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AXIOMAS DE PEANO Hay, desde luego una distinción esencial entre nuestra construcción de os cardinales y la de los ordinales. Los ordinales son conjuntos particulares, específicos, en tanto que los cardinales son objetos que no podemos clasificar aun como conjuntos o individuos. A este respecto nuestra posición con respecto al carácter de los cardinales es semejante a la del matemático laborioso respecto a los números naturales: no está interesado en una definición explicita de los números naturales en términos de otras entidades conocidas, sino solamente en conocer sus propiedades matemáticas esenciales. En particular requiere que los números naturales satisfaga a los cinco axiomas de Peano, los cuales pueden formularse en lógica elemental, independientes de la teoría de conjuntos. La función sucesor (intuitivamente, s(x) = x +1), y la constante individual ‘0’ para el número cero. Los axiomas de Peano son: P1.

0 es un número natural.

P2.

Si x es un número natural, entonces s(x) es un número natural.

P3.

No existe ningún numero natural x tal que s(x)= 0.

P4.

Si x y y son números naturales y s(x) = s(y), entonces x = y.

P5.

𝑆𝑖 𝜑(0) y, para cualquier numero natural x, si φ(x) entonces φ(s(x) ), entonces, para todo numero natural x, φ(x).

El Axioma P2 dice que el sucesor de cualquier número natural es un número natural. El axioma P3 dice que cero no es el sucesor de ningún numero natural, o sea que expresa el hecho intuitivamente obvio de que no hay numero natural x tal que. X+1 = 0 El Axioma P4 afirma que la función sucesor es 1-1(inyectividad). El P5 es realmente un esquema axiomático que expresa el principio de inducción para los números naturales.

Problema 1. Sea n ∈ ℕ un número natural arbitrario. Probar que s(n) ≠ n Demostración. Consideremos X = {n ∈ ℕ : s(n) ≠ n } Es claro que X ⊆ ℕ 1 ∈ X: como ℕ \s(ℕ) = {1} entonces 1 ∉ s(ℕ) luego para todo n ∈ ℕ se tiene s(n) ≠ 1 en particular para n = 1, luego se tiene s(1) ≠ 1 Considerando 𝑛 ∈ 𝑋 entonces s(n) ≠ n, ahora por ser “s” una función inyectiva s(s(n)) ≠ s(n)

Luego por definición de X, se tiene s(n) ∈ X

Problema 2. Considerando el tercer axioma de Peano como el Principio de Inducci´on Matematica (PIM) y también El Principio del Buen Orden (PBO)a la afirmació nn siguiente: Todo conjunto no vacío en N tiene un elemento mínimo Probar que, PIM =⇒ PBO

Demostraci´on. Veamos sea B ⊆ N no vac´ıo totalmente arbitrario, debemos probar que existe un elemento mínimo en B esto es ∃ 𝑚 ∈ 𝐵/ ∀ 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑚 ≤ 𝑏 ¿ ahora como lo hallamos? Consideremos 1 ∈ B como ∀ n ∈ ℕ, 1 ≤ n podemos considerar en particular ∀ n ∈ B, 1 ≤ n luego, 1 es el elemento mínimo de B la cual es el elemento buscado. Considerando ahora que 1 ∉ ℕ: creamos un conjunto 𝑋 𝑋 = {𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝐼𝑛 ⊆ ℕ\𝐵} como 1 ∉ B entonces

1 ∈ ℕ \𝐵 luego 𝐼1 ⊆ 𝑁\𝐵 por lo tanto 1 ∈ 𝑋.

Ahora debido a que 𝐵 ≠ ∅ entonces existe 𝑏𝑜 ∈ 𝐵 luego 𝑏𝑜 ∈ ℕ\B entonces 𝐼𝑏 0 ⊈ ℕ\𝐵 luego por definici´on 𝑏𝑜 ∉ 𝑋 luego 𝑋 ≠ℕ por lo tanto no verifica el PBO, con lo cual se deduce que existe 𝑛0 ∈ 𝑋 de modo que 𝑠(𝑛0 ) = 𝑛0 + 1 ∉ 𝑋 ahora como 𝑛0 ∈ 𝑋 entonces, 𝐼𝑛 0 = {1, 2, . . . , 𝑛0 } ⊆ ℕ \𝐵 entonces 1, 2, . . . , 𝑛0 ∉ 𝐵

(O)

ahora considerando 𝑚 = 𝑛0 + 1 se tiene que 𝑚 ∉ 𝑋 luego Im ⊈ ℕ\B de (O) y (OO) obliga a que 𝑚 ∈ 𝐵

(OO)

Afirmamos:

m es el elemento mínimo de B.

En efecto: Consideramos 𝑏 ∈ 𝐵 tomado arbitrariamente de (O) se deduce que 𝑛0 < 𝑏 luego se tiene 𝑛0 + 1 ≤ 𝑏

entonces 𝑚 ≤ 𝑏

Problema 3. Probar que P BO =⇒ P IM Prueba: Sea 𝑋 ⊆ ℕ de tal manera que verifique con

(i) 1 ∈ 𝑋 (ii) si 𝑛 ∈ 𝑋 entonces se cumple 𝑠(𝑛) = 𝑛 + 1 ∈ 𝑋 Por demostrar que 𝑋 = ℕ: Supongamos lo contrario es decir 𝑋 ⊈ ℕ consideremos el conjunto

𝐼 = ℕ \ 𝑋, por lo anterior se tiene que 𝐼 ≠ ∅

luego por el 𝑃𝐵𝑂, existe 𝑚 ∈ 𝐼 elemento mínimo de 𝐼, como 1 ∈ 𝑋 entonces 1 ∉ 𝐼 luego 1 < 𝑚

entonces existe x0 ∈ N de tal forma que 𝑚 = 1 + 𝑥0 y como 𝑥0 < 𝑚 = 𝑚𝑖𝑛(𝐼) se cumple que 𝑥0 ∉ 𝐼 = ℕ \𝑋 luego 𝑥0 ∈ 𝑋 por (ii) se tiene 𝑠(𝑥0 ) = 𝑥0 + 1 ∈ 𝑋 entonces 𝑚 ∈ 𝑋 luego 𝑚 ∉ ℕ\𝑋 = 𝐼 lo cual es incorrecto es decir es una afirmaci´on contradictoria, entonces negando lo supuesto se tiene 𝑋 = ℕ

BIBLIOGRAFÍA José Alfredo Amor Montaño, “Teoría de Conjuntos para estudiantes de Ciencias”, pág. 51-53, UNAM 2011. Gustavo Marca Castromonte, “Teoría de los Números Naturales”, pág 1-25, Fac. Ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería, 2011.