Bab 2

BAB II GELOMBANG GRAVITASI KASUS KEDALAMAN TAK BERHINGGA. Di dalam Bab I telah diturunkan persamaan-persamaan untuk gelombang sebagai berikut :

d2 f − k2 f = 0 2 dz

di (-H < z < 0)

(2.1)

df ω2 − f =0 dz g

di z = 0

(2.2)

df =0 dz

di z = - H

(2.3)

atau

df → 0 jika z → - ∞ dz

Dari persamaan (2.1) adaladh

f ( z ) = A e kz + B e − kz dimana A dan B adalah konstanta sembarang. Kita tinjau laut yang dalamnya tak berhingga

df → 0 bila z → - ∞ dz Bila kita terapkan syarat batas ini diperoleh

df = kA e kz − k B e − kz dz Ini harus nol bila z → - ∞ Jadi B harus nol, dengan demikian

f ( z ) = A e kz

17

Berikut kita terapkan syarat batas campuran (persamaan 2.2) pada f ( z ) = A e kz , diperoleh

k A e kz −

ω2 Ae kz = 0 g

di z = 0

atau k−

ω2 =0 g

(2.4)

ω dan k tidak dapat saling bebas satu dengan lainnya. Hubungan ini disebut hubungan dispersi Sekarang kita punya

f ( z ) = A e kz dengan kondisi

k=

ω2 g

Jadi kita dapat menuliskan :

~ Φ = A e kz ei ( kx − ω t )

(2.5)

dari hubungan

ζ=−

1 ∂Φ g ∂t z = 0

Kita dapatkan

1 ~ ζ = − A (− iω ) e kz ei ( kx −ωt ) z =0 g atau

~ iω ζ = A e i ( kx −ωt ) g

18

~ ~ Potensial kecepatan dan elevasi muka air dapat ditentukan dari bagian riel dari φ dan ζ.

φ = Ae kz cos (kx−ωt ) ω ζ =− Asin ( kx−ωt )

(2.6)

g

Secara geometrik elevasi muka air dapat dinyatakan sebagai

ζ = a sin (kx - ωt) a = amplitudo gelombang. jadi

a=−

ω ga A→ A= − . g ω

Sekarang kita dapat menyatakan gelombang laut dalam parameter-parameter a, k, dan ω. a. ζ = a sin (kx - ωt) b. φ = −

(2.7)

ga kz e cos (kx −ωt ) ω

(2.8)

ω2 k− =0 g c. p1 =−ρo

∂φ ∂t

z y

x

Gelombang merambat dalam arah x positif. Kita ingin mengetahui trayektori partikel air ketika gelombang lewat dipermukaan. Apa yang terjadi secara fisis dan geometri.

19

Sedikit penjelasan tentang gelombang linear (gelombang amplitudo kecil). Dalam mempelajari gelombang linear pada hakekatnya kita dapat mengabaikan suku-suku non linear dari persamaan Navier Stokes. Tinjau derivatif total dari u(x,z):

du ∂u ∂u ∂u = +u + w + dt ∂t ∂x ∂z Kita tinjau orde-orde dari suku-suku

∂u ∂u ∂u ,u dan w . ∂t ∂x ∂z

Dengan menggunakan

hubungan

V =∇φ persamaan (2.6) dapat ditulis sebagai

∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂  ∂φ   +u  +w   ∂x  ∂t  ∂x  ∂x  ∂x  ∂z 

∂ 2 φ ∂φ ∂ 2 φ ∂φ ∂ 2 φ + + ∂x∂t ∂x ∂x 2 ∂z ∂x∂z Substitusikan

φ =−

ga kz e cos (kx −ωt ) dan bandingkan suku-suku non linear. ω  ga kz  e  ω 

φ =0  ↑ orde

∂φ ga =+ k e kz sin ( kx −ωt ) ∂x ω ∂ 2φ ga =− kω e kz cos ( kx −ωt ) ∂x∂t ω

20

∂ 2φ =0 [ga e kz k ] ∂x∂t ∂ 2φ ga 2 kz = k e cos (kx −ωt ) ∂x 2 ω ∂φ ∂ 2 φ  ga kz   ga 2 kz  = k e   k e  sin ( kx −ωt ) cos ( kx −ωt ) ∂x ∂x 2  ω  ω  =

g 2 a2 k 3

ω

2

e 2 kz sin ( kx −ωt ) cos (kx −ωt )

 g 2 a2  = 0  2 e 2 kz k 3   ω 

∂ 2φ ga 2 kz = k e sin ( kx −ωt ) ∂x∂z ω ∂φ ∂ 2 φ ga kz ga =− k e cos (kx−ωt ) k 2 e kz sin ( kx−ωt ) ∂z ∂x∂z ω ω  g 2 a 2 2 kz 3  =0 2 e k   ω  •

