Bab 1 Sistem Persamaan Linier.pdf

ALJABAR LINIER

Sistem Persamaan Linier dan Matriks Imam Jauhari Maknun 081213148961 [email protected] Agustus 2017

Sistem Persamaan Linier dan Matrik  Pendahuluan  Eliminasi Gauss

 Matriks  Inverses dan Matrik Elementer  Matriks Khusus

Pendahuluan Sistem Persamaan Linier (SPL)

Persamaan Linier Bentuk umum persamaan linier: a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b  x1 ; x2 ; … ; xn adalah variabel /unknown  a1 ; a2 ; … ; an adalah koefisien

 b adalah konstanta

Jika konstanta b = 0 maka disebut persamaan linier homogen a1 x1  a2 x2  ...  an xn  0

Persamaan Linier  Persamaan x  3 y  7, y 

1 x  3z  1 dan x1  2 x2  3x3  x4  7 2

adalah persamaan linier  Persamaan x  3 y  5 ; 3x  2 y  z  xz  4 dan y  sin x bukan persamaan linier

Latihan 1  Apakah persamaan berikut linier terhadap x1, x2 dan x3 a.

x1  5 x2  2 x3  1

d.

x1  3x2  x1 x3  2

b.

x1  7 x2  3x3

e.

x12  x2  8x3  5

c.  x1  2 x2  x3  7

1 3

f.

3

x1 5  2 x2  x3  4

Sistem Persamaan Linier (SPL) Bentuk umum Sistem Persamaan Linier (SPL) : a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm

Contoh sistem persamaan linier (SPL): a.

x1  x2  1 2 x1  x2  6

b.

x1  x2  4 3x1  3x2  6

c. 4 x1  2 x2  1 16 x1  8 x2  4

Carilah solusinya? (solusi adalah bilangan yang membuat SPL tersebut menjadi benar)

Solusi Sistem Persamaan Linier (SPL) Secara umum SPL selalu mempunyai:  0 solusi (tidak punya solusi)  1 solusi  tak hingga banyaknya solusi SPL yang tidak punya solusi dikatakan tak-konsisten. SPL yang punya solusi dikatakan konsisten.

Aspek geometri dari solusi SPL

Aspek geometri dari solusi SPL

Solusi Sistem Persamaan Linier (SPL) Latihan 2  Tentukan apakah SPL berikut mempunyai satu solusi, tak hingga banyaknya solusi atau tidak punya solusi a.

x1  x2  1

c. 4 x1  2 x2  1 16 x1  8 x2  4

2 x1  x2  6 b.

x1  x2  4

d.

x1  x2  2 x3  5 2 x1  2 x2  4 x3  10

3x1  3x2  6

3x1  3x2  6 x3  15

 Tentukan nilai a dan b sehingga sistem persamaan linier berikut

mempunyai satu solusi, tak hingga banyaknya solusi atau tidak punya solusi. 2 x1  3x2  a 4 x1  6 x2  b

Matrik yang diperbesar (augmented matrix)  Bentuk SPL

a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm  Bentuk Matrik yang diperbesar

a11 a12 ... a1n a a ... a 2n  21 22      am1 am 2 ... am n

b1  b2     bm 

Operasi baris elementer (OBE) Operasi baris elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar dari SPL :  Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak-nol  Menukar 2 baris  Menambahkan perkalian suatu baris ke baris lain Jika dilakukan dengan benar, OBE tidak mengubah solusi dari suatu SPL.

Matrik yang diperbesar Latihan 3 2 x1  6 3 x1  8 9 x1  3

6 x1  x2  3x3  4 5 x2  x3  1 2 x2  3 x4  x5  0 3 x1  x2  x3  1 6 x1  2 x2  x3  2 x4  3x5  6

 2 6  3 8    9 3

6 1 3 4  0 5 1 1   

 0 2 0 3 1 0   3 1 1 0 0 1    6 2 1 2 3 6 

Matrik yang diperbesar Latihan 4 2 0 0  3 4 0     0 1 1   3 0 2 5  7 1 4 3    0 2 1 7 

2 x1  0 3 x1  4 x2  0 x2  1 3x1  2 x3  5 7 x1  x2  4 x3  3 2 x2  x3  7

Eliminasi Gauss

Pendahuluan Eliminasi Gauss  Metode sistematis untuk menyelesaikan SPL  Mengubah matriks yang diperbesar suatu SPL menjadi matriks eselon baris Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855, matematikawan Jerman.

Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan :  Metode sistematis untuk menyelesaikan SPL  Mengubah matriks yang diperbesar suatu SPL menjadi matriks eselon baris tereduksi Wilhelm Jordan, 1842 - 1899, ahli Geodesi Jerman.

Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi Baris-nol : baris yang seluruh angkanya adalah angka 0. Baris-tak-nol : baris yang mempunyai minimal 1 angka tak-nol. Matriks eselon baris: 1. Jika suatu baris adalah baris-tak-nol, maka angka tak-nol pertama di baris tersebut harus angka 1. Angka 1 ini disebut satu-utama (leading 1). 2. Baris-nol harus dikelompokkan di dasar matriks. 3. Dalam 2 baris-tak-nol yang berurutan, satu-utama dalam baris yang lebih bawah harus terletak di sebelah kanan dari satuutama baris yang lebih atas. Matriks eselon baris tereduksi: memenuhi sifat 1, 2, 3 ditambah 4. Masing-masing kolom yang berisi satu-utama mempunyai angka 0 di baris lainnya dalam kolom tersebut.

Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi  Contoh matriks eselon baris :

 Contoh matriks eselon baris tereduksi :

Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi  Contoh matriks eselon baris :

 Contoh matriks eselon baris tereduksi :

Solusi dari SPL Latihan 5  Matrik berikut adalah matrik eselon baris terduksi dari matrik

yang diperbesar suatu SPL dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE). Carilah solusinya. 1 0 0 5  (a) 0 1 0  2 0 0 1 4  1 0 (c)  0  0

6 0 0 4  2 0 1 0 3 1  0 0 1 5 2  0 0 0 0 0

1 0 0 4  1 (b) 0 1 0 2 6  0 0 1 3 2  1 0 0 0 (d) 0 1 2 0 0 0 0 1

Solusi dari SPL Latihan 6  Hitung nilai x1, x2 dan/atau x3 dengan metode Gauss-Jordan elimination

2 x1  4 x2  6 3x1  2 x2  8

x1  2 x2  4 x3  1 x1  3x2  4 x3  2 2 x1  4 x2  6 x3  4

2 x1  6 x2  8 x3  3 2 x1  3 x2  6 x3  2 x1  3 x2  5 x3  4

 Hitung nilai x1, x2 dan/atau x3 dengan metode Back-Substitution:

x1  2 x2  2 2 x1  5 x2  1

x1  2 x2  4 x3  2 x5  6 3x2  6 x3  3x4  9 x1  2 x2  2 x3  4

SPL Homogen a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  0 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  0 a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  0  Setiap SPL homogen selalu konsisten, karena semua SPL homogen mempunyai x1  0, x2  0,..., xn  0 sebagai solusinya.  Solusi ini disebut solusi trivial (trivial solution).  Jika ada solusi lain selain solusi trivial, maka solusinya

dinamakan solusi nontrivial (nontrivial solutions).  Sehingga hanya ada dua kemungkinan untuk solusinya :  SPL hanya punya solusi trivial  SPL mempunyai banyak solusi sebagai tambahan terhadap solusi trivial

SPL Homogen  SPL diubah menjadi matrik yang diperbesar

 Dilakukan Operasi Baris Elementer (OBE) menjadi matrik eselon baris

 Solusinya

Solusi dari SPL (Latihan tambahan)  Hitung nilai x1, x2 dan x3 dengan metode Gauss-Jordan elimination

4 x1  4 x2  13x3  1 3x1  4 x2  6 x3  1 x1  x2  3x3  1  Hitung nilai x1, x2 dan x3 dengan metode Back-Substitution

2 x3  4 x1  2 x2  x3  0 x2  5 x3  3  Selesaikan SPL homogen berikut

2 x1  4 x2  0 x1  3x2  0

2 x1  3 x2  x3  0

x1  5 x2  4 x3  0

x1  x2  3x3  0

2 x1  10 x2  8 x3  0

3 x1  3 x2  10 x3  0

3 x1  15 x2  13x3  0

Solusi dari SPL (Latihan tambahan) 1. Tentukan nilai a sehingga sistem persamaan linier berikut mempunyai satu solusi, tak hingga banyaknya solusi atau tidak punya solusi

x1  2 x2  3x3  4 3x1  x2  5 x3  2

4 x1  x2   a 2  14  x3  a  2

2. Tentukan nilai k sehingga sistem persamaan linier berikut mempunyai satu solusi, tak hingga banyaknya solusi atau tidak punya solusi

x  y  z 1 x  k y  3z  2 2x3y k z  3

Matriks

Pendahuluan Matriks : susunan yang terdiri atas bilangan-bilangan dan berbentuk persegi panjang. Entri : bilangan di dalam matriks. Ukuran matriks: banyak baris × banyak kolom.  Contoh:

