Ay 10 Eleccion

Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Segundo Semestre de 2007

Microeconomía I Décima ayudantía Profesores: L. Lira y M. Hermosilla 1. La función de utilidad de José es de la forma u(F; O) = 2 ln F + 2 ln O, donde F es el número de partidos de fútbol que ve y O el número de otros bienes que consume. Si José se inscribe en el club "Amigos del fútbol" debe pagar una cuota $c, que le da derecho a 19% de descuento en las entradas a los partidos. Encuentre la máxima cuota como porcentaje del ingreso (c=m) que hace que le convenga a José entrar al club. Solución: Supongamos que los precios son pF y pO : Noten que la función de utilidad es una transformación monótona creciente de una Cobb-Douglas, por lo que las demandas marshallianas asociadas son [revísenlo!] : F H (p; m)

=

OH (p; m)

=

m 2pF m 2pO

La función de utilidad indirecta entonces es: V (p; m)

= =

m m ) + ln( )] 2pF 2pO 2[2 ln m 2 ln 2 ln pF 2[ln(

ln pO ]

Si inicialmente los precios están …jos en pF y pO ; la utilidad inicial es: V (p; m) = 2[2 ln m

2 ln 2

ln pF

ln pO ]

Si José decidiera incorporarse al club, tendría utilidad de: V (p; m; c)

= 2[2 ln(m = 2[2 ln(m

c) c)

2 log 2 log 0:81pF log pO ] 2 ln 2 ln 0:81 ln pF ln pO ]

La cuota crítica (la que deja indiferente al José entre participar y no

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participar en el club) es la que satisface: 2[2 ln(m

c)

2 ln 2

V (p; m; c) ln 0:81 ln pF ln pO ] 2 ln(m c) ln 0:81 2(ln(m c) ln m) m c ln( ) m m c m c 1 m

= V (p; m) = 2[2 ln m 2 ln 2 ln pF = 2 ln m = 0:210 72 0:210 72 = = 0:105 36 2 =

0:9

=

0:9

c m Estaría dispuesto a pagar un 10% de su ingreso como máximo. 0:1

=

2. Considere el caso de un consumidor con función de utilidad indirecta: 0:20:2 0:80:8 m km V (p; m) = = 0:2 0:8 0:8 p0:2 p p 1 2 1 p2 4

donde k = 15 4 5 : Su ingreso es de m=100, e inicialmente enfrenta los precios p1 = 1 y p2 = 2: El gobierno estudia la posibilidad de regular ciertos aspectos de la producción del bien 1 (en particular, la contaminación que fenera) pero está preocupado por el daño que la consecuente alza en el precio tenrdía sobre los consumidores. De aprobarse la regulación en estudio, el precio del bien 1 subiría a 2. (a) Encuentre la demanda marshalliana por el bien 1. (b) Encuentre la demanda hicksiana por el bien 1. (c) ¿Qué pasaría con al cantidad demandada si el precio del bien 1 subiera a 2? (d) Si el gobierno quisiera compensar por el aumento en el precio causado por la regulación, ¿cuánto tendría que pagarle? (e) Por su parte, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar el consumidor por evitar el cambio regulatorio? Solución: (a) Por la identidad de Roy tenemos la demanda marshalliana: xM 1 (p; m)

=

= xM 1 (p; m) 2

=

@V (p;m) @p1 @V (p;m) m km 0:2 p1:2 0:8 1 p2 k 0:8 p0:2 1 p2

m 5p1

ln pO ]

(b) Fijando el nivel de utilidad tenemos: u=

km 0:8 p0:2 1 p2

Despejando el ingreso tenemos el mínimo gasto necesario para obtener determinado nivel de utilidad: u E[p; u] = p0:2 p0:8 k 1 2 Por el lema de Shepard tenemos la demanda hicksiana o compensada. xH 1 (p; u) =

@E[p; m] u p2 0:8 = ( ) @p1 5k p1

(c) La cantidad demandada caería a la mitad [no hace falta hacer cálculos, sólo basta mirar la demanda marshalliana]. (d) Vamos a responder pensando que la compensación del gobierno tiene por objetivo mantener el mismo nivel de utilidad que al comienzo. Usemos la función de gasto. Con los precios iniciales: E[pinic: ; uinic: ] =

uinic: 0:8 2 k

Con los precios …nales: uinic: 2 k El ingreso necesario para alcanzar el mismo nivel de utilidad aumentó. En particular: E[pf in: ; uinic: ] =

