Automatyka Wyklady

PODSTAWOWE POJĘCIA AUTOMATYKI

Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. : samoczynny. Dzieje automatyki sięgają czasów starożytnych. Automatyka jako samodzielna dziedzina wiedzy wyodrębniła się w latach 20 -tych XX wieku. Automatyka Automatyka w

•

dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi,

znacz. potocznym

dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń i systemów sterowania, dziedzina wiedzy lub techniki mająca na celu zastąpienie czynności Automatyka człowieka lub ich ograniczenie, stosowana obowiązują normy określające oznaczenia, słownictwo i definicje, np. norma PN-78/M.-42000 dla automatyki przemysłowej. Działy automatyki jako dyscypliny naukowej: • analiza układów dynamicznych, • teoria sterowania, w szczególności teoria sterowania optymalnego, stosuje metody: modelowania symulacyjnego (np. symulacja komputerowa), • teoria regulacji automatycznej, zajmuje się stabilnością i jakością regulacji, • sterowanie procesami złożonymi: automatyzacja procesów, automatyzacja kompleksowa, • telemechanika, pomiary automatyczne i przetwarzanie danych. Automatyzacja - wprowadzanie do przemysłu i transportu automatycznych: Działających na zasadzie samoregulacji i wykonujących określone czynności lub • działania bez udziału człowieka lub przy ograniczonym • systemów. działaniu człowieka Podstawą teoretyczną i techniczną automatyzacji jest automatyka •

środków technicznych, urządzeń,

Sygnał przebieg wielkości fizycznej, którego co najmniej jeden parametr zależy od przesyłanej informacji np. kształt, amplituda, częstotliwość, czy jest dyskretny itd. Sterowanie celowe oddziaływanie na określony obiekt (urządzenie lub proces), tak, aby osiągnąć pożądane zachowanie obiektu (urządzenia lub pożądane cechy procesu). Obiekt sterowania (obiekt sterowany) obiekt, który jest przedmiotem sterowania. Sterowanie, jeśli odbywa się w określonym przedziale czasu i oddziaływuje w tym przedziale czasu na zjawiska zachodzące w obiekcie jest także procesem. Sterowanie odbywa się za pośrednictwem sygnałów: Sygnały wejściowe (wymuszające)

to wielkości z otoczenia obiektu sterowania oddziaływujące na ten obiekt: wielkości sterujące (użyteczne) zwane sterowaniami, wielkości zakłócające zwane zakłóceniami. Sygnały wyjściowe to wielkości wyjściowe obiektu sterowania oddziaływujące na otoczenie. (W ogólnym przypadku sygnały wejściowe i wyjściowe rozpatruje się jako wektory o wielu składowych np. U(t), Y(t), Z(t), są przypadki, że do analizy określonego problemu zamiast sygnałów w postaci wektorów, rozpatruje się sygnały jednej zmiennej.)

Rys. Obiekt sterowania i otoczenie obiektu Powyższy rysunek nie przedstawia jednak struktur sterowania. Ze względu na strukturę układu w którym odbywa się sterowanie rozróżniamy: sterowanie w układzie otwartym, sterowanie w układzie zamkniętym tj. w układzie ze sprzężeniem zwrotnym. Regulacja to sterowanie w układzie zamkniętym zawierającym węzeł sumacyjny za pomocą którego realizowane jest ujemne sprzężenie zwrotne. Regulator to układ sterowania działający w układzie zamkniętym. Regulacja automatyczna to sterowanie samoczynne w układzie zamkniętym czyli samoczynne utrzymywanie wymaganych sygnałów wejściowych (warunków pracy urządzenia). Uchyb regulacji różnica między sygnałem zadanym a sygnałem wyjściowym.

Stan układu najmniej liczny zbiór wielkości, którego znajomość w chwili początkowej t0 i znajomość wymuszeń w przedziale (t0 ,t] pozwalają wyznaczy stan i odpowiedź układu w dowolnej chwili t > t0. Istnieją układy dla których znajomość stanu układu w chwili początkowej t0 i wymuszenia u(t) dla t > t0 pozwala wyznaczyć stan i odpowiedź układu dla t > t0. Stan ustalony -

stan w którym nie występują zmiany sygnałów wejściowych i wyjściowych, czyli wszystkie pochodne sygnałów wejściowych i wyjściowych względem czasu są zerowe. Atrybutem zmiany jest czas - zmiana może odbywać się tylko w czasie. Stan nieustalony stan nierównowagi lub stan, który nie jest stanem równowagi. Stan nieustalony może mieć charakter przejściowy tj. do chwili wystąpienia stanu ustalonego. Charakterystyka statyczna elementu (obiektu, układu) to zależność między sygnałem wyjściowym a sygnałem wejściowym y =f(u) w stanach ustalonych. Właściwości ch-k statycznych: ch. statyczne idealnych elementów liniowych są prostymi bez ograniczeń, ch. statyczne elementów rzeczywistych odbiegają od ch. el. Idealnych ze względu na: 1) ograniczenia sygnałów i 2) zakresy nieliniowości. ch. statyczna jest zbiorem punktów równowagi. Charakterystyki dynamiczne elementu (obiektu, układu) to zależności czasowe sygnałów wejściowych, wyjściowych i innych określonych wielkości, czyli charakterystyki określające zmienność tych wielkości w czasie np. w stanach nieustalonych. Do najważniejszych charakterystyk dynamicznych należą: ch. skokowa, ch. amplitudowo-fazowa, ch. amplitudowa, ch. fazowa, ch-ki logarytmiczne. Zastosowanie charakterystyk statycznych i dynamicznych: określają własności elementów, są niezbędne dla projektowania układów automatyki, są przydatne przy tworzeniu modeli układów sterowania i regulacji. Podstawowym wyrażeniem określającym własności dynamiczne elementu jest transmitancja operatorowa, czyli tzw. funkcja przejścia. PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 2. Treść wykładu: 1. Działy automatyki: kontrola i sygnalizacja, blokada i zabezpieczenie, 2. Sterowanie sekwencyjne i sterowanie procesami ciągłymi. Rodzaje układów sterowania. Sposoby regulacji. Automatyka kompleksowa. Wśród podstawowych działów automatyki wyróżnia się następujące działy: Kontrola automatyczna

obejmuje grupę urządzeń i systemów automatyki, które zbierają i analizują informacje o obiekcie sterowanym lub o procesie i przekazują te informacje w postaci bezpośredniej lub przetworzonej do operatora (ów) systemu. przykład: urządzenie kontrolujące położenie windy w wieżowcu.

Sygnalizacja automatyczna

obejmuje grupę urządzeń i systemów automatyki, w których sygnały wejściowe i sygnały wyjściowe są kontrolowane i mierzone za pomocą czujników i elementów pomiarowych. przykład: urządzenia sygnalizacji włamaniowej i pożarowej. urz. sygn. automat. - zwalniają obsługę od konieczności ciągłego dozoru i śledzenia.

Zabezpieczenie obejmują grupę urządzeń i systemów automatyki, w których sygnały automatyczne i wejściowe i sygnały wyjściowe lub kombinacje tych sygnałów są blokada automatyczna kontrolowane i mierzone za pomocą czujników i elementów pomiarowych, tak , aby niedopuszczalne lub przekroczone wartości wielkości sterujących i sterowanych nie spowodowały awarii, uszkodzeń i niebezpiecznego oddziaływania na środowisko. przykład: urządzenia zabezpieczające silnik elektryczny przed przeciążeniem, urz. zabez. automat. są zbliżone do urz. sygn. automat. Układy regulacji

obejmują grupę urządzeń i systemów automatyki, w których, regulacji podlega wiele sygnałów wyjściowych, przy czym sygnały wejściowe lub kombinacje tych sygnałów działają na więcej niż jeden sygnał wyjściowy, są kontrolowane i mierzone za pomocą czujników i elementów pomiarowych i podlegają regulacji automatycznej za pomocą wielu regulatorów, przykład: układy automatycznej regulacji wielkości wyjściowych kotła parowego (w elektrowni lub w zakładzie dostarczającym ciepło dla dzielnicy mieszkaniowej): ciśnienie pary, poziom wody, ciśnienie pary w komorze kotła, temperatura pary przegrzanej itd.

Systemy sterowania dla systemów złożonych

systemy złożone to struktury sterowania w których wyróżnia się odrębnie funkcjonujące części: elementy automatyki, urządzenia automatyki, obiekty i podsystemy. przykład: system sterowania procesami technologicznymi w rafinerii, system kierowania i sterowania ruchem pociągów na linii kolejowej.

Powyższa struktura sterowania odpowiadająca kontroli automatycznej i sygnalizacji automatycznej może stanowić także strukturę tzw. centralnej rejestracji i przetwarzania danych (CRPD) należącą do systemów kompleksowego sterowania on line z pętlą otwartą. Funkcje które spełnia taka struktura to: • • •

kontrola sygnałów obiektu i parametrów procesu, kontrola stanu technicznego urządzeń, testowanie poszczególnych elementów systemu.

Rys. Przykład układów regulacji w procesie wielowymiarowym (wieloparametrowym) na przykładzie regulacji kotła

Rys. Struktury kompleksowego sterowania a) w układzie otwartym b) w układzie zamkniętym

Prezentacja powyższych struktur sterowania pozwala na analizę istoty sterowania jak i funkcji człowieka strukturach automatyki. Sterowanie - celowe oddziaływanie na określony obiekt (urządzenie lub proces), tak, aby osiągnąć pożądane zachowanie obiektu (urządzenia lub pożądane cechy procesu). Interpretacja sterowania zawiera pojęcie punktu pracy, który należy do obszaru (przestrzeni) kontrolowanych wielkości. Obszar wielkości kontrolowanych należy do przestrzeni stanów obiektu bądź procesu. Można przyjąć, że sterowanie w swej istocie polega na działaniu, aby wartości wielkości sterowanych mieściły się w tej przestrzeni i należały do obszaru wielkości kontrolowanych. Wymiar takiej przestrzeni zależy od liczności wielkości sterowanych lub regulowanych. Dotyczy to układów automatyki zbudowanych z pojedynczych elementów automatyki lub urządzeń a także systemów sterowania dla systemów złożonych np. systemów kompleksowego sterowania. Ze względu na rolę jaką spełnia człowiek w sterowaniu, wyróżnia się: • • •

sterowanie ręczne - oddziaływanie na obiekt poprzez operatora, sterowanie automatyczne - sterowanie bez udziału operatora ale operator jest niezbędny ze względu na funkcję dozoru i kontroli, sterowanie rozumiane jako wspomaganie operatora - system proponuje operatorowi ze względu na cel sterowania opcjonalne rozwiązania sterowania, operator podejmuje decyzję o sposobie sterowania.

