BAB 3. PEMBAHASAN
3.1 Kontruksi Model Matematika Persamaan Momentum ∀
∀
𝜕𝜌𝑣𝜙𝑛 𝜕𝑦
𝜕𝜌𝑢𝜙𝑤 𝜕𝑥
∀
∀
𝜕𝜌𝑢𝜙𝑒 𝜕𝑥
𝜕𝜌𝑣𝜙𝑠 𝜕𝑦
Bentuk Umum : 𝜕𝜌𝜙0 + (𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒) = 𝛴𝐹 𝜕𝑡 ↔
𝜕𝜌𝜙0 + (𝑖𝑛 − 𝑜𝑢𝑡) = 𝛴𝐹 𝜕𝑡
↔
𝜕𝜌𝜙0 𝜕𝜌𝑢𝜙𝑤 𝜕𝜌𝑢𝜙𝑒 𝜕𝜌𝑣𝜙𝑠 𝜕𝜌𝑣𝜙𝑛 𝜕𝜙𝑂 + (∀ −∀ ) + (∀ −∀ ) = −𝑔𝜌∀𝑈𝑢 − 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑔𝜌∀𝑈𝑣
𝜕𝜙𝑂 + 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 ) 𝜕𝑦
𝑡+∆𝑡 𝑦+∆𝑦 𝑥+∆𝑥
∫
∫
∫
𝑡
𝑦
𝑥
𝜕𝜌𝜙0 𝜕𝜌𝑢𝜙𝑤 𝜕𝜌𝑢𝜙𝑒 𝜕𝜌𝑣𝜙𝑠 𝜕𝜌𝑣𝜙𝑛 + (∀ −∀ ) + (∀ −∀ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦
= 𝜌𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑦 + (∀𝜌𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡 − ∀𝜌𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡) + (∀𝜌𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡)
𝑡+∆𝑡 𝑦+∆𝑦 𝑥+∆𝑥
∫
∫
∫ −𝑔𝜌∀𝑈𝑢
𝑡
𝑦
𝑥
𝜕𝜙𝑂 𝜕𝜙𝑂 − 𝑔𝜌∀𝑈𝑣 + 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦
= −𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 − 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 + 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆𝑡 Dari hasil diatas maka : 𝜌𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑦 + (∀𝜌𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡 − ∀𝜌𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡) + (∀𝜌𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡) = −𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 − 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 + 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆𝑡 ↔ 𝜌𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑦 + (∀𝜌𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡 − ∀𝜌𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡) + (∀𝜌𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡) + 𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 + 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 − 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆𝑡 = 0..........persamaan 1 Persamaan Massa
𝜕𝜌𝐴𝜙𝑛 𝜕𝑦
𝜕𝜌𝐴𝜙𝑒 𝜕𝑥
𝜕𝜌𝐴𝜙𝑤 𝜕𝑥
𝜕𝜌𝐴𝜙𝑠 𝜕𝑦
Bentuk Umum : 𝜕𝜌∀𝜙0 + (𝑖𝑛 − 𝑜𝑢𝑡) = 0 𝜕𝑡 ↔
𝜕𝜌∀𝜙0 𝜕𝜌∀𝜙𝑤 𝜕𝜌∀𝜙𝑒 𝜕𝜌∀𝜙𝑠 𝜕𝜌∀𝜙𝑛 + ( − )+ ( − )= 0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝑡+∆𝑡 𝑦+∆𝑦 𝑥+∆𝑥
∫
∫
∫
𝑡
𝑦
𝑥
𝜕𝜌∀𝜙0 𝜕𝜌∀𝜙𝑤 𝜕𝜌∀𝜙𝑒 𝜕𝜌∀𝜙𝑠 𝜕𝜌∀𝜙𝑛 + ( − )+ ( − ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦
= 𝜌∀𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑦 + (𝜌𝐴𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡) + (𝜌𝐴𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡) = 0
