BAB VII GELOMBANG GRAVITASI PERMUKAAN DENGAN KEDALAMAN YANG BERVARIASI DENGAN RUANG Dalam bab ini kita membatasi pembahasan pada gelombang panjang atau untuk perairan dangkal (shallow water wave). Pertama-tama kita formulasikan syarat batas kinematik di dasar perairan. S.B. Kinematik di dasar. Kecepatan normal Vn = 0 di z = -h(x, y) Kita misalkan permukaan dasar secara umum dinyatakan oleh F(x,y,z) = 0. Vektor n yang mana n = 1 dan n , dapat dinyatakan sebagai ∇F n= ∇F dari F = z + h (x,y), kita peroleh ∂h ∂h ∇F = , ,1 , ∂x ∂y jadi dari hubungan ∇F ∂h ∂h Vn = n.V = .V = 0 ini berarti ∇F .V = 0 atau u +v +w=0 ∇F ∂x ∂y jadi S. B. Kinematik di dasar perairan adalah u
∂h ∂h +v +w=0 ∂x ∂y
di z = - h (x,y)
persamaan hidrodinamika pada bumi yang berotasi diberikan oleh : ∂x 1 ∂p − fv = − ∂t ρ 0 ∂x ∂v 1 ∂p + fu = − ∂t ρ 0 ∂y ∂w 1 ∂p =− ∂t ρ 0 ∂z ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
74
Dengan S. B. sebagai berikut : a. S.B Kinematik permukaan
di dasar
∂ζ − w = 0 di z = 0 ∂t
∂h ∂h +v +w=0 ∂x ∂y
u
b. S. B. Dinamik : p − gρ 0ζ = 0
di z = - h(x,y)
di z = 0
Sekarang kita lakukan pendekatan gelombang panjang dengan mengabaikan
∂w , maka ∂t
tekanan (perturbasi tekanan) di seluruh kolom air adalah p = gρ 0ζ . Ini berarti bahwa u dan v tidak bergantung pada kedalaman, dengan perkataan lain u dan v konstan dari permukaan sampai ke dasar. Integrasikan persamaan kontinuitas dari dasar sampai dengan z = 0. 0 ∂w ∂u ∂v + dz = − ∫−h ∂x ∂y ∫h ∂z dz 0
Dengan menggunakan S. B. Kinematik di permukaan dasar dan mengikat bahwa u dan v bukan fungsi dari z, maka hasil integrasi di atas menghasilkan :
[
∂u ∂v + h = w z =0 − w z = − h ∂x ∂y
]
∂ζ ∂h ∂h = +u +v ∂x ∂y ∂t ∂ζ ∂ ∂ (vh) + (uh) + =0 ∂t ∂x ∂y
(7.1)
Dengan mengganti p = ρ 0 gζ dalam persamaan kekalan momentum, kita peroleh : ∂u ∂ζ − fv = − g ∂t ∂x
(7.2)
∂u ∂ζ + fu = − g ∂t ∂x
(7.3)
Persamaan (7.1), (7.2), dan (7.3) adalah persamaan gelombang panjang dengan kedalaman berubah (dalam ruang). Disini kita anggap dasar perairan berubah secara perlahan. Bukan perubahan kedalaman yang drastis. h berubah secara perlahan dibadingkan skala panjang gelombang.