Ze względu na charakter procesu, który jest przedmiotem sterowania wyróżnia się: •

•

sterowanie sekwencyjne - zapewniające wykonanie poszczególnych sekwencji (kolejności stanów) procesu, sterowanie sekwencyjne odbywa się za pomocą automatu (lub zaprogramowanego procesora), który steruje przejściem do kolejnych sekwencji procesu, w ramach określonej sekwencji może wystąpić sterowanie ciągłe, np. sterowanie procesem mycia samochodów w myjni. sterowanie procesami ciągłymi wymaga ciągłego (nieustannego) oddziaływania sygnałów sterujących na obiekt, jeśli układ sterowania jest regulatorem to wymaga się ciągłego działania sprzężenia zwrotnego, np. procesy chemiczne w reaktorach chemicznych.

Ze względu na sposób oddziaływania układu sterowania na obiekt lub proces wyróżnia się układy sterowania: •

•

układy zwykłe - układy sterowania o stałej strukturze, parametrach i charakterystykach, np. układ regulacji temperatury cieczy chłodzącej w obiegu chłodzenia silnika spalinowego, układy adaptacyjne - układy sterowania w których istnieje możliwość automatycznego doboru parametrów i charakterystyk a nawet możliwa jest rekonfiguracja sprzętowa, np. włączenie urządzeń rezerwowych w przypadku awarii głównych urządzeń sterujących. PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 3.

Temat wykładu: Układ dynamiczny jako przedmiot automatyki 1. Model matematyczny układu dynamicznego. 2. Układy liniowe i nieliniowe - definicje i podstawowe różnice między tymi układami. Zasady i zastosowanie rachunku operatorowego w automatyce. 1. Model matematyczny układu dynamicznego W praktyce inżynierskiej występują dwa typy problemów: A. Zbadanie obiektu automatyki - poznanie obiektu: własności statyczne i własności dynamiczne. B. Wykonanie projektu obiektu automatyki lub udoskonalenie obiektu istniejącego. Rozwiązanie problemów A i B sprowadza się do identyfikacji obiektu. Atrybutem identyfikacji jest jednoznaczność, co wymaga zastosowania opisu matematycznego obiektu. Model - opis (wyobrażenie) obiektu (procesu) rzeczywistego --> różne sposoby opisu. Model matematyczny - to model: a. sformalizowany za pomocą aparatu matematycznego, b. produkt abstrakcyjny. Układ dynamiczny to układ: A. w którym sygnały czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako funkcje czasu. B. według T. Kaczorka: opisany przez trójkę: s:={T, W, B}, gdzie: T - zbiór chwil czasowych, W - zbiór wartości sygnałów (wartości sygnałów tworzą przestrzeń), B - zbiór trajektorii w:=T-->W spełniających prawa rządzące obiektem (określające zachowanie obiektu). Model matematyczny układu dynamicznego - sformalizowany model układu dynamicznego. Podstawy formalizacji tworzą spostrzeżenia: 1. własności obiektów dynamicznych mogą być opisane przy pomocy modeli (sformalizowanych), 2. dla opisu własności dynamicznych różnych obiektów dynamicznych poszukuje się takich samych (wspólnych) metod. Układ dynamiczny nazywamy: Układem ciągłym - jeśli T=R, gdzie R - zbiór liczb rzeczywistych, czyli czas jest

zmienną ciągłą, Układem dyskretnym - jeśli T=C, gdzie C - zbiór liczb całkowitych, czyli czas jest zmienną dyskretną. Istnieje wiele klas modeli matematycznych układów dynamicznych. Jedną z takich klas to klasa modeli wejściowo-wyjściowych.

Własności (niektóre) obiektów dynamicznych: 1. Przebiegi sygnałów układu dynamicznego w czasie zależą nie tylko od aktualnych wartości wymuszeń, ale zależą także od wymuszeń, które były w przeszłości, 2. Aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co najmniej jedną zmienną stanu, 3. Niekiedy do opisu układu dynamicznego wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego wprowadzenia zmiennych stanu, 4. Przechowują energię. Model matematyczny układu statycznego - sformalizowany model układu, którego przebiegi sygnałów są niezależne od czasu

Własności obiektu statycznego: 1. Między wyjściami a wejściami obowiązuje zależność funkcyjna bez czasu: Y=F(U, Z) 2. Charakterystyka statyczna jednoznacznie opisuje układ statyczny, 3. Układ statyczny nie ma zmiennych stanu, 4. Układy statyczne to układy rozpraszające energię. Stan układu: A. Najmniej liczny zbiór wielkości dostarczających ilość informacji, które wystarczają do oceny zachowania się układu (obiektu) w przyszłości czyli jednoznacznie określają zachowanie się układu. B. Współrzędne wektora stanu w przestrzeni stanów (współrzędne końca wektora stanu). Ze względu na budowę układy dynamiczne dzielimy: A. układy dynamiczne o elementach skupionych - takie układy w których wyróżnia się skończoną liczbę składowych elementów dynamicznych. B. Układy dynamiczne o elementach rozłożonych - takie układy w których nie można wyróżnić odrębnych elementów tzn., że układ nie może być analizowany jako układ złożony z elementów składowych. 2. Układy liniowe i nieliniowe - definicje i podstawowe różnice między tymi układami Układy statyczne i dynamiczne mogą być liniowe lub nieliniowe.

Zasada superpozycji: Odpowiedź wypadkowa układu na wymuszenie będące sumą pewnej liczby składowych jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne składowe. Sposoby opisu układów statycznych i dynamicznych:

3. Zasady i zastosowanie rachunku operatorowego w automatyce W większości przypadków punktem wyjścia do oceny własności dynamicznych układów liniowych jest liniowe równanie różniczkowe. Równanie powstaje na podstawie analizy i opisu zjawisk fizycznych charakteryzujących dany układ. Postać ogólna takiego równania jest następująca:

Dla układów rzeczywistych n = m Ocena własności liniowego układu dynamicznego może zostać dokonana: A. na podstawie równania różniczkowego, nie zawsze jest to dogodna metoda, ponieważ zakłada rozwiązanie tego równania i analizę tego rozwiązania, B. bez konieczności rozwiązywania równań różniczkowych. Możliwość B zakłada wprowadzenie wyrażeń uzyskanych w drodze przekształceń całkowych tzw. transformacji równania różniczkowego. Do takich przekształceń należy przekształcenie Laplace'a. Przekształcenie Laplace'a przyporządkowuje określonej funkcji czasu f(t) transformatę operatorową F(s) jako funkcję zmiennej zespolonej s. Transformatę oblicza się na podstawie wzoru:

Znając transformatę F(s) można obliczyć oryginał tj. funkcję f(t) drogą przekształcenia odwrotnego:

Zmienna zespolona s nazywana jest także operatorem różniczkującym, stąd zbiór reguł i zasad dotyczących przekształceń Laplace'a i operacji na transformatach nosi nazwę rachunku operatorowego. W praktyce nie stosuje się bezpośrednio obliczeń na podstawie powyższych wzorów zestawionych także poniżej ale stosuje się tablice transformat i funkcji oryginalnych.

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 4. Treść wykładu: 1. Zasady i zastosowanie rachunku operatorowego w automatyce c.d. 2. Transmitancja operatorowa i wyznaczanie transmitancji. 1. Zasady i zastosowanie rachunku operatorowego w automatyce c.d. Podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest przydatność do analizy układów dynamicznych.. Znając transformatę F(s) można obliczyć jej oryginał f(t) drogą przekształcenia odwrotnego według wzoru:

(Zastosowanie powyższego wzoru do konkretnych obliczeń ze względu na pracochłonność, w wielu przypadkach okazałoby się niepraktyczne, z tego też względu stosuje się tabele transformat i oryginałów) Podstawowe przekształcenia i twierdzenia Laplace'a 1. Twierdzenie o liniowości (transformata sumy (różnicy) funkcji - jest równa sumie (różnicy) transformat).

2. Twierdzenie o różniczkowaniu (transformata pochodnej funkcji)

3. Twierdzenie o całkowaniu (transformata całki)

4. Twierdzenie o wartości początkowej - jeśli istnieje granica funkcji f(t) dla t wartość początkowa wyraża się zależnością:

0+, to

5. Twierdzenie o wartości końcowej - jeśli istnieje granica funkcji f(t) dla t , to wartość końcowa wyraża się zależnością:

6. Transformata funkcji z przesunięciem w czasie (np. opóźnienie o wielkość T)

7. Transformata funkcji z przesunięciem względem s

8. Splot

Przykład: Stosując powyższe twierdzenia Laplace'a zapisać równanie różniczkowe opisujące obiekt sterowania w formie operatorowej:

, równanie różniczkowe obiektu inercyjnego gdzie: T - stała czasowa inercji, k - stały współczynnik. Na podstawie twierdzenia 1. (o sumie funkcji) i 2. (transformata pochodnej) przekształcamy kolejno obie strony równania na formę operatorową:

przyjmując f0=0, y(t)

Y(s), u(t)

U(s), otrzymujemy operatorową postać równania:

Tablica wybranych transformat i oryginałów Transformata F(s) 1 2 3 4

5 6 7

8

9

1

Oryginał f(t) (impuls Diraca) (skok jednostkowy) t

10

11

12

13

14

Przykład: Dana jest funkcja zespolona: . Określić funkcję oryginalną tj. funkcję w dziedzinie czasu t. Na podstawie 2 wiersza tablicy transformat i oryginałów znajdujemy: . Funkcją oryginalną jest tzw. impuls jednostkowy.

