Auxiliar 18 04 07

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  • Words: 1,498
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Auxiliar miércoles 18 de abril de 2007 13. Sean x, y  . Considere el número

M  x, y  

x y x y 2

Muestre que M(x,y) es el máximo entre x e y. Encuentre una expresión similar para el mínimo entre x e y. Basta ponerse en los casos que xy. 1° Caso: x < y x – y < 0. Luego, como x - y es menor que cero, escribimos. x  y  x  y  2 y  y 2 2 Ahora, se cumple que dado x  y,  M  x, y   y M  x, y  

2° Caso: x > y x – y > 0. Luego, como x - y es menor que cero, escribimos. x  y  x  y  2 x  x 2 2 Ahora, se cumple que dado x  y,  M  x, y   x M  x, y  

Por tanto, se concluye que M  x, y  es el máximo entre x e y. Para escoger el mínimo solo basta Min x, y  

x y x y 2

14. a) Si 0 < r < 1, muestre que existe c > 0 tal que r 

1 1 c

1  1  c con c>0. r  1  nc , para cualquier valor de n   .

Solo basta ver que como r pertenece a (0, 1), se puede escribir b) Muestre que si c > 0, entonces 1  c 

n

 n  n1  n  n n n n c   c      c   c 2     k 0   n  n  1  0  1  2 n  n  n 1  n  n c   c  1  nc  1  nc   c 2     2 n  1 n     

1  c n    n k 1nk k n

1  c n

n

0

1  c 

n

 1  nc

c) Muestre que si 0 < r < 1, existe c>0 tal que para cualquier valor de n   , se tiene  1  1  que r n      c  n  Si tomamos r 

rn 

1

1  c 

1 de la parte a), y lo elevamos a la n. 1 c

, luego tomamos 1  c   1  nc n

n

1 1   rn 1  nc 1  c n 1 rn  1  nc

Por ultimo consideramos que, nc  1  nc 

1 1 1   rn  nc nc  1 nc

15. Resuelva las siguientes desigualdades. 2 x  3  x  1 /   x  a) x  3  1 /  3 x2

b) x  x 2  12  4 x Caso 1: x  x 2  12

Caso 2: x 2  12  4 x

0  x 2  x  12 0  x  4 x  3

x 2  4 x  12  0 x  6x  2  0

Análisis caso 1:

x  4  0  x  3  0

ó que  x  4  0   x  3  0

Caso 1.1

x  4  0

 x  3  0

x4

x  3

S1.1   ,4   ,3   ,3 Caso 1.2

x  4  0

 x  3  0

x4

x  3

S1.2  4,    3,   4,  S1  S1.1  S1.2 Análisis caso 2:

x  6  0  x  2  0

ó que  x  6  0   x  2   0

Caso 2.1

x  6  0

x  2  0

x6

x  2

S 2.1   ,6   2,    2,6 Caso 2.2

x  6  0

x  2  0

x6

x  2

S 2.2  6,    ,2   S 2  S 2.1  S 2.2  S 2.1 Por que S 2.2   Interprete si es necesario interceptar o unir S1 y S 2 para obtener la solución final.

c)

x 1 0 x  3x 2

x 1 0 x  3x x 1 0 x x  3 2

  x 1 Hay que ponerse en cuatro casos cuando todos son positivos  0 o cuando dos x  3 x    

      x 1 x 1 x 1  0,  0,  0. son negativos x  3 x  x  3 x  x  3 x         





d) 2 x  3  4  x  2

Buscar puntos críticos. 2x  3  0 3 x 2

Para x 

3 2

 2 x  3  4  x   2  3x  2  4  3 3x  5 3 5 3 3  3 3  S 1    ,    ,     ,  2 5  5 2  x

Para

3 x4 2

2 x  3  4  x   2 x  2 1 x 1

4x  0 x4

3  S 2   ,4   ,1   2 

Para x  4

2 x  3  4  x   2 3x  7  2 x9 S 3  4,    ,9  4,9 S f  S1  S 2  S 3

16. Sean b, a,  ,  números positivos. Suponga que x  a   y que y  b   , entonces demuestre que: a) x  y  a  b      Basta escribir de esta forma los valores absolutos,    x  a   (1)    y  b   (2) Sumamos (1) y (2).    x  a  y b   

      x  y  a  b      Usando definición de valor absoluto.

 x  y  a  b      b) xy  ab   b     a   x  a      a  x    a (3)   y b      b  y    b(4)

Multiplicamos (3) por (4).

   b    a   yx    b   a    ab  a  b  xy    ab  a  b Restamos   ab  a  b   xy  ab    a  b xy  ab    a  b

Aplicando desigualdad triagunlar (arreglada), a  b  a  b (Demuéstrenlo) xy  ab    ( xy  ab)  ( )  a  b xy  ab    a  b

Sumando  xy  ab  a  b     b     a

 xy  ab   b     a

c) x 2  a 2   2  2a Tomamos desde el enunciado. xa     x  a    (1)    2a  x  a    2a  (2)

Tomamos la ecuación (1) y la multiplicamos por la (2).

   2a     x  a x  a     2a    2  2 a  x 2  a 2   2  2 a   2  2 a   2  2 a  x 2  a 2   2  2 a  ( 2  2a )  x 2  a 2   2  2ax 2  a 2   2  2a  x 2  a 2   2  2a

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