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Capítulo 1 – Sinais e Sistemas Processo de digitalização de sinais: a)

b) a) Sinal Analógico b) Sinal Amostrado c) Sinal Discreto d) Sinal Digital Quantizado

c)

d)

Notação: x(t) → Contínuo x(n) → Discreto

15

- Capítulo 1 -

Sinais Discretos no Tempo Um sinal discreto no tempo é uma sequência de números reais ou complexos.

n=0

x[n] = {..., 1.3, 1.6, 2.0, 1.8, ...} n= -1

n=1

Um sinal contínuo no tempo xa(t) amostrado a uma taxa fs = 1/Ts amostras por segundo produz um sinal x[n] dado por: x[n] = xa[nTs]

x[n] não é definido para n não-inteiro

16

- Capítulo 1 -

Sequências e Operações Básicas Soma

z[n] = x[n] + y[n]

Produto

z[n] = x[n] . y[n]

Mudança de escala

y[n] = a.x[n]

Deslocamento temporal

y[n] = x[n-no] (atraso) y[n] = x[n+no] (adiantamento) Exemplo: Sendo x[n] = {3,2,5} e y[n] = {1,7,4 }
x[n] + y[n] = {4, 9, 9}
x[n] - y[n] = {2, -5, 1}
6 x[n] = {18, 12, 30} Exercício: Dado x[n] = {4,2,5,1} para 0 ≤ n ≤ 3. Esboce y[n] = x[n+2] 17

- Capítulo 1 -

Sinais Discretos Básicos Impulso Unitário (Delta de Dirac)

0 δ [ n] =  1

1 u[n] =  0

n≠0 n=0

n u[n] = ∑ δ[k ] k = −∞

Degrau Unitário

∞ u[n] = ∑ δ[n − k ] k =0

n≥0 n<0

δ[n] = u[n] − u[n − 1] 18

- Capítulo 1 -

Decomposição de Sinais em Impulsos Unitários Sinal arbitrário x[n] constituído de um conjunto de amostras: x[n] = { 1, 0, 0, 0, 2, -1.5, 0, 0, 0, 0, -1 } -3 ≤ n ≤ 7

De forma geral: ∞

x[n] =

∑ x[k ].δ [n − k ] k =−∞

Este sinal pode ser representado por uma soma de impulsos:

x[n] = a−3δ [n + 3] + a1δ [n − 1] + a2δ [n − 2] + a7δ [n − 7]

x[n] = δ [n + 3] + 2δ [n − 1] − 1,5δ [n − 2] − δ [n − 7]

19

- Capítulo 1 -

Exercícios Represente os sinais abaixo usando conjunto de amostras e decomposição em impulsos unitários.

a)

a[n]

-3 -2

3

3

2

2

1

1

-1 0 -1

1

2

3

4

5

6

7

8 n

-3

-2 -1 0 -1

-2

-2

-3

-3

c)

c[n]

-3

b[n]

b)

3

2

2

1

1 1

2

3

4

5

6

7

8

n

3

4 5

3

4

6

7

8

n

6

7

8

n

d[n]

d)

3

-2 -1 0 -1

1 2

-3

-2 -1 0 -1

-2

-2

-3

-3

1

2

5

20

- Capítulo 1 -

Sequência Exponencial Real

x[n] = A.αn

Se A e α forem números reais → x[n] será real Supondo A real positivo.