Przykład: Dana jest funkcja zespolona , określić funkcję oryginalną tj. w dziedzinie czasu t. Na podstawie 3 wiersza tablicy transformat i oryginałów znajdujemy: , a jaka będzie postać funkcji oryginału dla funkcji zespolonej:

2. Transmitancja operatorowa i wyznaczanie transmitancji. Pojęcie transmitancji odnosi się do układu dynamicznego o następujących właściwościach: 1. 2. 3. 4.

jednowymiarowy (o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t)), liniowy, ciągły, stacjonarny,

5. o stałych skupionych. Układ taki opisuje zwykłe, liniowe równanie różniczkowe o stałych parametrach:

Interpretacja tego równania jest następująca: Obiekt dynamiczny zostaje pobudzony wymuszeniem (sterowaniem) u(t) dla t>0, a w wyniku wymuszenia (sterowania) powstaje odpowiedź: y(t). Dla tak zdefiniowanych obiektów wprowadza się pojęcie transmitancji operatorowej. Transmitancją operatorową obiektu dynamicznego, o wielkości wejściowej (sterującej) - u(t) i wielkości wyjściowej - y(t) nazywamy iloraz transformat Laplace'a: wielkości wyjściowej - y(s) i wielkości wejściowej - u(s) przy zerowych warunkach początkowych:

Własności transmitancji: 1. w wyniku pomnożenie transformaty wejścia u(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę wyjścia y(s), czyli odpowiedź, a przebieg czasowy odpowiedzi y(t) znajduje się jako transformatę odwrotną, 2. określa właściwości dynamiczne obiektu np.- badanie stabilności na podstawie analizy sygnału wyjściowego, 3. umożliwia wyznaczanie charakterystyk obiektu dynamicznego. Podstawy obliczania transmitancji operatorowej Znajdujemy transformatę Laplace'a obu stron równania:

Po znalezieniu transformat obu stron równania, na podstawie poznanych twierdzeń Laplace'a otrzymujemy:

gdzie:

Po wyłączeniu przed nawias y(s) i u(s) otrzymujemy:

Po zsumowaniu wyrażeń w nawiasach otrzymujemy:

Podstawiając powyższe wyrażenie do definicji transmitancji otrzymujemy wzór do obliczania transmitancji:

Przykład obliczania transmitancji operatorowej Wyznaczyć transmitancję następującego dynamicznego obiektu liniowego (inercyjnego) opisanego równaniem różniczkowym:

Aby wyznaczyć transmitancję stosujemy następujące przekształcenia Laplace'a (przechodzimy z dziedziny czasu - t do obszaru zmiennej zespolonej s: t s) :

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 5. Temat wykładu: Przykłady wyznaczania transmitancji. Analiza dynamicznych układów liniowych. 1. Przykłady wyznaczania transmitancji. 2. Własności i charakterystyki dynamicznych układów liniowych. Transmitancja widmowa. Charakterystyki częstotliwościowe - cz. 1. 1. Przykłady wyznaczania transmitancji

Przykład 1. Obliczanie transmitancji operatorowej konkretnego układu Dany jest obwód pracy przekaźnika elektromagnetycznego jak na rysunku. Obwód ten zostaje zasilony skokowo napięciem u(t). Określić jak zmienia się prąd w obwodzie przekaźnika.

Układamy równanie określające sumę spadków napięć w obwodzie przekaźnika:

Wykorzystując własność transmitancji, że transformatę wyjścia, czyli odpowiedzi y(t) = i(s) znajduje się przez mnożenie transmitancji G(s) przez transformatę wejścia u(s), dla wymuszenia skokowego:

Na podstawie analizy powyższego wzoru będącego również rozwiązaniem równania różniczkowego prąd i(t) zmienia się według krzywej inercyjnej. Przy zwiększaniu rezystancji R w obwodzie przekaźnika zmniejsza się stała czasowa układu powodując szybsze narastanie prądu i(t), a w konsekwencji zmniejszenie czasu przyciągania przekaźnika. Przykład 2. Obliczanie transmitancji operatorowej konkretnego układu Dany jest układ RC jak na rysunku. Obliczyć transmitancję układu zakładając, że wielkością wyjściową jest napięcie na pojemności C.

Układamy układ równań na sumę spadków napięć w obwodzie i prąd kondensatora:

Wykorzystując własność transmitancji, że transformatę wyjścia, czyli odpowiedzi y(s) = i(s) znajduje się przez mnożenie transmitancji G(s) przez transformatę wejścia u(s), dla wymuszenia skokowego : u(t) = k * 1(t), otrzymujemy:

2. Własności i charakterystyki dynamicznych układów liniowych

Dla poznania własności układów dynamicznych przyjmuje się pewien umownie ustalony zbiór czynników. Jest to istotne z tego względu, że poznanie czyli identyfikacja obiektu może dotyczyć różnych obiektów dynamicznych, których własności mogą zostać porównane. Innym sposobem poznania własności obiektów dynamicznych może być analiza tych obiektów polegająca na wyróżnieniu w strukturach tych obiektów układów dynamicznych, których własności zostały już zbadane. Takimi obiektami są np. układy o tzw. prostej dynamice tworzące zbiór podstawowych obiektów dynamicznych. Na podstawie własności obiektów zbadanych wnioskuje się o własnościach obiektu złożonego.

1. Równania różniczkowe jako sposób opisu obiektów dynamicznych zostały przedstawione w wykładzie 4. i w przykładach. 2. Transmitancja operatorowa została omówiona - wykład 4. Poniżej przedstawiono sposób opisu schematów blokowych układów automatyki.

3. i 4.Charakterystyki dynamiczne i statyczne - określenia charakterystyk - I wykład. 3.1. Charakterystyki skokowe - odpowiedź jednostkowa Charakterystyka skokowa dynamicznego obiektu liniowego jest to odpowiedź jednostkowa h(t), która jako sygnał wyjściowy powstaje po wprowadzeniu na wejście obiektu, przy

zerowych warunkach początkowych sygnału funkcji jednostkowej y(t)=1(t). (Funkcja sygnału jednostkowego została wprowadzona przy omawianiu tablicy transformat i oryginałów)

Transformatę Laplace'a odpowiedzi skokowej określamy następująco:

Odpowiedzi jednostkowe y(t)=h(t) dla konkretnych układów zostały podane w przykładach 1. i 2.na początku tego wykładu. Powyższe rozumowanie jest przykładem kolejnej własności transmitancji: transmitancja operatorowa może być zastosowana do wyznaczania odpowiedzi skokowej obiektu dynamicznego 3. (także 3.2. według schematu z punktu 2.) Transmitancja widmowa. Charakterystyki częstotliwościowe. Podstawą charakterystyk częstotliwościowych jest transmitancja widmowa. Pojęcie transmitancji widmowej (analogicznie jak w przypadku transmitancji operatorowej) odnosi się do układu dynamicznego o następujących właściwościach: 1. 2. 3. 4.

jednowymiarowy (o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t)), liniowy, ciągły, stacjonarny,

5. o stałych skupionych.

Układ taki opisuje zwykłe, liniowe równanie różniczkowe o stałych parametrach: Interpretacja tego równania jest następująca: Obiekt dynamiczny (bez oddziaływania zakłóceń) zostaje pobudzony wymuszeniem u(t) dla

t>0, a w wyniku wymuszenia powstaje odpowiedź: y(t). Transmitancja operatorowa takiego obiektu wyraża się wzorami (patrz wykład 4.):

Jeśli na wejście obiektu o powyższej transmitancji wprowadzane jest wymuszenie harmoniczne czyli okresowe np.:

, to otrzymuje się rozwiązanie o postaci:

co w wyniku szeregu przekształceń prowadzi do następujących wzorów na transmitancję widmową:

Postać zespolona transmitancji widmowej:

Postać zespolona transmitancji widmowej jako suma składników: rzeczywistego i urojonego:

Postać wykładnicza transmitancji widmowej:

Postać transmitancji widmowej w zapisie symbolicznym (sygnały wejściowy i wyjściowy są przedstawione w zapisie symbolicznym):

Między transmitancjami: operatorową i widmową występują relacje:

Transformaty Fouriera umożliwiają bezpośrednie przejście z dziedziny czasu do dziedziny j . W tym przypadku transmitancja widmowa wyraża się wzorem

Transmitancja widmowa jest podstawą określania i wyznaczania m. in. następujących charakterystyk częstotliwościowych obiektów dynamicznych: 1. Charakterystyka amplitudowofazowa:

przedstawia krzywą, którą kreśli koniec wektora poprowadzony ze środka układu współrzędnych, przy zmianach pulsacji kątowej .

2. Charakterystyka amplitudowa: A( ) = f1( )

przedstawia zależność (wykres) modułu A( ) transmitancji G(j ) w funkcji .

3. Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa: Lm( )[dB]=20log A( )

przedstawia zależność (wykres) zmiennej Lm( ) będącej logarytmem dziesiętnym modułu transmitancji A( ) od pulsacji określonej na skali logarytmicznej. (Jeśli: 20log A( )=1dB to 20log A( )=log1020 *1/20, 20log A( )=20log101/20, zatem: A=101/20=1,22)

4. Charakterystyka fazowa: ( )

przedstawia zależność (wykres) argumentu ( ) transmitancji od pulsacji .

5. Charakterystyka logarytmiczna fazowa: ( - logarytmiczne)

przedstawia zależność (wykres) argumentu ( ) transmitancji od pulsacji określonej na skali logarytmicznej.