5

1 2  5 7   

2 6 8 2 3 6    1 3 5 

 1 2 3  2 7 8  

2 5    0 

2

5 1

Operasi Matriks  Matriks A dan B dikatakan sama (equal) jika keduanya

mempunyai ukuran yang sama dan entri yang bersesuaian juga sama. Contoh: 2 6 8 A   2 3 6  1 3 5 

2 6 8 B   2 3 6  1 3 5 

 Misalkan matriks A dan B berukuran sama. Maka kita dapat

melakukan penjumlahan ( A + B) dan pengurangan (A - B) 2 A 5 3 A B   9

3 1 2  ; B   7 4 2   5 1 1 ; A B     9 1 5  

Operasi Matriks  Misalkan A adalah matriks dan k adalah sembarang bilangan. kA

adalah matriks yang didapat dengan mengalikan setiap entri dari A dengan k. 2 3 A ; k 3  5 7  6 9 kA  3 A    15 21  

 Misalkan matriks A berukuran m × r, dan B berukuran r × n.

Maka matriks perkalian matrik A dan B (AB) berukuran m × n,

Operasi Matriks  Misalkan matriks A berukuran m × n. Transpose dari A

(dinotasikan sebagai AT ) adalah matriks n menukar baris dan kolom matriks A.

×

m dengan cara

Operasi Matriks  Sifat dari Transpose

Operasi Matriks  Misalkan matriks A berukuran m × m (matriks persegi). Trace

dari A (dinotasikan sebagai tr(A)) adalah jumlah dari entrientri di diagonal utama matriks A.

Aritmatika Matriks

Matriks nol dan matrik identitas  Matriks nol (zero matrix) : matriks yang semua entrinya

bernilai 0.

 Sifat

Matriks nol dan matrik identitas  Matriks identitas (identity matrix): matriks persegi

dengan semua entri diagonalnya bernilai 1 dan semua entri non-diagonalnya bernilai 0.

 Sifat :

Jika matrik A berukuran m × n, maka:

Latihan 7

Diketahui : 2 6 8 A   2 3 6  1 3 5 

3 1 0 B  1 2 2   0 1 0 

 Hitung A+B  Hitung Trace A, Trace B dan Trace C  Hitung AT dan BT

1 2 C 4  1

1 7 3 5 0 2  6 8 3  0 2 7

Latihan 8  Carilah nilai a , b, c dan d jika: 3   4 d  2c  a  1 a  b    d  2c   2    

 a  b b  a  8 1  3d  c 2d  c   7 6     

 Hitunglah perkalian matrik AB dan AC 2 6 8 A   2 3 6  1 3 5 

3 1 0 B  1 2 2   0 1 0 

1 2 C 4  1

1 7 3 5 0 2  6 8 3  0 2 7

Inverses dan Matrik Elementer

Definisi  Misalkan A adalah matriks persegi. Jika ada matriks

persegi B dan AB = BA = I, maka A dikatakan dapat diinverse (invertible) dan B disebut inverse dari A.  Matriks B tersebut biasa ditulis sebagai A-1.  Jika tidak ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I,

maka A disebut matriks singular.

Sifat

Matrik Elementer  Suatu matriks persegi disebut matriks elementer jika matriks

tersebut didapat dari matriks identitas dengan menggunakan sebuah OBE tunggal.  Theorem Misalkan E adalah matriks elementer yang didapat dari suatu OBE dan A adalah matriks m × n. Hasil kali EA adalah matriks yang didapat dari matriks A yang dikenakan OBE tersebut.  Theorem Setiap matriks elementer dapat dibalik dan balikannya adalah matriks elementer juga.

Latihan 9  Apakah matrik berikut adalah matrik elementer (elementary matrix )? jelaskan.

