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ELT221 - Circuitos Elétricos II Prof. Tarcísio Pizziolo

6) Resposta em Freqüência A Resposta em Frequência é estudada para o Regime Permanente (ou Estacionário) onde σ = 0, então s = jw. Então a Função de Transferência H(s) = H(jw) para o Regime Permanente. Daí pode-se escrever que:

H( jw ) = Re[H( jw )] + j Im[H( jw )] ou : H( jw ) = H( jw ) .e jϕ( w )

; e jϕ( w ) = cos[ϕ( w )] + jsen[ϕ( w )]

Onde: • H( jw ) é denominada Resposta em Amplitude ou Módulo. •

ϕ( w ) é a Resposta em Fase.

Assim: H( jw ) = Re 2 [H( jw )] + Im 2 [H( jw )] e ϕ( w ) = tg −1

Im[H( jw )] Re[H( jw )]

Exemplo: Seja o circuito RLC Paralelo dado a seguir.

s   V2 (s ) 1 C = Z (s ) ∴ H (s ) = ∴ H (s ) = H (s ) = 1  I 1 (s ) 1  2  1  1   + Cs +   s +   s + Ls.  R  RC  LC   1 Para : s = ( jw ) ⇒ H(s ) = 1   1    + jwC −   R   wL  1

Então : H( jw ) = 2

 1  1    + wC −   R  wL  

2

 1   e ϕ( w ) = −tg −1  wC − R wL   

1   Para H( jw ) ser máximo ⇒  wC −  = 0 ⇒ wo = wL   Então : H( jw o ) máx = H( jw o ) máx = R Para w → 0 e w → ∞ ⇒

1 LC

H( jw ) → 0

Representação Gráfica (Diagrama de Bode) As variações do Módulo de H(jw) e de φ(jw) em função de w podem ser representadas juntamente por dois Gráficos. Quando a Resposta em Amplitude é dada em Decibéis, estes dois Gráficos constituem o Diagrama de Bode. Para o exemplo anterior: I) Gráfico da Resposta em Amplitude:

Para H( jw ) ser máximo ⇒ w o =

1 LC

Então : H( jw o ) máx = R Parra w → 0 e w → ∞ ⇒

H( jw ) → 0

II) Gráfico da Resposta em Fase:   ϕ( w o ) = 0  π  Para w → 0 ⇐ ϕ( w ) → , 2  Para w → ∞ ⇒ ϕ( w ) → − π  2

No circuito deste exemplo, se: •

•

•

•

i1 (t ) = I m . cos( wt ) ⇒ I1 = I m ∠0º e V 2 = Z. I m = H . I m . Conclusão: A saída tem sua amplitude dada pela multiplicação da Função de Transferência por uma constante.

1 F. 40 Calcular a amplitude e o ponto onde ela ocorre. Esboçar as respostas em Amplitude e em Fase.

Exemplo: Para o exemplo anterior, consideremos que R = 4 Ω; L = 0,1 H e C =

H( jw ) máx = H( jw o ) máx = R = 4 Ω ; w o =

1 LC

= 20 (rd / s )

Resposta em Amplitude:

Resposta em Fase:

V2 (s ) e esboce as respostas em Amplitude e V1 (s ) Fase. Mostre que o pico da amplitude e a fase zero ocorrem em w = 4 (rd ) ⋅ s

Exemplo: Dado o circuito calcule H(s ) =

Z eq 60 (6s + 16) (6s + 16)  120  Z eq =  + 45  // ( ) ∴ ( Z eq + 10) = 2 ;V = .V1 = 2 .V1 ; s ( Z eq + 10) (s + 10s + 16) (s + 10s + 16)  s  V2 =

45 .V ⇒  120  + 45    s 

V2 6s = H( s ) = 2 V1 (s + 10s + 16)

Substituindo s = jw:

H( jw ) =

Daí :

j6w ( − w + j10w + 16) 2

=

j6w (16 − w ) + j10w 2

(

H( jw o ) máx

   −  ϕ( jw ) = −tg −1    

1  5   16 − w 2   − j  3   6w

   