PODSTAWY AUTOMATYKI WYKŁAD 6. Treść wykładu:

1. Charakterystyki częstotliwościowe - cz. 2. Sposoby przedstawiania charakterystyk częstotliwościowych.

2. Człony złożone - przykład analizy. 1. Charakterystyki częstotliwościowe - cz. 2. Sposoby przedstawiania charakterystyk częstotliwościowych. Zastosowanie logarytmicznych charakterystyk częstotliwościowych: Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe stosuje się do wyznaczania charakterystyk wypadkowych obiektów lub układów złożonych ze znanych elementów liniowych połączonych szeregowo:

1. wyznaczenie modułu wypadkowej charakterystyki amplitudowej - moduł wypadkowy wyznacza się mnożąc moduły A( ) poszczególnych elementów składowych, 2. wyznaczenie wypadkowej charakterystyka Lm( ) - charakterystykę wypadkową wyznacza się poprzez dodanie rzędnych logarytmicznych charakterystyk składowych poszczególnych elementów składowych. Przykład: Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe dla obiektu inercyjnego (I rzędu)

W celu wyznaczenia poszczególnych charakterystyk przekształcamy wyrażenie na transmitancję powyższego układu inercyjnego, tak, aby otrzymać poszczególne składowe: rzeczywistą i urojoną:

1. Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej:

Podstawiając do powyższych wzorów różne wartości pulsacji w zakresie od 0 do 8, dla T=1, otrzymujemy poniższą tabelkę z wartościami P( ) i Q( ): 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

0

0,1

0,5

1

5

10

50

100

1000

P( ) 1,000 0,990 0,800 0,500 0,038 0,010 0,000 0,000 0,000

10.

Q( ) 0,000 -0,099 -0,400 -0,500 -0,192 -0,099 -0,020 -0,010 -0,001 Charakterystyka rzeczywista P( )= ReG(j ) i charakterystyka urojona Q( )=Im(j ) transmitancji G(s)=G(j ) ukladu inercyjnego

2. Wyznaczenie charakterystyki amplitudowej:

3. Wyznaczenie charakterystyki fazowej ( )

4. Wyznaczanie charakterystyki amplitudowej logarytmicznej ( - w skali logarytmicznej):

5. Wyznaczanie charakterystyki fazowej logarytmicznej ( - w skali logarytmicznej):

Tabela wartości do wykreślenia charakterystyk obiektu inercyjnego o transmitancjach:

• • • •

amplitudowej A( ), fazowej ( ), logarytmicznej Lm( ), logarytmiczna fazowa ( ), 1. 0

2. 0,1

3. 0,5

4. 1

5. 5

6. 10

7. 50

8. 9. 10. 11. 100 1,00E+03 1,00E+04 1,00E+05

P( )

1,000 0,990 0,800 0,500 0,038 0,010 0,000 0,000

0,000

0,000

0,000

Q( )

0,000 -0,099

-0,40 -0,50 -0,02 -0,01 -0,192 -0,099 0 0 0 0

-0,001

0,000

0,000

0,99504 0,894 0,707 0,1961 0,0995 0,02 0,01

0,001

1E-04

1E-05

( ) 0,00 [radiany]

-0,10 -0,46 -0,79 -1,37 -1,47 -1,55 -1,56

-1,57

-1,57

-1,57

( ) [stopnie]

-5,71

-26,5 -45,0 -88,8 -89,4 -78,69 -84,29 7 0 5 3

-89,94

-89,99

-90,00

-40

-60

-80

-100

1

0,1

0,01

0,001

-1,57

-1,57

-1,57

A( ), k=1

Lm( ) A( ), k=100

1

0,00 0

-0,0432 -0,97 -3,01 -14,15 -20,04 -34

100 99,5037 89,44 70,71 19,612 9,9504

( ) 0,00 [radiany]

2

-0,10 -0,46 -0,79 -1,37 -1,47 -1,55 -1,56

( ) [stopnie] Lm( ), k=100 log( )

0,00

-5,71

-26,5 -45,0 -88,8 -89,4 -78,69 -84,29 7 0 5 3

40 39,9568 39,03 36,99 25,85 19,957 6,019 -0 -1

-0,3

0

0,699

1

1,699

-89,94

-89,99

-90,00

-20

-40

-60

3

4

5

2

Charakterystyka amplitudowa A( ), k=1

Charakterystyka fazowa ( )[stopnie], k=1

Charakterystyka logarytmiczna Lm( ), k=1

Charakterystyka logarytmiczna fazowa ( )[stopnie], k - nieistotne

Charakterystyka amplitudowa A( ), k>1, k=100

Charakterystyka logarytmiczna Lm( ), k=100

2. Człony złożone - przykład analizy Analiza członu złożonego zostanie przeprowadzona na przykładzie układu automatycznej regulacji prędkości obrotowej silnika elektrycznego. Przykład: Dany jest układ automatycznego sterowania prędkości obrotowej obcowzbudnego silnika elektrycznego prądu stałego. Opracować analizę układu i wyznaczyć transmitancję operatorową układu sterowania. Analiza układu sterowania obejmuje:

A) Założenia i opis pracy układu 1. Silnik sterowany jest napięciem Ew. 2. Napięcie Ew podawane jest na wirnik silnika. 3. Napięcie wzbudzenia stojana Uwz=const, nie będzie dalej rozpatrywane. 4. Napięcie Up na wyjściu prądnicy jest proporcjonalne do prędkości obrotowej silnika. 5. Regulator prędkości zmieniając napięcie Ew na wirniku silnika, reguluje prędkość obrotową silnika. 6. Zmiana obciążenia silnika następuje poprzez zmianę momentu obciążenia Mobc. 7. Zmianę obrotów silnika wykazuje napięcie Up prądnicy wprowadzane do regulatora. 8. Automatyczna regulacja prędkości obrotowej silnika odbywa się za pomocą regulatora proporcjonalnego. 9. W regulatorze na podstawie Y0 wartości zadanej prędkości obrotowej i napięcia prądnicy powstaje uchyb. 10. Zmiana uchybu wpływa na napięcie Ew, co z kolei wpływa na prędkość obrotową silnika. B) Ułożenie równań różniczkowych dotyczących silnika • równanie napięć i prądów wirnika: Ew-Ep. = Ew-ks1Y = RI, • równanie momentów obrotowych: Jdy/dt = ks2I-Mobc, Transmitancja silnika wyraża się wzorem (bez wyprowadzenia):

C) Narysowanie struktury układu Przed narysowaniem struktury sporzšdza się zestawienie elementów i sygnałów układu.

Element układu regulacji

Wejście

Wyjście

Regulator

Y0 - wartość zadana obrotów, Up - napięcie prądnicy

Ew - napięcie wirnika Ew= kr(Y0-Up)=kr - uchyb

Silnik elektryczny Prądnica tachometryczna

Transmitancja

Ew - napięcie wirnika, Uwz - napięcie Y - prędkość obrotowa wzbudzenia, silnika Mobc - moment obciążenia Y - prędkość obrotowa Up - napięcie prądnicy silnika

Na podstawie powyższego zestawienia tworzy się schemat strukturalny

Na podstawie schematu wyznacza się transmitancję układu sterowania Wypadkową transmitancję układu sterowania wyznacza się wyznaczając odpowiednio transmitancję układu bez gałęzi sprzężenia zwrotnego (układ otwarty) a następnie po uwzględnieniu transmitancji sprzężenia zwrotnego (na podstawie wzoru) 1. Transmitancja układu otwartego - wypadkowa transmitancja regulatora Gr(s) i silnika Gs(s):

2. Transmitancja prądnicy Gp(s): 3. Transmitancja układu zamkniętego ze sprzężeniem zwrotnym:

Na podstawie powyższej transmitancji można wyznaczyć zależność uchybu (s) jako funkcję wymuszenia Y0(s) i Y(s) i uzyskać charakterystykę zmian (s), zależnie od Mobc. PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 7. Treść wykładu:

Człony złożone - c. d. Budowa i przekształcanie schematów blokowych układów liniowych jednowymiarowych.

Celem przekształceń schematów blokowych jest takie przedstawienie ich struktury, aby można było wyznaczyć transmitancję zastępczą (wypadkową) i zbadać własności dynamiczne układu. Zasady obowiązujące przy tworzeniu i przekształcaniu schematów blokowych oraz przy wyznaczaniu transmitancji wypadkowej. 1. Warunkiem koniecznym poprawnego przekształcania schematów jest zachowanie własności układu. Układ po przekształceniach musi posiadać własności układu oryginalnego, co oznacza, że tym samym sygnałom wejściowym i wyjściowym odpowiadają te same sygnały po przekształceniach. 2. Dodawanie i odejmowanie sygnałów na schemacie blokowym reprezentowane jest za pomocą węzłów sumacyjnych, (p. rys. poniżej). Sygnały wejściowe węzła, zależnie od ich wpływu na sygnał wyjściowy oznacza się "+" lub "-". Sygnał wyjściowy jest algebraiczną sumą sygnałów dochodzących do węzła. 3. W przypadku, gdy ten sam sygnał podawany jest na więcej niż jeden blok, wówczas do schematu wprowadza się węzeł zaczepowy (rozgałęźny), (p. rys. poniżej). Suma sygnałów wyjściowych z węzła jest równa sygnałowi wejściowemu do węzła.

4. Transmitancja wypadkowa G(s) szeregowo (łańcuchowo) połączonych członów jest równa iloczynowi transmitancji tych członów.

5. Transmitancja wypadkowa G(s) członów połączonych równolegle jest równa sumie transmitancji tych członów.

6. Transmitancja wypadkowa G(s) układu ze sprzężeniem zwrotnym (gałąź sprzężenia zwrotnego oznacza się jako H(s).

7. Relacje opisane w punktach 4., 5. i 6. pozwalają na analizę schematów i wyznaczanie transmitancji zastępczej w przypadkach, gdy schemat blokowy układu nie zawiera krzyżujących się pętli sprzężenia zwrotnego i gałęzi równoległych. W przypadkach, gdy pętle sprzężeń zwrotnych i gałęzie równoległe krzyżują się, to do analizy schematów blokowych stosuje się przenoszenie węzłów sumacyjnych i/lub zaczepowych.

