Bab 4 Matematika.docx

BAB IV APLIKASI TURUNAN

4.1. Maksimum Dan Minimum Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi masalah untuk mendapatkan jalan terbaik dalam melakukan sesuatu. Sebagai contoh seorang pedagang berusaha untuk memperoleh laba yang optimal dari hasil penjualannya. Dia berusaha menekan biaya sekecil mungkin. Masalah seperti ini perlu dilakukan analisis untuk menentukan nilai optimal yaitu nilai maksimum ataupun minimum sesuai dengan masalah yang dihadapi. Andaikan diberikan sebuah fungsi 𝑓 dengan daerah asal 𝑆. (gambar 4.1). Kita ingin menentukan dimana nilai maksimum dan minimum terjadi pada daerah tersebut. y max 𝑦 = 𝑓(𝑥)

min S

x

Gambar 4.1 Dari gambar di atas, kita dapat menurunkan definisi sebagai berikut : Definisi 4.1.1: Andaikan 𝑆 daerah asal 𝑓 memuat titik 𝑐. Kita katakan bahwa: i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐)  𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆. ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐)  𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆. iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim 𝑓 pada 𝑆 jika ia adalah nilai maksimum atau minimum. Dimana terjadinya nilai ekstrim? Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut : Teorema 4.1.1 (Titik Kritis) : Andaikan 𝑓 didefinisikan pada selang 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah titik ekstrim, maka 𝑐 haruslah suatu titik kritis, yakni 𝑐 berupa salah satu: (i)

Titik ujung dari I

MATEMATIKA TEKNIK

28

(ii)

Titik stasioner dari f(f’(c)=0)

(iii) Titik singular dari f(f’(c) tidak ada Prosedur menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.  Langkah-1: Carilah titik-titik kritis dari 𝑓 pada 𝐼  Langkah-2: Hitunglah nilai 𝑓 pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh 4.1.1

:

Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari: f  x   2x3  6x2 pada selang [-2,3]! Jawab

:

 Langkah 1: Titik-titik kritis adalah: a. Titik ujung 𝑥 = −2 dan 𝑥 = 3 b. Titik stasioner: f’(x) = 6x2-12x = 0. Diperoleh x1=0 dan x2=2 Jadi titik kritisnya adalah: 𝑥 = −2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, dan 𝑥 = 3  Langkah 2: Hitung nilai 𝑓(𝑥) untuk setiap titik kritis diperoleh: 𝑓(−2) = −40,

𝑓(0) = 0,

𝑓(2) = −8,

𝑓(3) = 0

Jadi nilai maximum = 0 terjadi di 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 3 Nilai minimum = −40 terjadi di 𝑥 = −2

Contoh4.1.2

:

Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari: f(x) = x3-27x pada selang [-1,4]! Jawab

:

 Langkah 1: Titik-titik kritis adalah: a. Titik ujung 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 4 b. Titik stasioner: f’(x)=3x2-27=0. Diperoleh x1=-3 dan x2=3 Karena 𝑥 = −3 diluar selang [−1,4] maka 𝑥 = −3 tidak termasuk sebagai titk kritis. Jadi titik kritisnya adalah: x = -1,

x = 3,

dan x = 4

 Langkah 2: hitung nilai 𝑓(𝑥) untuk setiap titik kritis. 𝑓(−1) = 8,

𝑓(3) = 0,

𝑓(4) = 28

Jadi, nilai maximum = 28 terjadi di 𝑥 = 4 MATEMATIKA TEKNIK

29

Nilai minimum = 0

terjadi di

𝑥=3

4.2. Masalah-masalahPraktisTurunan Contoh 4.2.1

:

Kotak persegi panjang dibuat dari selembar papan. Panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat keatas sisisisinya, seperti dalam gambar 4.2 Bagaimana ukuran kotak agar volumenya maksimum?. Berapakah volume tersebut?

Gambar 4.2 Jawab

:

Andaikan 𝑥 adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan kemudian dibentuk sesuai dalam ukuran seperti gambar di atas, maka kita dapatkan: Panjang = 24 − 2𝑥,Lebar = 9 − 2𝑥, dan Tinggi = 𝑥 Selanjutnya andaikan V adalah volume kotak, maka :

V  panjang  lebar  tinggi V   24  2 x  9  2 x  x   216 x  66 x 2  4 x3 Dalam hal ini, 𝑥 tidak boleh lebih kecil dari 0 ataupun tidak lebih besar dari 4,5. Jadi masalah kita adalah memaksimumkan V  216 x  66 x 2  4 x3 pada selang[0 ,4.5]. Selanjutnya

titik

stasioner

didapatkan

dengan

mendiferensialkan

𝑉

dan

menyamakannya dengan 0. V   x   216  132 x  12 x 2  12 18  11x  x 2   12  9  x  2  x   0

sehingga x1  9 dan x2  2 . Dengan demikian titik kritisnya adalah: 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, dan 𝑥 = 4,5. Untuk 𝑥 = 9 tidak bisa dijadikan sebagai titik kritis karena persoalan 𝑉 hanya dibatasi pada selang [0,4.5].Uji titik-titk tersebut diperoleh: 𝑉(0) = 0,

𝑉(2) = 200,

𝑉(4,5) = 0

Dengan demikian disimpulkan bahwa volume maximum adalah 200 inci kubik jika kotak tersebut diberi ukuran Tinggi = 𝑥 = 2 inci (karena pada 𝑥 = 2 volume mencapai nilai maximum) MATEMATIKA TEKNIK

30

Panjang = 24 − 2𝑥 = 24 − 4 = 20 inci Lebar = 9 − 2𝑥 = 9 − 45 = 5 inci Contoh 4.2.2

:

Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai untuk membuat pagar identik yang berdampingan seperti diperlihatkan dalam gambar 4.3. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum? Jawab

: y

x

x

x

y Gambar 4.3 Andaikan lebar = 𝑥, dan panjang = 𝑦. Pada gambar terlihat ada 3 buah sisi lebar (tegak) dan 2 buah sisi panjang (datar). Karena tersedia 100 meter kawat, maka diperoleh persamaan: 3x + 2y = 100, atau y = 50 -

3 x 2

Luas total A diberikan oleh: A= xy = x(50 -

3 3 x) = 50x - x2 2 2

Karena harus terdapat tiga sisi sepanjang x, kita lihat bahwa 0  x 

100 . Jadi masalah 3

kita sekarang adalah memaksimumkan A = 50x -

100 3 2 x pada selang [0, ]. 2 3

Titik stasioner: A’(x) = 50-3x=0, sehingga x=

50 3

Jadi ada tiga buah titik kritis yaitu: 𝑥 = 0, 𝑥 =

100 50 , dan 𝑥 = 3 3

50

Ujititiktersebut: A(0)=0, 𝐴 ( 3 ) = 416,67 , dan 𝐴 (

100 3

)=0

50

Jadi nilai maksimum = 416,67 terjadi pada 𝑥 = ( 3 )

MATEMATIKA TEKNIK

31

Dengan demikian, luas maksimum adalah

50 , dan ukuran pagar yang maksimum 3

adalah: 50

Panjang = 𝑥 = ( 3 ) meter, 50

3

3 50

Lebar = 𝑦 = ( 3 ) − 2 𝑥 = 50 − 2 ( 3 ) = 25 meter. 4.3. Aplikasi Bidang Ekonomi-Management Dalam setiap bidang usaha, seseorang atau sebuah perusahan berupaya agar mendapat keuntungan yang optimal. Hal seperti ini dapat dihitung dengan menggunakan teori-teori Kalkulus Diferensial. Pandang sebuah perusahaan khas, PT Antara. Untuk memudahkan, anggap bahwa Antara menghasilkan dan memasarkan sebuah barang; mungkin berupa TV, aki kendaraan, atau sabun dalam peti, atau yang lainnya. Jika Antara menjual x satuan barang tahun ini, Antara akan mampu membebankan harga 𝑝(𝑥) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x karena bilamana Antara memperbesar keluarannya, kemungkinan Antara akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan Antara diberikan oleh 𝑅(𝑥) = 𝑥𝑝(𝑥), yaitu banyak satuan barang dikali harga tiap satuan. Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, Antara akan mempunyai biaya total 𝐶(𝑥). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak, dsb) ditambah biaya variabel yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dan tujuan dasar dari perusahan adalah total laba 𝑃(𝑥), yakni selisih antara pendapatan dan biaya yang dapat dirumuskan sebagai: 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝑥𝑝(𝑥) − 𝑐(𝑥). Dalam hal ini perusahaan ingin memaksimumkan total laba yang diperoleh. Penggunaan kata Marjinal Jika fungsi biaya 𝐶(𝑥), harga 𝑝(𝑥), pendapatan 𝑅(𝑥), dan keuntungan 𝑃(𝑥), maka kita dapat mendefinisikan:

dC = biayamarjinal dx

MATEMATIKA TEKNIK

dp = hargamarjinal dx

32

dP = keuntunganmarjinal dx

dR = pendapatan dx

Contoh 4.3.1

:

Andaikan 𝐶(𝑥) = 8300 + 3,25x + 40 3 x rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana 𝑥 = 1000! Jawab

:

Biaya rata-rata =

8300  3,25x  403 x C ( x) = x x

Biaya marjinal =

dC 40 -2/3 = 3,25 + x 3 dx

Pada 𝑥 = 1000, akan diperoleh

8300  3,25(1000)  403 1000 C ( x) = = 11,95. x 1000 dan dC 40 = 3,25 + (1000)-2/3 = 3,38. 3 dx

Iniberartibahwa rata-rata biayatiapsatuanadalah Rp.11.950 untukmemproduksi 1000 satuan yang pertama. Sedangkanuntukmemproduksisatuan-satuantambahan di atas 1000 hanyamemerlukanbiaya Rp.3.380.

Soal-soal latihan Bab 4. 1. Petani Badu mempunyai 80 kaki kawat berduri yang ia rencanakan untuk memagari kandang persegipanjang sepanjang satu sisi gudangnya sepanjang 100 kaki. Sisi sepanjang gudang tidak memerlukan kawat duri. Berapa ukuran kandang yang mempunyai luas maksimum? 2. Developer ingin membangun rumah BTN type 36 (luas lantai 36 m2). Lantai berbentuk persegipanjang. Karena luas sudah ditentukan, maka developer ingin mencari keuntungan dengan jalan menentukan ukuran yang ideal agar diperoleh keliling minimum, sebab dengan keliling yang minimum, maka biaya pembangunan tembok dapat berkurang. a. Berapakah ukuran yang seharusnya agar diperoleh keliling minimum? b. Jika perkiraan biaya untuk membangun dinding tembok per m2 adalah Rp.500.000, berapakah perbedaan biaya jika dibangun rumah ukuran panjang

MATEMATIKA TEKNIK

33

=6m, lebar =6m dan tinggi=2,5m jika dibandingkan dengan ukuran panjang =9m, lebar =4m dan tinggi=2,5m ? 3. Sebuah perusahan menawarkan rancangan harga sebagai berikut: $30 per seribu untuk pesanan sebanyak 50.000 atau kurang, dengan harga per seribu yang turun dengan 37 ½  untuk tiap seribu di atas 50.000. Cari jumlah pesanan yang akan membuat penerimaan perusahaan maximum!

MATEMATIKA TEKNIK

34