Bab 5 Root Locus

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

ROOT LOCUS

Ì Pendahuluan Ì Dasar Root Locus Ì Plot Root Locus Ì Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus Ì Root Locus Melalui MATLAB Ì Kasus Khusus Ì Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus Ì Root

Locus

untuk

Sistem

dengan

Transport Lag

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-1

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì PENDAHULUAN n

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya).

n

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s. Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan. Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation. Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB ?!) W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus. Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.

n n n n n n n

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-2

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì DASAR ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: s2 + 2s + K =0 Akar-akar Persamaan Karakteristik : s=

K 0 1 2 10 101

− 2 ± 4 − 4K = −1 ± 1 − K 2

s1 0 -1 -1+j1 -1+j3 -1+j10

s2 -2 -1 -1+j1 -1+j3 -1+j10

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-3

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

n

Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata.

n

Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K→∞) termasuk zero-zero pada titik takhingga.

n

Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi.

n

Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

n

Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat.

n

Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole.

n

Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat.

n

Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locus.

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-4

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì PLOT ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 Atau: G(s)H(s) = -1, Sehingga: ⊃G(s)H(s) = ! 1800(2k+1); (syarat sudut) k = 0, 1, 2, …. | G(s)H(s)| = 1

(syarat magnitude)

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-5

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì PROSEDUR PENGGAMBARAN ROOT LOCUS 1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata. • Syarat Sudut: ⊃G(s)H(s) = ! 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, …. • Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus: • Banyaknya asimtot = n – m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka

± 1800 (2k + 1) • Sudut-sudut asimtot = n−m k=0, 1, 2, … • Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata: σa =

∑ (letak pole berhingga )− ∑ (letak zero berhingga ) n−m

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-6

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0, Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:

dK B ' ( s) A( s ) − B ( s ) A' ( s) = − =0 ds A2 ( s ) 5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan. • Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari zerozero ke pole kompleks tsb). • Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari polepole ke zero kompleks tsb).

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-7

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K): • Melalui Kriteria Routh Hurwitz. • Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz 7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerahdaerah selain sumbu nyata dan asimtot. 8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak polepole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis: Secara grafis: K=

perkalian panjang garis - garis dari titik s ke pole - pole perkalian panjang garis - garis dari titik s ke zero - zero

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-8

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

CONTOH : Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan G (s ) =

K s ( s + 1)(s + 2)

Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop tertutup dominannya bernilai 0,5. Solusi : 1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata. jω

Titik uji 2 -2

-1

Titik uji 1 •

0

•

σ

Untuk titik uji 1 : Syarat sudut : − ∠s − ∠(s + 1) − ∠( s + 2) = 0 0 + 0 0 + 0 0 = 0 0 (tak terpenuhi). Untuk titik uji 2 : Syarat sudut : − ∠s − ∠(s + 1) − ∠( s + 2) = −180 0 − 0 0 − 0 0 = −180 0 (terpenuhi). 2. Penentuan asimtot Root Locus Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3 Sudut asimtot =

± 180 0 (2k + 1) 3

; (k = 0,1, 2) = 60 0 ; 180 0 dan − 60 0

Titik potong asimtot pada sumbu nyata : σ =

∑ p − ∑ z = (0 − 1 − 2) − 0 = −1 n−m

3−0

3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan :

dK =0 ds

Persamaan karakteristik sistem adalah :

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-9

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

K +1 = 0 s (s + 1)(s + 2)

atau K = −(s 3 + 3s 2 + 2 s ) , sehingga:

dK = −(3s 2 + 6 s + 2) = 0 ds Diperoleh s1 = −0,4226 (memenuhi) dan s 2 = −1,5774 (tak memenuhi) 4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz. s3 1 s2 3 6−K s1 3 s0 K

2 K

Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s = ± j 2 . Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = jω (pada sumbu khayal). 5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-10

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

6. Gambar Root Locus nya:

7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s = −ζω n ± jω n 1 − ζ 2 . Dengan memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa ζ = cos β . Untuk ζ = 0,5, maka β = 60 0 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh polepole dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah: K = s ( s +)(s + 2) s = −0 ,3337 + j 0 ,5780 = 1,0383

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-11

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì BEBERAPA CATATAN • Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus.

• Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di ‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-zero H(s)

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-12

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-13

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-14

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì ROOT LOCUS MELALUI MATLAB Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB: 1+ K

num =0 den

num = (s + z1 )(s + z 2 ) L (s + z m ) = s m + (z 1 + z 2 + L + z m )s m −1 + L z 1 z 2 L z m den = (s + p1 )(s + p 2 ) L (s + p n ) = s n + (p1 + p 2 + L + p n )s n −1 + L + p 1 p 2 L p n Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep Fungsi Alih): rlocus(num, den) Untuk konsep ruang waktu: rlocus (A, B, C, D) Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K secara otomatis ditentukan. Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan : rlocus(num,den,K), atau rlocus(A,B,C,D,K) K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup ingin dihitung. __________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-15

Bab 5: Root Locus

Cara

lain

EL303: Sistem Kendali

penggambaran

Root

Locus

adalah

dengan

menggunakan arguman berikut ini : [r,K] = rlocus(num,den) [r,K] = rlocus(num,den,K) [r,K] = rlocus(A,B,C,D) [r,K] = rlocus(A,B,C,D,K) Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K. Perintah : r=rlocus(num,den) plot(r,'o')

atau,

plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda `o ′

atau

`x ′,

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis, maka plot Root Locus berikut ini : K (s + 1) s(s + 2)(s + 3) 10K (s + 1) G (s)H(s) = s(s + 2)(s + 3) 200K (s + 1) G (s)H(s) = s(s + 2)(s + 3) G (s)H(s) =

adalah sama, dengan : num = [ 0 0 1 1 ] den = [ 1 5 6 0 ] __________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-16