W sytuacjach, gdy niezbędne staje się przenoszenie węzłów sumacyjnych i zaczepowych, to zmiana położenia węzłów może się odbywać przy zachowaniu warunku 1. (tzn. że układ musi zachować te same własności przed i po przeniesieniu węzłów). Reguły dotyczące przenoszenia węzłów są następujące: 7.1. Przeniesienie węzłów sumacyjnych.

7.2. Przeniesienie węzłów zaczepowych

7.3. Łączenie i rozdzielanie węzłów sumacyjnych

7.4. Łączenie i rozdzielanie węzłów zaczepowych

7.5. Zmiana kolejności (położenia węzłów)

Przykład: Dany jest następujący schemat blokowy. Przekształcić układ tak, aby wyznaczyć transmitancję zastępczą układu (zastosować zmiany w położeniach węzłów).

1. Oznaczamy na schemacie blokowym poszczególne sygnały.

2. Analizujemy możliwe przeniesienia węzła sumacyjnego lub zaczepowego. Jedną z możliwości jest przesunięcie węzła zaczepowego z wyjścia transmitancji G1(s) sygnał e, na wejście tej transmitancji. W tym przypadku, zgodnie z p.1. zasad przekształcania schematów blokowych przy przenoszeniu tego węzła należy odtworzyć sygnał e. Odtworzenie sygnału e nastąpi poprzez podłączenie, zgodnie z p. 7.2. (przeniesienie węzła zaczepowego z wyjścia na wejście transmitancji), do wejścia transmitancji G1(s) drugiej takiej samej transmitancji tj. G1(s). Schemat blokowy po przeniesieniu węzła zaczepowego wygląda następująco:

Stosując zasadę łączenia węzłów zaczepowych p.7.4., uzyskujemy kolejne przekształcenie:

Na podstawie powyższego schematu można wyznaczyć transmitancję zastępczą.

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 8. Treść wykładu: Analiza układów dynamicznych metodą zmiennych stanu 1. Wprowadzenie 2. Pojęcie stanu układu dynamicznego. 3. Model matematyczny przestrzeni stanów, wektor stanu, trajektoria stanu.

4. Równanie stanu i równanie wyjścia. 5. Schemat blokowy układu opisanego równaniem stanu i równaniem wyjścia. 1. Wprowadzenie. Metody opisu własności układu dynamicznego (liniowego): Układ dynamiczny to układ w którym sygnały czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako funkcje czasu. A. Równanie różniczkowe (całkowe, różnicowe). B. Model wejściowo-wyjściowy o charakterystyki statyczne, o charakterystyki dynamiczne  czasowe (odpowiedzi na wymuszenie skokowe i impulsowe),  częstotliwościowe (odpowiedzi na wymuszenia harmoniczne). C. Transmitancja operatorowa i widmowa, rachunek operatorowy. Kolejną metodą analizy układów dynamicznych jest metoda zmiennych stanu. Zalety metody zmiennych stanu w stosunku do metod A, B i C: • ujmują więcej niż relacje miedzy wejściem (+zakłócenia) a wyjściem, ponieważ uwzględniają matematyczny opis zjawisk zachodzących wewnątrz układu sterowania, • pozwalają na ocenę własności dynamicznych poprzez matematyczny opis sygnałów wejściowych, wyjściowych i stanu układu - równania stanu i równania wyjścia obiektu, • pozwalają na ocenę sterowalności i obserwowalności układu, czyli pozwalają ocenić czy można określić stan układu i czy można skutecznie układem sterować, czyli określają pełną dynamikę układu, pozwalają na ocenę własności dynamicznych układów nieliniowych. Metoda zmiennych stanu wprowadza następujące pojęcia: 1. stan układu Pojęcia te są podstawą matematycznego modelu dynamicznego, przestrzeni stanów. 2. przestrzeń stanu, i 3. wektor stanu, •

4. trajektoria stanu. 2. Pojęcie stanu układu dynamicznego. Stan układu (1, T. Kaczorek) najmniej liczny zbiór wielkości, którego znajomość w chwili początkowej t0 i znajomość wymuszeń w przedziale (t0 ,t] pozwalają wyznaczyć stan i odpowiedź układu w dowolnej chwili t> t0. Stan układu (2)

najmniej liczny zbiór wielkości, które pozwalają na ocenę zachowania się obiektu (układu) w przyszłości, czyli do jednoznacznie określają zachowanie układu. Stan układu (3, T. Kaczorek) zbiór liniowo niezależnych wielkości, który: • •

jednoznacznie określa skutki przeszłych oddziaływań na układ, jest wystarczający do wyznaczenia zachowania się układu (procesu) w przyszłości.

Określenia stanu układu dotyczą układów dla których znajomość stanu układu w chwili początkowej t0 i wymuszenia u(t) dla t> t0 pozwala wyznaczyć stan i odpowiedź układu dla t> t0. Wielkości: nazywamy zmiennymi stanu lub współrzędnymi stanu. Stan układu można interpretować jako pamięć, ponieważ na podstawie stanu (w przeszłości) można określić aktualny stan czyli własności obiektu, a także stan czyli własności w przyszłości.

Przykład Przykładem współrzędnych stanu dla np.: 1. układu mechanicznego może być zbiór liniowo niezależnych wielkości takich jak: o współrzędne położenia tego układu, o I pochodna współrzędnych położenia, o II pochodna współrzędnych położenia. 2. maszyny elektrycznej może być zbiór liniowo niezależnych wielkości takich jak: o prąd w obwodzie wirnika, o siła elektromotoryczna, o strumień magnetyczny, prędkość obrotowa. Wielkości charakteryzujące obiekt dynamiczny nie muszą mieć sensu fizycznego, mogą być więc wielkościami abstrakcyjnymi, np. zmienna określona zależnością: o

, gdzie: E(t) - siła elektromotoryczna, L - indukcyjność, J - moment bezwładności. 3. Model matematyczny przestrzeni stanów, wektor stanu, trajektoria stanu. 1. Rozpatrujemy dowolny, dynamiczny, ciągły, liniowy lub nieliniowy układ tj. taki, który może być opisany równaniem różniczkowym lub układem równań różniczkowych. 2. Istnieją przypadki, że równanie różniczkowe lub układ równań różniczkowych można doprowadzić do postaci normalnej, czyli do układu równań różniczkowych, zwyczajnych I rzędu. o Równanie różniczkowe zwyczajne to związek funkcji jednej zmiennej niezależnej i pochodnych tej funkcji. o Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej występującej w danym równaniu. o Równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu to równanie o postaci:

W szczególnych przypadkach, gdy równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu daje się rozwiązać względem y', wtedy równanie przybiera postać normalną: y'= f(t, y) a y = f(t). 3. Aby opisać układ dynamiczny ciągły przy pomocy równań różniczkowych: o I stopnia, o zwyczajnych, o o postaci normalnej o

wyróżnia się n-liniowo niezależnych wielkości fizycznych lub abstrakcyjnych, oznaczając je odpowiednio: . 4. Niech w chwili początkowej t=t0, istnieje stan początkowy reprezentowany przez n liczb: 5. Wyróżnione n - liniowo niezależne wielkości fizyczne lub abstrakcyjne nazywają się współrzędnymi stanu lub zmiennymi stanu. 6. Współrzędne stanu zapisuje się w postaci wektorowej:

7. Współrzędne stanu zmieniają się w czasie, zgodnie z rozwiązaniami n - równań. różniczkowych.

4. Równanie stanu i równanie wyjścia. Stan dynamicznego układu liniowego i stacjonarnego określa funkcyjny zapis wektorowy:

Sygnały wyjściowe dynamicznego układu liniowego i stacjonarnego określa funkcyjny zapis wektorowy: Równania różniczkowe odpowiadające powyższym zapisom są następujące:

Wprowadzając do powyższych zapisów macierze, otrzymujemy uproszczony zapis wektorowo - macierzowy z uwzględnieniem wektorów : X(t),

U(t) - wektor sygnałów wejściowych,

U(t)=

X(t) - wektor stanu,

X(t)=

U(t) i Y(t):

Y(t) - wektor sygnałów wyjściowych,

Y(t)=

A - macierz stanu o wymiarach B - macierz wejść wymiarach C - macierz wyjść o wymiarach n x n,

A=

n x r,

B=

m x n,

C=

Układ opisany równaniami stanu i równaniami wyjścia może być przedstawiony w formie schematu blokowego.

Przedstawiony model układu dynamicznego można traktować jako podstawowy schemat opisany równaniami stanu i równaniami wyjścia. Schemat ten ulega modyfikacjom zależnie od równań stanu i równań wyjścia. Równania stanu i równania wyjścia zależą od własności danego układu.

A. Przypadek jednowymiarowego układu sterowania, gdy wektory U(t) i Y(t) są reprezentowane przez odpowiednio przez pojedyncze składowe u(t) i y(t). o dla U(t)=u(t) macierz B staje się macierzą kolumnową b o wymiarach n x 1, o dla Y(t)=y(t) macierz C staje się macierzą wierszową c o wymiarach 1 x n. Macierze b i c: Równania stanu:

b=

c=

B. C. Przypadek układu dynamicznego, gdy sygnały sterujące oddziaływują także na sygnały wyjściowe U(t) Y(t). W tym przypadku równanie wyjścia Y(t)=Y[X(t), U(t)] zostaje rozbudowane o macierz D.

Macierz D: Równania stanu:

D=

D. Przypadek układu dynamicznego gdy sygnały zakłócające jako wektor zakłóceń Z(t) oddziaływują także na sygnały wejściowe i wyjściowe Z(t) U(t) i Z(t) Y(t). W tym przypadku równania układu zostaną rozbudowane odpowiednio o macierze stałych współczynników od wektora zakłóceń tj. o macierz E i macierz H. , zostaje rozbudowane o macierz E. Y(t)=Y[X(t), Z(t)] zostaje rozbudowane o macierz H.