= 𝜌∀𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑦 = (𝜌𝐴𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡) + (𝜌𝐴𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡) = 𝜌𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑦 =
(𝜌𝐴𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡) + (𝜌𝐴𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡) … … 𝑝𝑒𝑟𝑠. 2 ∀
Substitusi persamaan 2 ke persamaan 1 (𝜌𝐴𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡) + (𝜌𝐴𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡 − 𝜌𝐴𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡) + ((∀𝜌𝑢𝜙𝑤 ∆𝑦∆𝑡 − ∀𝜌𝑢𝜙𝑒 ∆𝑦∆𝑡) + ∀ (∀𝜌𝑣𝜙𝑠 ∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑣𝜙𝑛 ∆𝑥∆𝑡) + 𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 + 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 − 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆= 0
Jadi persamaannya : 𝜙𝑤 (∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡 −
𝜙𝑛 (
𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡) + 𝜙𝑠 (∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡 − ) + 𝜙𝑒 ( )+ ∀ ∀ ∀
𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡) + 𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 + 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 − 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆= 0 ∀
Diskritisasi Quick 1 3 3 𝜙𝑒 (𝑖, 𝑗) = − ∅(𝑖 − 1, 𝑗) + ∅(𝑖, 𝑗) + ∅(𝑖 + 1, 𝑗) 8 4 8 1 3 3 𝜙𝑛 (𝑖, 𝑗) = − ∅(𝑖, 𝑗 − 1) + ∅(𝑖, 𝑗) + ∅(𝑖, 𝑗 + 1) 8 4 8 1 3 3 𝜙𝑤 (𝑖, 𝑗) = − ∅(𝑖 − 2, 𝑗) + ∅(𝑖 − 1, 𝑗) + ∅(𝑖, 𝑗) 8 4 8 1 3 3 𝜙𝑠 (𝑖, 𝑗) = − ∅(𝑖, 𝑗 − 2) + ∅(𝑖, 𝑗 − 1) + ∅(𝑖, 𝑗) 8 4 8 Substitusi ke Persamaan Umum 𝜙𝑤 (∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡 −
𝜙𝑛 (
𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡) + 𝜙𝑠 (∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡 − ) + 𝜙𝑒 ( )+ ∀ ∀ ∀
𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 − ∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡) + 𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 + 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 − 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆= 0 ∀
1 3 3 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 ↔ (− ∅(𝑖 − 2, 𝑗) + ∅(𝑖 − 1, 𝑗) + ∅(𝑖, 𝑗)) (∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡 − ) 8 4 8 ∀ 1 3 3 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 + (− ∅(𝑖 − 1, 𝑗) + ∅(𝑖, 𝑗) + ∅(𝑖 + 1, 𝑗)) ( − ∀𝜌𝑢 ∆𝑦∆𝑡) 8 4 8 ∀ 1 3 3 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 + (− ∅(𝑖, 𝑗 − 2) + ∅(𝑖, 𝑗 − 1) + ∅(𝑖, 𝑗)) (∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡 − ) 8 4 8 ∀ 1 3 3 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 + (− ∅(𝑖, 𝑗 − 1) + ∅(𝑖, 𝑗) + ∅(𝑖, 𝑗 + 