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner jenis initial value problem menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori Secara umum optimasi berarti pencarian nilai terbaik (minimum atau maksimum) dari beberapa fungsi yang diberikan pada suatu konteks. Optimasi juga dapat berarti upaya untuk meningkatkan kinerja sehingga mempunyai kualitas yang baik dan hasil kerja yang tinggi. Optimasi dapat diartikan sebagai suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum, dalam arti paling menguntungkan, jadi dapat berupa maksimasi atau minimasi. Bila kita berhadapan dengan masalah keuntungan, keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi), sedangkan bila berhadapan dengan masalah pengeluaran atau pengorbanan, keadaan optimum adalah yang memberikan pengeluaran atau pengorbanan minimum (minimasi). Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut objective function, sedangkan harga – harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah). Secara analitis, nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan : 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (7.1) dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (7.2) Untuk fungsi yang sukar untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sukar dicari akarnya, proses optimasi dapat dilakukan secara numeris. Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik yang dapat diterapkan untuk fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini. Golden-section (search) method merupakan metode optimasi satu variabel yang sederhana, dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan metode 2

bisection dalam penentuan akar persamaan tak linier. Mirip dengan bisection, ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baru, secara iteratif. Sebagai akibatnya, rentang/ interval awal variabel yang dipilih semakin lama akan semakin menyempit, karena ada sebagian subinterval variabel yang dieliminasi, hingga diperoleh tingkat konvergensi yang diinginkan. Golden section merupakan salah satu cara optimasi numeris yang bisa dipakai untuk fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini. Misal akan dilakukan maksimasi terhadap persamaan (7.1) dalam interval xA sampai xB. y

l

l

XA

XP

XQ

XB

X

Gambar 7.1 Eliminasi dengan Golden Section Misal akan dilakukan maksimasi y pada interval xA  xB. Dipilih 2 titik untuk evaluasi, misal xp dan xQ. Jika fungsi unimodal (hanya punya satu titik ekstrem) maka dengan berdasar harga y pada 2 titik tersebut maka ada sebagian interval yang dapat dieliminasi. Diharapkan pila bahwa pada evaluasi langkah selanjutnya, salah satu tiitk lama bisa dipakai lagi. Jadi hanya diperlukan 1 titik baru. Proses eliminasi interval terlihat seperti pada gambar 7.2. y

1 l

xA

xF xQ

xp x 3

y

xA

xF xQ xp

x

Gambar 7. 2. Proses Eliminasi Interval Disini ada problem, dimana letak titik P dan Q agar pada interval berikutnya salah satu titiknya masih bisa dipakai. Misal ititk P dan Q masing – masing berjarak l x interval awal dari titik B dan A. Dalam hal ini harga l akan dicari. Dari gambar 7. 1. terlihat bahwa : (𝑥𝑄 − 𝑥𝑝 )𝑙𝑎𝑚𝑎 = (𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 )𝑏𝑎𝑟𝑢 Selanjutnya : {𝑙 − (1 − 𝑙)}(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )𝑙𝑎𝑚𝑎 = (1 − 𝑙). (𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 )𝑏𝑎𝑟𝑢 {2. 𝑙 − (1 − 𝑙)}(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )𝑙𝑎𝑚𝑎 = (1 − 𝑙). 𝑙. (𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 )𝑏𝑎𝑟𝑢 (2. 𝑙 − 1) = (𝑙 − 𝑙 2 ) 𝑙2 + 𝑙 − 1 = 0 Kemungkinan – kemungkinan yang terjadi pada eliminasi dengan cara Golden Section adalah : Maksimasi