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Contoh : Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan satuan: G (s ) =

K (s 2 + 2s + 4) s (s + 4)(s + 6)(s 2 + 1,4s + 1)

Solusi : Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk polinomial. Definisikan :

a = s(s + 4) = s 2 + 4s : a = [1 4 0] b =s+6

: b = [1 6]

c = s 2 + 1.4s + 1

: c = [1 1.4 1]

Selanjutnya gunakan perintah : d = conv(a,b); e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-17

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Program MATLAB nya: %------Root-Locus ------num = [0

0

0

den = [1

11.4

1

2

39

4];

43.6

24

0];

rlocus(num,den) Warning:Divide by zero v = [-10

10

-10

10]; axis(v)

grid title(‘Root-Locus Plot of G(s) = K(s^2 + 2s +4)/[s(s + 4)(s + 6)(s^2 + 1.4s + 1)]’)

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-18

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì KASUS KHUSUS ] Parameter K bukan penguatan loop terbuka. ] Umpanbalik positif.

] Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka.

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-19

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-20

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

] Umpanbalik Positif.

• Modifikasi Aturan 2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root Locus.

± k 360 0 3. Sudut-sudut asimtot = n − m ; k=0, 1, 2, … 5. Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan 00.

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-21

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Contoh:

Gambarkan Root Locus untuk sistem umpan-balik positif G(s)H(s). Solusi: 1. Plot pole-pole lup terbuka (s = -1 + j1, s = -1 - j1, s = -3) dan zero (s = -2) pada bidang kompleks. Dengan naiknya nilai K dari 0 hingga ∞, pole-pole lup tertutup akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada zero-zero lup terbuka (baik zero berhingga maupun tak berhingga), sebagaimana terjadi pada sistem umpan-balik negatif. 2. Tentukan root locus pada sumbu nyata . Root locus akan berada pada penggal garis antara -2 dan +∞ dan antara -3 dan -∞. 3. Tentukan asimtot-asimtot root locus. Sudut-sudut asimtot = ± k. 3600 / (3 - 1) = ±1800. (Kedua asimtot terletak pada sumbu nyata.) 4. Tentukan titik-titik pencar dan masuk. K = [(s + 3)(s2 + 2s + 2)]/(s + 2). dK/ds = 0, diperoleh: 2s3 + 11 s2 + 20 s + 10 = 0, atau 2(s + 0,8)(s + 2,35 + j0,77)( s + 2,35 - j0,77), sehingga titik masuk s = -0,8 5. Tentukan sudut berangkat root locus dari pole-pole kompleks. Untuk pole pada s = -1 + j1, sudut berangkatnya adalah: θ = 0 - 270 - 900 + 450 = -720 6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal untuk menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti.

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-22

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.

C ( s) K(s + 2) = 2 R( s ) (s + 3)(s + 2s + 2) − K(s + 2)

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-23

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-24

Bab 5: Root Locus

Ì ANALISIS

EL303: Sistem Kendali

SISTEM KENDALI

• Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan • Sistem stabil kondisional • Sistem fasa non-minimum

• Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal lokus ∠G(s)H(s)= ±1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang G(s)H(s)

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-25

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

• Sistem Stabil Kondisional

• Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan 64
__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-26

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

• Sistem Fasa Non-Minimum (Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

• Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidangs. • Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s.

= ±1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, … Sehingga: 0 K (Ta s − 1) ∠ =0 s (Ts + 1)

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-27

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Ì ROOT LOCUS DENGAN TRANSPORT LAG • Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis.

• Elapse time: T = L/v detik, • Sehingga : y(t) = x(t-T) • Fungsi Alih:

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-28

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Contoh:

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-29

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Mengingat sudut kontribusi dari e-Ts adalah nol untuk ω=0, maka sumbu nyata dari -1 hingga -∞ merupakan bagian dari root locus. Asumsikan suatu nilai ω1 untuk ω, dan hitung 57.3o ω1T. Pada titik -1 disumbu nyata negatif, gambar suatu garislurus yang membuat sudut 180o - 57.3o ω1T terhadap sumbu nyata. Tentukan titik potong garis ini dengan garis mendatar ω = ω1. Titik potong P ini sebagaimana terlihat pada gambar kiri memenuhi persamaan root locus, sehingga titik tersebut berada pada root locus. Dengan mengulangi prosedure diatas, maka akan diperoleh root locus seperti terlihat pada gambar kanan.

Perlu juga diingat bahwa bila s mendekati -∞, maka fungsi alih lup terbuka :

K e -Ts akan mendekati - ∞, karena s +1 K e- Ts lim = s = -∞ s +1

d ds [ K e- Ts ] d/ds[s + 1]

s = −∞

= − KTe −Ts = −∞

Dengan demikian, s= -∞ adalah suatu pole lup terbuka. Jadi root locus bermula dari s = -1 atau s = -∞ dan berakhir pada s = ∞, sesuai dengan membesarnya K dari nol hingga tak hingga. Mengingat syarat sudut fasa untuk root locus memiliki tak terhingga nilai (ingat k = 0, 1, 2, …), maka akan ada tak terhingga root locus pula. Untuk k = 1, maka syarat sudut berubah menjadi:

∠s + 1 = ± 5400 − 57.30 ωT (derajat) = ± 3Π - ωT (radian) __________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-30

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1 __________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-31

Bab 5: Root Locus

EL303: Sistem Kendali

Pendekatan Transport Lag • Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb kontinyu dan smooth:

• Pendekatan Lain:

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-32