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 9. Treść wykładu: Analiza układów dynamicznych metodą zmiennych stanu. 2. cz. 1. Związek między równaniem stanu, równaniem wyjścia a macierzą transmitancji. 2. Zasady doboru zmiennych stanu. 3. Sterowalność i obserwowalność układów liniowych. Ocena sterowalności i obserwowalności 1. Związek między równaniem stanu, równaniem wyjścia a macierzą transmitancji. Punktem wyjścia niech będzie układ dynamiczny: • •

liniowy, stacjonarny,

•

wielowymiarowy.

Układ taki opisują równania układu: równanie stanu i równanie wyjścia:

, gdzie wektory U(t), X(t) i Y(t) są określone następująco:

U(t) - wektor sygnałów wejściowych,

X(t) - wektor stanu,

Y(t) - wektor sygnałów wyjściowych,

U(t)=

X(t)=

Y(t)=

Powyższy wektorowo-macierzowy opis układu rozszerza się wprowadzając transmitancję macierzową G(s). Uwzględniając transformaty wektora wejść U(t) U(s) i odpowiednio wektora wyjść Y(t) Y(s), można sformułować równanie:

Y(s) = G(s)U(s) Elementami transmitancji macierzowej G(s) są transmitancje łączące poszczególne wejścia i wyjścia (rys. poniżej):

Równania stanu poddajemy przekształceniom Laplace'a:

i otrzymujemy: Równanie stanu przyjmuje postać: s X(s) - A X(s)=B U(s) (sI - A) X(s) = B U(s) Na podstawie równania stanu wyznaczamy: X(s) = B (sI - A)-1 U(s) Wyznaczoną wartość transformaty wektora stanu X(s) podstawiamy do równania wyjścia i otrzymujemy: Y(s) = C X(s) = C B (sI - A)-1 U(s) Dzieląc obustronnie powyższe wyrażenie na Y(s) przez U(s), otrzymujemy wyrażenie na

transmitancję macierzową:

gdzie: G(s) - macierzowa transmitancja operatorowa, X(s) - transformata wektora stanu, wymiar wektora X(s) - n, U(s) - transformata wektora wejść, wymiar wektora U(s) - r, Y(s) - transformata wektora wyjść, wymiar wektora Y(s) - m., A - macierz stanu o wymiarach n x n, B - macierz wejść o wymiarach n x r, C - macierz wyjść o wymiarach m x n, I - macierz jednostkowa o wymiarach n x n, adj(sI - A) - macierz dołączona (nieosobliwa) - m. nieosobliwa to taka macierz, której kolumny są liniowo niezależne), det(sI - A) - wyznacznik macierzy, macierz jednostkowa I to taka macierz w której w k-tej kolumnie na k-tym miejscu występuje 1 a pozostałe pozycje są 0. W przypadku gdy układ jest układem jednowymiarowym tj. U(t)=u(t) a Y(t)=y(t) to transmitancja macierzowa wyraża się następująco:

Zastosowanie macierzy transmitancji: • analiza, rozwiązywanie zadań sterowania i badanie stabilności układów o wielu wejściach i wyjściach oraz układów wielopoziomowych, • wyznaczanie zmiennych stanu i macierzy A, B i C równań układu,

•

w przypadku transmitancji skalarnej G(s) dokonując zestawienia poznanych wyrażeń na tę transmitancję, mamy:

, oraz widać więc, że człon (sI - A) poprzez swój wyznacznik det(sI - A) ma bezpośredni związek z wielomianem n-tego stopnia występującym w mianowniku transmitancji. -1

Wielomian jak i wyznacznik są to odpowiednio: wielomian charakterystyczny układu i wielomian charakterystyczny macierzy A. Jeśli wielomian charakterystyczny zostanie przyrównany do 0 można wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu charakterystycznego, które nazywają się pierwiastkami charakterystycznymi równania:

Miejsca zerowe, czyli pierwiastki charakterystyczne to wartości dla których transmitancja jest nieokreślona. Zatem macierz A i wielomian charakterystyczny pozwalają na ocenę własności dynamicznych układu. 2. Zasady doboru zmiennych stanu. •

•

•

•

wyboru zmiennych stanu można dokonać na podstawie: o analizy zjawisk zachodzących w obiekcie (układzie, procesie) o macierzy transmitancji na podstawie analizy zjawisk obiektu (układu, procesu) formułuje się równania opisujące dynamikę układu, należy dążyć aby zmiennym stanu przyporządkować sygnały występujące w obiekcie, w przypadku, gdy znana jest macierz transmitancji G(s), szuka się macierzy A, B i C spełniających równania: G(s) = C (sI - A)-1 B oraz

należy jednak uwzględniać, że: o macierz transmitancji nie dostarcza informacji o ilości zmiennych stanu, o ten sam układ może być opisany innymi zmiennymi stanu, w ogólnym przypadku, dobór zmiennych stanu powinien uwzględniać: 1.minimalizację

liczby zmiennych stanu, czyli minimalny rozmiar macierzy stanu

A, 2.wybrane

zmienne stanu muszą spełniać warunek niezależności liniowej,

3.jeśli

•

wybrano więcej niż jeden zestaw zmiennych stanu to przejście od jednych współrzędnych do innych musi być wzajemnie jednoznaczne, rodzaje zmiennych stanu: o o o o o

o o o o

fizykalne, fazowe, kanoniczne (nie będą omawiane), zmienne fizykalne: wybiera się minimalną liczbę n -liniowo niezależnych wielkości reprezentujących sygnały fizyczne, na podstawie relacji określających dynamikę zmian tych wielkości układa się równania stanu, zmienne fazowe: dobór zmiennych fazowych następuje przy następujących założeniach dotyczących układu dynamicznego, układ dynamiczny jest: liniowy, stacjonarny, ciągły, jednowymiarowy,

warunki takie spełnia następujące równanie różniczkowe opisujące układ dynamiczny:

np. równanie: Transmitancja takiego układu wyraża się następująco:

, gdzie

Dla takiego układu zmienne fazowe wyznacza się wybierając: o o

pierwszą zmienną stanu jako jeden z sygnałów, kolejne zmienne stanu jako kolejne pochodne tego sygnału.

Jako zmienną stanu można także wybrać sygnał wyjściowy: y(t)=x1(t) i kolejne pochodne tego sygnału:

Na podstawie tych równań tworzy się równania stanu (I rzędu, zwyczajne, o postaci normalnej), jak niżej:

Zapisując powyższe równania stanu w postaci wektorowo-macierzowej otrzymujemy:

gdzie: Af - macierz stanu n x n (tzw. macierz Frobeniusa), bf - macierz wejść n x 1 (macierz kolumnowa), cf - macierz wyjść 1 x n (macierz wierszowa),

Własności fizykalnych i fazowych zmiennych stanu: fizykalne 1. model matematyczny staje się modelem fizycznym, 2. możliwość pomiaru wielkości fizycznych, 3. można narysować schemat blokowy układu,

fazowe 5. zmienne fazowe mogą mieć znaczenie fizykalne, 6. ułatwiają analizę dynamiki układów, 7. ułatwiają analizę układów w stanach przejściowych (nieustalonych),

możliwość syntezy układu 8. ułatwiają modelowanie analogowe, sterowania w przypadku sprzężenie ponieważ przez wprowadzenie zwrotnego uzależnionego od elementów całkujących i wektora stanu. proporcjonalnych. 3. Sterowalność i obserwowalność układów liniowych. Ocena sterowalności i obserwowalności 4.

Jako podstawę rozważań dotyczących sterowalności i obserwowalności przyjmuje się układ dynamiczny: • •

liniowy, stacjonarny,

•

wielowymiarowy,

opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia.

Układ jest sterowalny (całkowicie), gdy: ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie U(t) przeprowadza układ z dowolnego stanu początkowego X(t0) w chwili t=t0 do dowolnego stanu końcowego X(tk) w chwili t=tk w skończonym przedziale czasu tk-t0=0. Sterowalność oznacza możliwość osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym czasie za pomocą dopuszczalnego sterowania. Układy niesterowalne to układy, które są niecałkowicie sterowalne. Układ niecałkowicie sterowalny to układ, który przy określonym doborze zmiennych stanu zawiera takie zmienne stanu, których nie można za pomocą ograniczonego przedziałami ciągłego sterowania przeprowadzić z dowolnej wartości początkowej Xi(t0) do Xi(tk). Na podstawie definicji sterowalności całkowitej i niecałkowitej wprowadza się także odpowiednie pojęcia sterowalności ze względu na wyjście, które określają zmiany wektora sygnałów wyjściowych w chwilach t0 i tk. Układ jest obserwowalny (całkowicie), jeśli przy danym dowolnym sterowaniu U(t), istnieje skończona chwila tk, po której, na podstawie znajomości wektora sygnałów wyjściowych Y(t) i wektora sterowania U(t) w przedziale od t0 do tk można wyznaczyć stan układu X(t0) w dowolnej chwili początkowej t0. Obserwowalność oznacza, że na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego w skończonym przedziale czasu, można określić stan układu w dowolnej chwili tego przedziału. Własności układów sterowalnych i obserwowalnych: Układ sterowalny: • •

to układ w którym wektor sygnałów wejściowych oddziaływuje na wszystkie zmienne stanu, czyli zapewnia skuteczne sterowanie, zmiana wektora wejść wywołuje różne zmiany każdej współrzędnej stanu.

Układ obserwowalny: •

to układ w którym istnieją relacje między wszystkimi sygnałami wektora wyjściowego a sygnałami wektora stanu, czyli na podstawie przeprowadzonej w skończonym czasie obserwacji (analizy) sygnałów wyjściowych i sterujących można jednoznacznie określić wektor stanu początkowego,

•

zmiana wektora stanu wywołuje różne zmiany wyjścia czyli musi zachodzić odróżnienie wpływu każdej zmiennej stanu na zmianę obserwowanego wektora wyjść.

Układ niesterowalny: •

to układ w którym wektor wejść U(t) nie ma wpływu na wszystkie zmienne stanu.