Para α >1

A=2 α = 1.2

Para 0<α<1

A=2 α = 0.8

Para α =1

A=2 α=1

Para -1<α<0

A=2 α = -0.9

Para α < -1

A=2 α = -1.2 21

- Capítulo 1 -

Sequência Exponencial Complexa

x[n] = A.αn

Se A e α forem números complexos → x[n] será complexo

Considerando: Então:

A =| A | .e jϕ

e

α =| α | .e jΩ

0

x[n] = A.α n =| A | .e jϕ .(| α | .e jΩ0 ) n

x[ n ] =| A || α |n e j ( Ω0 .n +ϕ ) Identidade de Euler:

e jθ = cos(θ ) + jsen(θ )

Logo:

x[ n] =| A || α |n  cos ( Ω 0 n + ϕ ) + jsen ( Ω 0 n + ϕ )  22

- Capítulo 1 -

Sequência Exponencial Complexa A=1

Re{x[n]}

x[n] = A.αn

Im{x[n]}

|α| < 1

|α| = 1

|α| > 1

23

- Capítulo 1 -

Periodicidade das Exponenciais Complexas Um sinal discreto no tempo x[n] é periódico com período N se:

x[n] = x[n + N ], ∀n j Ω0 n

jΩ0 ( n + N )

Então:

e =e e jΩ0n = e jΩ0n .e jΩ0 N

Logo:

1 = e jΩ0 N = cos(Ω0 N ) + jsen(Ω0 N )

Assim:

Ω 0 N = 2π m

Ou:

Ω0 m = 2π N

Não é periódico para ∀ Ω 0

Com m ∈ Z (conjunto dos números inteiros)

 2π   Ω  0

Período Fundamental: N = m  Frequência Fundamental:

Ω0 2π 24

- Capítulo 1 -

Periodicidade da soma e do produto de dois sinais periódicos Seja:

x1[n] → sequência periódica de período N1 x2[n] → sequência periódica de período N2

A soma:

x1[n] + x2[n]

sempre será periódica e o período é dado por:

N1 N 2 N= mdc( N1 , N 2 ) mdc(N1,N2) → máximo divisor comum de N1 e N2. O produto x1[n] . x2[n] também será periódico com período N dado pela mesma equação, porém, o período fundamental pode ser menor. 25

- Capítulo 1 -

Exercícios As seguintes funções são periódicas? Em caso afirmativo, calcular o período.

π  x [ n ] = cos a)  n 6 

c)

 4π  x [ n ] = cos b)  n  7 

n x[n] = cos  2

26

- Capítulo 1 -

Sistemas Discretos Um sistema discreto é uma transformação ou operação que mapeia uma sequência de entrada x[n] em uma sequência de saída y[n]: y[n] = T{x[n]}.

x[n]

T{ }

y[n]

Exemplos: • Média Móvel (Moving Average – MA) M2 1 y[n] = x[n − k ] ∑ M 1 + M 2 + 1 k =− M1

• Sistemas de Atraso/Avanço

y[n] = x[ n − n0 ]

 n0 > 0 ⇒ atraso  n0 < 0 ⇒ avanço

27

- Capítulo 1 -

Classificação de Sistemas Sistema Sem Memória: Cada saída y[n] depende somente da entrada x[n] para o mesmo valor de n. Exemplo:

y[n] = x 2 [n]

Sistema Com Memória: Cada saída y[n] depende das entradas x[n] atual e anteriores. Exemplo:

y[n] = 2 x[n] − 3 x[n − 1]

28

- Capítulo 1 -

Sejam:

y1[ n] = T {x1[n]} e

Aditividade:

y2 [n] = T {x2 [ n]}

T {x1[n] + x2 [n]} = T {x1[n]} + T {x2 [n]}

Homogeneidade:

T {ax[n]} = aT {x[n]}

Sistema Linear Um sistema é dito ser Linear se ele é, ao mesmo tempo, aditivo e homogêneo.