75
Persamaan gelombang panjang ini diterapkan untuk mempelajari Seiche disuatu basin tertutup dengan bentuk yang teratur. Contoh pemakaian : Tinjau suatu basin tertutup yang bentuknya tidak teratur seperti terlihat pada gambar gambar berikut :
tampak atas :
B2(x)
x
l
B1(x)
z
x=x0 l
Z B1(x)
B2(x)
y
Penampang longitudinal
-h(x,y)
Penampang meridional
76
x
Anggap kecepatan dalam arah y (v) = 0, dan gradien dalam arah y juga = 0 atau
kecuali
∂ =0, ∂y
∂h ≠ 0 . Peninjauan ini adalah untuk gelombang yang tidak dipengaruhi oleh rotasi ∂y
bumi yaitu f = 0. Dengan anggapan ini persamaan hidrodinamika gelombang panjang menjadi : ∂u ∂ζ = −g ∂t ∂x
(7.4)
∂ζ ∂ + (uh) = 0 ∂t ∂x
(7.5)
Ada dua persamaan dengan dua parameter yang tidak diketahui ( u & ζ ). Persamaan (7.4) dan (7.5), pada hakekatnya adalah persamaan gelombang panjang satu dimensi yang merambat di suatu basin (kanal) tertutup dengan kedalaman yang berubah dalam ruang dan bentuknya teratur. Integrasikan persamaan kontinuitas (persamaan 7.5) terhadap arah y, B2 ( x )
∫1
B ( x) B2 ( x )
∫1
B ( x)
∂ ∂ζ + (uh) dy = 0 ∂t ∂x ∂ ∂ζ =0 (uh)dy + B2 ( x) − B1 ( x) ∂x ∂t
Perhatikan integral dari suku I ( dari aturan Leibnitz ) ∂ B2 ( x ) (uh)dy = uh ∂x ∫B1 ( x )
B2
∂B2 − uh ∂x
∂B1 B2 ( x ) ∂ + (uh)dy B1 ∂x ∫B1 ( x ) ∂x
Anggap h = 0, di pantai ( dipinggir basin ). Jadi uh
B2
∂B2 =0 ∂x
dan
uh
B1
∂B1 =0 ∂x
dengan demikian kita dapat menggantikan B2 ( x )
∫1
B ( x)
∂ (uh)dy dengan ∂x
∂ ∂x
B2 ( x )
∫1
B ( x)
(uh)dy
Dengan demikian integrasi persamaan kontinuitas terhadap y menjadi
( B2 ( x) − B1 ( x) ) ∂ζ ∂t
+
∂ B2 ( x ) (uh)dy = 0 ∂x ∫B1 ( x )
77
atau
( B2 ( x) − B1 ( x) ) ∂ζ ∂t
∴ S ( x) = ∫
Misal :
+
B2 ( x )
B1 ( x )
∂u B2 ( x ) hdy = 0 ∂x ∫B1 ( x )
hdy
∴ B ( x) = B2 ( x) − B1 ( x) dengan demikian persamaan diferensial kita menjadi : B
∂ζ ∂ + (uS ) = 0 ∂t ∂x
(7.6)
∂u ∂ζ = −g ∂t ∂x
(7.7)
Eliminasi ζ dari persamaan - persamaan di atas : ∂ 1 ∂ ∂ζ (uS ) = − ∂x B ∂x ∂t ∂ 1 ∂ ∂ 2ζ ( uS ) = − ∂x B ∂x ∂t∂x ∂ ∂u ∂ζ = −g ∂t ∂t ∂x
atau
(7.8) ∂ 2u ∂ 2ζ = −g ∂t∂x ∂t 2
(7.9)
jika persamaan (7.9) dikurangi persamaan (7.8), maka diperoleh : ∂ 2u ∂ 1 ∂ −g (uS ) = 0 2 ∂x B ∂x ∂t
(7.10)
(uS) = transpor volume dalam arah x yang melewati suatu penampang melintang. uS =
∆∈ S. ∂t
S
= penampang melintang dari basin dalam arah y.
u
= kecepatan fluida tegak lurus bidang S.