Układzie nieobserwowalny: •

to układ w którym między dowolnym wektorem wyjść Y(t) nie zachodzą relacje między wszystkimi zmiennymi stanu X(t).

Ocena sterowalności i obserwowalności może być przeprowadzona na podstawie analizy: • •

postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjścia, bezpośredniej analizy schematu blokowego.

Ocena sterowalności i obserwowalności (na podstawie analizy postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjścia) Warunek sterowalności: Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności jest, aby macierz o n - wierszach i m - kolumnach miała rząd n, czyli n liniowo niezależnych kolumn. Warunek obserwowalności: Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) obserwowalności jest, aby macierz:

o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n - liniowo niezależnych wierszy. Dla ułatwienia analizy macierzy O, wprowadza się macierz W, która jest transpozycją macierzy O. Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się następująco: układ jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy jest równy n. Podczas analizy układów sterowania mogą wystąpić, o ile istnieją, 4 rodzaje przypadków określających części analizowanego układu pod względem sterowalności i obserwowalności. Układ sterowania może więc zawierać części:

SO - sterowalne i obserwowalne, S NO - sterowalne lecz nieobserwowalne, O NS - obserwowalne lecz niesterowalne, NS NO - niesterowalne i nieobserwowalne. Części te można wydzielić na podstawie: •

schematów blokowych,

•

przekształceń równań stanu i równania wyjścia.

Rys. Analiza schematów blokowych w odniesieniu do badania sterowalności i obserwowalności

Zadanie. Dana jest struktura regulatora o określonych transmitancjach, jak na rysunku. Dokonać syntezę układu i wyprowadzić równania stanu i wyjścia.

1. Obliczenie transmitancji wypadkowej. a. transmitancja dwóch elementów połączonych szeregowo:

b. transmitancja wypadkowa po uwzględnieniu sprzężenia zwrotnego i wartości podstawień: T=1, k1=1, k2=1:

c. po uwzględnieniu definicji transmitancji tj.

, transmitancja

wypadkowa wyraża się następująco: , na podstawie powyższego wyrażenia można utworzyć równania stanu i wyjścia obiektu dynamicznego. 2. Wyprowadzenie równań obiektu dynamicznego i macierzy. a. Wymnażając stronami równanie p.1c otrzymujemy:

a po przejściu do dziedziny czasu otrzymujemy:

, b. Otrzymane równanie jest równaniem różniczkowym II rzędu, zatem można utworzyć dwa równania różniczkowe I rzędu, które odpowiadać będą dwóm równaniom stanu o postaci normalnej. Jako zmienną stanu obieramy sygnał wyjściowy y(t) a wtedy, zgodnie z zasadami doboru zmiennych fazowych, można utworzyć relacje:

Zatem równania obiektu dynamicznego są następujące:

2 równania stanu i równanie wyjścia Macierze odnoszące się do powyższego układu równań są następujące: A=

, b=

, c=

, d= , proszę napisać samodzielnie

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 10. Treść

1. Analiza układów dynamicznych metodą zmiennych stanu. cz.- 3.

wykładu:

Ocena sterowalności i obserwowalności - zadanie 2. 2. Podstawowe człony dynamiczne: właściwości i charakterystyki 3. Układy regulacji cz. 1.

Zadanie. (przykład zastosowania zmiennych fazowych jako zmiennych stanu, wyznaczenie równań układu i wyznaczenie sterowalności i obserwowalności) Dane jest równanie różniczkowe opisujące drgania sprężyny o stałej k i współczynniku tłumienia c. •

wyprowadzić równania układu i odpowiadające tym równaniom macierze,

•

wyznaczyć sterowalność i obserwowalność.

Obierając zmienną fazową x(t) (położenie) jako sygnał wyjściowy y(t) oraz uwzględniając, że równanie opisujące zjawisko jest równaniem II stopnia, czyli, że wymaga to wprowadzenia 2 zmiennych stanu, otrzymujemy równania: y(t) = x1(t) oraz x'1(t) = x2(t), które stają się podstawą do napisania równań układu:

Na podstawie tak sformułowanych równań tworzy się macierze a następnie na podstawie macierzy bada się sterowalność i obserwowalność:

A=

,b=

Sprawdzić, czy powyższy układ jest sterowalny?

,c=

,d=

1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym sterowalności jest, aby macierz

była rzędu n (czyli, żeby miała n - liniowo niezależnych kolumn, wyznacznik takiej macierzy jest różny od zera). 2. Układ, którego sterowalność będziemy sprawdzać jest układem o jednym wejściu , czyli równanie stanu ma postać: S nie może być osobliwa. 3. Układ z jednym wejściem jest sterowalny jeśli:

, a macierz

, w celu wyznaczenia macierzy S określamy kolejno poszczególne macierze:

Jak widać w macierzy S występują 2 niezależne liniowo kolumny, a wartość wyznacznika jest -49, czyli wyznacznik jest różny od 0, czyli układ jest sterowalny. Sprawdzić, czy powyższy układ jest obserwowalny? 1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalności jest, aby macierz

była rzędu n (czyli, żeby miała n - liniowo niezależnych kolumn). 2. Układ, którego obserwowalność będziemy sprawdzać jest układem o jednym wyjściu , czyli równanie wyjścia ma postać: , czyli warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, aby macierz W nie była osobliwa, jest aby wartość wyznacznika det W 0. 3. Obliczenia dot. obserwowalności:

2. Podstawowe człony dynamiczne: właściwości i charakterystyki Podstawowe człony dynamiczne to układy, których własności dynamiczne zostały wyczerpująco zbadane. Analizując dynamiczny układ automatyki lub projektując nowy układ automatyki, o ile to możliwe, poszukuje się w strukturach badanych lub projektowanych układów, elementów będących podstawowymi członami dynamicznymi, tak, aby można było na podstawie znajomości tych członów wnioskować o analizowanym lub projektowanym układzie. Podając zbiór informacji o układzie automatyki a w szczególności o określonym, podstawowym członie dynamicznym podaje się i określa następujące własności, charakterystyki i informacje: 1. Równanie dynamiki 2. Transmitancja operatorowa 3. Wartości własne 4. Charakterystyki dynamiczne (najważniejsze) - skokowa, - amplitudowo-fazowa, - amplitudowa, - fazowa 5. Równania układu i macierze - równanie(a) stanu - równanie(a) wyjścia

- macierze Element proporcjonalny (bezinercyjny) 1. Równanie: o statyczne: y = k u, o dynamiczne: y(t) = k u(t), gdzie k - współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności), może być dodatni lub ujemny, 2. Transmitancja operatorowa: G(s) = k, 3. Wartości własne: nie określa się, nie występuje wielomian charakterystyczny, 4. Charakterystyki:

skokowa:

statyczna: y = k u

amplitudowo-fazowa: G(j ) = P( ) + jQ( ) = k, zatem: P( ) = k, Q(j ) = 0 amplitudowa: fazowa:

5. Równania układu i macierze: równania stanu: nie występują,

równanie wyjścia: y(t) = k u(t), macierze: Element inercyjny (pierwszego rzędu)

1. Równanie: proporcjonalności,

, gdzie: T - stała czasowa, k - współczynnik

2. Transmitancja operatorowa: 3. Wartości własne: 4. Charakterystyki:

, ,

skokowa:

statyczna: y = k u

amplitudowo-fazowa:

amplitudowa (logarytmiczna):

charakterystykę amplitudową aproksymuje się następująco: dla dla

fazowa:

5. Równania układu i macierze: , zakładając, że sygnał wyjścia jest sygnałem stanu otrzymujemy:

Na podstawie powyższych równań dla T=1 i k=1 tworzymy macierze:

Element całkujący (idealny)

1. Równanie: gdzie: T - stała czasowa, k - współczynnik wyrażający stosunek prędkości odpowiedzi do wartości wymuszającej po scałkowaniu dla zerowych warunków początkowych otrzymujemy: 2. Transmitancja operatorowa: na podstawie równania (p.1.)

, 3. Wartości własne: dla s=0 transmitancja G(s) jest nieokreślona, 4. Charakterystyki: skokowa: statyczna: u=0

,

amplitudowo-fazowa:

amplitudowa (logarytmiczna):

fazowa (logarytmiczna):

5. Równania układu i macierze: , zakładając, że sygnał wyjścia jest sygnałem stanu otrzymujemy:

Na podstawie powyższych równań tworzymy macierze:

Wyprowadzenie macierzy na podstawie transmitancji:

na podstawie powyższych równań tworzymy macierze:

W powyższy sposób, tak, jak zostały przedstawione człony: 1. proporcjonalny, 2. inercyjny, 3. całkujący, należy w ramach przygotowania do egzaminu, w formie własnego studium opanować wiedzę dotyczącą kolejnych członów dynamicznych: 4. różniczkujący, 5. przesuwnik fazowy, 6. dwuinercyjny, 7. oscylacyjny. KONIEC WYKŁADU 10. PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 11. Treść wykładu: Układy regulacji cz. 1. 1. Wprowadzenie do regulacji 2. Wymagania dla układów automatycznej regulacji 1. Wprowadzenie do regulacji • •

Regulacja to sterowanie w układzie zamkniętym ze sprzężeniem zwrotnym tzn., że sygnały z wyjścia obiektu oddziaływują na sygnały wejściowe. Stosowanie regulacji jest jedną z metod eliminacji skutków zakłóceń.