: yp < yQ

yp > yQ





xA

=

xp

xP

=

xQ

xB

=

xB

xQ

= Dicari

xA

=

xA

xB

=

xQ

xQ

=

xP

xP

= Dicari

4

Minimasi



: yp < yQ



yp > yQ

xA

=

xA

xB

=

xQ

xQ

=

xP

xP

= Dicari

xA

=

xp

xP

=

xQ

xB

=

xB

xQ

= Dicari

Optimum

xl

xp

xQ

xll

First iteration

l0

l1

l2

Second iteration l1

l2 Secara matematis : 𝑙1 𝑙2 = 𝑙0 𝑙1 Karena 𝑙0 = 𝑙1 + 𝑙2

5

𝑙1 𝑙0 = 𝑙1 + 𝑙2 𝑙1 1−

𝑙1 1 𝑙1 = → =𝑅 𝑙2 𝑅 𝑙2

1+𝑅 =

1 𝑅

𝑅 + 𝑅2 = 1 𝑅 + 𝑅2 − 1 = 0 𝑅1,1

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 2𝑎

𝑅1,1 =

−1 ± √12 − 4.1. (−1) 2.1

𝑅1,1 =

−1 + √5 = 0,618 2

Algoritma 1. Mendefinisikan persamaan y = f(x) 2. Menentukan nilai xa, xb, toleransi (xa – xb), R atau L = 0,618 3. Mencari nilai xP dan xQ 𝑥𝑃 = 𝑥𝑎 + [(1 − 𝐿)(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 )] 𝑥𝑄 = 𝑥𝑎 + [(𝐿)(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 )] 4. Mencari nilai yP dan yQ ke persamaan y = f(x) 5. Mencari nilai yp – yQ 6. Melihat nilai yP dan yQ untuk memastikan menggunakan kemungkinan eliminasi yang dipakai. 7. Mencari nilai xopt dan yopt 𝑥𝑜𝑝𝑡 =

(𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 ) 2

yopt = mensubstitusikan xopt ke persamaan y = f(x)

6

BAB II C. Latihan Soal Nomor 1 Carilah harga minimasi untuk

y=

2x 3 (x 2 - 2)(x + 3)

1 Xa = 3 Xb = Toleransi (Xb - Xa) = L2+L-1=0 0.618 L= No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Xa 1 1.7640 2.2360 2.5278 2.7082 2.8196 2.8885 2.9311 2.9574 2.9737 2.9837 2.9899 2.9938 2.9962 2.9976 2.9985 Xopt Yopt

Xb 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.0015

(Xb-Xa) 2 1.236 0.764 0.47215 0.29185 0.18036 0.11149 0.06890 0.04259 0.02632 0.01627 0.01005 0.00621 0.00384 0.00237 0.0015

Xp 1.7640 2.2360 2.5278 2.7082 2.8196 2.8885 2.9311 2.9574 2.9737 2.9837 2.9899 2.9938 2.9962 2.9976 2.9985 2.9991

Xq 2.2360 2.5278 2.7082 2.8196 2.8885 2.9311 2.9574 2.9737 2.9837 2.9899 2.9938 2.9962 2.9976 2.9985 2.9991 2.9994

Yp 2.0729 1.4235 1.3313 1.3046 1.2947 1.2904 1.2883 1.2872 1.2866 1.2862 1.2860 1.2859 1.28583 1.28579 1.28576 1.28574

Yq 1.4235 1.3313 1.3046 1.2947 1.2904 1.2883 1.2872 1.2866 1.2862 1.2860 1.2859 1.2858 1.28579 1.28576 1.28574 1.28573

Yp - Yq 0.6493 0.0923 0.0266 0.0099 0.0043 0.0021 0.0011 0.0006 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2.9993 1.2857

Jadi, didapatkan nilai masing - masing yaitu : Xa = 2.9985 Xb = 3 Xopt = 2.9993 Yopt = 1.2857

7

Nomor 2 Carilah harga maksimasi untuk

y = x4 -

x3 - 2x 2 -1 4

-1 Xa = 2 Xb = Toleransi (Xb - Xa) = L2+L-1=0 0.618 L= No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Xa -1 -1.0000 -0.2918 -0.2918 -0.2918 -0.1245 -0.1245 -0.0607 -0.0213 -0.0213 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0026 -0.0026

Xopt Y

Xb 2 0.8540 0.8540 0.4163 0.1460 0.1460 0.0427 0.0427 0.0427 0.0182 0.0182 0.0089 0.0032 0.0032 0.0010

0.005

(Xb-Xa) 3 1.854 1.1458 0.7081 0.4378 0.2705 0.1672 0.1033 0.0639 0.0395 0.0244 0.0151 0.0094 0.0058 0.0036

Xp 0.1460 -0.2918 0.1460 -0.0213 -0.1245 -0.0213 -0.0607 -0.0213 0.0032 -0.0062 0.0032 -0.0004 -0.0026 -0.0004 -0.0012

Xq 0.8540 0.1460 0.4163 0.1460 -0.0213 0.0427 -0.0213 0.0032 0.0182 0.0032 0.0089 0.0032 -0.0004 0.0010 -0.0004

Yp Yq Yp - Yq -1.0430 -2.0824 1.0395 -1.1568 -1.0430 -0.1138 -1.0430 -1.3346 0.2917 -1.0009 -1.0430 0.0421 -1.0303 -1.0009 -0.0294 -1.0009 -1.0037 0.0028 -1.0073 -1.0009 -0.0064 -1.0009 -1.0000 -0.0009 -1.0000 -1.0007 0.0006 -1.0001 -1.0000 -0.0001 -1.0000 -1.0002 0.0001 -1.0000 -1.0000 0.0000 -1.00001 -1.00000 0.0000 -1.000000 -1.000002 0.0000 -1.00000 -1.00000 0.0000

-0.0008 -1.0000

Jadi, didapatkan nilai masing - masing yaitu : Xa = -0.0026 Xb = 0.0010 Xopt = -0.0008 Yopt = -1.0000