1

H( jw ) =

)

2  25   16 − w  +      9   6w 

Para :

=

2

(16 − w o2 ) ⇒ = 0 ⇒ w o = 4 (rd ) ; s 6w o

H( jw o ) máx =

(16 − w )  2

6w

5   3

   ; ϕ( w ) = ϕ( 4) = 0 o o   

Quando w → 0 ⇒ H( jw ) → 0 Resposta em amplitude:  Quando w → ∞ ⇒ H( jw ) → 0

π  Quando w → 0 ⇒ ϕ ( w → 0 ) → +  2 Resposta em Fase:  π Quando w → ∞ ⇒ ϕ( w → ∞ ) → −  2 Resposta em Amplitude

4

3 5

Exemplo: Calcule a H(s ) =

Vo (s ) para o circuito a seguir e esboce as respostas em Vi (s )

Amplitude e em Fase.

v  i = i ;  i R 1   

v v v2 v v ; i4 = 1 ; i5 = 2 ; i6 = o ; io = o 1 1 1 1 1 s s (i i + i 1 + i 2 + i 3 ) = 0; ( i o + i 4 ) = 0; (i 5 + i 6 ) = 0 .................( I )

i1 =

v1 v ; i2 = 2 ; R3 R2

i3 =

 v  R s +1  vi v v  v 2  ......( II ) + 1 + 2 + s.v 2 = 0 ⇒ v i = R 1  − 1 −  2  R1 R 3 R 2 R R    3 2  v (i o + i 4 ) = 0 ⇒ v o = −sv 1 ⇒ v 1 = − o ; ( i 5 + i 6 ) = 0 ⇒ v 2 = − v o s Substituin do v 1 e v 2 em (II ) : De (I ) :

 v  R s + 1  v R 2 R 3s  v o  ⇒ o = v i = R 1  o +  2 2  v i ( R1R 2 R 3s + R 1R 3s + R 1R 2 )  R 3s  R 2    1   s R 1   Dividindo por (R 1 R 2 R 3 ) : H(s) =  2  1  1  s + s +    R2  R3   Substituindo s = jw:  1    jw R 1  jw 1  H( jw ) = = = ⇒ 2  R 1 w R 1   R 1w  1  jR 1 w R1  1   2 2   −  +  jw + + + ( jw ) +    − R 1 w + j   R R R R jw jR w jR w 2 3    2  3 2 3     1 1 ⇒ H( jw ) = ⇒ H( jw ) =   R1 R jR 1  R 1R 3 w 2 − R 1   jR 1 w + 1 −  ( ) + j ( )  R 2 wR 3  R 3w   R 2 

Daí :

1

H( jw ) =

 R R w 2 − R1   +  1 3 R 3w  

 R1   R2 Para :

H( jw o ) máx

(

2

(R R w ⇒ 1

3

2

− R1

o

R 3w o

(

 R 1R 3 w 2 − R 1  R 3w −1  ϕ( jw ) = −tg   R1      R2  

)= 0

)  1 rd ( ); s R3

⇒ wo =

) 

H( jw o ) máx =

 ; ϕ( w ) = ϕ( 1 ) = 0 o o  R3  

Quando w → 0 ⇒ H( jw ) → 0 Resposta em amplitude:  Quando w → ∞ ⇒ H( jw ) → 0 π   Quando w → 0 ⇒ ϕ( w → 0) → 2 Resposta em Fase:  π Quando w → ∞ ⇒ ϕ( w → ∞ ) → −  2

Para valores de R1 = R2 = R3 = 1 Ω, o Diagrama de Bode é apresentado a seguir. Bode Diagram 0 -5 -10

Magnitude (dB)

-15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 90

Phase (deg)

45

0

-45

-90 -2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/s)

Exercício: Dado um circuito RLC série com uma fonte de tensão v1(t), a tensão no capacitor é dada por v2(t). a) Determinar a Função de Transferência H(s) = V2(s)/V1(s). b) Esboçar a resposta em frequência para H(jw).

R2 R1