Ay 11 Leyes De Dda

Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Segundo Semestre de 2007

Microeconomía I Undécima ayudantía Profesores: L. Lira y M. Hermosilla 1. El país A está …rmando un tratado de libre comercio, a través del cual se compromete a reducir sus aranceles de importación. Usted quiere evaluar el impacto que tendrá la caída en el precio de los bienes importables sobre el consumo de todos los bienes, caída que se producirá por la reducción de los aranceles en el país A. Para ello, suponga que el precio de los demás bienes y el ingreso de los individuos permanecerá constante y que todos los individuos en A son idénticos. Entonces, si x1 es la cantidad consumida de bienes importables y x2 es la cantidad consumida de bienes no importables en A, usted debe estimar M M 11 y 21 : Note que sólo existen dos bienes, x1 y x2 : Estudios previos indican que sería razonable suponer en sus cálculos lo siguiente: que la proporción del ingreso que se gasta en bienes importables es un 50%. que al mantener el ingreso constante, si el precio de x2 aumenta en un 10%, la cantidad demandada de x2 cae en un 10%. que al considerar sólo el efecto sustitución, se encuentra que la elasticidad precio de la demanda por x2 es 1. Utilizando los anteriores supuestos, encuentre las elasticidades solicitadas M ( M 11 y 21 ), explicando la intuición económica detrás de cada uno de los resultados. Solución: Por el segundo supuesto sabemos que M 1: Por el tercer supuesto 22 = 1: Es decir, la elasticidad marshalliana (que considera sabemos que H 22 = ambos, efecto ingreso y sustitución) es igual a la elasticidad hicksinana (que sólo considera el efecto sustitución). O sea, x2 es un bien neutro. Formalmente, en la ecuación de Slutzky tenemos: M 22

=

H 22

2 2m

1=

1

2 2m

En este caso: como 2 = 0:5 > 0 (dado que la proporción del ingreso gastada en los bienes importables es 50% y se cumple 1 + 2 = 1 ya que sólo hay dos bienes) debe ocurrir 2m = 0: 1

Adicionalmente, podemos descomponer el efecto de un cambio en el precio del bien x1 en el consumo del bien x2 en efectos ingreso y sustitución a través de la ecuación de Slutzky generalizada. Esto es: M 21

Como

2m

= 0 sabemos que

H 21

=

M 21

1 2m

H 21 :

=

Si sólo existen dos bienes, la homogeneidad de grado cero en los precios de las demandas hicksianas obliga que se cumpla:

Como

H 22

=

1 sabemos que

H 22

+

H 21

H 21

= 1; y por lo tanto, que

=0 M 21

= 1:

Por no saciedad, debe ocurrir que todo ingreso adicional se gasta íntegramente. Es decir, se cumple la agregación de Engel: 1= Como

2m

=0y

1

=

2

1 1m

+

2 2m

= 0:5; debe ocurrir

1m

= 2:

Por la agregación de Cournot sabemos que se cumple: 0=

1

+

M 1 12

M 2 22

+

como M 1 y 1 = 2 = 0:5; debe ocurrir M 22 = 12 = 0 (dado que se mantiene constante el gasto para el bien 2, también debe mantenerse constante para el bien 1): Además, sabemos que la demanda marshalliana es homogénea de grado cero en precios e ingreso, es decir, que cuando todos los precios e ingreso cambian en cierta cantidad simultáneamente, la cantidad demandada de los bienes no cambia. Esto implica: 0= Dado que 1m = 2 y ecuación de Slutzky:

M 12

1m

H 11 H 11

= 2 =

H 11

=

M 11

+

= 0, tenemos que M 11

Luego

+

M 12 M 11

=

2: De acuerdo a la

1 1m

0:5 2

1:

2. Considere a un consumidor representativo con preferencias dadas por: u(x1 ; x2 ) =

1 1 ln x1 + ln x2 2 2

Asuma que el consumidor tiene un ingreso …jo de m = 100.

2

(a) Suponga que los precios iniciales son (p1 ; p2 ) = (3; 5): Calcule el consumo óptimo de cada uno de los bienes. (b) Suponga que el precio del bien x2 aumenta a p2 = 7: Calcule el consumo óptimo de ambos bienes en este nuevo escenario. (c) Derive la ecuación de Slutzky: provea de expresiones cerradas para los efectos ingreso y substitución. (d) Use el cambio de precios antes enunciado para derivar los efectos ingreso y sustitución producido en el consumo de cada bien. Solución: (a) Esta es una función de utilidad tipo Cobb-Douglas, por lo que sabemos que el problema primal del consumidor redundará en las siguientes demandas marshallianas: xM 1 (p1 ; m) =

1 m 2 p1

y

xM 2 (p2 ; m) =

1 m 2 p2

Dados los precios e ingreso, los consumos óptimos son: x1 = x2 = 10: (b) Sólo cambia el consumo de x2 : Ahora es x2 =

50 3

y

50 7 :

(c) En este caso enfrentamos el cambio del precio del bien x2 ; por lo que nos interesan las siguientes formas de la ecuación de Slutzky: @xM @xH 1 (p1 ; m) 1 (p; u) = @p2 @p2

x2

@xM 1 (p1 ; m) @m

@xM @xH 2 (p2 ; m) 2 (p; u) = @p2 @p2

x2

@xM 2 (p2 ; m) @m

y

Para formar estas expresiones necesitamos las demandas hicksianas o compensadas, que se encuentran resolviendo el problema dual del consumidor (como de costumbre). Entonces encontramos: xH 1 (p; u) xH 2 (p; u)

= u

p2 p1

= u

p1 p2

1 2

1 2

con u = 12:91 en la situación inicial (para que cumpla con las identidades de demanda). Entonces, en el caso de x1 tenemos: 0 |{z} Efecto total

1 1 = 12:91 2 p1 p2 | {z Efecto sustitución 3

1 2

}

1 x2 2p | {z 1} Efecto ingreso

Reemplazando los precios y la cantidad consumida de x1 : 1

1 1 2 0 = 12:91 2 15 = 1: 666 7 1: 666 7 = 0

10

1 6

En el caso de x2 tenemos: m 2p22 | {z } Efecto total

=

1 x2 2p2 | {z } Efecto ingreso

1 3 1 12:91p12 p2 2 } | 2 {z Efecto sustitución

Reemplazando los precios, el ingreso y la cantidad consumida de x1 : 1 2

100 = 12:91 2 52 2 = 1 1 2 = 2

1

32 5

3 2

1

(calza). (d) Las descomposiciones anteriores están hechas para un aumento in…nitesimal de p2 : Ahora descomponemos los efectos pensando en el cambio desde 5 a 7 de p2 : Para encontrar el cambio por efecto sustitución usamos las demandas hicksianas dado el nivel de utilidad inicial y la nueva relación de precios: xH 1 (p; u)

=

12:91

7 3

xH 2 (p; u)

=

12:91

3 7

1 2

= 19: 72 1 2

= 8: 451 6

Entonces ya sabemos que: Ef. sust. Correlato Grá…co x1 x2

B 19: 72 8: 451 6

Ef. ing.

A

50 3

= 3: 053 3 10 = 1: 548 4 usar un grá…co

4

C 50 3 50 7

Ef. total

B

19: 72 = 3: 053 3 8: 451 6 = 1: 308 7

C 50 3 50 7

A 50 3

=0 10 = 20 7