T {a.x1[n] + b.x2 [n]} = a.T {x1[n]} + b.T {x2 [n]} Exercícios: Verifique se os sistemas abaixo são aditivos e homogêneos. a)

x 2 [n] y[n] = x[n − 1]

b)

y[n] = x[n] + x*[n − 1] 29

- Capítulo 1 -

Sistema Invariante no Tempo (Sistema invariante ao deslocamento no tempo)

É aquele em que um deslocamento no sinal de entrada causa um correspondente deslocamento no sinal de saída. Se:

y[n] = T {x[n]}

Então:

y[n − n0 ] = T {x[ n − n0 ]}

Exercícios: Verifique se os sistemas abaixo são invariantes no tempo. a) y[ n] = x 2 [ n]

b)

y[n] = x[n] + x[−n]

Sistema Linear Invariante no Tempo (LSI) É, ao mesmo tempo, linear e invariante no tempo. 30

- Capítulo 1 -

Causalidade Um sistema é causal se uma amostra y[n0] depende de y[n] e/ou x[n] para n ≤ n0. Não depende de valores futuros ≡ Sistema não-antecipativo. • Forward Difference:

y[n] = x[n + 1] − x[n] → Não-causal.

• Backward Difference:

y[n] = x[n] − x[n − 1] → Causal.

Sendo h(n) a resposta do sistema ao impulso unitário, um sistema LSI é causal se e somente se:

h[ n] = 0, n < 0

31

- Capítulo 1 -

Estabilidade O sistema é estável se para toda sequência de entrada x[n] limitada esse sistema produz uma saída y[n] também limitada. x[n] é limitado se:

| x[ n] |≤ Bx < ∞, ∀n

y[n] é limitado se:

| y[n] |≤ By < ∞, ∀n

BIBO (Bounded Input – Bounded Output) Exemplos:

2

y[n] = x [ n]

n

y[n] = log( x[n])

y[n] =

∑ x[k ] k =−∞

Sendo h[n] a resposta do sistema ao impulso unitário, um sistema linear invariante no tempo será estável se h[n] for absolutamente somável: ∞ ∑ | h[n] |< ∞ n =−∞

Exercícios: a) O sistema cuja resposta à amostra unitária é dada por h[n] = a n u[ n] onde |a| < 1 é estável? b) O sistema y[n] = n.x[n] é estável quando a entrada é um degrau unitário x[n] = u[n] ? 32 - Capítulo 1 -

Sistema Linear Invariante no Tempo (LSI) A resposta de um sistema a uma dada entrada pode ser representada por: y[ n] = T {x[n]}

 ∞  y[n] = T  ∑ x[k ].δ [n − k ]  k =−∞ 

Fazendo a decomposição do sinal x[n] em impulsos unitários:

∞

∑ T { x[k ].δ [n − k ]}

Considerando a propriedade aditiva: y[ n] = Considerando a propriedade de homogeneidade uma vez que os coeficientes de x[n] são constantes: y[ n] =

k =−∞ ∞

∑ x[k ].T {δ [n − k ]} k =−∞

Definindo hk[n] como sendo a resposta do sistema ao impulso no instante k. h[n] = T δ [n] h [ n] = T δ [ n − k ]

{

}

{

k

}

Se o sistema é invariante no tempo: hk [ n] = h[ n − k ]

Soma de Convolução

∞

Logo, para um sistema LSI:

y[n] =

∑ x[k ].h[n − k ] k =−∞

33

- Capítulo 1 -

Convolução A relação entre a entrada de um sistema linear invariante no tempo x[n] e a saída y[n] é dada pela soma de convolução: ∞

y[n] = x[n] ∗ h[n] =

∑ x[k ].h[n − k ] k =−∞

Obs: O sistema T{.} é completamente caracterizado por sua resposta ao impulso h[n].

Exemplo de cálculo da soma de convolução Supondo um sistema com resposta impulsiva h[n] dada abaixo. Qual a saída deste sistema quando aplicado a ele o sinal de entrada x[n]?

34

- Capítulo 1 -

O termo h[n-k] indica que h deve ser rotacionado, uma vez que a variável do somatório é k.