1)) ( − ∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡) 8 4 8 ∀ + 𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 + 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 − 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆= 0 1 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 3 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 ↔ (− ∅(𝑖 − 2, 𝑗) (∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡 − )) + ( ∅(𝑖 − 1, 𝑗) (∀𝜌𝑢 ∆𝑦∆𝑡 − )) 8 ∀ 4 ∀ 3 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 1 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 + ( ∅(𝑖, 𝑗) (∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡 − )) + (− ∅(𝑖 − 1, 𝑗) ( − ∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡)) 8 ∀ 8 ∀ 3 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 3 𝜌𝐴∆𝑦∆𝑡 + ( ∅(𝑖, 𝑗) ( − ∀𝜌𝑢∆𝑦∆𝑡)) + ( ∅(𝑖 + 1, 𝑗) ( − ∀𝜌𝑢 ∆𝑦∆𝑡)) 4 ∀ 8 ∀ 1 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 + (− ∅(𝑖, 𝑗 − 2) (∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡 − )) 8 ∀ 3 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 3 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 + ( ∅(𝑖, 𝑗 − 1) (∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡 − )) + ( ∅(𝑖, 𝑗) (∀𝜌𝑣 ∆𝑥∆𝑡 − )) 4 ∀ 8 ∀ 1 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 3 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 + (− ∅(𝑖, 𝑗 − 1) ( − ∀𝜌𝑣 ∆𝑥∆𝑡)) + ( ∅(𝑖, 𝑗) ( − ∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡)) 8 ∀ 4 ∀ 3 𝜌𝐴∆𝑥∆𝑡 + ( ∅(𝑖, 𝑗 + 1) ( − ∀𝜌𝑣∆𝑥∆𝑡)) 8 ∀ = −𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 − 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 + 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆= 0 Sehingga kita dapatkan : 1 𝜌𝐴 ∅(𝑖 − 2, 𝑗) (− (∀𝜌𝑢 − ) ∆𝑦∆𝑡) … … . 𝐴 8 ∀ 1 𝜌𝐴 3 𝜌𝐴 ∅(𝑖 − 1, 𝑗) (− ( − ∀𝜌) ∆𝑦∆𝑡) + ( (∀𝜌𝑢 − ) ∆𝑦∆𝑡) … … . 𝐵 8 ∀ 4 ∀ 3 𝜌𝐴 3 𝜌𝐴 3 𝜌𝐴 ∅(𝑖, 𝑗) ( (∀𝜌𝑢 − ) ∆𝑦∆𝑡) + ( ( − ∀𝜌𝑢) ∆𝑦∆𝑡) + ( (∀𝜌𝑣 − ) ∆𝑥∆𝑡) 8 ∀ 4 ∀ 8 ∀ 3 𝜌𝐴 + ( ( − ∀𝜌𝑣) ∆𝑥∆𝑡) … … . 𝐶 4 ∀
3 𝜌𝐴 ∅(𝑖 + 1, 𝑗) ( ( − ∀𝜌𝑢) ∆𝑦∆𝑡) … … . 𝐷 8 ∀ 1 𝜌𝐴 ∅(𝑖, 𝑗 − 2) (− (∀𝜌𝑣 − ) ∆𝑥∆𝑡) … … . 𝐸 8 ∀ 1 𝜌𝐴 ∅(𝑖, 𝑗 − 1) (− ( − ∀𝜌𝑣) ∆𝑥∆𝑡) … … . 𝐹 8 ∀ 3 𝜌𝐴 ∅(𝑖, 𝑗 + 1) ( ( − ∀𝜌𝑣) ∆𝑥∆𝑡) … … . 𝐺 8 ∀ −𝑔𝜌∀𝑈𝑢𝜙𝑂 ∆𝑦∆𝑡 − 𝑔𝜌∀𝑈𝑣𝜙𝑂 ∆𝑥∆𝑡 + 𝑔(𝜌∀𝑈)2 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )∆𝑥∆𝑦∆ … … . 𝐻 Dengan skema dikritisasi sebagai berikut: (i,j+4)
(i+1,j+4)
(i+2,j+4)
(i+3,j+4)
(i+4,j+4)
(i,j+3)
(i+1,j+3)
(i+2,j+3)
(i+3,j+3)
(i+4,j+3)
(i,j+2)
(i+1,j+2)
(i+2,j+2)
(i+3,j+2)
(i+4,j+2)
(i,j+1)
(i+1,j+1)
(i+2,j+1)
(i+3,j+1)
(i+4,j+1)
(i,j)
(i+1,j)
(i+2,j)
(i+3,j)
(i+4,j)
maka diperoleh matriks diskritisasi sebagai berikut:
3.2 Matlab