∇∈
= perpindahan dalam waktu ∇t
Syarat batas u S = 0 di x = 0 dan x = l Sekarang kita gunakan simbol baru untuk u S yaitu (uS ) = u~
78
∫
x
0
B ( x' )dx' ≈ ~ x ≈ luas permukaan dari 0 sampai x
∂ d~ x ∂ = ∂x dx ∂~ x d~ x = B ( x) − B(0) = B ( x) dx ~ ∂ ∂ U ~ =B , Dari (uS ) = u maka u = dan ∂x ∂x S
dengan demikian persamaan (7.10)
∂ 2u ∂ 1 ∂ −g (uS ) = 0 (percepatan sesaat) 2 ∂x B ∂x ∂t dapat dituliskan sebagai : ~ 1 ∂ 2U ∂ 1 ∂ ~ − gB ~ .B ~ (U ) = 0 2 S ∂t ∂x B ∂x
atau
~ ~ ∂ 2U ∂ 2U − gBS ~ 2 = 0 ∂t 2 ∂x ~ U = transpor volume dalam arah x
(7.11)
Disini persamaan differensial telah dinyatakan dalam bentuk transpor volume, dengan syarat batas : ~ 1). U = 0
di
~ x =0
~ 2). U = 0
di
l ~ ~ x = ∫ B ( x' )dx' = l 0
~ dengan l = luas seluruh permukaan basin Gunakan notasi baru
( S .B.) = σ ( ~ x ) (normal curvature of the lake/kelengkungan normal
dari danau atau basin). B
79
~ ~ ∂ 2U ∂ 2U Dengan notasi ini persamaan (7.11) − gBS ~ 2 = 0 ∂t 2 ∂x ~ ~ ∂ 2U ∂ 2U ~ dapat ditulis sebagai − g σ ( x ) =0 ∂t 2 ∂~ x2 Persamaan ini disebut persamaan Chrystal. Persamaan ini digunakan dalam mempelajari seiche suatu basin tertutup. Seiche adalah fungsi harmonik dari waktu ~ U (~ x , t ) =U ( ~ x )e iωt
dari
atau
~ ~ ∂ 2U ∂ 2U ~ − gσ ( x ) ~ 2 = 0 ∂t 2 ∂x ~ d 2U 2 ~ − ω U − gσ ( x ) ~ 2 = 0 dx
ω 2U d 2U ~ + (x ) = 0 gσ ( ~ x ) d~ x2 U = 0 di ~ x =0
dengan S. B dan
~ ~ x=L
Persamaan ini diselesaikan secara numerik
Buku acuan : Chryrtal, 6 (1905 ) on the hydrodynamical Theory of seiche, Trans R. Soc, Edin burg 41, 594.
Seiche
: Gelombang berdiri.
80
BAB VII ENERGI GELOMBANG DAN KECEPATAN GROUP Energi kinetik suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan v dan massa m
adalah
1 mv 2 2
Kita punya banyak partikel didalam volume v, elemen massa didalam v, dm = ρ dv, jadi energi total adalah :
Energi kinetik total didalam volume v adalah 1
1
∫ 2 v dm = ∫ 2 ρv
2
dv = E * kin
v
Energi potensial =
∫ ρφdv, dimana v
φ = g z (geopotensial)
Volume v meliputi -H < z < ζ 0 ≤ y ≤ 1, unit strip/satu satuan lebar. 0≤x≤L Disini kita tinjau untuk kasus barotropik ρ = ρo (konstan) Dengan demikian Energi Kinetik kita adalah :
E * kin =
ζ 1 L 1 ρ o ∫ ∫ ∫ dxdydz −H 0 0 2
E * kin =
0 1 L ζ 1 L 1 1 ρ o ∫ ∫ ∫ v 2 dxdydz + ρ o ∫ ∫ ∫ v 2 dxdydz −H 0 0 −H 0 0 2 2