A variação de n representa um deslocamento de h[-k]. Para cada n é realizada a soma dos produtos das respectivas amostras de h[n-k] e x[k] para definir y[n]. Para

n = −3

Para

y[−3] = 1× 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3

n = −2

y[−2] = 1× 4 + 1× 3 + 0 + 0 + 0 = 7

35

- Capítulo 1 -

Para

n = −1

y[ −1] = 1× 3 + 1× 4 + 1× 3 + 0 + 0 = 10

Para

n=0

y[0] = 1× 2 + 1× 3 + 1× 4 + 1× 3 + 0 = 12

Prosseguindo para n=1 até n=4 temos que y[n] será:

y[ n] = {3, 7,10,12,12,9,5, 2} 36

- Capítulo 1 -

Parâmetros de y[n] resultantes da convolução de duas sequências de comprimento finito Comprimento de y[n] Se: x[n] possui comprimento L1 e

h[n] possui comprimento L2 O comprimento de y[n] = x[n] * h[n] é dado por:

L = L1 + L2 - 1

Intervalo de y[n] Se os valores diferentes de zero de x[n] estão no intervalo [Mx , Nx] e os valores diferentes de zero de h[n] estão no intervalo [Mh , Nh], os valores diferentes de zero de y[n] estarão confinados no intervalo:

[Mx + Mh , Nx + Nh] Faixa de variação de k e n Pela equação da convolução -∞ < k < ∞ e não há limite para n. Na prática, quando temos sequências finitas:  k varia no intervalo de existência de x.  O intervalo de n é determinado da seguinte forma: • ninicial = posição do primeiro valor de h não nulo + kinicial • nfinal = posição do último valor de h não nulo + kfinal

37

- Capítulo 1 -

Exercícios: A resposta ao impulso unitário de um sistema é h[n] = u[n]. Calcule (por convolução) a saída do sistema quando a entrada é x[n] = an u[n].

Tabela Expressões simplificadas para algumas séries comuns: N 1 − a an = ∑ 1− a n =0 N −1

∞

n a ∑ = n=0

1 1− a

N +1 N N − 1 a − Na +a ( ) n na = ∑ 2 n =0 (1 − a )

n na ∑ =

N −1

N −1

N −1

1 n = N ( N − 1) ∑ 2 n =0

∞

n =0

2 n ∑ = n =0

a <1

a

(1 − a )

2

a <1

1 N ( N − 1)( 2 N − 1) 6 38

- Capítulo 1 -

Propriedades da Convolução Comutatividade ∞

∞

k =−∞

k =−∞

∑ x[k ].h[n − k ] = ∑ h[k ].x[n − k ]

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] ⇒ x[n]

y[n]

h[n]

≡

h[n]

x[n]

y[n]

Associatividade

{ x[n] ∗ h1[n]} ∗ h2 [n] = x[n] ∗ {h1[n] ∗ h2 [n]} x[n]

h1[n]

h2[n]

y[n]

≡

x[n]

h1[n]* h2[n]

y[n]

Sistemas em Série:

hsérie[n] = h1[n]* h2[n] 39

- Capítulo 1 -

Propriedades da Convolução Distributividade

x[n] ∗ {h1[n] + h2 [n]} = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2 [n] h1[n] x[n]

+

y[n]

≡

x[n]

h1[n]+h2[n]

y[n]

h2[n] Sistemas em Paralelo:

hparalelo[n] = h1[n] + h2[n]

Deslocamento Se:

x1[ n]* x2 [ n] = y[n]

Então:

x1[n − k ]* x2 [n − j ] = y[n − k − j ]

40

- Capítulo 1 -

Sistemas Inversos y[n] x[n]

h1[n]

h2[n]

z[n]

O sistema h2[n] é dito sistema inverso de h1[n] se: z[n] = x[n]

x[n]

h[n]

z[n]

h[n] = h1[n]* h2[n] = δ[n] Pois: x[n]* δ[n] = x[n]

Observação Importante! Qualquer sinal convoluído com o impulso unitário não sofre qualquer alteração, ou seja, o resultado é o próprio sinal. Assim, se a entrada de um sistema for o impulso unitário x[n]=δ[n], o sistema será convoluído com ele e, na saída, teremos a própria expressão do sistema, que é o que representamos por h[n].