Suku-suku linear

∂ 2φ =0[ gae kz k ] ∂x∂t •

Suku-suku non linear  g 2 a 2 2 kz 3  ∂φ ∂ 2 φ = 0  2 e k  ∂x ∂x 2  ω 

orde suku linier

orde suku non linier

21

g 2 a 2 2 kz 3 e k ω2

gae kz k

1

ga kz 2 e k ω2

1

ga kz 2 e k gk

1

αe kz k

kita dapat mengabaikan suku-suku non linear bila a e kz k <<1 Tuntutan ini dengan mudah dapat dipenuhi bila k a << 1, karena a e kz k
gelombang linier

Amplitudo gelombang jauh lebih kecil seperti panjang gelombang. Gelombang yang memenuhi syarat ini disebut gelombang amplitudu kecil (kecil dibandingkan panjang gelombang) atau disebut juga sebagai infinitesimal waves. Gelombang pasang surut (pasut) dapat kita perlakukan sebagai gelombang linear. Meskipun gelombang tersebut mempunyai amplitudu yang sangat besar panjang gelombang jauh lebih besar dari pada amplitudonya. Bila a/L << 1 tidak dipenuhi maka gelombang tersebut disebut gelombang amplitudo berhingga (finite amplitude waves). Contoh

L = 10 m A=1m

Kecuraman gelombang

a 1 = L 10

gelombang non linier

22

Untuk gelombang linear maupun gelombang non linear, gelombang akan pecah bila a/L =

1 . 7 L = 100 m a=1m a 1 = L 100

gelombang linier

Sekarang kita ingin melihat gerakan partikel air yang timbul akibat gelombang yang bergerak dipermukaan air.  ga kz Dari hubungan v1 = ∇φ dan φ = − e cos(kx − ωt ) ω diperoleh u = u1 =

∂φ ak kz =g e sin(kx − ωt ) ∂x ω

w = w1 =

∂φ ak kz = −g e cos(kx − ωt ) ∂z ω

(2.9)

dx ak kz =u= g e sin( kx − ωt ) ω dt dz ak kz = w = −g e sin( kx − ωt ) ω dt

(2.10)

Trayektori partikel x(t), z(t) dapat ditentukan dengan cara mengintegrasikan persamaan (2.9). tetapi integrasi tidak dapat langsung dilakukan karena x dan z tidak diketahui. Untuk itu dilakukan pendekatan menggunakan uraian Taylor. Misalkan posisi partikel dalam keadaan diam (x0, z0) Uraian Taylor : f ( x, z ) = f ( x 0 , z 0 ) +

∂f ∂f ( x − x 0 ) + ( z − z 0 ) + ... ∂x ∂z

dx ak kzo ak 2 kzo =u= g e sin(kx0 − ωt ) + g e cos(kx0 − ωt )( x − x 0 ) dt ω ω +g

ak 2 kzo e sin( kxo − ωt )( z − z o ) + ... ω

23

(2.11)

dz ak kzo ak 2 kzo = w = −g e cos(kx0 − ωt ) + g e sin( kx0 − ωt )( x − x0 ) dt ω ω −g

ak 2 kzo e cos(kxo − ωt )( z − z o ) + ... ω

(2.12)

Karena gelombang yang kita tinjau adalah gelombang dengan amplitudo kecil maka berlaku k ( x − xo ) << 1 k ( z − z o ) << 1 Dengan demikian suku kedua dan ketiga dari persamaan (2.11) dan (2.12) dapat diabaikan

dx ak k zo =u= g e sin (kxo − ω t ) dt ω

(2.13)

dz ak k zo = w = −g e cos (kxo − ω t ) dt ω

(2.14)