Sekarang kita tinjau konstribusi integral kedua di ruas kanan terhadap energi kinetik. Kita lakukan uraian Taylor dari kecepatan di sekitar z = 0 v ( z ) = v (0) +
∂v ∂z
z + .... z =0
81
jadi
ζ
∫
0
ζ ∂v v dz = ∫ v 2 ()) + 2 (0) z + ... dz 0 ∂z
v 2 (0)ζ + 2
∂v ∂z
v (0) z =0
ζ2 + ... 2
Kita lihat disini bahwa suku pertama di ruas kanan ordenya 3 (tiga, sedangkan suku kedua, ordenya 4 (empat). Jika kita hanya meninjau energi gelombang sampai dengan orde kedua saja, maka konstribusi dari integral kedua di atas dapat kita abaikan. Dengan demikian energi kinetik dapat kita nyatakan sebagai :
E * kin =
0 1 1 1 ρ o ∫ ∫ ∫ v 2 dxdydz −H 0 0 2
Untuk energi potensial kita dapatkan : ζ
E * pot = ρ o ∫ gzdz = gρ o ∫
∫
L
−H 0
v
zdxdydz
2 L ζ H2 gρ o ∫ − dx 0 2 2
Kita definisikan energi potensial = 0 bila tidak ada gelombang, ini berarti
∫
L
0
H2 dx = 0, dengan demikian 2
E * kin =
gρ o 2
∫
L
0
ζ 2 dx
catatan : tanda (*) menunjukkan energi gelombang yang terkandung didalam suatu gelombang dengan panjang "L" (didalam arah x) dan lebar satu satuan "y", dari permukaan sampai ke dasar perairan. Kerapatan energi kita definisikan sebagai :
82
E* = energi persatuan luas ( y = 1), jadi L
E kin
E * kin = L
E pot
E * pot = L
Kita tentukian terlebih dahulu energi gelombang Airy. Kita tuliskan kembali formula untuk gelombang Airy :
ζ = a sin(kx − ωt )
u=
gak cosh k ( H + z sin( kx − ωt ) ω cosh(kH )
W =−
gak cosh k ( H + z cos(kx − ωt ) ω cosh(kH )
dengan omega (ω) = gk tanh (kH), hubungan dispersi Substitusikan besarn - besaran ini kedalam persamaan energi kinetik dan potensial dan integral terhadap "x" dan "z" saja, sebab terhadap "y" adalah satu satuan. 0 L 1 E * kin = ρ o ∫ ∫ v 2 dxdz 2 −H 0
0 L 1 E * kin = ρ o ∫ ∫ (u 2 + ω 2 )dxdz 2 −H 0
83
E * pot = ρ o g ∫
L
0
ζ2 dx 2
Untuk memudahkan integrasi kita gunakan integral standar berikut :
∫ sin
x 1 xdx = − sin 2 x 2 4
2
∫ cos
x 1 xdx = − sin 2 x 2 4
2
Untuk integral yang kita selesdaikan misal : S = kx − ωt
dx 1 = ds k
jadi
∫
L
∫
L
0
0
sin 2 (kx − ωt ) =
1 S = 2π −ωt 2 sin Sds k ∫S = −ωt
sin 2 (kx − ω t )dx =
1 1 1 1 1 ( 2 π − ω t ) − ( − ω t ) − sin 2 ( 2 π − ω t ) + sin 2(−ω t ) k 2 2 4 4
Dengan cara yang sama kita peroleh :
∫
L
0
cos 2 (kx − ω t )dx =