8

D. Tugas Carilah harga maksimasi untuk

3x 2 y= (4x - 2) -5 Xa = 1 Xb = Toleransi (Xb - Xa) = L2+L-1=0 0.618 L=

0.0055

No

Xa

Xb

(Xb-Xa)

Xp

Xq

Yp

Yq

Yp - Yq

1 2 3 4 5 6

-5 -2.7080 -1.2920 -0.4165 -0.4165 -0.4165

1 1.0000 1.0000 1.0000 0.4589 0.1245

6 3.708 2.292 1.416456 0.875369808 0.540912

-2.7080 -1.2920 -0.4165 0.1245 -0.0821 -0.2098

-1.2920 -0.4165 0.1245 0.4589 0.1245 -0.0821

-1.7144 -0.6986 -0.1419 -0.0309 -0.0087 -0.0465

-0.6986 -0.1419 -0.0309 -3.8444 -0.0309 -0.0087

-1.0158 -0.5567 -0.1110 3.8135 0.0223 -0.0378

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-0.2098 -0.0821 -0.0821 -0.0333 -0.0333 -0.0147 -0.0147 -0.0076 -0.0032 -0.0032

0.1245 0.1245 0.0456 0.0456 0.0154 0.0154 0.0039 0.0039 0.0039 0.0012

0.334283616 0.206520733 0.127629813 0.078875225 0.048744889 0.030124341 0.018616843 0.011505209 0.007167587 0.004429569

-0.0821 -0.0032 -0.0333 -0.0032 -0.0147 -0.0032 -0.0076 -0.0032 -0.0005 -0.0015

-0.0032 0.0456 -0.0032 0.0154 -0.0032 0.0039 -0.0032 -0.0005 0.0012 -0.0005

-0.0087 0.0000 -0.0016 0.0000 -0.0003 -0.000016 -0.000085 -0.000016 -0.0000003 -0.000004

0.0000 -0.0034 0.0000 -0.0004 0.0000 -0.000023 -0.000016 -0.0000003 -0.000002 0.000000

-0.0087 0.0034 -0.0015 0.0004 -0.0003 0.00001 -0.0001 -0.000015 0.000002 -0.000003

Xopt

-0.0010

Yopt

-0.000002

Jadi, didapatkan nilai masing - masing yaitu : Xa = -0.0032 Xb = 0.0012 Xopt = -0.0010 Yopt

=

-0.000002

9

BAB III E. Kesimpulan dan Saran Kesimpulan Kualitatif Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik yang dapat diterapkan untuk fungsi yang bersifat unimodal. Metode golden section digunakan untuk mencari nilai optimum dari suatu fungsi. Pada praktikum ini nilai optimum diperoleh dalam bentuk koordinat (xopt, yopt). Metode golden section merupakan metode numeris, metode lain yang dapat digunakan untuk optimasi adalah metode grafis dengan menggunakan penurunan fungsi.

Kuantitatif Pada soal latihan nomor 1 dengan fungsi 2x 3 y= 2 (x - 2)(x + 3) 1 Xa = 3 Xb = Toleransi (Xb - Xa) = L2+L-1=0 0.618 L=

0.0015

Minimasi dengan metode golden section diperoleh Xa Xb Xopt Yopt

= = = =

2.9985 3 2.9993 1.2857

10

Pada soal latihan nomor 2 dengan fungsi

y = x4 -

x3 - 2x 2 -1 4

-1 Xa = 2 Xb = Toleransi (Xb - Xa) = L2+L-1=0 0.618 L=

0.005

Maksimasi dengan metode golden section diperoleh Xa Xb Xopt Yopt

= = = =

-0.0026 0.0010 -0.0008 -1.0000

Pada soal tugas dengan fungsi

3x 2 y= (4x - 2) -5 Xa = 1 Xb = Toleransi (Xb - Xa) = L2+L-1=0 0.618 L=

0.0055

Maksimasi dengan metode golden section diperoleh Xa Xb Xopt

= = =

-0.0032 0.0012 -0.0010

Yopt

=

-0.000002

Saran Ketelitian dari praktikan sangat diperlukan dalam mengerjakan latihan dan tugas terutama dalam penulisan rumus pada excel. Kesalahan sering terjadi pada saat memasukan nilai XA, XP, XQ, XB, yang tidak sesuai dengan syarat yp < yQ atau yp > yQ untuk maksimasi atau minimasi.

11

F. Daftar Pustaka Dasar Teori. Diakses 9 Desember 2014 19:28 http://eprints.undip.ac.id/41657/3/3._BAB_II.pdf Optimasi Numerik. Dikases 9 Desember 2014 19:52 https://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/optimasi-numerik-docdy.pdf

12