Exercício: Faça a convolução da sequência w[n] = {1,2,3} para 0< n <2 com o impulso unitário e observe o resultado.

41

- Capítulo 1 -

Equações de Diferenças As equações de diferenças representam um método de calcular a resposta y[n] de um sistema a uma entrada arbitrária x[n]. Ao invés de se utilizar a representação de soma de convolução, pode ser mais conveniente, do ponto de vista computacional, expressar a saída de um sistema em termos de valores antigos de saída e de valores antigos e atuais da entrada. Por exemplo, um sistema cuja resposta ao impulso unitário é dada por h[n] = αnu[n] pode ser descrito como uma soma de convolução ∞ da seguinte forma:

y[n] = ∑ α k x[n − k ] k =0

Uma forma mais concisa de se descrever este sistema é:

y[ n] = α y[n − 1] + x[ n] Este é um exemplo das chamadas:

Equações Diferenças Lineares com Coeficientes Constantes ( EDLCC ). 42

- Capítulo 1 -

A forma geral de uma EDLCC é: q

p

k =0

k =1

y[n] = ∑ bk x[n − k ] −∑ ak y[n − k ] onde os coeficientes ak e bk são constantes que definem o sistema. Equação de diferenças recursiva

→ um ou mais termos ak ≠ 0

Exemplo:

y[n] = α y[n − 1] + x[n] → Equação de diferenças recursiva de 1ª ordem. Equação de diferenças não-recursiva

→ todos os termos ak = 0

Exemplo: ∞

y[n] = ∑ α k x[n − k ] → Equação de diferenças não-recursiva de ordem infinita. k =0 Antes que a equação de diferenças possa ser resolvida, é necessário especificar um conjunto de condições iniciais. 43

- Capítulo 1 -

Por exemplo, considere uma entrada x[n] que começa no tempo n = 0. q

A solução da equação: y[ n] =

p

∑ b x[n − k ] −∑ a k

k =0

k

y[n − k ] no tempo n = 0

k =1

depende dos valores: y[–1], ..., y[–p]. Portanto, as condições inicias devem ser especificadas antes de se encontrar a solução para n ≥ 0. Quando as condições iniciais são zero ⇒ sistema em repouso inicial Para um sistema LSI descrito por uma equação de diferenças, a resposta à amostra unitária, h[n], é encontrada resolvendo a equação de diferenças para x[n] = δ [n] e assumindo repouso inicial. Para um sistema não recursivo, ak= 0, a equação de diferenças torna-se: q

y[ n] = ∑ bk x[n − k ] k =0

E a saída é uma soma ponderada dos valores passados e atual da entrada. 44

- Capítulo 1 -

Como resultado, a resposta ao impulso unitário é: q

h[ n] = ∑ bk δ [n − k ] k =0

h[n] tem comprimento finito → o sistema é chamado: Sistema de Resposta ao Impulso de Comprimento Finito (Finite-Lenght Impulse Response – FIR). Se ak ≠ 0, a resposta ao impulso unitário tem, em geral, comprimento infinito → o sistema é chamado: Sistema de Resposta ao Impulso de Comprimento Infinito (Infinite-Lenght Impulse Response – IIR). Exemplo: Para y[ n] = α y[ n − 1] + x[ n] → Sistema Recursivo

h[n] = αnu[n] → Resposta ao impulso de comprimento infinito 45

- Capítulo 1 -

Métodos para resolver EDLCC 1) Montar uma tabela com valores de entrada e saída e resolver a equação de diferenças para cada valor de n. Essa abordagem é adequada quando é necessário determinar apenas poucos valores de saída. Exemplo: Para a equação de diferenças y[n]-0,5y[n-1]=x[n] suponha a condição inicial y[–1] = 16 e a entrada x[n] = n2 causal. Encontre y[0], y[1], y[2] e y[3].

2) Usando Transformada Z Será vista posteriormente. 3) Abordagem clássica de se encontrar as soluções homogênea e particular.

46

- Capítulo 1 -