L 2
Untuk fungsi hiperbolik kita gunakan integral standar berikut :
∫ sinh
2
∫ cosh
2
xdx =
1 x sinh x cosh x − 2 2
xdx =
1 x sinh x cosh x + 2 2
84
0
jadi :
∫
sinh 2 k ( z + H )dz =
−H
1 kH sinh 2 sds ∫ 0 k
=
∫
0
−H
sinh 2 k ( z + H )dz =
1 1 s sinh s cosh s − k 2 2
kH 0
1 1 kH sinh kH cosh kH − k 2 2
disini kita misalkan s = k ( z + H ), dengan cara yang sama :
∫
0
−H
cosh 2 k ( z + H )dz =
1 1 kH sinh(kH ) cosh(kH ) + k 2 2
Dengan menggunakan hasil integrasi di atas kita peroleh : 2
E
* kin
L1 1 gak = ρo sinh( kH ) cosh(kH ) 2 ω cosh(kH ) 2 k 2
=
E
* kin
1 g 2a2k 2 L1 ρo 2 sinh(kH ) cosh(kH ) 2 2 ω cosh kH 2 k
ρo g 2a 2k1 = L tanh(kH ) 4 ω2
Dengan menggunakan hubungan dispersi ω 2 = gk tanh(kH )
* E kin =
ρo 2 ga L 4
E *pot = gρ o ∫
L
0
2 L a ζ2 dx =gρ o ∫ sinh 2 (kx − ωt )dx 0 2 2
85
gρ o 2 L 1 a = gρ o a 2 L 2 2 4
E *pot =
* * Kita lihat disini E kin dan E pot harganya sama, atau
* E kin = E *pot =
1 gρ o a 2 L 4
* * Etot = E kin + E *pot =
Etot =
1 gρ o a 2 L 2
* Etot 1 = gρ o a 2 L 2
Jadi energi gelombang berbanding lurus dengan a2, makin tinggi gelombang, makin besar energinya, dimensinya adalah :
[ gρ a ] = [T 2
−2
o
[ E ] = MLT * kin
2
]
ML−2 L2 = MT − 2 =
ML2T −2 energi : luas. L2
L = ML2T −2 = 1 joule.
( gaya x panjang = energi ) Jadi satuan dari energi adalah = joule per meter kuadrat
=
J2 m2
Rumusan energi yang kita bahas di atas hanya berlaku untuk gelombang gravitasi yang tidak dipengaruhi oleh rotasi bumi ( f = 0 ) dan untuk dasar perairan yang datar. Untuk kasus gelombang dengan f ≠ 0 ( dipengaruhi oleh rotasi bumi ), maka kita ingat kembali rumus - rumus untuk gelombang sverdrup dengan η= 0.
86
ζ = a sin(kx − ωt )
W =−
u=
gaωk sin(kx − ωt ) ω2 − f 2
V =
gafk cos(kx − ωt ) ω −f2 2
aω ( z + H ) cos(kx − ωt ) H
ω 2 − f 2 = gHk 2 dengan menggunakan besaran - besaran ini kita dapatkan
E *pot =
* E kin =
=
gρ o 2
∫
L
0
L 1 ρ o ∫ (u 2 + v 2 + w 2 )dxdz 0 2
1 L g 2 a 2ω 2 k 2 ( gafk ) 2 ρo H 2 + 2 2 (ω − f 2 ) 2 (ω 2 − f 2 ) 2
1 L (aω ) 2 + ρo 2 2 H2
0
karena
∫
maka
* E kin =
−H
1 gρ o a 2 L 4
ζ 2 dx =
H
∫
0
−H
( z + H ) 2 dz
( z + H ) 2 dz = ∫ x 2 dx = 0
2 3 H 3
1 (ω 2 + f 2 ) 1 ( aω ) 2 H 3 ρ o HL( gak ) 2 2 + ρ L o 4 (ω − f 2 ) 4 H2 3
87
* E kin =
=