• • •

•

Elementy układu sterowania to: obiekt sterowania i regulator. Do omówienia przykładowego układu regulacji przedstawionego poniżej na rysunku, przyjmujemy, że jest to układ regulacji jednej zmiennej. Dla układów regulacji określa się tzw. zadanie sterowania. Gdy zadanie sterowania odnosi się do jednego sygnału wyjściowego to sygnał ten nazywa się sygnałem regulowanym. Sygnały które występują w układzie regulacji jednej zmiennej to:

y0(t) sygnał zadany (wejściowy), określany jako tzw. zadanie sterowania, y(t) sygnał wyjściowy, zwany także sygnałem regulowanym, u(t) sygnał sterujący, zwany sygnałem nastawiającym sygnał uchybu regulacji (w idealnym regulatorze uchyb powinien przyjmować (t) wartość 0) z(t) sygnał zakłócenia

Zagadnienie dotyczące układów regulacji mogą być rozpatrywane w zakresie: • analizy układów regulacji, • syntezy układów regulacji. Analiza obejmuje badanie układów regulacji (regulatorów i obiektów) przy pomocy metod stosowanych do badania układów dynamicznych. Wynikiem analizy jest identyfikacji układów regulacji. Synteza to szereg kolejnych działań niezbędnych dla zaprojektowania układu regulacji. Działania te obejmują: • opis matematyczny obiektu, • opis zadania sterowania, czyli charakterystyki sygnału zadanego, • opis zakłóceń, • dobór wskaźników jakości regulacji,

założenia dotyczące sygnałów układu regulacji i struktury regulatora. Wynikiem syntezy jest projekt układu regulacji zawierający opis matematyczny regulatora spełniający założenia współczynników jakości regulacji. •

Rodzaje układów regulacji Można wyróżnić, zależnie od przyjętego kryterium klasyfikacji, następujące rodzaje układów regulacji: a. zależnie od liczby regulowanych wielkości: o jednowymiarowe (regulacja jednej zmiennej) o wielowymiarowe (regulacja wielu sygnałów wyjściowych). b. poprzez analogię do układów dynamicznych: o ciągłe, o impulsowe, o liniowe, o nieliniowe c. ze względu na charakter sygnału zadanego yo(t), układy regulacji mogą być układami: o regulacji stałowartościowej, gdy sygnał yo(t)=yo=const. o regulacji programowalnej, gdy przebieg sygnału jest zaprogramowany (przewidziany z góry), o regulacji nadążnej, gdy sygnał yo(t) ma charakter nie przewidziany, o regulacji ekstremalnej, gdy celem regulacji jest utrzymanie sygnału wyjściowego lub sygnałów wyjściowych na poziomie wartości ekstremalnych (minimalnych lub maksymalnych) d. ze względu na możliwość zmiany własności regulatora w czasie jego pracy: o układy adaptacyjne, gdy dla zmieniających się w czasie pracy równań obiektu następuje dostosowanie, czyli adaptacja równań regulatora, o układy optymalne, gdy osiąga się możliwie najlepsze wartości współczynników jakości, niezależnie od struktury regulatora, o układy suboptymalne, gdy przy określonym typie regulatora uzyskuje się najlepsze współczynniki jakości Do analizy układu regulacji przyjmujemy, że regulator jak i obiekt jako elementy układu regulacji są układami: • ciągłymi, liniowymi a regulator jest układem jednej zmiennej czyli jest układem jednowymiarowym. Schemat blokowy takiego układu z oznaczeniami poszczególnych transmitancji przedstawia rysunek poniżej. Występujące na rysunku, jak i w wyrażeniach oznaczenia nazwy sygnałów i transmitancji określa się następująco: y0(s) transformata sygnału zadanego (wejściowego), y(s) transformata sygnału wyjściowego (regulowanego), u(s) transformata sygnału sterującego (nastawiającego) •

(s) z(s) Gou(s) Gr(s) Goz(s) Go(s)

transformata sygnał uchybu regulacji transformata zakłócenia transmitancja obiektu regulacji względem sygnału sterującego u(s) transmitancja regulatora transmitancja obiektu regulacji względem sygnału zakłócającego transmitancja wypadkowa układu otwartego (toru otwartego) układu regulacji

G(s) transmitancja układu zamkniętego Gz(s) transmitancja zakłóceniowa układu zamkniętego G (s) transmitancja uchybowa

Do dalszej analizy układu regulacji na podstawie powyższego rysunku określa się transformaty następujących sygnałów:

Przyjmuje się:

, gdy zakłócenie oddziaływuje bezpośrednio na wyjście i , gdy zakłócenie działa bezpośrednio na wejściu obiektu

transmitancja układu zamkniętego:

transmitancja uchybowa:

transmitancja zakłóceniowa układu zamkniętego: Na podstawie powyższych relacji wnioskuje się o zachowaniu układu regulacji. Układ statyczny i astatyczny 1. W układach regulacji całkowity uchyb regulacji jest złożeniem (sumą) dwóch składników:

gdzie

- uchyb przejściowy, zwany także dynamicznym,

- uchyb statyczny (uchyb w stanie ustalonym). 2. W przypadku stabilnego układu regulacji tzn. po dostatecznie długim czasie, wartość uchybu (t) ustala się na poziomie upływem czasu dąży do zera. 3.

s

tj. uchybu statycznego, ponieważ uchyb

z

, na podstawie twierdzenia granicznego rachunku

operatorowego. 4. Uwzględniając powyższą relację można określić zachowanie układu regulacji w przypadkach: - zmiany sygnału zadanego yo, jako wymuszenia skokowego

zatem uchyb statyczny (w stanie ustalonym)

,

, niezależnie od amplitudy wymuszenia

s

A byłby równy 0, gdyby granica transmitancji układu otwartego - skokowej zakłócenia z(t)=z 1(t)

zatem uchyb statyczny (w stanie ustalonym) s ,byłby równy 0 jeśli co zaszłoby w przypadku gdyby transmitancja regulatora miała działanie całkujące: , czyli wystąpiłby biegun dla s=0. Gdy regulator i obiekt nie mają własności całkujących, to w stanie ustalonym uchyb statyczny jest wyrażeniem:

,

Na podstawie powyższych rozważań wprowadza się pojęcia układu statycznego i układu astatycznego. Układ statyczny regulacji to układ, którego uchyb statyczny w stanie ustalonym przy wymuszeniu skokowym yo(t) lub z(t) jest różny od zera, niezależnie od amplitudy wymuszenia, tzn., że w układzie statycznym występują różne od zera proporcjonalne do wartości skokowego lub stałego pobudzenia uchyby ustalone. Układ astatyczny regulacji to układ w którym uchyb statyczny, czyli uchyb ustalony przy wymuszeniu skokowym jest równy 0. Warunkiem koniecznym astatyzmu zamkniętego układu regulacji są całkowe własności regulatora. 2. Wymagania dla układów automatycznej regulacji Wymagania stawiane układom automatycznej regulacji to: • •

dokładność regulacji, stabilność regulacji,

wymagania odnoszące się do wskaźników jakości regulacji. Dokładność regulacji to wielkość różnicy między sygnałem wartości zadanej yo(t) a sygnałem wyjściowym y(t). W praktyce dąży się do uzyskania tzw. dokładności wystarczającej lub określa się dopuszczalną bezwzględną wartość uchybu dynamicznego i uchybu ustalonego. Dokładność dynamiczną osiąga się poprzez dobór parametrów i korekcji regulatora. Dokładność statyczną ustala się na dopuszczalnym poziomie. Kryterium dokładności statycznej jest jednoznaczne: albo układ regulacji jest astatyczny i nie ma uchybu albo jest statyczny i posiada uchyb. Zerowanie uchybu ustalonego osiąga się wprowadzając do regulatora układy całkujące. Dążenie do zerowania uchybu może powodować utratę stabilności. •

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 12. Treść wykładu: Układy regulacji cz. 2. 1. Wymagania dla układów automatycznej regulacji - c.d. 2. Identyfikacja obiektów sterowania Stabilność regulacji 1. Doprowadzenie uchybu ustalonego do wartości zerowej osiąga się poprzez wprowadzenie wymaganego poziomu (stopnia) astatyzmu, czyli liczbę biegunów

transmitancji Go(s). 2. Ocena stabilności zamkniętego układu regulacji może zostać dokonana na podstawie układu otwartego. Mianowniki wyrażeń określających transmitancję układu zamkniętego zawierają wyrażenie 1+Go(s), które można traktować jak równanie charakterystyczne: i znaleźć wartości s, które spełniają to równanie. Aby układ był stabilny, pierwiastki równania charakterystycznego powinny znajdować się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. W praktyce do oceny stabilności stosuje się metody algebraiczne. Wskaźniki regulacji

1. wskaźnik uchybu ustalonego

określa się przez podanie: 1. wartości dopuszczalnej w jednostkach fizycznych, 2. w jednostkach względnych

przedział czasu od chwili wymuszenie do chwili w której uchyb przejściowy: 2. czas regulacji tr

3. współczynnik przeregulowania

, nie przekroczy 5% wartości maksymalnej tj. po iloraz największej wartości uchybu o znaku przeciwnym do po i maksymalnej wartości uchybu przejściowego (tj. po), =

p1

Częstotliwościowe wskaźniki regulacji – określa się na podstawie charakterystyk częstotliwościowych (amplitudowej, amplitudowo-fazowej i fazowej). dla układu otwartego: oznacza częstotliwość

. dla której

m

4. częstotliwość graniczna modułu Lm charakterystyki amplitudowej 5. częstotliwość graniczna fazy (argumentu) oznacza częstotliwość (warunek stabilności układu zamkniętego:

. dla której

a

) 6. zapas fazy

7. zapas modułu (amplitudy ) lub wielkość

określa odchylenie charakterystyki fazowej od wartości -180o dla częstotliwości m.

określa odchylenie charakterystyki amplitudowej od wartości 0 [dB] dla częstotliwości a:

Na podstawie zapasu fazy i modułu określa się zapas stabilności układu zamkniętego. Praktycznie dla układów regulacji przyjmuje się:

dla układu zamkniętego:

7. wskaźniki regulacji: q(s) - operatorowy wskaźnik, q(j ) czestotliwościowy wskaźnik

określa częstotliwość p układu zamkniętego dla której moduł transmitancji układu zamkniętego jest maksymalny. 8. częstotliwość rezonansowa p

lub , częstotliwość rezonansowa określa pasmo przenoszenia sygnału zadanego.

Całkowe wskaźniki regulacji - stosowane w modelowaniu analogowym