Auxiliar miércoles 18 de abril de 2007 13. Sean x, y . Considere el número
M x, y
x y x y 2
Muestre que M(x,y) es el máximo entre x e y. Encuentre una expresión similar para el mínimo entre x e y. Basta ponerse en los casos que xy. 1° Caso: x < y x – y < 0. Luego, como x - y es menor que cero, escribimos. x y x y 2 y y 2 2 Ahora, se cumple que dado x y, M x, y y M x, y
2° Caso: x > y x – y > 0. Luego, como x - y es menor que cero, escribimos. x y x y 2 x x 2 2 Ahora, se cumple que dado x y, M x, y x M x, y
Por tanto, se concluye que M x, y es el máximo entre x e y. Para escoger el mínimo solo basta Min x, y
x y x y 2
14. a) Si 0 < r < 1, muestre que existe c > 0 tal que r
1 1 c
1 1 c con c>0. r 1 nc , para cualquier valor de n .
Solo basta ver que como r pertenece a (0, 1), se puede escribir b) Muestre que si c > 0, entonces 1 c
n
n n1 n n n n n c c c c 2 k 0 n n 1 0 1 2 n n n 1 n n c c 1 nc 1 nc c 2 2 n 1 n
1 c n n k 1nk k n
1 c n
n
0
1 c
n
1 nc
c) Muestre que si 0 < r < 1, existe c>0 tal que para cualquier valor de n , se tiene 1 1 que r n c n Si tomamos r
rn
1
1 c
1 de la parte a), y lo elevamos a la n. 1 c
, luego tomamos 1 c 1 nc n
n
1 1 rn 1 nc 1 c n 1 rn 1 nc
Por ultimo consideramos que, nc 1 nc
1 1 1 rn nc nc 1 nc
15. Resuelva las siguientes desigualdades. 2 x 3 x 1 / x a) x 3 1 / 3 x2
b) x x 2 12 4 x Caso 1: x x 2 12
Caso 2: x 2 12 4 x
0 x 2 x 12 0 x 4 x 3
x 2 4 x 12 0 x 6x 2 0
Análisis caso 1:
x 4 0 x 3 0
ó que x 4 0 x 3 0
Caso 1.1
x 4 0
x 3 0
x4
x 3
S1.1 ,4 ,3 ,3 Caso 1.2
x 4 0
x 3 0
x4
x 3
S1.2 4, 3, 4, S1 S1.1 S1.2 Análisis caso 2:
x 6 0 x 2 0
ó que x 6 0 x 2 0
Caso 2.1
x 6 0
x 2 0
x6
x 2
S 2.1 ,6 2, 2,6 Caso 2.2
x 6 0
x 2 0
x6
x 2
S 2.2 6, ,2 S 2 S 2.1 S 2.2 S 2.1 Por que S 2.2 Interprete si es necesario interceptar o unir S1 y S 2 para obtener la solución final.
c)
x 1 0 x 3x 2
x 1 0 x 3x x 1 0 x x 3 2
x 1 Hay que ponerse en cuatro casos cuando todos son positivos 0 o cuando dos x 3 x
x 1 x 1 x 1 0, 0, 0. son negativos x 3 x x 3 x x 3 x
d) 2 x 3 4 x 2
Buscar puntos críticos. 2x 3 0 3 x 2
Para x
3 2
2 x 3 4 x 2 3x 2 4 3 3x 5 3 5 3 3 3 3 S 1 , , , 2 5 5 2 x
Para
3 x4 2
2 x 3 4 x 2 x 2 1 x 1
4x 0 x4
3 S 2 ,4 ,1 2
Para x 4
2 x 3 4 x 2 3x 7 2 x9 S 3 4, ,9 4,9 S f S1 S 2 S 3
16. Sean b, a, , números positivos. Suponga que x a y que y b , entonces demuestre que: a) x y a b Basta escribir de esta forma los valores absolutos, x a (1) y b (2) Sumamos (1) y (2). x a y b
x y a b Usando definición de valor absoluto.
x y a b b) xy ab b a x a a x a (3) y b b y b(4)
Multiplicamos (3) por (4).
b a yx b a ab a b xy ab a b Restamos ab a b xy ab a b xy ab a b
Aplicando desigualdad triagunlar (arreglada), a b a b (Demuéstrenlo) xy ab ( xy ab) ( ) a b xy ab a b
Sumando xy ab a b b a
xy ab b a
c) x 2 a 2 2 2a Tomamos desde el enunciado. xa x a (1) 2a x a 2a (2)
Tomamos la ecuación (1) y la multiplicamos por la (2).
2a x a x a 2a 2 2 a x 2 a 2 2 2 a 2 2 a 2 2 a x 2 a 2 2 2 a ( 2 2a ) x 2 a 2 2 2ax 2 a 2 2 2a x 2 a 2 2 2a