(ω 2 + f 2 ) g 2 k 2 H ω 2 H 1 ρ o La 2 g 2 + 2 2 4 3 ( ω − f ) gHk (ω 2 + f 2 ) ω 2 H 1 ρ o La 2 g + 4 3 g ω 2 − f 2
untuk gelombang w > f (ω 2 + f 2 ) ≥ ω 2 − f
atau
2
ω2 + f 2 ≥1 ω2 − f 2
akan kita lihat apakah
ω 2H << 1 , sehingga dapat diabaikan. 3g
f adalah batas bawah dari ω, misal "ω" adalah 10 f , ω < f , kita ambil g = 103 cm/dtk2 , H = 10 km = 106 cm dari ω < 10 f
ω 2 H 100 f 2 10 6 1 5 2 10 −8 < = .10 f ~ .10 5 3 3g 3 3 3.10
~
10 −3 << 1 3
f = 10 −4
ω2 + f 2 ω 2H Jadi dapat diabaikan terhadap 2 dengan demikian ω −f2 3g
88
* E kin =
1 (ω 2 + f 2 ) ρ o La 2 g 2 4 (ω − f 2 )
untuk f = 0, maka
untuk f ≠ 0
E kin =1 E pot
E kin ω 2 + f 2 = > 1 , artinya Ekin selalu lebih besar dari Epot bila f ≠ 0 E pot ω 2 − f 2
Dalam hal ini gerak horisontal mendominasi gerak vertikal
Energi total
( E tot ) =
(ω 2 + f 2 ) + (ω 2 − f 2 ) 1 ρ o ga 2 4 (ω 2 − f 2 ) 2ω 2 1 2 = ρ o La g 4 ω 2 − f
( E tot ) =
1 ω2 ρ o ga 2 2 2 ω −f
2
2
Bila sejumlah energi tersedia dan "ω" berkurang mendekati f (ω → f ) tetapi tidak sama dengan f , maka agar energi gelombang tidak menjadi ∞ ( tak hingga ), maka a 2 → 0. Bila a = 0, berarti kita hanya mempunyai gerakan horisontal saja.
Gelombang berdiri ( f = 0 )
u=
2agk sinh k ( H + z ) sin kx cos ωt ω cosh(kH )
ω=−
2agk sinh k ( H + z ) cos kx cos ωt ω cosh(kH )
89
ζ = −2a cos kx sin kx = A cos(kx) sin( kx) A = 2 a, dimana a amplitudo dari dua gelombang progresip yang membentuk gelombang berdiri.
E *pot =
L gρ o 2 L 2 1 gρ o ∫ ζ 2 dx = A sin ωt 0 2 2 2
E *pot =
L gρ o A 2 sin 2 ωt 4
* E kin =
L gρ o A 2 cos 2 ωt 4
Bila sin2 ωt mencapai maximum, maka cos2 ωt = 0 dan sebaliknya. Atau bila Epot maximum, maka Ekin minimum, artinya di puncak atau di lembah tidak ada gerakan.
Etot =
=
{
1 gρ o A 2 cos 2 ωt + sin 2 ωt 4
}
1 gρ o A 2 4
untuk gelombang progresif Etot = g ρo a2 dimana A = - 2 a, maka A2 = 4 a2, Etot (standing wave) = g ρo a2 = 2 Etot (progresif wave)
90
KECEPATAN GROUP pada hakekatnya gelombang di laut, merupakan superposisi dari gelombang - gelombang dengan frekuensi dan panjang gelombang yang berbeda. Untuk memudahkan permasalahan, kita tinjau dua gelombang progresif yang bergerak dalam arah yang sama.
ζ 1 = a sin(k1 x − ω 1t ) ζ 2 = a sin( k 2 x − ω 2 t ) Amplitudo gelombang pertama = amplitudo gelombang kedua.