Integrasi persamaan (2.13) dan (2.14) menghasilkan : ( x − xo ) = g

ak k zo e cos (kxo − ω t ) ω2

(2.15)

( z − zo ) = g

ak k zo e sin (kxo − ω t ) ω2

(2.16)

Kuadratkan persamaan (2.15) dan (2.16) kemudian jumlahkan: ( x − xo ) 2 + ( z − z o ) = ( g

Kita tahu: k =

ω2 g

ak 2 k zo 2 ) (e ) ω2

− −− >

(2.17)

gk =1 ω2

Dengan demikian persamaan (2.16), dapat ditulis sebagai

(

( x − x o ) 2 + ( z − z o ) 2 = a e kzo

)

2

24

(2.18)

Persanmaan (2.16) menunjukkan partikel air bergerak dalam lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari r = a ekzo Gerak orbit partikel air diperairan dalam adalah berbentuk lingkaran. Selanjutnya kita ingin mengetahui kemana arah gerakannya.

atau

Tinjau kembali persamaan (2.12) u=g

ak kzo e sin(kxo − ωt ) ω

dengan r = ae kzo dan

gk = 1 persamaan ini dapat ditulis sebagai ω2

u =ωr sin (kx −ωt )

umax : kxo − ωt =

π + 2 nπ 2

u max = ωr > 0

menggambarkan gerak partikel air ke kanan

umin : kxo − ωt = u min = −ωr < 0

3π + 2nπ 2 menggambarkan gerak partikel ke kiri.

Dari persamaan (2.14) dan (2.15) diperoleh

( x − xo ) = r cos ( kx o − ωt )

( z − zo ) = r sin ( kx o − ωt ) π ζ mak terjadi bila (kxo −ωt ) = + nπ 2

25

x - xo = 0 z - zo = r Pada fasa ini partikel berada di puncak gelombang:

ζ min terjadi bila (kxo −ωt ) =

3π + nπ 2

x - xo = 0 z - zo = -r Pada fasa ini partikel berada dilembah gelombang

Lintasan partikel air

Jari - jari orbital berkurang secara eksponesional terhadap kedalaman

r

r = ae kz

26

Pada kedalaman berapa gerakan gelombang menjadi tidak efektif ? Untuk menjawab pertanyaan ini perhatikan kembali jari-jari orbital partikel air r = ae kzo = ae untuk

2π .zo L

1 1 z = − L → r = a e − π = .a 2 23

Disini kita lihat pada kedalaman jari-jari orbital partikel air sudah sangat kecil. Dapat dikatakan bahwa pengaruh gelombang dapat diabaikan pada kedalaman z> L/2. Dari kenyataan ini dibuat syarat untuk mendefinisikan gelombang perairan dalam (deep water wave) yaitu : h 1 > . L 2 Untuk gelombang perairan dalam hubungan dispersi gelombang diberikan oleh

ω 2 −g k = 0 artinya suatu panjang gelombang tertentu gelombang hanya bisa mempunyai suatu frekuensi tertentu. Kecepatan fasa gelombang c=L /T =

2π ω ω = k 2π k 1

c =ω

( g k ) 2 =( g k ) 1 k= 2 k

1

 g  2 c =   2π 

(2.19)

27

Kecapatan fasa gelombang perairan dalam tergantung pada panjang gelombang. Untuk gelombang yang panjangnya bergerak dengan kecepatan yang berbeda. Makin besar panjang gelombang makin cepat penjalarannya. Gelombang perairan dalam adalah gelombang dispersif karena kecepatan fasanya bergantung pada panjang gelombang atau frekuensi dc >0 dL dc >0 disebut dispersi normal. Gelombang perairan dalam disebut juga sebagai dL

gelombang pendek (short wave) dengan arti panjang gelombangnya jauh lebih kecil daripada kedalaman. Kecepatan fasa dan panjang gelombang perairan dalam: c2 =

g L g cT = 2π 2π

co =

g .T =1,56T (m dt ) 2π

co =

Lo T

(2.20)

Lo L = g o T 2π 2

Lo = g

atau

Lo =

Lo 2 T 2π

gT 2 2π

Lo = 1,56T 2 (m)

(2.21)

28