 1 0 A   5 1  

 1 0 0  B   0 0 1   0 1 0 

1 0 0  C   0 1 9   0 0 1 

0 0 D 0  1

0 0 1 1 0 0  0 1 0  0 0 0

 Diketahui matrik A, B dan C :

3 4 1  A   2 7 1 8 1 5 

8 1 5  B   2 7 1  3 4 1 

3 4 1  C   2 7 1  2 7 3 

Tentukan matrik elementer E1 dan E2 jika E1A=B dan E2A=C.

Prosedur  Diberikan matriks persegi A (n × n).

 Apakah ada inverse dari A (A-1)?  Gunakan operasi baris elementer, apakah [A| I ] dapat

diubah menjadi [ I |A-1] ?

Latihan 10  Hitung A-1

 2 5 A  1 3  

1 3 3  A  1 4 3  3 9 10 

1 2 2  A  1 3 3  3 6 7 

Matriks Khusus

Matriks Diagonal  Matriks diagonal: matriks persegi yang entri-entri non-

diagonalnya bernilai 0.

 Secara umum matrik diagonal D berukuran n × n dapat

ditulis :

Matriks Diagonal  Pangkat dari matrik diagonal D adalah:

 Inverse dari matrik diagonal jika entri diagonalnya bukan 0

Matriks Diagonal  Contoh :

Matrik Segitiga  Matriks segitiga bawah (lower triangular ): matriks persegi

yang semua entri di atas diagonal utamanya bernilai 0.  Matriks segitiga atas (upper triangular ): matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya bernilai 0.

Matrik Segitiga

Matrik Simetrik  Matriks persegi A dikatakan simetrik jika A = AT .

Materi Tambahan

Matrik Polinomial Jika A adalah suatu matriks persegi n × n dan p  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  am x m

maka matriks n × n dari p(A) adalah p  A  a0 I  a1 A  a2 A2  ...  am Am

Contoh : Maka :

 1 2 p  x   x 2  2 x  3 dan A     0 3

p  A   A2  2 A  3 I  1   0 0  0

2  1 2  1 0  2  3    3 0 3 0 1     0 0  2

Matrik Polinomial Latihan. Hitung p(A)  3 1 1. p  x   x  2 dan A     2 1  3 1 2. p  x   2 x  x  1 dan A   2 1   2

 2 0 2 p x  2 x  x  1 dan A  3.    4 1    1 2 4. p  x   5 x  2 x  3 dan A     2 3 2

Solusi dari SPL

 Contoh, selesaikan SPL berikut : x1  2 x2  2 x3  4 2 x1  2 x2  x3  0 3x1  3x2  2 x3  3

1 2 2   x1   4 A   2 2 1  ; x   x2  ; b   0   3 3 2   x3   3 

 Solusi  x1   1 2 2   4   2  x   x2   A1b   1 4 3  0    5  x3   0 3 2   3   6 

Solusi dari SPL  Jika kita mempunyai SPL dengan koefisien yang sama A x  b1 ; A x  b 2 ; A x  b 3 ; ... A x  b k

 Maka solusi dari SPL (jika A bisa di inverse) x 1  A 1 b1 ; x 2  A 1 b 2 ; x 3  A 1 b 3 ; ... x k  A 1 b k

 Atau dengan eliminasi Gauss-Jordan  A b 1 b 2 ... b k 

 Selesaikan SPL Berikut : x1  2 x2  3 x3  4

x1  2 x2  3 x3  1

x1  2 x2  3x3  2

2 x1  5 x2  3 x3  5

2 x1  5 x2  3 x3  6

2 x1  5 x2  3x3  1

x1  8 x3  9

x1  8 x3  6

x1  8 x3  2

Quiz 1 1.

2.

Hitung nilai x1, x2 dan x3 dengan metode Gauss-Jordan elimination 2 x  y  3z  0 x1  2 x2  2 x3  2 2 x1  x2  2

x  2 y  3 z  0

3 x1  2 x2  x3  1

x y 4z  0

Hitung A-1 1 2 2  A   2 1 0   3 2 1 

3.

Diketahui matrik A, B dan C :

1 2  2 A   1 2 1  3 2 2 

1 2  2 B   7 2 3  3 2 2 

7 5 8 C   1 2 1  3 2 2 

Tentukan matriks elementer E1 dan E2 jika E1A=B dan E2A=C.