1 2 E[pf in: ; u] = 0:8 = 2 5 = 1: 148 7 E[pinic: ; u] 2

El gobierno tendría que pagarle 14:87% de su ingreso original, es decir, $14:87. (e) Aunque podría parecer raro, la respuesta es distinta a la anterior. Podemos decir que el individuo va a estar dispuesto a pagar un monto c que satisface: V (pinic: ; m

c) = V (pf in: ; m)

Esto es: km k (m c) = 0:8 2 2 (m c) 20:8 = m 2 c 1 1 = m 20:2 Con m = 100 se encuentra c = 12:945: 3

3. Mónica sólo valora el café y los libros. Con un ingreso monetario de m, y con precios de café y libros dados por p1 y p2 respectivamente, obtiene una utilidad de: ln 10 pp12 +

V (m; p) =

1 10p1 (m ln pm2

10p1 )

si si

m 10 m 10

p1 < p1

Si inicialmente (m; p1; p2 ) = (100; 1; 2) y el …sco repentinamente decidiera recaudar $1 de parte de Mónica en impuestos, ¿qué clase de impuestos preferiría ella que le cobraran? ¿Un impuesto al ingreso, al consumo de libros o al consumo del café (siempre recaudando el mismo monto)? Solución: Primero veamos qué utilidad obtendría si se le cobra el impuesto al ingreso, es decir, si ella pudiera disponer de ingreso $99. En este caso obtiene: V (99; p1 = 1; p2 = 2) = ln 5 +

1 (99 10

10) = ln 5 +

89 = 10: 509 10

Ahora, si se quiere recaudar $1 con algún impueso al consumo, el monto en que cambia el precio unitario debe estar calculado en función de la decisión de consumo. Es decir, si se va a gravar al café debe cumplirse: xM 1 (100; p1 = 1 + t; p2 = 2) t = 1 La demanda marshalliana se consigue por la identidad de Roy. Noten que como todavía no sabemos cuál va a ser el precio …nal del café (el que incluye el impuesto t), no sabemos en qué tramo de la función de utilidad m indirecta estamos. Si partimos suponiendo que se cumple 10 p1 ; es decir, en cuanto en cuanto t 9 , entonces la demanda marshalliana es: xM 1 (p; m) =

m p1

10

Si el precio que enfrenta es pt1 = 1 + t; entonces la cantidad consumida es 100 xt1 = 1+t 10: Debe cumplirse entonces: 100 1+t

10 t = 1

Hay dos soluciones para t, t = f0:011 25; 8: 888 7g. Nosotros asumimos que la autoridad …ja t para cumplir con el objetivo de recaudación minimizando la pérdida social, o sea …ja t = 0:011 25:Es decir, podemos estar seguros de que calculamos la demanda marshalliana usando el tramo correcto de la función de utilidad indirecta. Si este es el caso, Mónica obtendría utilidad por: V (100; p1

=

1:01125; p2 = 2) = ln 10

=

10: 509 4

1:01125 2

+

1 (100 10 1:01125

10 1:01125)

El caso para los libros es análogo, aunque acá no hay que preocuparse por los tramos de la función de utilidad indirecta. La demanda marshalliana por libros es: p1 xM 2 (m; p) = 10 p2 Cuando (m; p1; pt2 ) = (100; 1; 2 + t) se demandan xt2 = Para recaudar $1 debe cumplirse:

10 2+t

unidades de libros.

10 t=1 2+t El t que satisface la anterior es t = 92 ; con lo que la utilidad que alcanza Mónica en este caso es: V (100; p1

2 1; p2 = 2 + ) = ln 9 = 10: 504

=

10 2 + 29

+

1 (100 10

10)

Es decir, Mónica está indiferente entre que le graven el ingreso o el consumo de café, pero pre…ere ambas alternativas a que le graven los libros. Explicar en un grá…co!

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