ζ 1 = a sin(k1 x − ω 1t ) ζ 2 = a sin( k 2 x − ω1 ) gelombang ζ1 dan ζ2 merupakan deretan gelombang yang "tak berhingga". Catatan : Pada hakekatnya di alam tak ada deretan gelombang yang tak berhingga, meskipin ia mengililingi bumi. Superposisi dari dua gelombang progresif tersebut diberikan oleh :
ζ 1 + ζ 2 = a sin( k1 x − ω1t ) + as sin(k 2 x − ω 2 t ) = 2a sin
1 [ (k1 + k 2 ) x − (ω1 + ω 2 )t ] cos 1 [ (k1 − k 2 ) x − (ω1 − ω 2 )t ] 2 2
(1)
Disini kita lihat superposisi gelombang mempunyai dua frekuensi dan dua bilangan gelombang. 2 frerkuensi
1 1 (ω 1 + ω 2 ) dan (ω 1 − ω 2 ) 2 2
2 bilangan gelombang
1 1 (k1 + k 2 ) dan ( k1 − k 2 ) 2 2 bil. gel. besar
bil. gel. kecil
atau λ pendek
atau λ panjang
91
Superposisi dari dua deretan gelombang progresif yang tak berhingga, menghasilkan suatu gelombang yang amplitudonya termodulasi ( Amplitudo - modulated wave ). 1 (ω 1 + ω 2 ) 2
= frekuensi carier wave
1 ( k1 + k 2 ) 2
= bilangan gelombang carier wave
1 (ω 1 − ω 2 ) 2
= frekuensi modulated wave
1 ( k1 − k 2 ) 2
= bilangan gelombang modulated wave.
Lc < Lm dimana :
Lc = panjang gelombang carier wave Lm = panjang gelombang modulated wave.
Catatan : Superposisi dari dua deretan gelombang yang tak berhingga menghasilkan suatu deretan gelombang berhingga.
Carier wave bergerak dengan kecepatan fase =
(ω 1 + ω 2 ) ( bergerak dalam arah "x" ( k1 + k 2 )
positif ). Modulated wave bergerak dengan kecepatan fase =
(ω 1 + ω 2 ) ( k1 + k 2 )
Sekarang kita tinjau gelombang perairan dalam ( deep water wave ) / Gelombang pendek. Gelombang pertama dan kedua memenuhi hubungan dispersi
ω12 = gk1 maka (ω 12 + ω 22 ) = g (k1 + k 2 )
ω 22 = gk 2
92
(2)
Agar memenuhi hubungan gelombang perairan dalam, maka untuk carier wave harus berlaku : 1
1 1 2 2 (ω 1 + ω 2 ) = g 2 (k1 + k 2 ) ←
dari ω2 = g k
2
1 2 (ω 1 + ω 2 ) = g (k1 + k 2 ) 2 Hasil di atas tidak sama dengan persamaan (2) ( carier wave tidak memenuhi hubungan dispersif gelombang perairan dalam ). Demikian juga halnya dengan modulated wave. Sekarang misalkan untuk gelombang kedua, kita mempunyai frekuensi dan bilangan gelombang yang tetap ( fixed ) yaitu ωo dan ko. Jadi gelombang kedua kita nyatakan :
ζ o = a sin( k o x − ω o t ) dan gelombang pertama frekuensi dan bilangan gelombangnya adalah variabel yaitu ω dan k.
ζ = a sin(kx − ωt ) Kedua gelombang ini adalah gelombang gravitasi yang dicirikan oleh hubungan berikut:
ω o = f (k o ) → ω o2 = gk o ω = f (k ) → ω 2 = gk , dan kecepatan cariernya adalah : (ω + ω o ) = Cm (k + k o ) carier
93
kecepatan fase modulated wave
(ω − ω o ) = Cm (k − k o ) modulated
Apa yang terjadi bila ω → ωo dan k → ko, jika k sangan berbeda dari ko.
DAFTAR PUSTAKA 1.
Dean, R.G., Dalrymple, R.A. (1984), Water Waves Mechanics for Engineers and Scientist, Prentice-Hall, Inc., New Jersey
2.
Hadi, S., (1998), Arus Laut, Departemen Geofisika dan Meteorologi, ITB, Bandung
3.
von Schwind, (1980), Geophysical Fluid Dynamics for Oceanographers, Prentice-Hall, Inc, USA
4.
Komar, P.,D. (1976), Beach Processes and Sedimentation, Prentice-Hall, Inc, USA
5.
Horikawa, K. (1988), Nearshore Dynamics and Coastal Processes, University of Tokyo Press, Japan
6.
McLelan, H.,J. (1965), Elements of Physical Oceanography, Pergamon Press, New York
94